动能定理能在某个方向上使用吗？

动能定理能在分方向上使用吗?

黄宝松（武汉市江夏区一中 湖北 430200）

在力学中，动量定理和动量守恒定律都是矢量式，可以在正交坐标系（如直角坐标系）的某一方向上使用。而动能定理中的功与动能是标量，可以在某个方向上使用吗？

由于动能定理为标量形式，处理问题时常认为不能在分方向上应用。2005年第4期“对几道物理题谬解的教学思考”一文中就对分方向应用动能的解法认为是一种谬解(虽然解题过程和结果正确)。可见这种观点具有普遍性。但对动能定理分方向能否使用的问题，我们经过认真思考和斟酌了吗？我们下结论是否太武断？如能在分方向上应用，就会给我们的计算带来极大的方便。

一、应用的理论依据

空间建立直角坐标系x 、y 、z 轴，它们的单位矢量分别为i ?、j ?、k

?。设作用于物体上的几个力的合力为F ，物体的位移为S ，物体的初动能为21mv 12，末动能为2

1mv 22。则由矢量的标积可知：

F ·S ＝（F x i ?+ F y j ?+F z k ?）·（S x i ?+ S y j ?+S z k

?）＝F x S x + F y S y + F z S z 21mv 22 －21mv 12 ＝21m （v 2x 2 －v 1x 2）+21m （v 2y 2 －v 1y 2）+21m （v 2z 2 －v 1z 2） 根据动能定理：F ·S ＝21mv 22 －2

1mv 12得 F x S x + F y S y + F z S z ＝21m （v 2x 2 －v 1x 2）+21m （v 2y 2 －v 1y 2）+2

1m （v 2z 2 －v 1z 2） 由上式及力的独立作用原理可知：

F x S x ＝

2

1m （v 2x 2 －v 1x 2） F y S y ＝2

1m （v 2y 2 －v 1y 2） F z S z ＝21m （v 2z 2 －v 1z 2） 所以直角坐标系（强调正交坐标系）中，在某一方向上力所作的功等于这一方向上物体动能的变化。动能定理可在分方向上使用。

二、应用中应注意的问题：

一个原来静止的质量为m 的物体，放在光滑的水平面上，在互成600

角的大小相等的两个力的作用下，经过一段时间物体获得的速度为v, 在力的

方向上获得的速度分别为v 1、v 2。那么在这段时间内其中一个

力做的功为 A ：

61mv 2 B ：3

1mv 2 C ：41mv 2 D ：21mv 2 解析：如果不分清应用条件，将速度v 沿两个力的方向分解得到两个分速度v 1、v 2为：