矩阵证明题

矩阵证明题

简单应用题能力：

1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．

2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--．

3．已知矩阵 )(2

1I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.

5． 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．

6．设A k =0,其中A 为方阵,k 为大于1的某个正整数,证明(E-A )-1=E +A +A 2+…+A k-1.

7．若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

8．设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.

9．设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .

10．n 阶方阵A 满足A 2-3A-2E=0，其中A 给定，证明A 可逆.

11．设A 、B 均为n 阶方阵，且A 2=A,B 2=B ，证明(A+B)2=A+B 的充分必要条件是AB=BA=0.

12．若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

13．设A 是n 阶方阵，且（A +E ）2=0，证明A 可逆.

14．设矩阵A 可逆，证明（A *）-1=|A -1|A .

参考答案

1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．

1．证 因为A T = A ，B T = B ，(AB )T = AB ——得3分

所以 AB = (AB )T = B T A T = BA ——得5分

2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3

A = 0，则21)(A A I A I ++=--．

2．证 因为 ))((2A A I A I ++- ——得2分

=322A A A A A I ---++ =3A I -= I 所以 21)(A A I A I ++=-- ——得5分

3．已知矩阵 )(2

1I B A +=

，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 3. 证 因为)2(4

1)(41222I B B I B A ++=+=，且A A =2，即 )(21)2(412I B I B B +=++， ——得3分 得I B =2，所以B 是可逆矩阵，且B B

=-1. ——得5分 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.

4. 证 因为

AI A ==T T IA AAA ==T A ——得4分

所以A 是对称矩阵. ——得5分

5．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．

5．证 因为 B B A A ==T T ，，且

T T T )()()(BA AB BA AB +=+ ——得2分

T T T T B A A B +=

AB BA +=BA AB += ——得5分

所以 AB ＋BA 是对称矩阵． 6．设A k =0,其中A 为方阵,k 为大于1的某个正整数,证明(E-A )-1=E +A +A 2+…+A k-1.

6．证：因为A k =O , 所以E -A k =E . ——得2分

又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1),

即 (E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)=E ,

所以 (E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+? ? ?+A k -1 ——得5分

7．若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

7．证：因为A 为非退化矩阵,并且AB=BA ，

所以两边右乘1-A 得：B ABA =-1， ——得3分 再两边左乘1-A 得：B A BA 11--= ——得5分

8．设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.

8．证：因为A T =A , 所以

(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , ——得4分

从而B T AB 是对称矩阵 ——得5分

9．设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .

9．证：充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以

(AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵. ——得3分

必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以

AB =(AB )T =B T A T =BA . ——得5分

10．n 阶方阵A 满足A 2-3A-2E=0，其中A 给定，证明A 可逆

10．证：由A 2-3A-2E=0可得：A(A-3E)=2E ， ——得3分

即E E A A =-2)3(

所以A 可逆，且2)3(1E A A -=-

——得5分

11．设A 、B 均为n 阶方阵，且A 2=A,B 2=B ，证明(A+B)2=A+B 的充分必要条件是AB=BA=0.

12．若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

13．设A 是n 阶方阵，且（A +E ）2=0，证明A 可逆.

14．设矩阵A 可逆，证明（A *）-1=|A -1|A .

.

综合应用题能力：

1．设n 阶方阵T E A αα-=,其中0≠α是n 维列向量,证明：

（1）A A =2的充要条件为1=ααT ； （2）当1=ααT 时，矩阵A 不可逆。

2．设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：

(1) 矩阵A 可逆； (2) 矩阵E A 2-与E A +不同时可逆。

3．如果)(2

1E B A +=，证明A 2=A 的充要条件是B 2=E 。 4．设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.

5．设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵.

6．若方阵A 满足O E A A =-+422，证明E A -可逆，并求出E A -的逆矩阵.

参考答案

1．设n 阶方阵T E A αα-=,其中0≠α是n 维列向量,证明：

（1）A A =2

的充要条件为1=ααT ； （2）当1=ααT 时，矩阵A 不可逆。 1．证：（1） T T T T E A ααα

ααααα)(2+--=， ——得2分 故A A =2的充要条件为1=ααT ； ——得4分

（2） 由（1）得A A =2

，若A 可逆，A A A A 121)(--=， 则E A =，矛盾。 ——得8分

2．设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：

(1) 矩阵A 可逆； (2) 矩阵E A 2-与E A +不同时可逆。

2．证：（1）E E A A 2)(=-，)(211E A A

-=-； ——得4分 （2） 0|||2||2|2=+-=--E A E A E A A ，|2|E A -与||E A +至少有一个为零。

——得8分

3．如果)(2

1E B A +=，证明A 2=A 的充要条件是B 2=E 。

3．证：（必要性）)(2

1,2E B A A A +== ， 4

2)(41)(2122E B B E B E B ++=+=+∴，化简即得：B 2=E 。 ——得4分 （充分性）)(2

1,2E B A E B +== A E B E B B E B A =+=++=+=∴42242)(41222

——得8分 4．设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.

4．证：由A 可逆可知：0||||,0|

|1||,0||1*1≠=≠=≠--n A A A A A ，即*1,A A -也可逆。 ——得4分

E A A A A A E A A A AA ||)()(,||11*1*11**-----==≠=

||/||)(|,|/)(1*11*A A EA A A A A A ===∴---

所以*11*)()(--=A A ——得8分

5．设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵.

5．证：因为

A -1(A +

B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1, ——得2分

而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.

——得6分

(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A . ——得8分

6．若方阵A 满足O E A A =-+422，证明E A -可逆，并求出E A -的逆矩阵.

6．证：由O E A A =-+422可得E E A A A =-+-332，——得2分

即E E A E A =+-)3)(( ——得6分

所以E A -可逆，且)3()(1E A E A +=-- ——得8分

发展应用题能力：

1．设A 为n m ?矩阵，证明：存在s n ?非零矩阵B ，使O AB =的充分必要条件为秩n A r <)(。

2．试证明： )()(B r A r B O O A r +=??

???? 3．设A 为n 阶满秩方阵(n ≥2),A *为A 的伴随矩阵,求证(A *)*=|A | n －2A .

4．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:

(1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1.

5．设A 为m ?n 矩阵，B 为n 阶矩阵，且r(A)=n ，试证：

（1）若AB=O ，则B=O ；（2）若AB=A 则B=E 。

6．设A 、B 为m ?n 矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)。

7．如果A 是1)(,1)(),2(=-=≥*A r n A r n n 试证且阶矩阵

参考答案

1．设A 为n m ?矩阵，证明：存在s n ?非零矩阵B ，使O AB =的充分必要条件为秩n A r <)(。

1．证：

充分性：n A r <)( ，0=∴Ax 存在一个基础解系)(;21,A r n s s j j -==其中，， β，令）

，，，（s B βββ 21=，易知B 就是s n ?非零矩阵。 ——得5分 必要性：设）

，，，（s B βββ 21=，因B 是s n ?非零矩阵，故至少有一个j β是非零向量。 O AB = ，则s j j ，，21,=β都是线性方程组0=Ax 的解。

0=∴Ax 有非零解，即n A r <)(。 ——得10分

2．试证明： )()(B r A r B O O A r +=??

???? 2．证：设A 的列向量组为n ααα,...,,21，其极大无关组为is i i ααα,...,,21，即s A r =)( 设B 的列向量组为m βββ,...,,21，其极大无关组为jt j j βββ,...,,21，即t B r =)( 将is i i ααα,...,,21扩充为??????O A 的列向量is i i ααα''',...,,21，则is i i ααα''',...,,21也是??

????O A 的极大无关组；将jt j j βββ,...,,21扩充为??

????B O 的列向量jt j j βββ''',...,,21，则jt j j βββ''',...,,21也是??????B O 的极大无关组；易知is i i ααα''',...,,21jt j j βββ''',...,,21线性无关。 ——得4分

设??

????B O O A 列向量组的极大无关组为r γγγ,...,,21，即r B O O A r =?????? 则任意k γ必可由向量组is

i i ααα''',...,,21jt j j βββ''',...,,21线性表示，而任意的i α'、j β'都是??

????B O O A 的列向量，均可由r γγγ,...,,21线性表示；故向量组is i i ααα,...,,21jt j j βββ,...,,21与向量组r γγγ,...,,21等价。——得8分 所以r=s+t ，即)()(B r A r B O O A r +=??

????。 ——得10分 3．设A 为n 阶满秩方阵(n ≥2),A *为A 的伴随矩阵,求证(A *)*=|A | n －2A .

3．证：E A A A E A A A AA ||))((,||******=∴== ——得4分 两边左乘A 得E A A A A A ||))((****=∴，即A A A E A ||)(||***= ——得8分 又因为A 为n 阶满秩方阵(n ≥2)，即0||≠A ，1*||||-=n A A 。

所以(A *)*=|A | n －2A . ——得10分

4．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:

(1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1.

4．证：(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得

A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,

所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. ——得5分

(2)由于*|

|11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n .

若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;

若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.

因此|A *|=|A |n -1. ——得10分

5．设A 为m ?n 矩阵，B 为n 阶矩阵，且r(A)=n ，试证：

（1）若AB=O ，则B=O ；（2）若AB=A 则B=E 。

5．证：（1）设B 的列向量组为：n βββ,...,,21，显然任意j β都是齐次线性方程组AX=0的解向量。因为r(A m ?n )=n ，所以AX=0只有零解，即所有0=j β。故B=O 。 ——得5分

（2）若AB=A 则AB-A=O ，A(B-E)=O

由（1）的结论可知(B-E)=O ，即B=E 。 ——得10分

6．设A 、B 为m ?n 矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)。

6．证：设A 的列向量组为n ααα,...,,21，其极大无关组为is i i ααα,...,,21，即s A r =)(

设B 的列向量组为n βββ,...,,21，其极大无关组为jt j j βββ,...,,21，即t B r =)( ——得2分

设A+B 列向量组为n n βαβαβα+++,...,,2211，其任意一个向量 k k βα+可由向量组is i i ααα,...,,21jt j j βββ,...,,21线性表示，

即向量组n n βαβαβα+++,...,,2211可由向量组is

i i ααα,...,,21jt j j βββ,...,,21线性表示。 ——得8分

所以r(n n βαβαβα+++,...,,2211)≤r(is i i ααα,...,,21jt j j βββ,...,,21)≤s+t 即r(A+B)≤r(A)+r(B)。 ——得10分 7．如果A 是1)(,1)(),2(=-=≥*A r n A r n n 试证且阶矩阵

7．证：)0(0||;1)(≠≠≠∴-=*

ij A O A A n A r 至少有一个且 ——得2分

O E A AA ==*|| ,的解向量都是的列向量O AX n j A j ==∴*),...2,1(β 1)(),...,,()(;1)(21*=-≤=∴-=A r n r A r n A r n βββ ——得8分 1)(;,1)(**=∴≠≤*A r O A A r ——得10分

2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

最新初中数学命题与证明的经典测试题含答案

最新初中数学命题与证明的经典测试题含答案 一、选择题 1．下列命题中正确的有（）个 ①平分弦的直径垂直于弦；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线；③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半；④平面内三点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据垂径定理的推论对①进行判断；根据切线的判定定理对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断；根据三角形外心的性质对⑤进行判断． 【详解】 ①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，错误； ②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，正确； ③在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误； ④平面内不共线的三点确定一个圆，错误； ⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，正确； 故正确的命题有2个 故答案为：B． 【点睛】 本题考查了判断命题真假的问题，掌握垂径定理的推论、切线的判定定理、圆周角定理、确定圆的条件、三角形外心的性质是解题的关键． 2．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 【答案】D 【解析】 【分析】 任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项． 【详解】 “两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交． 故选D． 【点睛】 本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.

3．下列语句正确的个数是（ ） ①两个五次单项式的和是五次多项式 ②两点之间，线段最短 ③两点之间的距离是连接两点的线段 ④延长射线AB ，交直线CD 于点P ⑤若小明家在小丽家的南偏东35?方向，则小丽家在小明家的北偏西35?方向 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质对各项进行分析即可． 【详解】 ①两个五次单项式的和可能为零、五次单项式或五次多项式，错误； ②两点之间，线段最短，正确； ③两点之间的距离是连接两点的线段的长度，错误； ④延长射线AB ，交直线CD 于点P ，正确； ⑤若小明家在小丽家的南偏东35?方向，则小丽家在小明家的北偏西35?方向，正确； 故语句正确的个数有3个 故答案为：C ． 【点睛】 本题考查语句是否正确的问题，掌握单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质是解题的关键． 4．已知：ABC ?中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ?中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ） A ．③④②① B ．③④①② C ．①②③④ D ．④③①② 【答案】B 【解析】 【分析】 根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可. 【详解】 题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： 应该为：(1)假设∠B ≥90°， (2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°，

证明练习题及答案

第27章 证明全章标准检测卷 (100分 90分钟) 一、选择题:(每题2分,共22分) 1.如图1所示,AB∥CD,EG⊥AB,若∠1=58°,则∠E 的度数等于( ) A.122° B.58° C.32° D.29° C A B 1 E D G C A B E D F ③ ② ① C A B O D (1) (2) (3) (4) 2.如图2所示,DE∥BC,EF∥AB,图中与∠BFE 互补的角共有( ) A.3个 B.2个 C.5个 D.4个 3.在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c=( ) A.1:2:3 B.1:2: C.1: 4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是( ) A.30° B.60°; C.30°或150° D.不能确定 5.如图3所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那最省事的办法是( ) A.带①去 B.带②去; C.带③去 D.带①和②去 6.等腰三角形周长是32cm,一边长为10cm,则其他两边的长分别为( ) A.10cm,12cm; B.11cm,11cm; C.11cm,11cm 或10cm,12cm D.不能确定 7.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,那么它的最小内角为( ) A.10° B.20° C.30° D.60° 8.如图4所示,在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,AC,BD 相交于点O, 则图中全等三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 9.矩形ABCD 中,E 在AD 上,AE=ED,F 在BC 上,若EF 把矩形ABCD 的面积分为1:2,则BF:FC=( )(BF

命题与证明练习题1及答案教学文稿

命题与证明练习题1 及答案

精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 命题与证明 一、填空 1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果……,那么……”的形式是________________________________________________________________________. 2.命题“如果2 2 a b = ,那么a b =”的逆命题是________________________________. 3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等” 是一个______命题(填“真”或“假”). 4.如图,已知梯形ABCD 中, AD ∥BC, AD ＝3, AB ＝CD ＝4, BC ＝7,则∠B ＝_______. 5.用反证法证明“b 1∥b 2”时,应先假设_________. 6.如图,在ΔABC 中,边AB 的垂直平分线交AC 于E, ΔABC 与ΔBEC 的周长分别为24和14,则AB ＝________. 7.若平行四边形的两邻边的长分别为16和20, 两长边间的距离为8,则两短边的距离为__________. 8.如图,在ΔABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝72°, BD 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,它们的交点为F,则图中等腰三角形有______个. 二、选择题 1.下列语句中,不是命题的是（ ） A.直角都等于90° B.面积相等的两个三角形全等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB 2.下列命题是真命题的是（ ） A.两个等腰三角形全等 B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等 C.同位角相等 D.两边和一角对应相等的两个三角形全等 3.下列条件中能得到平行线的是（ ） ①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同位角的平分线； ④平行线同旁内角的角平分线. A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ④ 4.下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A.两直线平行同位角相等 B.对顶角相等 C.若a b =,则22a b = D.若(1)1a x a +>+,则1x > 5.三角形中,到三边距离相等的点是（ ） A.三条高的交点 B.三边的中垂线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 6.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.面积相等 7.△ABC 的三边长,,a b c 满足关系式()()()0a b b c c a ---=，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定 8.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB 的长为1， EC 的长为2，那么正方形ABCD 的面积是（ ） 35三、解答题（每题8分,共32分） 1.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明. （1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. （2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形. 2.如图, BD ∥AC,且BD ＝1 2 AC, E 为AC 中点,求证:BC ＝DE.

第一章 三角形的证明单元测试卷(含答案)

第一章三角形的证明单元测试卷 一．选择题（共12小题） 1．（2016?当涂县四模）在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上）．这个等腰三角形有几种剪法？（） A．1 B．2 C．3 D．4 (第1题) (第3题) (第4题) 2．（2016春?盐城校级月考）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（﹣4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（） A．9 B．7 C．5 D．3 3．（2016春?重庆校级月考）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=30°，DE垂直平分BC，则∠ACD的度数为（） A．30°B．45°C．55°D．75°4．（2015?达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（） A．48°B．36°C．30°D．24°5．（2015?德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（） A．150°B．160°C．130°D．60°

(第5题) (第6题) (第7题) 6．（2015?香坊区三模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，AD ∥BC，连接CD，则∠ADC的度数为（） A．50°B．60°C．70°D．80° 7．（2015?河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD 上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC 的度数为（） A．75°B．65°C．63°D．61° 8．（2015?昌平区二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接C D． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90°B．95°C．100°D．105° (第8题) (第10题) (第11题) 9．（2015?泰安模拟）直线y=x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）个． A．4 B．5 C．7 D．8 10．（2015?罗田县校级模拟）如图，在∠AOB=30°的两边上有两点P和Q在运动，且点P 从离点O有1厘米远的地方出发，以1厘米每秒运动，点Q从点O出发以2厘米每秒运动，则△POQ为等腰三角形时，两点的运动时间为（）秒．

初中数学命题与证明的经典测试题及答案

初中数学命题与证明的经典测试题及答案 一、选择题 1．下列命题中真命题是（） A．若a2=b2,则a=b B．4的平方根是±2 C．两个锐角之和一定是钝角 D．相等的两个角是对顶角 【答案】B 【解析】 【分析】 利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】 A、若a2=b2,则a=±b，错误，是假命题； B、4的平方根是±2，正确，是真命题； C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题； D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题. 故选B． 【点睛】 考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大． 2．下列各命题的逆命题是真命题的是 A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等 C．相等的角是同位角D．等边三角形的三个内角都相等 【答案】D 【解析】 【分析】 分别写出四个命题的逆命题：相等的角为对顶角；对应角相等的两三角形全等；同位角相等；三个角都相等的三角形为等边三角形；然后再分别根据对顶角的定义对第一个进行判断；根据三角形全等的判定方法对第二个进行判断；根据同位角的性质对第三个进行判断；根据等边三角形的判定方法对第四个进行判断． 【详解】 A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A选项错误； B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误； C、“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”，此逆命题为假命题，所以C选项错误； D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以D选项正确． 故选D.

第三章证明三练习题及答案全套

第三章证明三练习题及答 案全套 一、填空题 1.如图，ABCD，则AB=_____，______=AD，∠A=________，________=∠D，若现在∠B+∠D=128°,则∠B=_______ 度，∠C=_______度. 2.假如一个平行四边形的周 长为80 cm，且相邻两边之 比为1∶3，则长边=______cm，短边=______cm. 3.如下左图，ABCD,∠C的平分线交AB于点E，交D A延长线于点F，且AE=3 cm，E B=5 cm,则ABCD的周长为__________. 4.如上中图，ABCD，AB＞BC，AC⊥AD，且AB∶BC=2∶1，则DC∶AD=__________,∠DCA=__________度，∠D=∠B=__________度，∠DAB=∠BCD=__________度. 5.如上右图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，则图中全等三角形有__________对. 二、选择题 1. ABCD中，∠A∶∠D=3∶6,则∠C的度数是 A.60° B.120 C.90° D.150° 2.在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的可能情形是 A.2∶7∶2∶7 B.2∶2∶7∶7 C.2∶7∶7∶2 D.2∶3∶4∶5 3.如下左图，从等腰△ABC底边上任意一点D，作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则AEDF的周长 A.等于三角形周长 B.是三角形周长的一半 C.等于三角形腰长 D.是腰长的2倍 4.如上右图，ABCD中，BC∶AB=1∶2，M为AB 的中点，连结MD、M C，则∠DMC等于 A.30° B.60° C.90° D.45° 5.以不共线的三点为顶点，能够作平行四边形 A.一个 B.两个 C.三个 D.四个 6.平行四边形具有，但一样四边形不具有的性质是 A.不稳固性 B.内角和等于360° C.对角线互相平分面 D.外角和等于360° 7.如下左图，在ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠D A E等于 A.20° B.25° C.30° D.35° 三、解答题 1.已知：如上右图ABCD的周长是20 cm,△ADC的周长是16 cm.求：对角线AC的长. 2.求证：平行四边形的对角线互相平分. 3.如下图, ABCD中，BD 是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. （1）在图中补全图形； （2）求证：AE=CF.

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；

三角形的证明测试题(最新版含答案)

第一章三角形的证明检测题 （本试卷满分：100分，时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形. 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（） A.15 7 B. 12 5 C.20 7 D. 21 5 3. 如图，在△ABC中，， 点D在AC边上，且， 则∠A的度数为（） A. 30° B. 36° C. 45° D. 70° 4.（2015?中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 5.如图，已知，，，下列结论： ①；②； ③；④△≌△． 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm， 则最长边AB的长是（） A.5 cm B.6 cm C.5cm D.8 cm 7.如图，已知，，下列条件能 使△≌△的是（） A. B. C. D.三个答案都是 8.（2015·中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ） A.5 B.2 C.45 D.1 10.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ， 如果cm ，那么△ 的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图所示，在等腰△ABC 中，AB =AC , ∠ BAC =50°, ∠BAC 的平分线与AB 的垂直 平分线交于点O ，点 C 沿EF 折叠后与点 O 重合，则∠OEC 的度数是 . 12.若一个三角形的三条高线交点恰好是 此三角形的一个顶点，则此三角形是________三角形. 13.（2015?中考）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝________°. 14.如图，在△ABC 中， ，AM 平分∠， cm ，则点M 到AB 的距离 是 _________. 15.如图，在等边△ABC 中，F 是AB 的中点， FE ⊥AC 于E ，若△ABC 的边长为10，则 _________，_________. 16.(2015?中考)在△ABC 中，AB ＝4,AC ＝3，AD 是△ABC 的 角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是 . 17.如图，已知 的垂直平分 线交于点，则 . 18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上,BC 与DE 交于点M , 如果∠ADF =100°,那么∠BMD 为 度.

研究生矩阵论课后习题答案全习题三

习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，

九年级数学上册证明三测试题及答案C

北九上第三章证明（三）水平测试（C ） 一、耐心填一填（每小题5分，共25分） 1. 如图，EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB = 4，BC = 5，OE = ，那么四边形EFCD 的周长是_______。 2. 在Rt ⊿ABC 中，∠C =?90，周长为cm )325(+；斜边上的中线CD =cm 2，则Rt ⊿ABC 的面积为_______。 3. 如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N 点，且AB =10，AC =16，则MN =_______。 4. 如图，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为_______。 5. 如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C =?90，AC = AB ，AB = 30，矩形DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若DG ：GF = 1：4，则矩形DEFG 的面积是 二、精心选一选（每小题5分，共25分） 1. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若BD 、AC 的和为cm 18，CD ：DA =2：3，⊿AOB 的周长为cm 13,那么BC 的长是 （ ） A .cm 6 B .cm 9 C .cm 3 D .cm 12

. 如图,有一矩形纸片ABCD ,AB =10,AD =6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =BC = A CM ，∠A =60°，BD 平分∠ABC ，则这个梯形的周长是( ) A .4A CM B . 5A CM C .6A CM D . 7A CM 4. 如图：矩形花园ABCD 中，a AB =，b AD =，花园中建有一条矩形道路L MPQ 及一 条平行四边形道路RSTK 。若c RS LM ==，则花园中可绿化部分的面积为( ) +bc +bc -c 2 C .(a -c )(b -c ) D . ac +bc +c 2 5. 给出下面四个命题:(1)一组对边平行的四边形是梯形;(2)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形;(4)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,其中真命题的个数有 ( ) 个 个 个 个 三、用心想一想（本大题共50分） 1. 已知如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，GH 过点O ，分别交AD 、BC 于G 、H ，E 、F 在AC 上且AE =CF ，求证：四边形EHFG 是平行四边形.

高中数学推理与证明测试题及答案

高中数学推理与证明测试题及答案 高二数学推理与证明苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 推理与证明 二. 本周教学目标： 1. 结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学中的作用。 2. 结合已经学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的模式，并能运用它们进行一些简单的推理。 3. 了解直接证明的两种基本方法分析法与综合法；了解间接证明的一种基本方法反证法。 三. 本周知识要点： （一）合情推理与演绎推理 1. 归纳推理与类比推理 （1）已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出的值。 （2）若数列为等差数列，且，则。现已知数列为等比数列，且，类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？

【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下） （1） 由此猜想， （2）结论： 证明：设等比数列的公比为，则，所以 所以 如（1）是从个别事实中推演出一般结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 如（2）是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理。 说明： （1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。（2）归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同的性质。 ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。 （3）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性 质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相

九年级的数学上册第三章证明(三)测试题与答案(C).doc

北九上第三章证明（三）水平测试（C） 一、耐心填一填（每小题 5 分，共25 分） 1. 如图， EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O，交AD 于点E，交BC 于点F，已知AB = 4， BC = 5 ， OE = 1.5，那么四边形EFCD 的周长是 _______。 2. 在Rt⊿ ABC 中，∠C = 90 ，周长为(5 2 3)cm；斜边上的中线CD = 2cm，则 Rt⊿ ABC 的面积为_______。 3.如图所示，在△ ABC 中， M 是 BC 的中点， AN 平分∠ BAC，AN⊥ BN 于 N 点，且 AB=10 ，AC=16，则 MN=_______ 。 4. 如图，过矩形四点，则四边形ABCD EFGH 的四个顶点作对角线 为 _______。 AC、 BD 的平行线，分别相交于E、F、G、H 5.如图，在 Rt⊿ABC 中，∠ C = 90，AC = AB ，AB = 30，矩形 DEFG 的一边 DE 在 AB 上，顶点 G、F 分别在 AC、 BC 上，若 DG： GF = 1： 4，则矩形 DEFG 的面积是 二、精心选一选（每小题 5 分，共 25 分） 1.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 BD 、AC 的和为18cm，CD ：DA=2：3，⊿AOB的周长 （） 为13cm ,那么BC的长是A. 6cm B. 9cm C. 3cm D.12cm

2.如图 ,有一矩形纸片 ABCD ,AB=10,AD =6,将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将△ AED 以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F ，则△ CEF 的面积为（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 3. 如图，在等腰梯形ABCD 中， AB∥ CD ，AD=BC= A CM ，∠ A=60 °， BD 平分∠ABC，则这个梯形的周长是( ) A.4A CM B. 5A CM C.6A CM D. 7A CM 4. 如图：矩形花园 ABCD 中，AB a ，AD b ，花园中建有一条矩形道路L MPQ 及一条平行四边形道路RSTK 。若LM RS c ，则花园中可绿化部分的面积为() A.ac+bc B.ac+bc-c2 C.(a-c)( b-c) D. ac+bc+c 2 5.给出下面四个命题 :(1) 一组对边平行的四边形是梯形;(2)一条对角线平分一个内角的平行 四边形是菱形 ;(3) 两条对角线互相垂直的矩形是正方形;(4) 一组对边平行 ,另一组对边相等的 四边形是平行四边形 ,其中真命题的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 三、用心想一想（本大题共50 个 分） D .4 个 1.已知如图所示，平行四边形ABCD 的对角线 AC、 BD 交于 O，GH 过点 O，分别交 AD 、BC 于 G、H ， E、 F 在 AC 上且 AE=CF ，求证：四边形EHFG 是平行四边形.

三角形的有关证明 检测题及答案

三角形的有关证明 检测题// （时间: 满分:100分） 一、精心选一选（每小题3分，共24分） 1.在Rt △ABC 中，∠B=90o，若∠C 比∠A 大20o，则∠A 的度数是（ ） A. 35o B. 40o C. 45o D. 50o 2.如图1，在△ABC 中，∠C=90o，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，若BD=4 cm ，∠B=30o，则CD 的长为（ ） A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm 3.如图2，在△ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，∠C=40o，则∠BAD 的度数为（ ） A. 34o B. 35o C. 36o D. 38o 4.如图3，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的周长为6，OB 在x 轴的正半轴上，则点A 的坐标为（ ） A.（2，1） B.（1，2） C. （1， 3） D.（3，1） 5.已知△ABC 的三边长分别是2 cm ，4 cm ，32 cm ， 则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 图 1 图 2 A C 图 3 图4

6.如图4，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N ，则下列结论不一定正确的是（ ） A. AN=BN B. ∠A=∠ABN C. △BCN 的周长=AC+BC D. AN=BC 7.图5所示是由5个大小相同的正方形组成的图形，则AB ∶AC 的值为 （ ） A.2∶2 B.3∶2 C. 3∶4 D. 1∶1 8. 如图6，P 是等边三角形ABC 内的点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则下列结论：①BP=PQ ；②△PCQ 是直角三角形；③∠APB=150o. 其中正确的结论有（ ） A. 仅①② B. 仅①③ C. 仅②③ D. ①②③ 二、细心填一填（每小题4分，共28分） 9.命题“方程2x+1=5的解是x=2”的逆命题是_______. 10.如图7，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=42o，D 是BC 的中点，连接AD ，则∠BAD 的度数是______. 11.若等边三角形的边长为10 cm ，则它一边上的中线长为 ________cm. 图5 图 6 图 7 图8

矩阵论华中科技大学课后习题答案

习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?

北师大版数学九年级上第三章证明(三)测试题及答案(B)

北九上第三章证明（三）水平测试（B ） 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．已知△ABC 的周长为50cm ，中位线DE =8cm ，EF =10cm ，则DF 的长是（ ） A ．5cm B ．7cm C ．9cm D ．10cm 2．如图１，在□ABCD 中， ∠B =110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ，则∠E +∠F 的值为（ ） Ａ．110° Ｂ．30° Ｃ．50° Ｄ．70° 3．如图2所示，已知菱形ABCD 的一条对角线BD 上一点O ，到菱形一边AB 的距离为2，那么点O 到（ ） A ．BC 的距离也为2 B ．CD 的距离也为2 C ．AD 的距离也为2 D ．AC 的距离也为2 4．如图3所示，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，P 是AD 上的一点，PE ⊥AC ，垂足为E ，PF ⊥BD ，垂足为F ，则PE +PF 的值为（ ） A ． 125 B ． 135 C ．2 D ． 25 5．如图4，已知点M ，N ，P ，Q 分别是凸四边形ABCD 四边的中点，在下列4个命题： ①四边形MNPQ 是梯形； ②当四边形ABCD 的对角线相等时，四边形MNPQ 是菱形； ③当四边形ABCD 的对角线垂直时，四边形MNPQ 是矩形； ④当四边形ABCD 的对角线相等且垂直时，四边形MNPQ 是正方形． 正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．如图5所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够，一位同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为15米，则AB 两点间的距离为 ．

证明二测试题及答案A

北九上第一章《证明二》水平测试（A ） 一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分） 1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配. A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 2．下列说法中，正确的是（ ）. A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D ．面积相等的两个三角形全等 3．如图2，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8cm ，BE =3cm ，那么AC 长为（ ）. A ．4cm B ．5cm C ．8cm D ．34cm 4．如图3，在等边ABC ?中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（ ）. A ．045 B ．055 C ．060 D ．0 75 5．如图4，在ABC ?中，AB=AC ，036A ∠=，BD 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）. A ．9个 B ．8个 C ．7个 D ．6个 ．如图5，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）. A ．1处 B ．2处 C ．3处 D ．4处 7．如图6，A 、C 、E 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是 等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结 论：① △ACE ≌△DCB ；② CM ＝CN ；③ AC ＝DN. 其中，正确结 论的个数是（ ）. A ．3个 B ．2个 C ． 1个 D ．0个