《初等数论》习题解答
《初等数论》习题集
第1章
第 1 节
1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1
是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为
a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）
的形式。
第 2 节
1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？
6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节
1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1
223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节
1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：
)
,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2
2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。
第 5 节
1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。
2. 用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。
3. 计算：(27090, 21672, 11352)。
4. 使用引理1中的记号，证明：(F n + 1, F n ) = 1。
5. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？
6. 记M n = 2n - 1，证明：对于正整数a ，b ，有(M a , M b ) = M (a , b )。
第 6 节
1. 证明定理1的推论1。
2. 证明定理1的推论2。
3. 写出22345680的标准分解式。
4. 证明：在1, 2, , 2n 中任取n + 1数，其中至少有一个能被另一个整除。
5. 证明：n
1
211+++
（n ≥ 2）不是整数。 6. 设a ，b 是正整数，证明：存在a 1，a 2，b 1，b 2，使得
a = a 1a 2，
b = b 1b 2，(a 2, b 2) = 1，
并且[a , b ] = a 2b 2。
第 7 节
1. 证明定理1。
2. 求使12347!被35k 整除的最大的k 值。
3. 设n 是正整数，x 是实数，证明：∑∞
=-+1
1
][22r r
r n = n 。 4. 设n 是正整数，求方程
x 2 - [x 2] = (x - [x ])2
在[1, n ]中的解的个数。
5. 证明：方程
f (x ) = [x ] + [2x ] + [22x ] + [23x ] + [24x ] + [25x ] = 12345
没有实数解。
6. 证明：在n !的标准分解式中，2的指数h = n - k ，其中k 是n 的二进制表示的位数码之和。
第 8 节
1. 证明：若2n + 1是素数，则n 是2的乘幂。
2. 证明：若2n - 1是素数，则n 是素数。
3. 证明：形如6n + 5的素数有无限多个。
4. 设d 是正整数，6|/
d ，证明：在以d 为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。
5. 证明：对于任意给定的正整数n ，必存在连续的n 个自然数，使得它们都是合数。
6. 证明：级数∑∞=11
n n
p 发散，此处使用了定理1注2中的记号。
第2章
第 1 节
1. 证明定理1和定理2。
2. 证明定理4。
3. 证明定理5中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
4. 求81234被13除的余数。
5. 设f (x )是整系数多项式，并且f (1), f (2), , f (m )都不能被m 整除，则f (x ) = 0没有整数解。
6. 已知99∣42762，求α与β。
第 2 节
1. 证明定理1。
2. 证明：若2p + 1是奇素数，则
(p !)2 + (-1)p ≡ 0 (mod 2p + 1)。 3. 证明：若p 是奇素数，N = 1 + 2 + + ( p - 1)，则
(p - 1)! ≡ p - 1 (mod N )。
4. 证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且
(n - 1)! ≡ -1 (mod n )，
则n 是素数。
5. 设m 是整数，4∣m ，{a 1, a 2, , a m }与{b 1, b 2, , b m }是模m 的两个
完全剩余系，证明：{a 1b 1, a 2b 2, , a m b m }不是模m 的完全剩余系。
6. 设m 1, m 2, ,m n 是两两互素的正整数，δi （1 ≤ i ≤ n ）是整数，并且
δi ≡ 1 (mod m i )， 1 ≤ i ≤ n ， δi ≡ 0 (mod m j )，i ≠ j ，1 ≤ i , j ≤ n 。
证明：当b i 通过模m i （1 ≤ i ≤ n ）的完全剩余系时， b 1δ1 + b 2δ2 + + b n δn
通过模m = m 1m 2 m n 的完全剩余系。
第 3 节
1. 证明定理1。
2. 设m 1, m 2, , m n 是两两互素的正整数，x i 分别通过模m i 的简化剩
余系（1 ≤ i ≤ n ），m = m 1m 2 m n ，M i =i m m
，则
M 1x 1 + M 2x 2 + + M n x n
通过模m 的简化剩余系。
3. 设m > 1，(a , m ) = 1，x 1, x 2, ?, x ?(m )是模m 的简化剩余系，证明：
∑
==)(1
)(2
1
}{m i i m m
ax ??。 其中{x }表示x 的小数部分。
4. 设m 与n 是正整数，证明：
?(mn )?((m , n )) = (m , n )?(m )?(n )。
5. 设a ，b 是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m 与n ，使得
a ?(m ) =
b ?(n )。
6. 设n 是正整数，证明：
(ⅰ) ?(n ) >
n 2
1
； (ⅱ) 若n 是合数，则?(n ) ≤ n -n 。
第 4 节
1. 证明：1978103 - 19783能被103整除。
2. 求313159被7除的余数。
3. 证明：对于任意的整数a ，(a , 561) = 1，都有a 560 ≡ 1 (mod 561)，但561是合数。
4. 设p ，q 是两个不同的素数，证明：
p q - 1 + q p - 1 ≡ 1 (mod pq )。
5. 将612 - 1分解成素因数之积。
6. 设n ∈N ，b ∈N ，对于b n + 1的素因数，你有甚麽与例6相似的结论？
第 5 节
1. 证明例2中的结论。
2. 证明定理2。
3. 求∑n d d |1
。
4. 设f (n )是积性函数，证明： (ⅰ) ∏∑-=n
p n
d p f d f d ||))(1()()(μ
(ⅱ)
∏∑+
=n
p n
d p f d f d ||2))(1()()(μ。
5. 求?(n )的Mobius 变换。
第3章
第 1 节
1. 证明定理3。
2. 写出789的二进制表示和五进制表示。
3. 求
21
8
的小数的循环节。 4. 证明：七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。
5. 证明：既约正分数n
m
的b 进制小数(0.a -1a -2a -3 )b 为有限小数的
充要条件是n 的每个素因数都是b 的素因数。
第 2 节
1. 设连分数? α1, α2, , αn , ?的第k 个渐近分数为
k
k
q p ，证明： k
k k k a a a a k a a a a a k q p 10
0011000
01100012000000110
00
11000
11000121000111313
---------=
=，，
2. 设连分数? α1, α2, , αn , ?的第k 个渐近分数为
k
k
q p ，证明： ???
?
??=???? ?????? ?????? ??--112101
101
1011k k
k k
k
q q p p a a a ，k ≥ 2。 3. 求连分数? 1, 2, 3, 4, 5, ?的前三个渐近分数。
4. 求连分数? 2, 3, 2, 3, ?的值。
5. 解不定方程：7x - 9y = 4。
第 3 节
1. 证明定理4。
2. 求13的连分数。
3. 求32+的误差≤ 10 - 5的有理逼近。
4. 求sin18?的误差≤ 10 - 5的有理逼近。
5. 已知圆周率π = ? 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, ?，求π的误差 ≤ 10 - 6
的有理逼近。
6. 证明：
251+连分数展开的第k 个渐近分数为k
k F F
1+。此处{F n }是Fibonacci 数列。
第 4 节
1. 将方程3x 2 + 2x - 2 = 0的正根写成连分数。
2. 求α = ?3,2
,1 ?之值。 3. 设a 是正整数，求12+a 的连分数。
4. 设无理数d = ? a 1, a 2, , a n , ?的第k 个渐近分数为
k
k
q p ，证明：??=1212,,,,a a a
a d n 的充要条件是 p n = a 1q n + q n -1，dq n = a 1p n + p n -1。
5. 设无理数d = ? a 1, a 2, , a n , ?的第k 个渐近分数为k
k
q p ，且正整数n 使得
p n = a 1q n + q n -1，dq n = a 1p n + p n -1，
证明：
(ⅰ) 当n 为偶数时，p n ，q n 是不定方程x 2 - dy 2 = 1的解； (ⅱ) 当n 为奇数时，p 2n ，q 2n 是不定方程x 2 - dy 2 = 1的解。
第4章
第 1 节
1. 将
105
17
写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。 2. 求方程x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 41的所有正整数解。 3. 求解不定方程组： ??
?=+-=++1120527
32321
321x x x x x x 。 4. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个
班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？
5. 证明：二元一次不定方程ax + by = n ，a > 0，b > 0，(a , b ) = 1的非负整数解的个数为][][
ab
n ab n
或+ 1。 6. 设a 与b 是正整数，(a , b ) = 1，证明：1, 2, , ab - a - b 中恰有
2
)
1)(1(--b a 个整数可以表示成ax + by （x ≥ 0，y ≥ 0）的形式。 第 2 节
1. 证明定理2推论。
2. 设x ，y ，z 是勾股数，x 是素数，证明：2z - 1，2(x + y + 1)都是平方数。
3. 求整数x ，y ，z ，x > y > z ，使x - y ，x - z ，y - z 都是平方数。
4. 解不定方程：x 2 + 3y 2 = z 2，x > 0，y > 0，z > 0，(x , y ) = 1。
5. 证明下面的不定方程没有满足xyz ≠ 0的整数解。
(ⅰ) x 2 + y 2 + z 2 = x 2y 2； (ⅱ) x 2 + y 2 + z 2 = 2xyz 。
6. 求方程x 2 + y 2 = z 4的满足(x , y ) = 1，2∣x 的正整数解。
第 3 节
1. 求方程x 2 + xy - 6 = 0的整数解。
2. 求方程组???-=++=++18
3
33z y x z y x 的整数解。 3. 求方程2x - 3y = 1的正整数解。
4. 求方程z y x 1
11=+的正整数解。
5. 设p 是素数，求方程
y
x p 1
12+=的整数解。 6. 设2n + 1个有理数a 1, a 2, , a 2n + 1满足条件P ：其中任意2n 个数可以分成两组，每组n 个数，两组数的和相等，证明：
a 1 = a 1 = = a 2n + 1。
第5章
第 1 节
1. 证明定理1。
2. 解同余方程：
(ⅰ) 31x ≡ 5 (mod 17)；
(ⅱ) 3215x ≡ 160 (mod 235)。 3. 解同余方程组：
?
?
?≡-≡+)47(m od 10)
47(m od 3853y x y x 。 4. 设p 是素数，0 < a < p ，证明：
!
)
1()2)(1()1(1
a a p p p
b x a +-???---≡-(mod p )。
是同余方程ax ≡ b (mod p )的解。
5. 证明：同余方程a 1x 1 + a 2x 2 + + a n x n ≡ b (mod m )有解的充要条件是
(a 1, a 2, , a n , m ) = d ∣b 。 若有解，则恰有d ?m n -1个解，mod m 。
6. 解同余方程：2x + 7y ≡ 5 (mod 12)。
第 2 节
1. 解同余方程组：?????
??≡≡≡≡。
)11(m od )7(m od )
6(m od )5(m od 4321b x b x b x b x
2. 解同余方程组：??
?
??≡≡≡。)25(m od 13)8(m od 5)15(m od 8x x x
3. 有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？
4. 求一个最小的自然数n ，使得它的21是一个平方数，它的3
1
是一个立方数，它的
5
1
是一个5次方数。 5. 证明：对于任意给定的n 个不同的素数p 1, p 2, …, p n ，必存在连续n 个整数，使得它们中的第k 个数能被p k 整除。
6. 解同余方程：3x 2 + 11x - 20 ≡ 0 (mod 105)。
第 3 节
1. 证明定理的推论。
2. 将例2中略去的部分补足。
3. 将例4中略去的部分补足。
4. 解同余方程x 2 ≡ -1 (mod 54)。
5. 解同余方程f (x ) = 3x 2 + 4x - 15 ≡ 0 (mod 75)。
6. 证明：对于任意给定的正整数n ，必存在m ，使得同余方程x 2 ≡ 1 (mod m )的解数T > n 。
第 4 节
1. 解同余方程：
(ⅰ) 3x 11 + 2x 8 + 5x 4 - 1 ≡ 0 (mod 7)；
(ⅱ) 4x 20 + 3x 12 + 2x 7 + 3x - 2 ≡ 0 (mod 5)。 2. 判定
(ⅰ) 2x 3 - x 2 + 3x - 1 ≡ 0 (mod 5)是否有三个解； (ⅱ) x 6 + 2x 5 - 4x 2 + 3 ≡ 0 (mod 5)是否有六个解？
3. 设(a , m ) = 1，k 与m 是正整数，又设x 0k ≡ a (mod m )，证明同余方
程
x k ≡ a (mod m )
的一切解x 都可以表示成x ≡ yx 0 (mod m )，其中y 满足同余方程y k ≡ 1 (mod m )。
4. 设n 是正整数，p 是素数，(n , p - 1) = k ，证明同余方程x n ≡ 1 (mod p )有k 个解。
5. 设p 是素数，证明：
(ⅰ) 对于一切整数x ，x p - 1 - 1 ≡ (x - 1) (x - 2) (x - p + 1) (mod p )； (ⅱ) (p - 1)! ≡ - 1 (mod p )。
6. 设p ≥ 3是素数，证明：(x - 1)(x - 2) (x - p + 1)的展开式中除首项及常数项外，所有的系数都是p 的倍数。
第 5 节
1. 同余方程x 2 ≡ 3 (mod 13)有多少个解？
2. 求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。
3. 设p 是奇素数，证明：模p 的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。
4. 设素数 p ≡ 3 (mod 4)，)(p
n
= 1，证明x ≡ ±4
1+p n
(mod p )是同余方
程
x 2 ≡ n (mod p )
的解。
5. 设p 是奇素数，(n , p ) = 1，α是正整数，证明同余方程
x 2 ≡ n (mod p α)
有解的充要条件是)(p
n
= 1。
6. 设p 是奇素数，证明：模p 的所有二次剩余的乘积与2
1
)1(+-p 对模
p 同余。
第 6 节
1. 已知769与1013是素数，判定方程 (ⅰ) x 2 ≡ 1742 (mod 769)； (ⅱ) x 2 ≡ 1503 (mod 1013)。 是否有解。
2. 求所有的素数p ，使得下面的方程有解：
x 2 ≡ 11 (mod p )。
3. 求所有的素数p ，使得 -2∈QR (p )，-3∈QR (p )。
4. 设(x , y ) = 1，试求x 2 - 3y 2的奇素数因数的一般形式。
5. 证明：形如8k + 5（k ∈Z ）的素数无穷多个。
6. 证明：对于任意的奇素数p ，总存在整数n ，使得
p ∣(n 2 + 1)(n 2 + 2)(n 2 - 2)。
第 7 节
1. 证明定理的结论(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)。
2. 已知3019是素数，判定方程x 2 ≡ 374 (mod 3019)是否有解。
3. 设奇素数为p = 4n + 1型，且d ∣n ，证明：)(p d
= 1。
4. 设p ，q 是两个不同的奇素数，且p = q + 4a ，证明：)()(q
a p a
=。 5. 设a > 0，b > 0，b 为奇数，证明：
?????≡-≡=+。
，当，当)4(m od 32)4(m od 102)
()()(a b
a a
b a
b a a
6. 设a ，b ，c 是正整数，(a , b ) = 1，2|/
b ，b < 4a
c ，求)()(4b
a b ac a
与-的关系。
第6章
第 1 节
1. 设n 是正整数，证明：不定方程x 2 + y 2 = z n 总有正整数解x ，y ，z 。
2. 设p 是奇素数，(k , p ) = 1，则
1)(1
)(-=+∑
-=p i p
k i i ， 此处)(
p
a
是Legender 符号。 3. 设素数p ≡ 1 (mod 4)，(k , p ) = 1，记
∑-=+=1
2)()
()(p i p k i i k S ，
则2∣S (k )，并且，对于任何整数t ，有 )()()(2k S p t
kt S =，
此处)(
p
a
是Legender 符号。 4. 设p 是奇素数，11)()(
-==p
n p m
，，则 2
22222)2
1(212121)(
-???-???p n n n p m m m ，，，，，，， 构成模p 的一个简化剩余系。
5. 在第3题的条件下，并沿用第2题的记号，有
22)()()(2
1
)(21n S m S p +=。
即上式给出了形如4k + 1的素数的二平方和表示的具体方法。
6. 利用题5的结论，试将p = 13写成二平方和。
第 2 节
1. 若(x , y , z ) = 1，则不存在整数n ，使得
x 2 + y 2 + z 2 = 4n 2。
2. 设k 是非负整数，证明2k 不能表示三个正整数平方之和。
3. 证明：每一个正整数n 必可以表示为5个立方数的代数和。
4. 证明：16k + 15型的整数至少需要15个四次方数的和表之。
5. 证明：16k ?31不能表示为15个四次方数的和。
第7章
第 1 节
2. 求模14的全部原根。
3. 设m > 1，模m 有原根，d 是?(m )的任一个正因数，证明：在模m 的简化剩余系中，恰有?(d )个指数为d 的整数，并由此推出模m 的简化剩余系中恰有?(?(m ))个原根。
4. 设m ≥ 3，g 是模m 的原根，x 1, x 2, , x ?(m )是模m 的简化剩余系，
证明：
(ⅰ) 2
)
(m g
?≡ -1 (mod m )；
(ⅱ) x 1x 2 x ?(m ) ≡ -1 (mod m )。
5. 设p = 2n + 1是一个奇素数，证明：模p 的全部二次非剩余就是模p 的全部原根。
6. 证明：
(ⅰ) 设p 奇素数，则M p = 2p - 1的素因数必为2pk + 1型； (ⅱ) 设n ≥ 0，则F n =n
22+ 1的素因数必为2n + 1k + 1型。
第 2 节
1. 求模29的最小正原根。
2. 分别求模293和模2?293的原根。
3. 解同余方程：x 12 ≡ 16 (mod 17)。
4. 设p 和q = 4p + 1都是素数，证明：2是模q 的一个原根。
5. 设m ≥ 3，g 1和g 2都是模m 的原根，则g = g 1g 2不是模m 的原根。
6. 设p 是奇素数，证明：当且仅当p - 1|/
n 时，有 1n + 2n + + (p - 1)n ≡ 0 (mod p )。
第8章
第 1 节
1. 补足定理1的证明。
2. 证明定理2。
3. 证明：有理数为代数整数的充要条件是这个有理数为整数。
第 2 节
1. 证明例中的结论。
2. 证明连分数
+++++101
101101101 是超越数。
3. 设ξ是一个超越数，α是一个非零的代数数，证明：ξ + α，ξ α，
α
ξ
都是超越数。
第 3 节
1. 证明引理1。
2. 证明定理3中的F )(
b
a
+ F (0)是整数。 第9章
第 1 节
1. 问：1948年2月14日是星期几？
2. 问：1999年10月1日是星期几？
第 2 节
1. 编一个有十个球队进行循环赛的程序表。
2. 编一个有九个球队进行循环赛的程序表。
第 3 节
1. 利用例1中的加密方法，将“ICOMETODAY ”加密。
2. 已知字母a ，b ， ，y ，z ，它们分别与整数00，01， ，24，25对应，又已知明文h 与p 分别与密文e 与g 对应，试求出密解公式：
P ≡ a 'E + b ' (mod 26)，
并破译下面的密文：“IRQXREFRXLGXEPQVEP ”。
第 4 节
1. 设一RSA 的公开加密钥为n = 943，e = 9，试将明文P = 100加密成密文E 。
2. 设RSA(n A , e A ) = RSA(33, 3)，RSA(n B , e B ) = RSA(35, 5)，A 的签证信息为M = 3，试说明A 向B 发送签证M 的传送和认证过程。
第 5 节
1. 设某数据库由四个文件组成：F 1 = 4，F 2 = 6，F 3 = 10，F 4 = 13。试设计一个对该数据库加密的方法，但要能取出个别的F i （1 ≤ i ≤ 4），同时不影响其他文件的保密。
2. 利用本节中的秘密共享方案，设计一个由三方共管文件M = 3的方法，要求：只要有两方提供他们所掌握的数据，就可以求出文件M ，但是，仅由任何一方的数据，不能求出文件M 。（提示：取p = 5，m 1 = 8，m 2 = 9，m 3 = 11）
第 6 节
1. 设明文P 的二进制表示是P = (p 1p 2p 3p 4p 5p 6p 7p 8)2，与P 对应的密文是E 是E = a 1p 1 + a 2p 2 + + a 8p 8，如果这里的超增背包向量(a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8) = (5, 17, 43,
71, 144, 293, 626, 1280)，并且已知密文E = 1999，求明文P。
2.给定超增背包向量(2, 3, 7, 13, 29, 59)，试设计一个背包型加密方法，将明文P = 51加密。（提示：取M = 118，k = 77）。
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
应用光学习题解答13年
一、填空题 1、光学系统中物和像具有共轭关系的原因是 。 2、发生全反射的条件是 。 3、 光学系统的三种放大率是 、 、 ，当物像空间的介质的折射率给定后，对于一对给定的共轭面，可提出 种放大率的要求。 4、 理想光学系统中，与像方焦点共轭的物点是 。 5、物镜和目镜焦距分别为mm f 2'=物和mm f 25'=目的显微镜，光学筒长△= 4mm ，则该显微镜的视放大率为 ，物镜的垂轴放大率为 ，目镜的视放大率为 。 6、 某物点发出的光经理想光学系统后对应的最后出射光束是会聚同心光束，则该物点所成的是 (填“实”或“虚”)像。 7、人眼的调节包含 调节和 调节。 8、复杂光学系统中设置场镜的目的是 。 9、要使公共垂面内的光线方向改变60度，则双平面镜夹角应为 度。 10、近轴条件下，折射率为1.4的厚为14mm 的平行玻璃板，其等效空气层厚度为 mm 。
11、设计反射棱镜时，应使其展开后玻璃板的两个表面平行，目的 是。 12、有效地提高显微镜分辨率的途径是。 13、近轴情况下，在空气中看到水中鱼的表观深度要比实际深度。 一、填空题 1、光路是可逆的 2、光从光密媒质射向光疏媒质，且入射角大于临界角I0，其中，sinI0=n2/n1。 3、垂轴放大率；角放大率；轴向放大率；一 4、轴上无穷远的物点 5、－20；－2； 10 6、实 7、视度瞳孔 8、在不影响系统光学特性的的情况下改变成像光束的位置，使后面系统的通光口径不致过大。 9、30 10、10 11、保持系统的共轴性 12、提高数值孔径和减小波长
13、小 二、简答题 1、什么是共轴光学系统、光学系统物空间、像空间？ 答：光学系统以一条公共轴线通过系统各表面的曲率中心，该轴线称为光轴，这样的系统称为共轴光学系统。物体所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间。 2、如何确定光学系统的视场光阑？ 答：将系统中除孔径光阑以外的所有光阑对其前面所有的光学零件成像到物空间。这些像中，孔径对入瞳中心张角最小的一个像所对应的光阑即为光学系统的视场光阑。 3、共轴光学系统的像差和色差主要有哪些？ 答：像差主要有：球差、慧差（子午慧差、弧矢慧差）、像散、场曲、畸变；色差主要有：轴向色差（位置色差）、倍率色差。 4、对目视光学仪器的共同要求是什么？ 答：视放大率| | 应大于1； 通过仪器后出射光束应为平行光束，即成像在无限远，使人眼相当观察无限远物体，处于自然放松无调节状态。 5、什么叫理想光学系统？ 答：在物像空间均为均匀透明介质的条件下，物像空间符合“点对应点、直线
4月浙江自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理)
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a
正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2
应用光学习题
应用光学习题. 第一章 : 几何光学基本原理 ( 理论学时： 4 学时 ) ?讨论题：几何光学和物理光学有什么区别它们研究什么内容 ?思考题：汽车驾驶室两侧和马路转弯处安装的反光镜为什么要做成凸面，而不做成平面 ?一束光由玻璃（ n= ）进入水（ n= ），若以45 ° 角入射，试求折射角。 ?证明光线通过二表面平行的玻璃板时，出射光线与入射光线永远平行。 ?为了从坦克内部观察外界目标，需要在坦克壁上开一个孔。假定坦克壁厚为 200mm ，孔宽为 120mm ，在孔内部安装一块折射率为 n= 的玻璃，厚度与装甲厚度相同，问在允许观察者眼睛左右移动的条件下，能看到外界多大的角度范围 ?一个等边三角棱镜，若入射光线和出射光线对棱镜对称，出射光线对入射光线的偏转角为40 °，求该棱镜材料的折射率。 ?构成透镜的两表面的球心相互重合的透镜称为同心透镜，同心透镜对光束起发散作用还是会聚作用?共轴理想光学系统具有哪些成像性质 第二章 : 共轴球面系统的物像关系 ( 理论学时： 10 学时，实验学时： 2 学时 ) ?讨论题：对于一个共轴理想光学系统，如果物平面倾斜于光轴，问其像的几何形状是否与物相似为什么 ?思考题：符合规则有什么用处为什么应用光学要定义符合规则 ?有一放映机，使用一个凹面反光镜进行聚光照明，光源经过反光镜以后成像在投影物平面上。光源高为 10mm ，投影物高为 40mm ，要求光源像高等于物高，反光镜离投影物平面距离为 600mm ，求该反光镜的曲率半径等于多少 ?试用作图法求位于凹的反光镜前的物体所成的像。物体分别位于球心之外，球心和焦点之间，焦点和球面顶点之间三个不同的位置。 ?试用作图法对位于空气中的正透镜（）分别对下列物距： 求像平面位置。
初等数论 1 习题参考答案
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
0初等数论试卷及答案
初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； < Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± （ 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡
初等数论习题集
《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。 2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。 5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。 5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。 5. 设a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。 第 5 节 1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。 2. 用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。
初等数论第2版习题答案
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
应用光学试题及答案
中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸 (首页) 2005-2006学年第 二 学期 试题名称: 应用光学 A 课程号： 共 2 页 第 1 页 专业年级__物理学2003_____ 学号___________ 姓名____________ 考试日期（考生填写）_______年____月__日 分数_________ 一．简答题（15分）（写在答卷纸上） 1．（5分）物理光学研究什么内容？几何光学研究什么内容？ 2．（5分）什么是场镜？场镜的作用是什么（要求写出两种作用）？ 3．（5分）写出轴外点的五种单色像差的名称。 二．作图题（15分）(画在试卷上) 4．（５分）已知焦点F 和F ’和节点J 和J ’（见图2），求物方主点H 和像方主点H ’ 。 5．（10分）应用达夫棱镜的周视瞄准仪示意图(见图1)，分别标出A 、B 、C 、D 点光的坐标方向。 J F ’ F J ’ 图2 z y x A B C D 图1
授课教师 李颖命题教师或命题负责人 签字李颖 院系负责人 签字 年月日 注：请命题人标明每道考题的考分值。 中国海洋大学命题专用纸（附页） 2005-2006学年第二学期试题名称: 应用光学课程号：共 2 页第 2 页
三．计算题（70分） 6．（10分）某被照明目标，其反射率为ρ=，在该目标前15m距离处有一200W的照明灯，各向均匀发光，光视效能（发光效率）为30lm/W，被照明面法线方向与照明方向的夹角为0度。 求：（1）该照明灯的总光通量；（2）被照明目标处的光照度；（3）该目标视为全扩散表面时的光亮度。 7．（10分）显微镜目镜视角放大率为Γe=10，物镜垂轴放大率为β=-2，NA=，物镜共轭距为180mm，物镜框为孔径光阑，求：（1）显微镜总放大率，总焦距。（2）求出瞳的位置和大小。8．（15分）一个空间探测系统（可视为薄透镜），其相对孔径为1:，要求将10km处直径为２ｍ的物体成像在1/2英寸的探测器靶面上，物体所成像在探测器靶面上为内接圆，问此系统的焦距应该为多少？口径为多少？所对应的最大物方视场角是多少？（一英寸等于毫米，探测器靶面长与宽之比为４:3） 9．（10分）有一个薄透镜组，焦距为100mm，通过口径为20mm，利用它使无限远物体成像，像的直径为10mm，在距离透镜组50mm处加入一个五角棱镜（棱镜的玻璃折射率为，透镜展开长度为L=，D为棱镜第一面上的通光口径），求棱镜的入射面和出射面的口径，通过棱镜后的像面位置。 10．（15分，A、B任选） A．有一个焦距为50mm的放大镜，直径D=40mm，人眼（指瞳孔）离放大镜20mm来观看位于物方焦平面上的物体，瞳孔直径为4mm。求系统的孔径光阑，入瞳和出瞳的位置和大小，并求系统无渐晕时的线视场范围。 B．有一开普勒望远镜，视放大率Γ=8，物方视场角2ω=8?，出瞳直径为6mm，物镜和目镜之间的距离为180mm，假定孔径光阑与物镜框重合，系统无渐晕，求（1）物镜焦距，目镜焦距；（2）物镜口径和目镜口径；（3）出瞳距离。 11．（10分，要求用矩阵法求解）有一个正薄透镜焦距为8cm，位于另一个焦距为－12cm的负薄透镜左边6cm处，假如物高3cm，位于正透镜左边的24cm处，求像的位置和大小。 四．附加题（10分） 12．谈谈你对《应用光学》课程教学和课程建设的设想和建议。
初等数论试卷和答案
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768?
应用光学习题及答案
武汉理工大学考试试题纸（A卷） 课程名称应用光学专业班级0501～03 题号一二三四五六七八九十总分 题分 备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题 一、选择题（每题1分，共5分） 1．发生全反射现象的必要前提是： A)光线由光疏介质到光密介质传播B) 光线由光密介质到光疏介质传播 C)光线在均匀介质中传播D) 以上情况都可能产生 2．周视照相机可以拍摄大视场景物，其利用的： A)节点的性质B)主点的性质C)焦点的性质D)以上答案都正确 3．在望远镜的视度调节中，为适应近视人群，应采取的是： A)使物镜远离目镜B)使目镜远离物镜C)使目镜靠近物镜D)应同时调节物镜和目镜 4．棱镜系统中加入屋脊面，其作用是： A 改变光轴的方向B)改变主截面内像的方向C)改变垂轴于主截面方向上像的方向D)以上都正确5．光学系统中场镜的作用是： A)改变成像光束的位置B)减小目镜的尺寸C)不改变像的成像性质D)以上都正确 二、填空题（每题2分，共10分） 1．显微镜中的光学筒长指的是（）2．光学系统中像方顶截距是（）3．用波像差评价系统成像质量的瑞利准则是（）4．望远系统中物镜的相对孔径是（）5．棱镜的转动定理是（） 三、简答题（共20分） 1．什么叫孔径光阑？它和入瞳和出瞳的关系是什么？（4 分） 2．什么叫视场光阑？它和入窗和出窗的关系是什么？（4 分） 3．几何像差主要包括哪几种？（4 分） 4. 什么叫远心光路？其光路特点是什么？（4 分）
四、分析作图题（共25分） 1.已知正光组的F和F’，求轴上点A的像，要求用五种方法。（8分） 2. 已知透镜的焦距公式为f '? nr1 ，l 'H? ?f ' n ?1 d ， l H ? ? f ' n ?1 d ，? r d ? nr nr ( n ?1 ) ? n( 1 ? ) ? ( n ?1) ? ? r2 r 2 ? 分析双凹透镜的基点位置，并画出FFL、BFL和EFL的位置。（9分） 3. 判断下列系统的成像方向，并画出光路走向（8分） （a）（b） 五、计算题（共35分） 1．由已知f1??50mm，f2? ? ?150mm的两个薄透镜组成的光学系统，对一实物成一放大 4 倍的实像，并且第一透镜的放大率?1? ?2?，试求：1.两透镜的间隔；2.物像之间的距离；3.保持物面位置不变，移动第一透镜至何处时，仍能在原像面位置得到物体的清晰像？与此相应的垂铀放大率为多大?（15分）2.已知一光学系统由三个零件组成，透镜1：f1?? ?f1?100，口径D1?40；透镜2：f2? ? ?f2?120，口 径D2?30，它和透镜1之间的距离为d1?20；光阑3口径为20mm，它和透镜2之间的距离d2? 30。物点A的位置L1? ?200，试确定该光组中，哪一个光孔是孔径光阑，哪一个是视场光阑？（20分）
自考初等数论试题及答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
初等数论作业(3)答案
第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,
)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)
(全新整理)4月浙江自考初等数论试题及答案解析
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号 内。错选、多选或未选均无分。 1. 30被-7除的带余除法表达式是( ) A.30=（－7）×（－5）－5 B.30=（－7）×（－4）+2 C.30=（－7）×（－3）+9 D.30=（－7）×（－6）－12 2．100至500的正整数中，能被17整除的个数是( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 3．设 α3|500!，但13+α 500！，则α=( ) A. 245 B.246 C.247 D. 248 4．以下数组中，成为模7的完全剩余系的是( ) A. －14，－4，0，5，15，18，19 B. 7，10，14，19，25，32，40 C. －4，－2，8，13，32，35，135 D. －3，3，－4，4，－5，5，0 5.设n 是正整数，则以下各式中一定成立的是( ) A.(n +1，3n ＋1)=1 B.（2n －1，2n ＋1）=1 C.（2n ，n ＋1）=1 D.（2n ＋1，n －1）=1 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.?(120)=________________。 2.25736被50除的余数是________________。 3. 反转定律是________________。 4. 同余方程3x ≡5(mod16) 的解是________________。 5. 不定方程9x －12y =15的通解是________________。 6.?? ? ??41323 =________________。 7. 实数的小数部分记为{x } ，则 {－4 5}＝________________。
自考初等数论试题及答案
初等数论考试试卷 1 一、单项选择题（每题3分，共18分） 1、 如果 ba , ab ，则（）. A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n , 5n ，则 15 （ ） n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、 在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、 如果 a b （modm ） , c 是任意整数贝V 5、 如果(),则不定方程ax by c 有解. A (a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、 整数5874192能被()整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 二、填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（ ）? 2、 同余式ax b 0（modm ） 有解的充分必要条件是（）. 3、 如果 a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）. 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（）. 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 （）. 6、如果a ,b 是两个正整数，则存在（）整数q ,r ,使a bq r ,0 r b . 三、计算题（每题8分，共32分） 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144 . 3、 解同余式 12x 15 0（mod45） . 429 4、 求563 ,其中563是素数.（8 分） 四、证明题（第 1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分） 2 3 n n n 1证明对于任意整数n ,数3 2 6是整数. 2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除. A ac bc(modm) B a b C ac bc(mod m) D ab
初等数论习题与答案、及测试卷
1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n 1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r ax by ax + +∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间