单纯形法的进一步讨论
第5章 单纯形法的进一步讨论——人工变量法
5.1 大M 法
在一个线性规划问题的约束条件中加进人工变量后, 要求人工变量对目标函数取值不受影响, 为此假定人工变量在目标函数中的系数为( - M ) ( M 为任意大的正数) , 这样目标函数要实现最大化时, 必须把人工变量从基变量换出。否则目标函数不可能实现最大化。
5.2 两阶段法
用电子计算机求解含人工变量的线性规划问题时, 只能用很大的数来代替M , 这就可能造成计算上的错误。故介绍两阶段法求线性规划问题。
第一阶段: 不考虑原问题是否存在基可行解; 给原线性规划问题加入人工变量, 并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化。如
1111111121122211
12min ...0...0.........
...,,...,0n n m n
n n n n n n m mn n n m m n m g x x x x a x a x x b a x a x x b a x a x x b x x x ++++++=++++++++=??+++=?? ??+++=?≥??
然后用单纯形法求解上述模型, 若得到g = 0 , 这说明原问题存在基可行解, 可以进行第二段计算。否则原问题无可行解, 应停止计算。
第二阶段: 将第一阶段计算得到的最终表, 除去人工变量。将目标函数行的系数, 换原问题的目标函数系数, 作为第二阶段计算的初始表。
单纯形法的综述及其应用-文献综述
毕业论文文献综述 数学与应用数学 单纯形法的综述及其应用 一、 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关 主题争论焦点） 1.写作目的 本文主要在于介绍单纯形法的历史背景，基本计算方法，改进的计算方法，以及单纯形法的应用．目的在于对单纯形法的历史背景，计算方法等进行综述，并总结单纯形法在生活各个领域的应用，单纯形法是求解线性规划问题很有效的方法，通过对单纯形法的进一步了解，最后提出一实际问题利用单纯法进行分析求解． 2.有关概念 LP 问题的一般形式[1] ()1122. Max min n n ob Z c x c x c x =+++L ()()()11112211 211222221122 12..: ,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x +++≤≥?? +++≤≥?? ??+++≤≥??≥? L L L L L 线性规划问题的标准型为[2] ()()()11221111221121122222 m1122 12min a a s.t.a 01,2,,,,,n n n n n n m mn n m j n S c x c x c x S x a x a x b x a x a x b x a x a x b x j n x x x =+++?+++=? +++=?? ??+++=??≥=? L L L L L L 为目标函数（1）为决策变量 其矩阵形式为 min s.t.0 S CX AX b X ==?? ≥?（2）
其中，()12,,,n C c c c =L ，决策向量()()1212,,,,,,,T T n m X x x x b b b b ==L L ． A 为约束条件中的系数矩阵, 即 1112121 22212 n n m m mm a a a a a a A a a a ??????=??????L L M M M M L 本文除了介绍线性规划问题的一般形式、标准形式和矩阵形式以外还列举了一些定义. 定义1[3]：设矩阵A 的秩为m ，矩阵B 是A 中的一个m 阶满秩子方阵，则B 为一个基矩阵．矩阵A 中剩余元素组成的子阵为N ,即[]A BN =.把x 的分量相应地分成两部分，记成B x 和N x ，B x 的分量与B 的列对应，称为基变量；N x 的分量与N 中的列对应，称为非基 变量．在约束Ax b =中令所有的非基变量取值为零时，得到解10B N x B b x x -?? ??==???????? ，称为相 应于B 的基本解． 定义2[3]：基本解得基变量都取非负值时，即满足1 0B x B b -=≥的基本解为基本可行解． 定义3[4]：满足式（1）各约束条件的解()12,,,T n X x x x =L 称为可行解.全部可行解的集合称为可行域.目标函数1 min n j j j Z c x == ∑达到最大值的可行解称为最优解. 定义4[4]：设 A 为约束方程组1 (1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑的m n ?阶系数矩阵， 设(n m >),其秩为m ，B 为矩阵A 中的一个m m ?阶的满秩子矩阵，称B 为线性规划问题的一个基.不失一般性，设 11111...(,...,)...m m m mm a a B a a αα?? ??==?? ???? M M B 中每一个向量(1,..,)j j m α=称为基向量；与基向量j α对应的变量j x 称为基变量. 基变量以外的的变量称为非基变量. 定义5[4] ：在约束方程组 1 (1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑中，令所有非基变量
改进单纯形法matlab程序
clear clc X=[1 2 3 4 5]; A=[ 1 2 1 0 0; 4 0 0 1 0; 0 4 0 0 1]; C=[2 3 0 0 0 ]; b=[8;16;12]; t=[3 4 5]; B0=A(:,t); while 1 CB0=C(:,t); XN01=X; for i=1:length(t); for j=1:length(X); if XN01(j)==t(i) XN01(j)=0; end end end j=1; for i=1:length(X); if XN01(i)~=0 XN0(j)=XN01(i); j=j+1; end end for j=1:length(XN0); CN0(j)=C(XN0(j)); end N0=[]; for i=1:length(XN0); N0=[N0,A(:,XN0(i))]; end xiN0=CN0-CB0*B0*N0; j=1; z=[]; for i=1:length(xiN0) if xiN0(i)>0 z(j)=i; j=j+1; end end if length(z)+1==1; break; end n=1; for i=1:length(z) if z(i)>z(n) n=i; end end k=XN0(z(n));%换入变量 B=B0*b; P=B0*A(:,k); j=1; for i=1:length(P)
if P(i)>0 x(j)=i; j=j+1; end end y=1; for i=1:length(x) if B(x(y))/P(x(y))>B(x(i))/P(x(i)) y=i; end end y1=x(y); y=t(y1);%换出变量 for i=1:length(t) if t(i)==y m=i; break; end end t(m)=k; P2=B0*A(:,k); q=P2(y1); P2(y1)=-1; P2=-P2./q; E=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; E(:,m)=P2; B0=E*B0; end CB0*B0*b
单纯形法及其应用
单纯形法及其应用 摘要 单纯形法是一种主要的解决线性规划问题的方法，它在生活的成本问题、交通选择或规划学术问题等方面得到广泛应用.本文系统的研究了单纯形法的相关概念以及原理.并阐述了用单纯形法解决线性规划问题的步骤与方法及不同方法的特殊性.正确的应用单纯形法解决问题能够提高准确率，从而进行合理的规划安排，使得效果或收益达到期待化或最优化. 关键词：单纯形法；单纯形表；最优性
The Simplex Method and its Application Abstract:Simplex method is a main to solve linear programming problems, it in life cost, the choice of traffic or academic planning problems are widely used. This paper study the simplex method of the related concepts and principles. It describes the steps and methods to use simplex method to solve linear programming problems, and the different method. Correct application of the simplex method problem solving is able to improve the accuracy, in order to carry out reasonable planning arrangements, makes the effect or income reached expectations or optimization. Keywords:simplex method;simplex tableau;optimality
单纯形法的简述及应用
单纯形法的简述及应用 摘要 自1947年G.B.Dantzig提出单纯形法以来，他一直是求线性规划的最有效的计算方法。但是，单纯形法要求已知一个基本可行解，且线性规划需化典式。而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。如用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而增加计算量。针对这一问题，本文提出了改进单纯形法（一），在不增加人工变量的前提下，采用较简单的方法，求出一基本可行解，并在求解过程中剔除多余约束，判断问题是否有解，同时将线性规划的约束方程化为典式。此方法减少了比较次数，且简单易行，容易在计算机上实现。本文针对线性规划问题在变量和约束的个数较多时，传统单纯形法占据较大的内存空间，且有不少多余计算的情况提出改进单纯形法（二），能以较少的计算量及较小的占用存储空间方法从基的逆矩阵计算出新基的逆矩阵。从而既能使迭代过程持续进行下去，又能克服上述单纯形法的不足，是解决这些问题的一种实用且较有效的方法。 关键词：线性规划、单纯形法、基本可行解、初等变换。 绪论 引言 运筹学是近六十年发展起来的一门学科。运筹学在生产管理、工程技术、军事作战、科学实验。财政经济。社会科学以及自然科学和其他学科都应经取得了很多令人瞩目的成果。线性规划是运筹学的一个重要分支，是运筹学中最重要的一种数量方法，其应用范围非常广泛。主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有力的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。从数学的角度来说，也就是在对决策变量施加一组线性等式、不等式以及等号的约束下，求决策变量的线性目标函数的最大化和最小化。 与其他的数学学科相比，线性规划是一个相当年轻又非常活跃的应用数学分支。自从一般线性规划问题求解的方法——单纯形法被提出之后，线性规划在理论上趋向成熟，在使用中日益广发与深入。线性规划的广泛应用以及涉及到的数学理论和计算方法，都引起了专业人员和学者们的很大兴趣。 线性规划基础及单纯形法 线性规划问题及数学模型 凡是同时满足以下三个条件的问题，就叫做线性规划问题： （1）可用一些变量表示问题的待定方案，这些变量的一组定值就代表一个具体的方案。因此，可将这些变量称为决策变量，并往往要求它们为非负的。 （2）存在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于决策变量的线性等式或线性不等式来表示。 （3）有一个期望达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示，根据具体问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 线性规划就是研究并解决上述问题的一种理论和方法。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学期望，简称线性规划模型。期一般形式如下：
单纯形法
单纯形法 可按现代电子计算机标准程序求解线性规划模型的一般方法。分为代数形式 的单纯形法和表格形式的单纯形法。前者提供基本算法所依据的逻辑规则，适用 于在电子计算机上进行求解运算；后者将变量和数据列成表格，适用于笔算。两 者在数学上是等价的。单纯形法是由美国数学家G.B.丹齐克（1914～）于1947 年提出来的，它与苏联数学家Л.Β.坎托罗维奇（1912～）于1938年提出的 解乘数法相类似。 根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2， (x) 的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大n 值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所 确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目 的就是要找出最优解。 可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解； ③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止 目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。 要缩小对最优解的搜索范围，就必须认识最优解的一般性质，最优解如果存 在的话，则它必然处于可行区域的边界上。 任何一项约束条件的边界方程是用“＝”号来替换该约束条件中的“≤”或 “≥”号而得到的。每一个边界方程确定一个超平面。因此，可行区域的边界是 由那些满足一个或同时满足几个边界方程（即处在作为边界的一个或几个超平面 上）的可行解所组成，而且最优解必在其中。最优解不仅是在可行区域的边界上， 而且也在这个区域的一个隅角上。一个可行解，如果不处在由另两个可行解连接 起来的任何线段上，它就是一个角点可行解。如果连接两个角点可行解的线段处 在可行区域的边界上，这两个角点可行解就称为相邻的角点可行解。角点可行解 具有下列三个重要性质：①如果存在着一个最优解，那么它必定是角点可行解。 如果存在有多个最优解，那么至少有两个最优解必定是相邻的角点可行解。②只 存在有限个数的角点可行解。③如果一个角点可行解按目标函数值来衡量时比其 所有的相邻角点可行解更好一些，那它就比所有其他角点可行解都更好，也就是 最优解。