最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组易错题汇编及解析(1)
一、选择题
1.解方程组:22+2-0110x y x y ?=?-+=?
【答案】:2112113,023x x y y ?=-?=-????=??=??
【解析】 【分析】 把(2)変形后代入(1)便可解得答案
【详解】
22+2-1010x y x y ?=??-+=??
①② 由②得:x=y-1
代入①得:12023y y =???=??
, 分别代入②得:12113x x =-???=-??
, 故原方程组的解为:2112113,02
3x x y y ?=-?=-????=??=??
【点睛】
此题考查高次方程,解题关键在于掌握运算法则
2.阅读材料,解答问题
材料:利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如
的方程组. 如:由(2)得
,代入(1)消元得到关于的方程: ,
将代入得:,方程组的解为
请你用代入消元法解方程组:
【答案】解:由(1)得,代入(2)得
化简得:
, 把,分别代入得:, ,
【解析】
这是阅读理解题,考查学生的阅读理解能力,把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程,解出一元二次方程的解,再求另一个未知数的解即可
3.解方程组:222321x y x xy y +=??-+=?
【答案】114313x y ?=????=??,222353x y ?=?
???=?? 【解析】
【分析】
由②得:2()1x y -=,即得1x y -=或1x y -=-,再同①联立方程组求解即可.
【详解】
222321x y x xy y +=??-+=?
①② 由②得:2()1x y -=,
∴1x y -=或1x y -=-
把上式同①联立方程组得:
231x y x y +=??-=?,231x y x y +=??-=-?
解得:114313x y ?=????=??,222353x y ?=????=??
∴原方程组的解为114313x y ?=????=??,222353x y ?=?
???=??.
4.解方程组:2256021
x xy y x y ?+-=?-=? ①② 【答案】12216113,1113x x y y ?=?=????=??=-??
【解析】
【分析】
把①方程变形为(6)()0x y x y +-=,从而可得60x y +=或0x y -=,把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组,解这两个方程组即可.
【详解】
方程①可变形为(6)()0x y x y +-=,
得60x y +=或0x y -=,
将它们与方程②分别组成方程组,得:
(Ⅰ)6020x y x y +=??-=?或(Ⅱ)021
x y x y -=??-=? , 解方程组(Ⅰ)613113x y ?=????=-??
, 解方程组(Ⅱ)11x y =??=? 所以原方程组的解是6131
13x y ?=????=-??
,11x y =??=? .
5.解方程组:2222295
x xy y x y ?-+=?+=?. 【答案】1121x y =??=-?,2212x y =??=-?,33
21x y =-??=?,4412x y =-??=? 【解析】
试题分析:变形方程组中的①,得两个一元一次方程,与组中的②联立得方程组,求解方程组即可.
试题解析:解:2222295x xy y x y ?-+=?+=?①②
由①得:(x ﹣y )2=9
所以x ﹣y =3③,x ﹣y =﹣3④
③②与④②联立得:22223355x y x y x y x y -=-=-????+=+=??
, 解方程组2235
x y x y -=??+=?,得:12122112x x y y ==????=-=-??,; 解方程组2235x y x y -=-??+=?,得:343
42112x x y y =-=-????==??,. 所以原方程组的解为:31243
12422111122x x x x y y y y =-===-????????==-=-=????,,,. 点睛:本题考查了二元二次方程组的解法,由两个二元二次方程组成的方程组,通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解.
6.解方程组:22229024x y x xy y ?-=?-+=?
【答案】113212x y ?=????=-??,223212x y ?=-????=??
,3331x y =??=?,4431x y =-??=-? 【解析】
【分析】
将原方程组变形为:()()()()330220x y x y x y x y ?-+??---+??
==,所以有3020x y x y -??--?==,3020x y x y -??-+?==,3020x y x y +??--?==,3020
x y x y +??-+?==,然后解4个二元一次方程组就可以求出其值.
【详解】
原方程组变形为:()()(
)()330220x y x y x y x y ?-+??---+??==, 原方程组变为四个方程组为:3020x y x y -??--?==,3020x y x y -??-+?==,3020x y x y +??--?
==,3020x y x y +??-+?
==,
解这四个方程组为:113212x y ?=????=-??,223212x y ?=-????=??
,3331x y =??=?,4431x y =-??=-?. 故答案为113212x y ?=????=-??,223212x y ?=-????=??
,3331x y =??=?,4431x y =-??=-?.
7.解方程组:22x 2xy 3y 3x y 1?--=?+=?
【答案】x 1.5y 0.5=??=-?
【解析】
【分析】
把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=,再解方程组解x y 1x 3y 3+=??
-=?
即可. 【详解】
由22x 2xy 3y 3--=得:()()x y x 3y 3+-=, x y 1+=Q ,
x 3y 3∴-=,
解x y 1x 3y 3+=??-=?得:x 1.5y 0.5=??=-?
. 【点睛】
本题考查了解高次方程组,能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键.
8.解方程组:2223,44 1.x y x xy y +=??-+=?
【答案】111,1;x y =??=?221,57.5x y ?=????=??
【解析】
分析:对②中的式子进行变形,把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组,解方程即可.
详解:2223441x y x xy y ①②+=?
?-+=? 由②得:()221x y -=
即:21x y -=或21x y -=-
所以原方程组可化为两个二元一次方程组:
23,21;x y x y +=??-=? 23,21;
x y x y +=??-=-? 分别解这两个方程组,得原方程组的解是111,1;x y =??=? 221,57.5x y ?=????=??
. 点睛:考查二元二次方程,对②中的式子进行变形,把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键,需要学生掌握加减消元法.
9.解方程组:2228560x y x xy y +=??+-=?
【答案】11122x y =??=-?,228383x y ?=????=??
【解析】
【分析】
先将第2个方程变形为x +6y =0,x ﹣y =0,从而得到两个二元一次方程组,再分别求解即可.
【详解】
解:2228560x y x xy y +=??+-=?
①②, 由②得:x +6y =0,x ﹣y =0,
原方程组可化为2860x y x y +=??+=?或280x y x y +=??-=?
, 故原方程组的解为11122x y =??=-?,228383x y ?=????=??
. 【点睛】
本题考查的是高次方程,关键是通过分解,把高次方程降次,得到二元一次方程组,用到的知识点是因式分解、加减法.
10.解方程组:226021x xy y x y ?+-=?+=?
【答案】2515x y ?=????=??或3515x y ?=????=??
. 【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组,然后求解即可.
【详解】
原方程组变形为
(3)(2)021x y x y x y +-=??+=?
, ∴3021x y x y +=??+=?或2021x y x y -=??+=?
∴原方程组的解为2515x y ?=????=??或3515x y ?=????=??
【点睛】
本题考查了二次方程组的解,将二次方程组化为一次方程组是解题的关键.
11.k 为何值时,方程组2216x y x y k ?+=?-=?
只有唯一解? 【答案】
k=±.
【解析】
【分析】
将方程组转化为一元二次方程,根据△=0求解即可.
【详解】
2216(1)(2)x y x y k ?+=?-=?
由(2)得, y=x-k (3)
将(3)代入(1)得,2222160x kx k -+-=,
要使原方程组有唯一解,只需要上式的△=0,即
22(2)42(16)0k k --??-=,
解得,
k=±.
所以当
k=±
2216
x y
x y k
?+=
?
-=
?
只有唯一解.
【点睛】
本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用,掌握当判别式为0时,一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键.
12.解方程组:
2
22
449 x xy
x xy y
?+=
?
?
++=??
【答案】
12
34
34 12
00
33
,,,
33
33 22
x x
x x
y y
y y
==
??=-=
??
??
????
==-=-=?
?
??
??
【解析】
【分析】
由第一个等式可得x(x+y)=0,从而讨论可①x=0,②x≠0,(x+y)=0,这两种情况下结合第二个等式(x+2y)2=9可得出x和y的值.
【详解】
∵x(x+y)=0,
①当x=0时,(x+2y)2 =9,
解得:y
1=
3
2
,y2=?
3
2
;
②当x≠0,x+y=0时,∵x+2y=±3,
解得:
3
3
x
y
=-
=
?
?
?
或
3
3
x
y
=
=-
?
?
?
.
综上可得,原方程组的解是
12
34
34 12
00
33
,,,
33
33 22
x x
x x
y y
y y
==
??=-=
??
??
????
==-=-=?
?
??
??
.
【点睛】
此题考查二元二次方程组,解题关键在于掌握运算法则.
13.解方程组:
22
2
40
3260 x y
x xy x y
?-=
?
-+++=
?
.
【答案】1
12 4
x y =-
?
?
=-?,2
2
3
6
x
y
=-
?
?
=-
?
【解析】
【分析】
由①得:2x﹣y=0,2x+y=0,这样原方程组化成两个二元二次方程组,求出每个方程组的解即可.
【详解】
222403260x y x xy x y ?-=?-+++=?
①② 由①得:2x ﹣y =0,2x +y =0,
原方程组化为:①2203260x y x xy x y -=??-+++=?,②2203260x y x xy x y +=??-+++=?
, 解方程组①得: 1124x y =-??=-?, 2236
x y =-??=-?,方程组②无解, 所以原方程组的解为: 1124x y =-??
=-?, 2236x y =-??=-?. 【点睛】
本题考查解二元二次方程组,难度不大,熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键.
14.21238438xy x y yz z y zx z x =+-??=+-??=+-?
【答案】231x y z =??=??=?或3521
x y z =???=??=-?? 【解析】
【分析】
将x 和z 分别都用y 表示出来,代入第三个方程,解出y ,然后就可以解出x 、z .
【详解】
解:21238438xy x y yz z y zx z x =+-??=+-??=+-?
①②③ 由①得:12y x y -=
-④ 由②得:382
y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得:
1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g , 去分母整理得:2422300y y -+=,
∴2(3)(25)0y y --=,
3y ∴=或52
=,
将3y =分别代入④⑤得:2x =,1z =; 将52
y =分别代入④⑤得:3x =,1z =-; 综上所述,方程组的解为:231x y z =??=??=?或3521
x y z =???=??=-??. 【点睛】
本题考查了三元二次方程组的解法,解方程的基本思想是消元,任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示,即可代入第三个方程,解出一个未知数之后,剩下两未知数就可直接算出.
15.222102520x y x xy y +-=??-+=?
【答案】111412x y ?=????=??,222515x y ?=????=??
. 【解析】
【分析】
首先将二元二次方程进行因式分解,然后组成两个新的二元二次方程,求解即可.
【详解】
222102520x y x xy y +-=??-+=?
①② 将②因式分解,得()()220x y x y --=
∴方程组可化为两个新方程组:
21020x y x y +-=??-=?,21020x y x y +-=??-=?
∴方程组的解为:
111412x y ?=????=??,222515x y ?=????=??
. 【点睛】
此题主要考查二元二次方程组的求解,熟练掌握,即可解题.
16.如图在矩形ABCD 中,AB= n AD,点E 、F 分别在AB 、AD 上且不与顶点A 、B 、D 重合, AEF BCE ∠=∠, 圆O 过A 、E 、F 三点。
(1)求证:圆O 与CE 相切于点E.
(2)如图1,若AF=2FD ,且30AEF ∠=?,求n 的值。
(3)如图2,若EF=EC ,且圆O 与边CD 相切,求n 的值。
【答案】(1)证明见解析;(2)3;(3)74 【解析】(1)由四边形ABCD 是矩形证明∠FEC=90°即可;(2)在直角三角形中利用三角函数求解;(3)利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出n n 的值.
(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=90°,
∠BCE+∠BEC=90°,
又∵∠AEF=∠BCE ,∵∠AEF+∠BEC=90°,
∴∠FEC=90°,∴⊙O 与CE 相切.
(2)∵AF=2FD,设FD=a 。则AF=2a ,
在直角三角形AEC 中,∵∠AEF=30°,
∴∠BCE=30°.
∴EF=4a ,由勾股定理:AE=23 ,
.
∴BC=3a ,又在直角三角形EBC 中,
3EB a ∴=,
23333AB AE EB a a n AD AD a
++====.
过E 作EM DC 于M,因为圆O 与CD 相切,设切点为N ,连接ON,又过F 作FQ EM 交ON 于H , Q FE=EC, EF ⊥EC, ∴ AEF CBE ???,
根据题意和作图,可设AE=BC=ME=AD= y ,AF=QE=EB= x ,
易证明OH 为EFQ ?的中位线,OH=22EQ x =, 2ON=EF=
,
由勾股定理和题意可列方程: 222
2){y x x y x y ny
-=++=(, 化简:
74
n ∴= . “点睛”本题考查了直线与圆的位置关系,将方程与几何融合在一起,利用勾股定理和方程组解答;解答本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来.
17.解方程:
【答案】
【解析】 解:原方程组即为
···································· (2分)
由方程(1)代人(2)并整理得: ······························································· (2分) 解得,
························································ (2分) 代人得
18.解方程组:222220,21,
x xy y x xy y ?--=?++=? 【答案】1123;13x y ?=????=??222313x y ?=-????=-??
【解析】
【分析】
先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程,然后联立,组成4个二元一次方程组,解之即可.
【详解】
2222x 2y 0x 2y 1xy xy ?--=?++=?①②
, 由①得 (x+y )(x-2y )=0,
∴x+y=0或x-2y=0,
由②得 (x+y )2=1,
∴x+y=1或x+y=-1,
所以原方程组化为01x y x y +=??+=?或01x y x y +=??+=-?或201x y x y -=??+=?或201
x y x y -=??+=-?, 所以原方程组的解为121222x x 3311y y 33??==-????????==-????
. 【点睛】
本题考查了高次方程组,将高次方程化为一次方程是解题的关键.
19.有一直立杆,它的上部被风吹折,杆顶着地处离杆脚20dm ,修好后又被风吹折,因新断处比前次低5dm ,故杆顶着地处比前次远10dm ,求此杆的高度.
【答案】此竿高度为50dm
【解析】
【分析】
由题中条件,作如下示意图,可设第一次折断时折断处距地面AB 的高为x dm ,余下部分BC 长为y dm ,进而再依据勾股定理建立方程组,进而求解即可.
【详解】
解:设第一次折断时,折断处距地面AB=x dm ,余下部分为BC 为ydm .
由题意得22222220;(5)(5)30.
y x y x ?=+?+=-+? 解得 2129x y =??=?
此杆的高度为x+y=21+19=50 dm
答:此竿高度为50dm
【点睛】
本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题,能够熟练掌握.
20.解方程组:222302x xy y x y ?--=?-=?
【答案】1131x y =??
=? 22
11x y =??=-? 【解析】
【分析】
利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程,再分别与方程②组成方程组,解二元一次方程组即可得到答案.
【详解】 解:222302x xy y x y ?--=?-=?①②
, 由①得:x 3y 0-= 或 x y 0+=
原方程组化为: 302x y x y -=??-=? 或02
x y x y +=??-=? 解得:1131x y =??=? 或 22
11x y =??=-? ∴ 原方程组的解为1131x y =??=? 或 22
11x y =??=-? 【点睛】
本题考查的是二元二次方程组的解法,掌握利用因式分解降次是解题关键.
初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则