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2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案

一.选择题(共6小题,满分30分,每小题5分) 1.(5分)从长度是2cm 、2cm 、4cm 、4cm 的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( )

A .

B .

C .

D . 1

2.(5分)(2008?铜仁地区)如图,M 是△ABC 的边BC 的中点,AN 平分∠BAC ,且BN ⊥AN ,垂足为N ,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC 的周长是( )

A . 28

B . 32

C . 18

D . 25

3.(5分)已知xy ≠1,且有5x 2+2011x+9=0,9y 2+2011y+5=0,则y

x 的值等于( )

A . 9

5

B . 5

9

C .

5

2011

-

D . 9

2011

-

4.(5分)已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( )

A . 6

B . 7

C . 8

D . 9

5.(5分)设a ,b ,c 是△ABC 的三边长,二次函数在x=1时取最小值,则△ABC

是( )

A . 等腰三角形

B . 锐角三角形

C . 钝角三角形

D . 直角三角形 6.(5分)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图,堆栈(1)的2个连续存储单元已依次存入数据b ,a ,取出数据的顺序是a ,b ;堆栈(2)的3个连续存储单元已

中国教育学会中学数学数学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

依次存人数据e ,d ,c ,取出数据的顺序则是c ,d ,e ,现在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有( )

A . 5种

B . 6种

C . 10种

D . 12种

二.填空题(共6小题,满分30分,每小题5分) 7.(5分)设方程x 2﹣|2x ﹣1|﹣4=0,则满足该方程的所有根之和为 _________ .

8.(5分)(人教版考生做)如图,在平行四边形ABCD 中,过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ,且与CD 相切.若AB=4,BE=5,则DE 的长为 _________ .

8.(5分)(北师大版考生做)如图B ,等边三角形ABC 中,D 、E 分别为AB 、BC 边上的点,AD=BE ,AE 与CD 交于点F ,AG ⊥CD 于点G ,则

AF

FG 的值为 _________ .

9.(5分)已知a 2﹣a ﹣1=0,且

3

2 ,则x= _________ .

10.(5分)甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 _________ 件.

11.(5分)如图,电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,若CD 与地面成45°,

∠A=60°,CD=4m ,

,则电线杆AB 的长为 _________ 米.

12.(5分)若实数x,y,使得这四个数中的三个相同的数值,则所有具有这样性质的数对(x,y)为_________.

三.解答题(共4小题,满分80分,每小题20分)

13.(20分)已知:(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.

求证:a=b=c

14.(20分)(2010?钦州)如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.

(1)点B的坐标为_________;用含t的式子表示点P的坐标为_________;

(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<6);并求t为何值时,S有最大值?

(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.

15.(20分)对于给定的抛物线y=x2+ax+b,使实数p、q适合于ap=2(b+q)

(1)证明:抛物线y=x2+px+q通过定点;

(2)证明:下列两个二次方程,x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解.

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题,满分160分,每小题20分)

1.(5分)从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是()

A.B.C.D.1

考点:概率公式;三角形三边关系;等腰三角形的判定.732662

分析:根据随机事件概率大小的求法,找准两点:

①符合条件的情况数目;

②全部情况的总数.

二者的比值就是其发生的概率的大小.

解答:解:从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段,有4种情况,由于三角形中两边之和应大于第三边,所以能构成等腰三角形的情况有2种,故能构成等腰三角形的概率==.

故选C.

点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m 种结果,那么事件A的概率P(A)=;用到的知识点为:等腰三角形有2条边长相等;构成三角

形的基本要求为两小边之和大于第三边.

2.(5分)(2008?铜仁地区)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是()

A.28 B.32 C.18 D.25

考点:三角形中位线定理.732662

分析:延长线段BN交AC于E,从而构造出全等三角形,(△ABN≌△AEN),进而证明MN是中位线,从而求出CE的长.

解答:解:延长线段BN交AC于E.

∵AN平分∠BAC,

∴∠BAN=∠EAN,AN=AN,∠ANB=∠ANE=90°,

∴△ABN≌△AEN,

∴AE=AB=6,BN=NE,

又∵M是△ABC的边BC的中点,

∴CE=2MN=2×1.5=3,

∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25,

故选D.

点评:

本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定.解决本题的关键是作出辅助线,利用全等三角形来得出线段相等,进而应用中位线定理解决问题.

3.(5分)已知xy ≠1,且有5x 2

+2011x+9=0,9y 2

+2011y+5=0,则y

x 的值等于( )

A . 9

5

B . 5

9

C . 5

2011

-

D . 9

2011

-

选B

4.(5分)已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( )

A . 6

B . 7

C . 8

D . 9

考点: 扇形面积的计算;三角形的面积;勾股定理.732662

专题: 计算题.

分析:

如图,AC=4,S 1+S 2=10,设BC=a ,利用圆的面积公式得到S 1+S 2+S 3+S 4=π×22+π×a 2=2π+a 2,

于是有S 3+S 4=2π+a 2﹣10①,再用以AB 为直径的半圆减去三角形ABC 的面积得到S 3+S 4,即S 3+S 4=π×

﹣×4a=

a 2

+2π﹣2a ②,有①﹣②得到a 的方程,求出a ,然后代入①即可得到两

个弓形(带点的阴影图形)面积之和.

解答:

解:如图,

AC=4,S 1+S 2=10,设BC=a , ∴S 1+S 2+S 3+S 4=π×22+π×a 2=2π+a 2,

∴S 3+S 4=2π+

a 2﹣10①,

又∵AB 2

=42

+a 2

=16+a 2

, ∴S 3+S 4=π×﹣×4a=a 2

+2π﹣2a ②,

①﹣②得,2π+a 2﹣10=a 2+2π﹣2a ,解得a=5, ∴S 3+S 4=2π+

a 2﹣10=2π+

×25﹣10≈6.1,

即最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是6.

故选A.

点评:本题考查了圆的面积公式:S=πR2.也考查了不规则图形的面积的求法,即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决.

5.(5分)设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数在x=1时取最小值,则△ABC

是()

A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形

考点:二次函数的最值;勾股定理的逆定理.732662

专题:计算题.

分析:根据二次函数在对称轴时取得最小值,然后根据题意列出方程组即可求出答案;

解答:

解:由题意可得,

即,

所以,,因此a2+c2=b2,

所以△ABC是直角三角形,

故选D.

点评:本题考查了二次函数的最值,难度不大,关键是掌握二次函数在二次项系数大于0时,在对称轴处取得最小值.

6.(5分)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图,堆栈(1)的2个连续存储单元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈(2)的3个连续存储单元已依次存人数据e,d,c,取出数据的顺序则是c,d,e,现在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有()

A.5种B.6种C.10种D.12种

考点:加法原理与乘法原理.732662

专题:计算题.

分析:此题实际可以理解为a、b、c、d、e这五个字母组成的排列中,不论怎样排列,a、b先后顺序和c、

d、e排列的顺序不变,这样排列开头的字母只能是a或c,由此解答问题即可.

解答:解:先取出堆栈(1)的数据首次取出的只能是a,可以有下列情况,

abcde,acbde,acdbe,acdeb四种情况;

先取出堆栈(2)的数据首次取出的只能是c,可以有下列情况,

cdeab,cdabe,cdaeb,cabde,cadbe,cadeb六种情况;

综上所知,共10种取法.

故选C.

点评:解决此题的关键是要搞清a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变,从而运用一一列举的方法解答即可.

二.填空题(共3小题,满分15分,每小题5分)

7.(5分)设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0,则满足该方程的所有根之和为_________.

考点:解一元二次方程-因式分解法;绝对值;解一元二次方程-公式法.73262

专题:因式分解.

分析:因为题目中带有绝对值符号,所以必须分两种情况进行讨论,去掉绝对值符号,得到两个一元二次方程,求出方程的根,不在讨论范围内的根要舍去.

解答:

解:当2x﹣1≥0时,即x≥,原方程化为:x2﹣2x﹣3=0,(x﹣3)(x+1)=0,

x1=3,x2=﹣1,∵﹣1<∴x2=﹣1(舍去)

∴x=3

当2x﹣1<0,即x<时,原方程化为:x2+2x﹣5=0,(x+1)2=6,

x+1=±,x1=﹣1+,x2=﹣1﹣

∵﹣1+>,∴x1=﹣1+(舍去)

∴x=﹣1﹣.

则3+(﹣1﹣)=2﹣.

故答案是:2﹣

点评:本题考查的是解一元二次方程,由于带有绝对值符号,必须对题目进行讨论,对不在讨论范围内的根要舍去.

8.(5分)(人教版考生做)如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE=5,则DE的长为_________.

考点:切割线定理;平行四边形的性质;圆周角定理;弦切角定理.73262

分析:连接CE,根据圆周角定理易知:∠BAE=∠BEC+∠EBC,而∠DCB=∠DCE+∠BCE,这两个等式中,由弦切角定理知:∠DCE=∠EBC;再由平行四边形的性质知:∠DCB=∠EAB,因此∠BEC=∠BCE,即可得

BC=BE=5,即AD=5,进而可由切割线定理求DE的长.

解答:解:连接CE;

∵,

∴∠BAE=∠EBC+∠BEC ; ∵∠DCB=∠DCE+∠BCE , 由弦切角定理知:∠DCE=∠EBC , 由平行四边形的性质知:∠DCB=∠BAE , ∴∠BEC=∠BCE ,即BC=BE=5, ∴AD=5;

由切割线定理知:DE=DC 2

÷DA=,

故选D .

点评:

此题主要考查了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用,能够判断出△BEC 是等腰三角形,是解决此题的关键.

8.(5分)(北师大版考生做)如图B ,等边三角形ABC 中,D 、E 分别为AB 、BC 边上的点,AD=BE ,AE 与CD 交于点F ,AG ⊥CD 于点G ,则

AF

FG 的值为 _________ .

考点: 特殊角的三角函数值;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.73262 分析: 首先证明△CAD ≌△ABE ,得出∠ACD=∠BAE ,证明∠AFG=60°.

解答:

解:在△CAD 与△ABE 中, AC=AB ,∠CAD=∠ABE=60°,AD=BE , ∴△CAD ≌△ABE . ∴∠ACD=∠BAE . ∵∠BAE+∠CAE=60°, ∴∠ACD+∠CAE=60°. ∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°. 在直角△AFG 中, ∵sin ∠FAG=AF

FG ,

AF

FG =

2

1.

点评: 本题主要考查了全等三角形的判定、性质,等边三角形、三角形的外角的性质,特殊角的三角函数值及三角函数的定义.综合性强,有一定难度.

9.(5分)已知a 2

﹣a ﹣1=0,且3

2

,则x= .

考点:

解分式方程.732662

专题: 计算题.

分析: 本题可先根据a 2﹣a ﹣1=0,得出a 2,a 3,a 4

的值,然后将等式化简求解.

解答: 解:由题意可得a 2

﹣a ﹣1=0

a 2=a+1

a 4=(a 2)2=(a+1)2=a 2+2a+1=a+1+2a+1=3a+2 a 3=a ?a 2=a (a+1)=a 2+a=a+1+a=2a+1

=32-

=3

2-

x=4.

点评:

本要先根据给出的a 2

﹣a ﹣1=0得出对等式化简有用的一些信息,然后再将方程化简求解.本题计算过程较长,比较复杂.

10.(5分)甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 12 件.

考点: 二元一次方程组的应用.732662

分析: 设共购商品2x 件,9元的商品a 件,根据两人购买商品的件数相等,且两人购买商品一共花费了172元,可列出方程,求解即可.

解答:

解:设共购商品2x 件,9元的商品a 件,则8元商品为(2x ﹣a )件,根据题意得: 8(2x ﹣a )+9a=172,

解得a=172﹣16x ,

∵依题意2x ≥a ,且a=172﹣16x ≥0,x 为大于0的自然数, ∴可得9.6≤x ≤10.75, ∴x=10,则a=12.

所以9元的商品12件,故答案填12.

点评:

本题主要考查了二元一次方程的应用及不等式组的解法.解题关键是弄清题意,找到合适的等量关系,列出方程.本题解题的关键在于按生活实际讨论未知数的取值范围.

11.(5分)如图,电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,若CD 与地面成45°,

∠A=60°,CD=4m ,

,则电线杆AB 的长为 _________ 米.

考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题.73262 专题: 应用题.

分析: 延长AD 交地面于E ,作DF ⊥BE 于F ,求出BE=BC+CF+FE=

,根据正切求出AB 的值即可.

解答:

解:延长AD 交地面于E ,作DF ⊥BE 于F . ∵∠DCF=45°.CD=4. ∴CF=DF=. 由题意知AB ⊥BC . ∴∠EDF=∠A=60°.

∴∠DEF=30°

∴EF=.

∴BE=BC+CF+FE=.

在Rt△ABE中,∠E=30°.

∴AB=BEtan30°=(m).

答:电线杆AB的长为6米.

点评:此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题.作辅助线、求出BE=BC+CF+FE 是解题的关键.

12.(5分)若实数x,y,使得这四个数中的三个相同的数值,则所有具有这样性质的数对(x,y)

为_________.

考点:实数的运算.732662

专题:分类讨论.

分析:此题可以先根据分母不为0确定x+y与x﹣y不相等,再分类讨论即可.

解答:

解:因为有意义,所以y不为0,故x+y和x﹣y不等

(1)x+y=xy=解得y=﹣1,x=,

(2)x﹣y=xy=解得y=﹣1,x=﹣,

答案为(﹣1,)(﹣1,﹣)

点评:解答本题的关键是确定x+y与x﹣y不相等,再进行分类讨论.

三.解答题(共4小题,满分80分,每小题20分)

13.(20分)已知:(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.

求证:a=b=c

考点:完全平方式.732662

专题:计算题.

分析:

先把原式展开,合并,由于它是完全平方式,故有3x2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=[x+(a+b+c)]2,

化简有ab+bc+ac=a2+b2+c2,那么就有(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0,三个非负数的和等于0,

则每一个非负数等于0,故可求a=b=c.

解答:解:原式=3x2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac),

∵(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,

∴3x2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=[x+(a+b+c)]2,

∴ab+bc+ac=(a+b+c)2=(a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc),

∴ab+bc+ac=a2+b2+c2,

∴2(ab+bc+ac)=2(a2+b2+c2),

即(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0,

∴a﹣b=0,b﹣c=0,c﹣a=0,

∴a=b=c.

点评:本题考查了完全平方式、非负数的性质.两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.

14.(20分)(2010?钦州)如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1

个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO

向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点

运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.

(1)点B的坐标为(6,4);用含t的式子表示点P的坐标为(t,t);

(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<6);并求t为何值时,S有最大值?

(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数的最值;一次函数的应用;三角形的面积;矩形的性质.73262

专题:压轴题.

分析:(1)由OA=6,AB=4,易得点B的坐标为(6,4);由图可得,点P的横坐标=CN=t,纵坐标=4﹣NP,NP的值可根据相似比求得;

(2)由(1)的结论易得△OMP的高为t,而OM=6﹣AM=6﹣t,再根据三角形的面积

公式即可求得S与t的函数关系式,再由二次函数的最值求法,求得t为何值时,S有最

大值;

(3)由(2)求得点M、N的坐标,从而求得直线ON的函数关系式;设点T的坐标为

(0,b),可得直线MT的函数关系式,解由两个关系式组成的方程组,可得点直线ON

与MT的交点R的坐标;由已知易得S△OCN=×4×3=6,∴S△OR T=S△OCN=2;然后分两种

情况考虑:①当点T在点O、C之间时,②当点T在点OC的延长线上,从而求得符合条

件的点T的坐标.

解答:解:(1)延长NP交OA于H,

∵矩形OABC,

∴BC∥OA,∠OCB=90°,

∵PN⊥BC,

∴NH∥OC,

∴四边形CNHO是平行四边形,

∴OH=CN,

∵OA=6,AB=4,

∴点B的坐标为(6,4);

由图可得,点P的横坐标=0H=CN=t,纵坐标=4﹣NP,

∵NP⊥BC,

∴NP∥OC,

∴NP:OC=BN:CB,

即NP:4=(6﹣t):t,

∴NP=4﹣t,

∴点P的纵坐标=4﹣NP=t,

则点P的坐标为();

(其中写对B点得1分)(3分)

(2)∵S△OMP=×OM×,(4分)

∴S=×(6﹣t)×=+2t.

=(0<t<6).(6分)

∴当t=3时,S有最大值.(7分)

(3)存在.

由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4),

则直线ON的函数关系式为:.

设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:,

解方程组得,

∴直线ON与MT的交点R的坐标为.

∵S△OCN=×4×3=6,

∴S△OR T=S△OCN=2.(8分)

①当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足,

则S△OR1T1=RD1?OT=??b=2.

∴3b2﹣4b﹣16=0,b=.

∴b1=,b2=(不合题意,舍去)

此时点T1的坐标为(0,).(9分)

②当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E,

由①得点E的横坐标为,作R2D2⊥CN交CN于点D2,则

S△R2NE=?EN?R2D2=??==2.

∴b2+4b﹣48=0,b=.

∴b1=,b2=(不合题意,舍去).

∴此时点T2的坐标为(0,).

综上所述,在y轴上存在点T1(0,),T2(0,)符合条件.(10分)

点评:此题综合性较强,考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数的应用等知识点.

15.(20分)对于给定的抛物线y=x2+ax+b,使实数p、q适合于ap=2(b+q)

(1)证明:抛物线y=x2+px+q通过定点;

(2)证明:下列两个二次方程,x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解.

考点:二次函数图象上点的坐标特征;根的判别式.732662

专题:证明题.

分析:

(1)由已知求得q=﹣b,代入抛物线y=x2+px+q,得y=x2+px+﹣b,将抛物线y=x2+ax+b的

顶点横坐标x=﹣代入可求y的值,确定结果为顶点纵坐标即可;

(2)方程x2+ax+b=0与x2+px+q=0的判别式分别为a2﹣4b,p2﹣4q,由2q=ap﹣2b可得出两个判

别式的和为非负数,可知其中至少有一个判别式为非负数,故至少有一个方程有实数解.

解答:

证明:(1)由ap=2(b+q),得q=﹣b,代入抛物线y=x2+px+q,

得:﹣y+x2﹣b+p(x+)=0,

得,

解得:,

故抛物线y=x2+px+q通过定点(﹣,).

(2)由2q=ap﹣2b得p2﹣4q=p2﹣2?2q=p2﹣2(ap﹣2b)=(p﹣a)2﹣(a2﹣4b),

∴(p2﹣4q)+(a2﹣4b)=(p﹣a)2≥0,

∴p2﹣4q,a2﹣4b中至少有一个非负,

∴x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解.

点评:本题考查了抛物线上的点及顶点的坐标特点,判别式判断一元二次方程解的运用,明确两个数的和为非负数时,其中至少有一个数为非负数.

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