二元一次方程公式

二元一次方程公式

下面为大家整理了二元一次方程的公式，供大家参考。

设ax+by=c，

dx+ey=f，

x=（ce-bf)/(ae-bd),

y=(cd-af)/(bd-ae),

其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母

解二元一次方程组

一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。

消元

将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:

｛5x+6y=72x+3y=4,变为｛5x+6y=74x+6y=8

消元的方法

代入消元法。

加减消元法。

顺序消元法。（这种方法不常用）

消元法的例子

（1)x-y=3

（2)3x-8y=4

（3)x=y+3

代入得（2）

3×（y+3)-8y=4

y=1

所以x=4

这个二元一次方程组的解

x=4

y=1

教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.

例1,13x+14y=41(1)

14x+13y=40(2)

解:(2)-(1)得

x-y=-1

x=y-1(3)

把(3)代入(1)得

13(y-1)+14y=41

13y-13+14y=41

27y=54

y=2

把y=2代入(3)得

x=1

所以:x=1,y=2

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.

(二)换元法

例2，(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为

m+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=1,y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

（3）另类换元

例3，x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t,y=4t

方程2可写为：5t+6*4t=29

29t=29

t=1

所以x=1,y=4

要想掌握好这些二元一次方程公式，那么就要通过大量的练习，同学们现在就动手吧。

为庆祝元宵节，某市用灯饰美化街道，需采用A、B两种不同类型的灯笼200个，且B灯笼的个数是A灯笼的三分之二。

(1)求A、B两种灯笼各需要多少个?

(2)已知A、B两种灯笼的单价分别为40元和60元，则这次美化工程购置灯笼需要多少费用?

参考答案：

A+B=200

B=2/3A 代入 A+2/3A=200 解得A=120 B=80

120×40=4800 80×60=4800 ∴共需9600元

二元一次方程练习题及答案

(1) 66x+17y=3967

25x+y=1200

答案：x=48 y=47

(2) 18x+23y=2303

74x-y=1998

答案：x=27 y=79

(3) 44x+90y=7796

44x+y=3476

答案：x=79 y=48 (4) 76x-66y=4082

30x-y=2940 答案：x=98 y=51 (5) 67x+54y=8546

71x-y=5680 答案：x=80 y=59 (6) 42x-95y=-1410

21x-y=1575 答案：x=75 y=48 (7) 47x-40y=853

34x-y=2006 答案：x=59 y=48 (8) 19x-32y=-1786

75x+y=4950 答案：x=66 y=95 (9) 97x+24y=7202

58x-y=2900 答案：x=50 y=98 (10) 42x+85y=6362

63x-y=1638

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

解一元二次方程(公式法)

应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

行列式解二元一次方程组

行列式解二元一次方程组 在研究用消元法解二元一次方程组???=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 中，可得解的公式 ??? ??? ?--=--=．，122112211 2211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，显然，那个公式本身还看不出它的明显规律，也不易经历，因此那个公式还不够理想，那么能不能找一个更好的表现形式，使得它们之间的依赖关系表示得更明显，更有规律，且便利经历呢？下面介绍的用行列式解二元一次方程组的方法，就能够达到以上目的，由此，能够看出行列式能关心解决刚才提出的问题、 1、符号 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式，a 1、a 2、b 1、b 2叫做那个二阶行列式的元素， a 1、a 2、 b 1、b 2这四个元素排成二行二列〔横排叫行，竖排叫列〕、例如，a 2是位于第二行第一列上的元素，b 1是位于第一行第二列上的元素、 2、二阶行列式的展开形式为 2 2 11b a b a ＝a 1b 2－a 2b 1，它的展开方法是，将a 1、 a 2、 b 1、b 2四个数排列成正方形，即 2 21 1b a b a 能够看出a 1b 2－a 2b 1是如此两项的和，一项为哪一项正方形中实线表示的对角线〔叫做主对角线〕上两数的积，再添上正号；一项为哪一项虚线表示的对角线〔叫做副对角线〕上两数的积，再添上负号、这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法那么、 3、二元一次方程组???=+=+2 221 11c y b x a c y b x a 的解的行列式表示法， 2 2 11 2 2 11b a b a b c b c x = ， 2 2 112 2 11b a b a c a c a y = ，〔a 1b 2－a 2b 1≠0〕 为简便起见，设2 2 11b a b a D = ，2 2 11b c b c D x = ，2 2 11c a c a D y = ，那么当D ≠0

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

解二元一次方程“十字交叉法”

解二元一次方程：“十字交叉法” 十字相乘就是把二次项拆成两个数的积 常数项拆成两个数的积 拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项 看一下这个简单的例子m2+4m-12 m -2 ╳ M 6 把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写) -12拆成-2与6的积(也是竖着写) 经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m) 所以十字相乘成功了 m2+4m-12=(m-2)(m+6) 重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。 解释说明：

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 十字相乘法解题实例 常规题例1：把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）

例2：把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4， -4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 ╳ 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3：解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为 1 -3 ╳ 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4：解方程6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2 -5 ╳ 3 5

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形

二元一次方程解法大全

二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：

初二解二元一次方程公式知识点

解二元一次方程公式知识点设ax+by=c，dx+ey=f，x=(ce-bf)/(ae-bd),y=(cd-af)/(bd-ae),其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母解二元一次方程组一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。消元将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:{5x+6y=72x+3y=4,变为{5x+6y=74x+6y=8消元的方法代入消元法。加减消元法。顺序消元法。(这种方法不常用)消元法的例子(1)x-y=3(2)3x-8y=4(3)x=y+3代入得(2)3(y+3)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。(3)另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4

一元二次方程的解法(公式法)

一元二次方程的解法(公式法)教案 ——小店一中潘卫生 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 （老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得：x2-7 6 x=- 1 6 配方，得：x2-7 6 x+（ 7 12 ）2=- 1 6 +（ 7 12 ）2 （x- 7 12 ）2= 25 144 x- 7 12 =± 5 12 x1= 5 12 + 7 12 = 75 12 + =1 x2=- 5 12 + 7 12 = 75 12 - = 1 6 （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根 x 1=2b a -+x 2=2b a -- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：a x 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a = 即x=2b a -± ∴x 1=2b a -，x 2=2b a - 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时， ?将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．

二元一次方程万能公式总结

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。接下来分享二元一次方程的万能公式， 供参考。 二元一次方程万能公式 b^2-4ac>=0,方程有实数根，否则是虚数根。 实数解是: [-b+sqrt(b^2-4ac)]/2a [-b-sqrt(b^2-4ac)]/2a 二元一次方程的解法 代入消元法 (1)等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个 未知数(例如y)，用另一个未知数(如x)的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b 的形式; (2)代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元 一次方程; (3)解这个一元一次方程，求出x的值; (4)回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解; (5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。 换元法 解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某 些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。 加减消元法 (1)变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以 适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等。

(2)加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。 (4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值。

一元二次方程的解法—公式法

课题：1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式，明确运用公式求根的前提条件是b 2 －4ac ≥0． 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 难点：掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读：阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 把常数项移到方程右边，得 配方，得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ，2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中，若240b ac -≥＜ 0时，方程有实数根吗？ 练一练： 1.方程4-x 2=3x 中a= ，b= ，c= ， b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax

（1） 当_____________时，它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （2） 当_____________时，方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程： （1）22330 x x -+= （2）x x 2322=- （3）a a a =-+)2)(2(51 （4）23(1)y y += 例2.已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？ 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程： （１）2220x x +-=； （２）2 30x x -=

各类方程解法

各类方程解法一一元一次方程 1 一般形式 ax+b=0 (a≠0) 2 求根公式 x=? b 二二元一次方程 1 一般形式 ax+by=m cx+dy=n 2 求根公式 x=b ? d ÷ a ? m y=a m ? c n ÷ a b ? m n

1 一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) 2 判别式 △=b2?4ac △>0,方程有两个不等实数根 x=?b±b2?4ac 2a △=0,方程有两个相等实数根 x1=x2=? b △<0,方程无实数根。

1 一般形式 ax 3+bx 2+cx +d =0 (a ≠0) 2 求根公式 x 1= ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3+ ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33?b 3a x 2=(?1+ 3i )? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3+(?1+ 3i )2? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33?b 3a x 3=(?1+ 3i 2)2? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33+(?1+ 3i 2)? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3?b

二元一次方程公式法

育英学校九年级自学能力测试题 21.2.2公式法 一、读懂文本，捕捉重要的知识信息，为记住知识和应用知识奠定基础。（30分）。 读懂材料第 页: 1.知识点1： 一般地，式子ac b 42-叫做方程02=++c bx ax （0≠a ） .通常用希腊字母?表示它，即 2.知识点2： 当△≥0时，方程0c b a 2=++x x （a ≠0）的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式。 3.知识点3： [方法归纳] 用公法解下列一元二次方程的步骤： (1)把方程化为一般形式，确定a,b,c,的值。 (2)求出b 2－4ac 的值。 （3）若b 2－4ac ≥0，则将a,b,c,的值代入求根公式求出方程的根。 4.读完文本后，你有哪些疑惑？ 5.本文和以前学过的知识有什么联系？ 二、加强记忆，巩固知识，解决问题，提升能力。（60分） 1.方程0132=+-x x 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根 解下列一元二次方程 (1)x 2-3x-1=0 (2) x 2+x-6=0 (3)3x 2-6x-2=0 (4)4x 2-6x=0

(5)x2+4x+8=4x+11 (6)x(2 x-4)=5 -8x 三、选做题（20分） 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）． A．x= 36 2 -± B．x= 36 2 ± C．x= 323 2 -± D．x= 323 2 ± 2．代数式x2-8x+12的值是-4,求x的值 四、思想提升（学用结合，让本文与学习者自身的学习、记忆、巩固、再现和应用紧密挂钩，站在学的角度思考文本对于自己有什么用处，达到培养学习者学科思想的目的。）（10分） 1、本节知识的重点内容是什么？学习这些知识后有什么用处？（5分） 2、学习本节内容你有什么好的方法，写下来与大家分享。（5分）

初中数学一元二次方程公式定理

1 平方与平方根 11 面积与平方 (1) 任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和 (2) 任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍 任意两个有理数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数乘积的2倍 12 平方根 1 正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数; 2 零只有一个平方根,它就是零本身; 3 负数没有平方根 14 实数 无限不循环小数叫做无理数 有理数和无理数统称为实数 2 平方根的运算 21 算术平方根的性质 性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 性质2 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 22 算术平方根的乘、除运算 1 算术平方根的乘法 sqrt(a)sqrt(b)=sqrt(ab) (a=0,b=0) 2 算术平方根的除法 sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a=0,b0) 通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根 23 算术平方根的加、减运算 如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根 3 一元二次方程及其解法 31 一元二次方程 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程 32 特殊的一元二次方程的解法 33 一般的一元二次方程的解法配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1 化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边,将方程化为x^2+px+q=0的形式 2 移项把常数项移至方程右边,将方程化为x^2+px=-q的形式 3配方方程两边同时加上一次项系数一半的平方,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数 4 有平方根的定义,可知 (1) 当p^2/4-q0时,原方程有两个实数根; (2) 当p^2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根(二重根);

二元一次方程组应用题公式

实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关 键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2 ）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1?行程问题： （1）追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而 行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。其等量关系式是遠度-路 程 两者的行程差=开始时两者相距的路程；总士空反几「.；厂L.； 时间醬 ⑵相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。 （3）航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度； ②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度； ③顺水速度—逆水速度=2 X水速。 注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2.工程问题：工作效率X工作时间=工作量. 3.商品销售利润问题： 、、、利润率=直址攀处：＜1叩％、、

（1）利润=售价—成本（进价）；（2）=i ; （3）利润=成本（进价）x利润率； 标价=成本（进价）X （1 +利润率）；（5）实际售价=标价x打折率； 注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 4 .储蓄问题： （1）基本概念 ①本金：顾客存入银行的钱叫做 本金。②利息：银行付给顾客的 酬金叫做利息。 ③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时 间叫做期数。 ⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利 息的税款叫做利息税。 （2）基本关系式 ①利息=本金x利率x期数 ②本息和=本金+利息=本金+本金x利率x期数=本金x （1 + 利率x期数） ③利息税=利息x利息税率=本金x利率x期数x利息税率。 ④税后利息=利息x （1—利息税率）⑤年利率=月利率x 12⑥ 月利率宰利率工丄

二元一次方程定义

wanghuiliang88 实习小编一级|消息|我的百科|我的知道|百度首页| 退出 二元一次方程组 解二元一次方程组 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 目录 二元一次方程组的定义 构成 解法 教科书中没有的几种解法 二元一次方程组的解 注意 编辑本段二元一次方程组的定义 把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义：经过整理，一个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组： x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得 x=5-y③ 把③带入②，得 6(5-y)+13y=89 即y=59/7 把y=59/7带入③，得 x=5-59/7 即x=-24/7 ∴ x=-24/7

我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。 加减消元法 例：解方程组： x+y=9① x-y=5② 解：①+② 2x=14 即x=7 把x=7带入①，得 7+y=9 解，得：y=2 ∴ x=7 y=2 为方程组的解 像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。 二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7

八年级数学：二元一次方程解法大全

八年级数学：二元一次方程解法大全 ?1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11 分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 (1)解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= (2)解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=-

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技 巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观

一元二次方程之求根公式

一元二次方程之求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式a ac b b x 242 2,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运 算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美． 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法． 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个． 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A ． 一4 B ．8 C ．6 D ．0 【例3】 解关于x 的方程012)1(2=++--a ax x a ． 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和． 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的 值． 注： 一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ． 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如 222 x x x ==． 巩固练习 1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ． 2．已知0232 =--x x ，那么代数式1 1)1(23-+--x x x 的值是 ． 3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ． 4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( ) A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a

二元一次方程公式

二元一次方程组(一) 一、重点、难点 1、二元一次方程及其解集 (1)含有两个未知数，并且未知数项的次数是1的整式方程叫二元一次方程． (2)二元一次方程的解是无数多组． 2、二元一次方程组和它的解 (1)含有两个相同未知量的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． (2)使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解． 3、二元一次方程组的解法 (1)代入消元法：把其中的一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，就可以消去一个未知数． (2)加减消元法：先利用等式的性质，用适当的数同乘以需要变形的方程的两边，使两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程的两边分别相加或相减，就可以消去这个未知数．4、三元一次方程组及其解法 (1)含有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且是由三个方程组成的方程组叫做三元一次方程组． (2)解三元一次方程组的基本思想是用消元的方法把“三元”转化为“二元”(将未知问题转化为已知问题，再将“二元”转化为“一元”)． 二、例题分析： 例1: 在方程2x-3y=6中，1)用含x的代数式表示y．2)用含y的代数式表示x． 答案：1)y= x-2；2)x=3+ y 例2:已知x+y=0，且|x|=2，求y+2的值． 解：∵|x|=2 ∴x=2,或x=-2 又∵x+y=0 ∴y=-2,或y=2 故y+2=0,或y+2=4 例3：已知方程组的解是，求a与b的值 分析：方程组的解就是适合原方程组，所以将代入方程可以得到

关于a,b的新的方程。 解：因为方程组 的解是 所以 （1）×2得2a-4=2b (3) （3）-（2）得-5=2b-2 ∴b=- 将b=- 代入（1）得a= ∴ 答案：a= , b=- 例4：方程x+3y=10在正整数范围内的解有_____组，它们是________________。 答案：3； 例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式为______． 答案：3x-5y+17=0 例6：已知关于x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。 当k=_____时，方程为一元一次方程， 当k=_____时，方程为二元一次方程。 分析：题目中没有规定未知数，所以x,y都可以。因此注意分两种可能。 解：第一问∵关于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2为一元一次方程， ∴（1）或（2） 方程组（1）的解为k=-1,(2)无解 ∴当k=-1时原方程为一元一次方程 第二问∵关于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2为二元一次方程 ∴ 解得k=1 ∴当k=1时原方程为二元一次方程 例7：二元一次方程组的解中x与y互为相反数，求a的值解：∵原方程组的解中x与y互为相反数 ∴x=-y （1） 将（1）代入原方程组，得

一元二次方程的解法之公式法

一元二次方程的解法之公式法 【知识要点】 1、复习用配方法解一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程02 =++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(a ac b a b x -=+， （1）当042 ≥-ac b 时，得a ac b b x 242-±-=； （2）当042 <-ac b 时，一元二次方程无实数解。 2、公式法的定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤： （1）必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； （2）再计算ac b 42-的值： ①当042 ≥-ac b 时，方程有实数解，其解为：a ac b b x 242-±-=； ②当042 <-ac b 时，方程无实数解。 【经典例题】 例1、推导求根公式：02 =++c bx ax （0≠a ） 例2、利用公式解方程： （1） 0222=--x x （2） 4722 =+x x （3）0142=+--x x （4）010342 =+-x x

例3、已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程02=++c bx ax 例4、你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x －1与B =3x 2－2相等吗？ 例5、一元二次方程(m －1)x 2＋3m 2x ＋(m 2 ＋3m －4)＝0有一根为零，求m 的值及另一根． 【经典练习】 1、用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是 （ ） A.x 1、2=24312122?-± B.x 1、2=2 4312122?-±- C.x 1、2=2 4312122?+± D.x 1、2=32434)12()12(2???--±-- 2、方程x 2+3x =14的解是 （ ） A.x =2653± B.x =2653±- C.x =2233± D.x =2 233±- 3、下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有 ( ) ①1+5 ②1－5 ③1 ④－5 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4、若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( ) A ．1或5 B ．7或－1 C ．－1或－5 D ．－7或1 5、关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2 B ．－21 C ．－2 D ．2 1

求二元一次方程的整数解

求二元一次方程的整数解 例：求二元一次方程3x + 4y = 18 的正整数解。 思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时x、y的取值范围，然后再进一步确定解。 解：用含x的代数式表示y: y = 9/2 – (3/4)x 用含y的代数式表示x: x = 6 – (4/3)y 因为是求正整数解，则：9/2 – (3/4)x > 0 , 6 – (4/3)y > 0 所以，0 < x < 6 ,0 < y < 9/2 所以，当y = 1时，x = 6 – 4/3 = 14/3 ,舍去; 当y = 2时，x = 6 – 8/3 = 10/3 ，舍去;当y = 3时，x = 6 – 12/3 = 2 , 符合; 当y = 4时，x = 6 – 16/3 = 2/3 ，舍去。 所以，3x + 4y = 18 的正整数解为：x = 2 y = 3 再例：①、如果x = 3 是方程组的解，求a-b 的值。ax - 2y = 5 y = - 1 2x + by = 3 ax + 5y = 15,①②、甲、乙两人共解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到的方程组的解4x - by = -2,② 为乙看错了方程②中的b，得到的方程组的解为x = 5, 试计算a^2009 + x = - 3, y = - 1, (-b/10)^2010的值。y = 4, 二元一次方程组的解法——消元(整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”) 1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来; ②、将变形后的关系式代入另一个方程(不能代入原来的方程哦!)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程; ③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值;