专题01 集合与函数-2017年高考数学(理)试题分项版解析(解析版)

1.【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>

D ．A B =?

【答案】A 【解析】

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试题分析：由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以

{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=< ，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.

【考点】集合的运算，指数运算性质.

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}

2

40x x x m B =-+=。若{}1A B = ，则B =（ ）

A.{}1,3-

B.{}1,0

C.{}1,3

D.{}1,5 【答案】C 【解析】

【考点】 交集运算，元素与集合的关系

【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。两个防范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性。

3．【2017课标3，理1】已知集合A ={

}22

(,)1x y x y +=│

，B ={

}

(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1

D ．0

【答案】B 【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，结合A 表示以()0,0 为圆心，1 为半径的单位圆上所有点组成

的集合，集合B 表示直线y x = 上所有的点组成的集合，圆22

1x y += 与直线y x = 相交于两点()1,1 ，

()1,1-- ，则A B 中有两个元素.故选B .

【考点】 交集运算；集合中的表示方法.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 4.【2017北京，理1】若集合A ={x |–23}，则A B =

（A ）{x |–2

试题分析：利用数轴可知{}

21A B x x =-<<- ，故选A. 【考点】集合的运算

[来源:Z_xx_https://www.wendangku.net/doc/fa14645890.html,]

【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 学科@网

5.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P A ．)2,1(-

B ．)1,0(

C ．)0,1(-

D ．)2,1(

【答案】A

【考点】集合运算

【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 6.【2017天津，理1】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C = （A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B

【解析】(){1

246}[15]{124}A B C =-= ，，，，，， ,选B. 【考点】 集合的运算

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 7.【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1

x f --≤≤

的x 的取值范围是 A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

【答案】D 【解析】

【考点】函数的奇偶性、单调性

【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 8.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则

A ．2x <3y <5z

B ．5z <2x <3y

C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

【答案】D

【解析】试题分析：令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴

22lg lg3lg913lg 23lg lg8

x k y k =?=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32

x k z k =?=<，则25x z <，故选D. 【考点】指、对数运算性质

【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.

9.【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-

<”是“1

sin 2

θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-

||1212

θ-<，所以是充分不必要条件，选A. 【考点】 充要条件

【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若p q ?，则p 是q 的充分条件，若q p ?，则p 是q 的必要条件，若p q ?，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ?，则A 是B 的充分条件，若B A ?，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件. 学科@网

10.【2017北京，理5】已知函数1()3()3

x x

f x =-，则()f x

（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数

（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数

【答案】A

【考点】函数的性质

【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义()f x -与()f x 的关系就可以判断函数的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.

11.【2017山东，理1】设函数x 2y=4-的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ?= （A ）（1,2） （B ）??(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D

【解析】试题分析：由2

40x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故

A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤?<=-≤< ，选D.

【考点】 1.集合的运算2.函数的定义域3.简单不等式的解法.

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 12.【2017山东，理3】已知命题p:()x x ?+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是

（A ） ∧p q （B ）?∧p q （C ） ?∧p q （D ）??∧p q

【答案】B

【考点】1.简易逻辑联结词.2.全称命题.

【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.

13.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()2

1y mx =-的图象与y x m =

+的图象有且只有一个

交点，则正实数m 的取值范围是

（A ）(])

0,123,?+∞?

（B ）(][)0,13,+∞

（C ）(

)0,223,??+∞??

（D ）(

[)0,23,?+∞?

【答案】B

【解析】试题分析：当01m <≤时，

1

1m

≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =+单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，1

01m

<< ，

2(1)y mx =-在1

[,1]m

上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+?≥ 选B.

【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 14.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为

（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<

（D ）b c a <<

【答案】C

【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，

22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，

0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，

0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，

所以b a c <<，故选C ．

【考点】 指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 学科@网

15.【2017课标3，理15】设函数10()20x

x x f x x +≤?=?>?，，，，

则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【答案】1,4??

-

+∞ ???

写成分段函数的形式：()()()

1

32,021112,02221212,2x x x x g x f x f x x x x -?

+≤????

?=+-=++<≤? ??

???+>??

，

函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22????-∞+∞ ??????

三段区间内均单调递增，

且：(

)

001111,201,212142

g -??-=++

>+?> ???

，

据此x 的取值范围是：1,4??

-

+∞ ???

. 【考点】 分段函数；分类讨论的思想

【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

16.【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，

b ，

c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）

【考点】不等式的性质

【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．

17.【2017山东，理15】若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .

①()2x f x -=

②()3x f x -=

③()3f x x =

④()22f x x =+

【答案】①④

【解析】试题分析：①()22x

x x x e e f x e -??=?= ???在R 上单调递增，故()2x

f x -=具有M 性质；

②()33x

x

x

x

e e

f x e -??=?= ???

在R 上单调递减，故()3x

f x -=不具有M 性质；

③()3

x

x

e f x e x =?，令()3

x

g x e x =?，则()()3

2

232x

x

x

g x e x e x x e

x '=?+?=+，∴当2x >-时，

()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递

增，故()3

f x x =不具有M 性质；

④()()

22x x e f x e x =+，令()()

2

2x g x e x =+，则()()()2

2

22110x

x x g x e

x

e x e x ??'=++?=++>??

，

∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．

【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性. 【名师点睛】

1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．

2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；

(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．

(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．

3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．学科@网

18.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、

纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.

①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.

【答案】1Q ；2.p

【解析】

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【考点】1.图象的应用；2.实际应用.

【名师点睛】考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第i 名工人加工总的零件数是i i A B +，比较总的零件数的大小，即可转化为比较

2i i A B +的大小，而2

i i

A B +表示i i A B 中点连线的纵坐标，而第二问也可转化为i i A B 中点与原点连线的斜率. 学科@网

19.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361

，而可观测宇宙中普通物质

的原子总数N 约为1080

.则下列各数中与

M N

最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

（A ）1033 （B ）1053

（C ）1073 （D ）10

93

来源学科网ZXXK]

【答案】D 【解析】

试题分析：设36180310M x N == ，

两边取对数，361

36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810

x ==-=?-=，所以93.2810x =，即M

N

最接近9310，故选D. 【考点】对数运算

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，

以及指数与对数运算的关系，难点是361

80310

x =时，两边取对数，对数运算公式包含

log log log a a a M N MN +=，log log log a a a

M M N N

-=，log log n

a a M n M =. 20.【2017浙江，17】已知α∈R ，函数a a x

x x f +-+

=|4

|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2

-∞ 【解析】

【考点】基本不等式、函数最值

【名师点睛】本题利用基本不等式，由[][]4

1,4,4,5x x x

∈+

∈，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论．

21.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1

【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时2

34a +=，满足题意，故答案为1．

【考点】元素的互异性

【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.

(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.

(3)防范空集.在解决有关,A B A B =?? 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑?是否成立，以防漏解.

22.【2017江苏，11】已知函数31

()2e e

x x f x x x =-+-

, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ .

【答案】1[1,]2

-

【考点】利用函数性质解不等式

【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内学科@网

23.【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,

(),,

x x D f x x x D ?∈?=???? 其中集合

1,*n D x x n n -??

==∈????

N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .

【答案】8

【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况

在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2q

x p q p p

=

∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2n

x m n m m

=

∈≥N ，且,m n 互质 因此10n m

q p

=

，则10()n

m q p = ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ?

因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈ 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ? 的部分的交点，

【考点】函数与方程

【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．学科@网[来源:学科网]