一动点到两定点的距离最值

一动点到两定点的距离最值

熊明军

在学习三角形时，我们知道了三角形的三边之间有一个不等关系：“三角形的两边之和大于第三边”；“三角形的两边之差小于第三边”。借助这个三角不等式，再结合典型例题，我们可以得到一个动点到两个定点距离最值问题的研究方法与相关结论。

一、典型例题的回顾

E、两个村庄，如

【例题】已知有一段河岸AB相互平行的一条河，在河岸的一侧有F

下图。现在政府为了让两个村庄用上自来水，决定出资在河岸边建一个自来水厂，并在村庄与水厂之间铺设输水管道输水，为了降低成本，就必须使铺设的管道总长度最短，那么自来水厂应该建在河岸的什么位置，用尺规作图在图中标出。

E、是两个固定的点，此题的意思就

【解析】假设靠近村庄的河岸为线段AB，村庄F

PE+最是问：在线段AB上有一个动点P，求P在线段AB上移动到什么位置才能使PF 短。

结论：

①直线上一动点P到两个定点距离之和最小问题，要根据点对称将两个定点转化到直线的两侧；

②直线上一动点P到两个定点距离之差最大问题，要根据点对称将两个定点转化到直线的同侧。

二、研究问题的理论

A、的距离之和有最小值，当且仅当P在线段

法则一：平面上一动点P到两个定点B

AB之间时取最小值。

A、的距离之差有最大值，当且仅当P在线段

法则二：平面上一动点P到两个定点B

AB的延长线上时取最大值。

*注意①：一动点P到两定点B

A、距离最值的取得都是使动点与定点转化到一条直线上；如若不在一条直线上，就必须借助题中的条件与相关结论转化之。

*注意②：平面上一动点P到两个定点B

A、的距离之和有最小值；距离之差有最大值。

A、的距离之和有最大值；距离之差有最小值，就必须使之如若出现动点P到两个定点B

转化为法则中的情况，即：距离之和?最小值；距离之差?最大值。

【证明】（法则一）已知平面上两个动点B A 、，P 是平面上任意一个动点，如下图：

①当动点P 与定点B A 、不共线时，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可知AB PB PA >+；

②当动点P 与定点B A 、共线，且在线段AB 的延长线上时，显然有AB PB PA >+； ③当动点P 与定点B A 、共线，且在线段AB 之间时，显然有AB PB PA =+； 综上所述，AB PB PA ≥+，当且仅当动点P 在线段AB 之间时取最小值AB 。

【证明】（法则二）已知平面上两个动点B A 、，P 是平面上任意一个动点，如下图：

①当动点P 与定点B A 、不共线时，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”可知AB PB PA <-；

②当动点P 与定点B A 、共线，且在线段AB 之间时，显然有AB PB PA <-； ③当动点P 与定点B A 、共线，且在线段AB 的延长线上时，显然有AB PB PA =-； 综上所述，AB PB PA ≤-，当且仅当动点P 在线段AB 的延长线上时取最大值AB 。

三、典型例题的讲解

①动点在直线上

【例一】已知点()()()2,32,11,1C B A ，，-，点P 是直线x y l =：上的动点，求

PB PA +的最小值及PC PA -的最大值。

【解析】在平面直角坐标系中做出题中所给的直线图象与相应的点，如上右图所示： ①如右图可知()()2,11,1B A ，-在直线l 同侧，要取PB PA +的最小值，根据法则一可知，必须使动点P 在线段AB 之间，显然这是不可能的。所以必须把两定点B A 、中的一个对称到直线另一侧（本题解法采用作B 的对称点得'B ），连结'AB ，这样就很好的满足了法则一：只要动点P 在线段'AB 之间就有最小值。因此，如左图所示，直线上的点P 就是使PB PA +有最小值的点，计算得()3''min ==+=+AB PB PA PB PA 。

②如右图可知()()2,31,1C A ，-在直线l 两侧，要取PC PA -的最大值，根据法则二可知，必须使动点P 在线段AC 的延长线上，显然这是不可能的。所以必须把两定点C A 、中的一个对称到直线另一侧（本题解法采用作C 的对称点得'C ），连结'AC ，这样就很好的满足了法则二：只要动点P 在线段'AC 的延长线上就有最大值。即如左图所示直线上的点'P 就是使PC PA -有最大值的点，计算得()13''max ==-=-AC PC PA PC

PA 。

②动点在圆上

【例二】已知点()1,1-A 和圆070141022=+--+y x y x C ：，一束光线从点A 发出，经过x 轴反射到圆C 的圆周上，求光线从A 点发出到圆周上走过的最短路程。

【解析】在平面直角坐标系中做出题中所给圆的图象与相应的点，如上右图所示。本题看似有两个动点，P 与'P ，但是由于圆的特殊性，到圆周上的点距离可以转化为到圆心的距离，如此，本题题意就是在直线0=y 的同侧有两个定点O A 、，找该直线上一动点P ，使PO PA +有最小值。

()1,1-A ，圆()()()2,7,54752

2=?=-+-r O y x O ：，作点A 关于直线0=y 的对称点得()1,1'--A ，利用法则一，可得PO PA +的最小值为点P 在线段'OA 之间时取得； ∴()10''min ==+=+OA PO PA PO PA ；

∴光线从A 点发出到圆周上走过的最短路程为821010=-=-r 。

③动点在圆锥曲线上

【例三】（动点在椭圆上）设21F F ，分别是椭圆116

252

2=+y x 的左、右焦点，P 是椭圆上任一动点，已知点()4,6M ，求1PF PM +的最大值。

【解析】显然1F M 、为两定点，P 为动点，由法则一可知1PF PM +只能求最小值，没有最大值；但题中偏偏让我们求最大值，这就意味着我们得利用题中的条件把1PF PM +转化为动点P 到两定点的差的形式，这样方能求解。

(

)2121211010102PF PM PF PM PF PF a PF PF -+=+?-=?==+ ∴利用椭圆的定义把求1PF PM +的最大值转化成了求2PF PM -的最大值，利用法则二可知，当动点P 在线段2MF 延长线上时，如上右图所示，2PF PM -有最大值。即

()

()1551010''101022max 2max 1=+=+=-+=-+=+MF F P M P PF PM PF PM 。 【例四】（动点在双曲线上）设21F F ，分别是双曲线116

92

2=-y x 的左、右焦点，P 是双曲线右支上任一动点，已知点()4,2M ，求1PF PM -的最小值。

【解析】显然1F M 、为两定点，P 为动点，由法则二可知1PF PM -没有最小值；但

题中让我们求最小值，同例三，只要利用条件把1PF PM -转化为动点P 到两定点的和的形式就能求解。

()2121216662PF PM PF PM PF PF a PF PF ++=+?+=?==- ∴利用双曲线的定义把求1PF PM -的最小值转化成了求2PF PM +的最小值，利用法则二可知，当动点P 在线段2MF 上时，如上右图所示，2PF PM +有最小值。即

()()11566''6622min 2min 1=+=+=++=++=-MF F P M P PF PM PF PM 。

【例五】（动点在抛物线上）设F 是抛物线的焦点，P 是抛物线x y 42=上的任一动点，

已知点()1,2M ，求PF PM +的最小值。

【解析】F M 、为两定点，P 为动点，由法则一可知点P 若能在线段MF 之间，可立即得到PF PM +的最小值，在平面直角坐标中做出抛物线及相应的点，如上左图所示。在抛物线中，由定义可得动点到焦点的距离等于动点到准线的距离，即()l P d PF ，=，所以()l P d PM PF PM ,+=+。显然，当动点P 运动到如上右图所示的位置时，点P 在线段()l P d ,之间，即()()()3,,''min ==+=+l M d l P d M P PF PM 。

【练习】已知P 为抛物线x y 42=上任一动点，Q 为圆()1422=-+y x 上任一动点，

求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值。

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