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任意角的概念与弧度制教案

任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案

【教学过程】

过程行为行为意图间*揭示课题

任意角的概念与弧度制

*创设情景兴趣导入

问题1

游乐场的摩天轮,每一个轿厢挂在一个旋臂上,小明与小华两人同时登上摩天轮,旋臂转过一圈后,小明下了摩天轮,小华继续乘坐一圈.那么,小华走下来时,旋臂转过的角度是多少呢

问题2

用活络扳手旋松螺母,当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时,就形成一个角;在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中,就形成了0°到360°之间的角;扳手继续旋转下去,就形成大于的角.如果用扳手旋紧螺母,就需将扳手按顺时针方向旋转,形成与上述方向的角.

归纳

通过上面的三个实例,发现仅用锐角或0°:360°范围的角,已经不能反映生产、生活中的一些实际问题,需要对角的概念进行推广.介绍

质疑

提问

说明

总结

了解

思考

求解

讨论

交流

理解

利用

实际

问题

引起

学生

的好

奇心

和求

知欲

生活

实例

有助

于学

生理

解角

的推

广的

意义

10

*动脑思考探索新知

概念

一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O,按逆时针

(或顺时针)方向旋转到另一位置OB就形成角α.旋转开始位置的射线OA叫角α的始边,终止位置的射线OB叫做角α的终边,端点O叫做角α的顶点.

规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角(如图(1)),按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角(如图(2)).当射线没有作任何旋转时,也认为形成了一个角,这个角叫做零角.说明

仔细

分析

讲解

关键

思考

理解

结合

图形

讲解

角的

图形

可以

加入

学生

的举

过程行为行为意图间

(1)(2)

类型

经过这样的推广以后,角包含任意大小的正角、负角和零角.

表示

除了使用角的顶点与边的字母表示角,将角记为“∠AOB”或“∠O”外,本章中经常用小写希腊字母α、β、γ、L来表示角.

概念

数学中经常在平面直角坐标系中研究角.将角的顶点与坐标原点重合,角的始边在x轴的正半轴,此时,角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角(或者说这个角在第几象限).

如图所示,30°、390°、?330°都是第一象限的角,120°是第二象限的角,?120°是第三象限的角,?60°、300°都是第四象限的角.

终边在坐标轴上的角叫做界限角,例如,0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角.引导

强调

引导

展示

强调

记忆

明确

领会

观察

理解

明确

角的

类型

完成

角的

推广

象限

角可

以引

导学

生一

步步

自然

得出

强调

特殊

情况

30

*运用知识强化练习

练习7-1

1.在直角坐标系中分别作出下列各角,并指出它们是第几象限的角:提问

巡视

指导

思考

动手

求解

反馈

学习

状态

巩固

【教学过程】

教 学 过 程

教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间

*揭示课题

..2弧度制 *回顾知识 复习导入 问题

角是如何度量的角的单位是什么 解决

将圆周的

1

360

圆弧所对的圆心角叫做1度角,记作1°. 1度等于60分(1°=60′),1分等于60秒(1′=60″).

以度为单位来度量角的单位制叫做角度制.

扩展

计算:23°35′26″+31°40′43″

角度制下,计算两个角的加、减运算时,经常会带来单位

换算上的麻烦.能否重新设计角的单位制,使两角的加、减运算像10进位制数的加、减运算那样简单呢 介绍 质疑

引领

讲解

说明

了解 思考 明确 思考 了解

利用 复习 角度 制为 新知 识的 学习 做好 铺垫

5

*动脑思考 探索新知 概念

将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1弧度或1rad .以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

若圆的半径为r ,圆心角∠AOB 所对的圆弧长为2r ,那么

∠AOB 的大小就是 22r r

=弧度弧度.

规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 分析

由定义知道,角α的弧度数的绝对值等于圆弧长l 与半径

r 的比,即 l

r

α=(rad ).

说明 举例 仔细 分析 讲解

理解 记忆 领会

弧度 概念 较为 抽象 讲解 时注 重分 析关 键点 弧长 与角 的对 应关

过 程

行为 行为 意图 间

再考虑从动轮,传动带紧贴着从动轮B 转过100π(mm)的

长度,那么,应用公式l

r

α=,从动轮B 转过的角就等于

'1005

128341407

π=π≈o . 答 从动轮旋转5

π7

,用角度表示约为128°34′.

例4 如下图,求公路弯道部分AB 的长l (精确到0.1m .图中长度单位:m ).

分析 知道圆心角和半径,求弧长时,要首先将圆心角换算为弧度制.

解 60°角换算为π

3

弧度, 因此 π

453

l R α==? 3.1421547.1≈?≈(m ).

答 弯道部分AB 的长l 约为 m . 讲解 说明 提问 引领

介绍 分析

明确 主动 求解 思考 理解 讨论 求解

解弧 度制 应用 重点 分析 题目 中各 数据 的处 理 计算 部分 交给 学生 完成

65

*运用知识 强化练习 教材练习填空:

⑴ 若扇形的半径为10cm ,圆心角为60°,则该扇形的弧长

l = ,扇形面积S = .

⑵ 已知1°的圆心角所对的弧长为1m ,那么这个圆的半径是 m .

2.自行车行进时,车轮在1min 内转过了96圈.若车轮的半

径为,则自行车1小时前进了多少米(精确到1m )

提问

巡视

指导

思考 动手 求解 交流 及时 了解 学生 知识 掌握 情况

80 *归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容重点和难点各是什么

引导

回忆

培养 学生 总结

任意角及弧度制知识点总结

任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈;α终边在y 轴上的角可表 示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称,则α=____________。 4、α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角,则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22 S lR R α==,1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意 一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么sin ,cos y x r r αα==, ()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec r x α=()0x ≠,()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。如

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数重点讲义资料

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 三角函数的概念 (1)了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化. (2)会判断三角函数值的符号. (3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知识点一 角的有关概念 (1)从运动的角度看,可分为正角、负角和零角. (2)从终边位置来看,可分为象限角和轴线角. (3)若α与β角的终边相同,则β用α表示为β=α+2k π(k ∈Z ). 易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”,把“0°~90°的角”等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是{α|0°<α<90°},第一象限角的集合为{α|2k π<α<2k π+π 2 ,k ∈Z }. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数值相等. [自测练习] 1.若α=k ·360°+θ,β=m ·360°-θ(k ,m ∈Z ),则角α与β的终边的位置关系是( ) A .重合 B .关于原点对称 C .关于x 轴对称 D .关于y 轴对称

解析:角α与θ终边相同,β与-θ终边相同. 又角θ与-θ的终边关于x 轴对称. ∴角α与β的终边关于x 轴对称. 答案:C 知识点二 弧度的概念与公式 在半径为r 的圆中 分类 定义(公式) 1弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,用符号rad 表示. 角α的弧度数公式 |α|=l r (弧长用l 表示) 角度与弧度的换算 1°=π 180 rad ;1 rad =????180π° 弧长公式 弧长l =|α|·r 扇形的面积公式 S =12lr =1 2 |α|·r 2 易误提醒 角度制与弧度制可利用180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. [自测练习] 2.弧长为3π,圆心角为3 4 π的扇形半径为________,面积为________. 解析:弧长l =3π,圆心角α=34π,由弧长公式l =|α|·r ,得r =l |α|=3π34π=4,面积S =1 2 lr =6π. 答案:4 6π 知识点三 任意角的三角函数 三角函数 正 弦 余 弦 正 切 定 义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么 y 叫作α的正弦,记作sin α x 叫作α的余弦,记作cos α y x 叫作α的正切, 记作tan α 各象限符号 Ⅰ 正 正 正

高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计

1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 整体设计 教学分析 教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点 教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉

最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案

最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案 高中数学必修4《任意角和弧度制》教案【一】教学准备 教学目标 一、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系. 二、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 三、情态与价值 通过本节的学习,使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制,理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一

的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应,为下一节学习三角函数做好准备https://www.wendangku.net/doc/fe15128105.html, 教学重难点 重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义,弧度制的运用. 教学工具 投影仪等 教学过程 一、创设情境,引入新课 师:有人问:海口到三亚有多远时,有人回答约250公里,但也有人回答约160英里,请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里) 显然,两种回答都是正确的,但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制.他们的长度单位是不同的,但是,他们之间可以换算:1英里=1.6公里. 在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制,我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制 ---弧度制.

2017任意角和弧度制及任意角的三角函数教案.doc

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数 页 (对应学生用书(文)、(理)40~41页) 1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0,则角θ的终边一定落在第________象限. 答案:四

解析:由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,可知θ的终边只能位于第四象限. 2. 角α终边过点(-1,2),则cos α=________. 答案:-5 5 3. 已知扇形的周长是6cm ,面积是2cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是________. 答案:1或4 4. 已知角α终边上一点P(-4a ,3a)(a<0),则sin α=________. 答案:-35 5. (必修4P 15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(-x ,-6),且cos θ=-5 13,则sin θ=____________,tan θ=____________. 答案:-1213 12 5 解析:cos θ= -x x 2+36 =-513,解得x =5 2.sin θ= -6 ? ?? ??-522 +(-6)2 =-1213,tan θ=125. 1. 任意角 (1) 角的概念的推广

① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2) 终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k ∈Z ). (3) 弧度制 ① 1弧度的角:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ② 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=l r ,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③ 弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ④ 弧长公式:l =|α|r . 扇形面积公式:S 扇形=12lr =1 2|α|r 2. 2. 任意角的三角函数 (1) 任意角的三角函数定义 设P(x ,y)是角α终边上任一点,且|PO|=r(r >0),则有sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. (2) 三角函数在各象限内的正值口诀是:Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.

第三章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1.(2020·云南模拟)已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析:因为点P 在第三象限,所以??? ?? tan α<0,cos α<0, 所以角α的终边在第二象限. 答案:B 2.若角α和角β的终边关于x 轴对称,则角α可以用角β表示为( ) A .2k π+β(k ∈Z ) B .2k π-β(k ∈Z ) C .k π+β(k ∈Z ) D .k π-β(k ∈Z ) 解析:因为角α和角β的终边关于x 轴对称,所以α+β=2k π(k ∈Z )所以α=2k π-β(k ∈Z ). 答案:B 3.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 解析:设扇形的半径为r ,弧长为l ,则由扇形面积公式可得2=12lr =12r 2α=1 2r 2×4,求 得r =1,l =αr =4,所以所求扇形的周长为2r +l =6. 答案:C 4.(2020·陕西宝鸡质检)已知角α的终边经过点(3a -9,a +2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范围是( ) A .(-2,3] B .(-2,3) C .[-2,3) D .[-2,3] 解析:由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限内或y 轴的非负半轴上, ∴????? 3a -9≤0, a +2>0, 解得-2<a ≤3,即a 的取值范围为{a ∈R |-2<a ≤3}. 答案:A

《5.1 任意角和弧度制》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

【新教材】5.1.2弧度制教学设计(人教A版) 前一节已经学习了任意角的概念,而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制,从而将角与实数建立一一对应关系,为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍,打下基础. 课程目标 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 数学学科素养 1.数学抽象:理解弧度制的概念; 2.逻辑推理:用弧度制表示角的集合; 3.直观想象:区域角的表示; 4.数学运算:运用已知条件处理扇形有关问题. 重点:弧度制的概念与弧度制与角度制的转化; 难点:弧度制概念的理解. 教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。 教学工具:多媒体。 一、情景导入 度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制,度量质量可以用千克、磅等不同的单位制,不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢?能否像度量长度那样,用十进制的实数来度量角的大小呢? 要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本,引入新课 阅读课本172-174页,思考并完成以下问题 1. 1弧度的含义是? 2.角度值与弧度制如何互化? 3.扇形的弧长公式与面积公式是? 要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1.度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义:用度作为单位来度量角的单位制. ②1度的角:周角的1 360 . (2)弧度制 ①定义:以弧度作为单位来度量角的单位制. ②1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角. 2.弧度数的计算 3.角度制与弧度制的转算 4.一些特殊角与弧度数的对应关系 度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧 度0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π l r π 180( 180 π)° 正数 负数 零

高中数学1.1任意角和弧度制教案新人教a版必修

《任意角和弧度制》教案 【教学目标】 1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制,能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式,能进行简单应用.对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】 复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题: 1.初中所学角的概念. 2.实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的?度量单位是什么? °的角是如何定义的?弧长公式是什么? 5.角的范围是什么?如何分类的? 新授课阶段 一、角的定义与范围的扩大 1.角的定义:一条射线绕着它的端点O,从起始位置OA旋转到终止位置OB,形成 OA OB分别是角α的终边、始边. 一个角α,点O是角的顶点,射线, ∠”可以简记为α.说明:在不引起混淆的前提下,“角α”或“α 2.角的分类: 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角; 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角. 说明:零角的始边和终边重合. 3.象限角:

在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负轴重合,则 (1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例如:30,390,330-o o o 都是第一象限角;300,60-o o 是第四象限角. (2)非象限角(也称象限间角、轴线角):如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.例如:90,180,270o o o 等等. 说明:角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为 x 轴的正半轴不包括原点,就不完全包括角的始边,角的始边是以角的顶点为其端点的 射线. 4.终边相同的角的集合:由特殊角30o 看出:所有与30o 角终边相同的角,连同30o 角自身在内,都可以写成30360 k +?o o () k Z ∈的形式;反之,所有形如 30360k +?o o ()k Z ∈的角都与30o 角的终边相同.从而得出一般规律: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 {}|360,S k k Z ββα==+?∈o , 即:任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 例1 在0o 与360o 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角? (1)120-o ;(2)640o ;(3)95012'-o . 解:(1)120240360-=-o o o , 所以,与120-o 角终边相同的角是240o ,它是第三象限角; (2)640280360=+o o o , 所以,与640o 角终边相同的角是280o 角,它是第四象限角; (3)95012129483360''-=-?o o o ,

3-1第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数练习题(2015年高考总复习)

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 时间:45分钟 分值:75分 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.(2014·昆明检测)已知角α的终边上一点的坐标为? ?? ??sin π 6,cos π6, 则角α的最小正值为( ) A .11π6 B .5π 6 C .π3 D .π6 解析 由tan α=cos π6 sin π6= 3212 =3,故角α的最小正值为π3,选C . 答案 C 2.(2014·福州质检)下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A .sin 165°>0 B .cos 280°>0 C .tan 170°>0 D .tan 310°<0 解析 165°是第二象限角,因此sin 165°>0正确;280°是第四象限角,因此cos 280°>0正确;170°是第二象限角,因此tan 170°<0,故C 错误;310°是第四象限角,因此tan 310°<0正确. 答案 C 3.设θ是第三象限角,且??????cos θ2=-cos θ2,则θ 2是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 解析 由于θ是第三象限角,所以2k π+π<θ<2k π+3π 2(k ∈Z ),

k π+π2<θ2<k π+3π4(k ∈Z );又|cos θ2|=-cos θ2,所以cos θ 2≤0,从而2k π+π2≤θ2≤2k π+3π2,(k ∈Z ),综上可知2k π+π2<θ2<2k π+3π 4,(k ∈Z ),即θ 2是第二象限角. 答案 B 4.已知扇形的周长是4 cm ,则扇形面积最大时,扇形的中心角的弧度数是( ) A .2 B .1 C.12 D .3 解析 设此扇形的半径为r ,弧长为l ,则2r +l =4,则面积S =12rl =12r (4-2r )=-r 2+2r =-(r -1)2+1,∴当r =1时S 最大,这时l =4-2r =2,从而α=l r =21=2. 答案 A 5.若一个α角的终边上有一点P (-4,a )且sin α·cos α=3 4,则a 的值为( ) A .4 3 B .±4 3 C .-43或-4 3 3 D. 3 解析 依题意可知α角的终边在第三象限,点P (-4,a )在其终边上且sin α·cos α=34,易得tan α=3或33,则a =-43或-4 3 3. 答案 C 6.(2014·海口调研)已知点P (sin α-cos α,tan α)在第一象限,则

数学:任意角和弧度制必修

三角函数 1.1任意角和弧度制 一、 教学目标: (1)推广角的概念、引入大于360? 角和负角; (2)理解并掌握正角、负角、零角的定义; (3)理解任意角以及象限角的概念; (4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法; 二、教学重、难点 重点:理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点:终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360?? ~之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1.初中时,我们已学习了0360?? ~角的概念,它是如何定义的呢? [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1—1,一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点

O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720?” (即转体2周),“转体1080?”(即转体3周)等,都是遇到大于360? 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360? 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle ),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle ).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle ). [展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750? ;图1.1.3(2)中,正角210α?=,负角150,660βγ?? =-=-;这样,我们就把角的概念推广到了任意角(any angle ),包括正角、负角和零角. 为了简单起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“α∠”可简记为α. 3.在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle ).如教材图1.1—4中的30?角、210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 4.[展示投影]练习: (1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

任意角和弧度制知识点和练习

知识点一:任意角 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角:角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

任意角与弧度制教案

任意角与弧度制 【基础再现】 1、角的概念的推广 定义:一条射线OA 由原来的位置,绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ,就形成了角,记作:角或 可以简记成。 注意: (1)“旋转”形成角,突出“旋转” (2)“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 (3)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类: 由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角:按照逆时针方向转定的角。 零角:没有发生任何旋转的角。 负角:按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标原点,角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角。 【重点、难点、考点】 ααα∠αx x

一、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角: (1)终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与个周角的和。 (2)所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即:任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和 注意: 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍。 4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一。 2、终边在坐标轴上的点: 终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,90| ββ 3、终边共线且反向的角: 终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-?=,45180| ββ )(Z k k ∈{}Z k k S ∈?+==,360| αββ

人教版A版必修四第一章第一节任意角和弧度制

§1. 1.1任意角(新授课) 【教学目标】 要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角;并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。. 【教学重点】 理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 【教学难点】 “旋转”定义角 【教学过程】 一、知识回顾 1.回忆:初中是任何定义角的? 二、预习自学 1.角的概念的推广: 一条射线OA 由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ,就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边,射线OB 叫角α的终边,O 叫角α的顶点。 2.正角、负角、零角概念 师:为了区别起见,我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,如图2中的角为正角, 它等于300与7500 ;我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,那么同学们猜猜看,负角怎么规定呢?零角呢? 3.我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了解象限角这个概念。 4.终边相同的角的表示法 观察下列角你有什么发现? 390? -330? 30? 1470? -1770?,能否再举三个与300 角同终边的角? 三.典型例题 例1 设第一象限的角}= 锐角},的角} 小于{G {F 90{o ==E , ,那么有( ). A . B . C .( ) D .

例2用集合表示: (1)各象限的角组成的集合.(2)终边落在轴右侧的角的集合. (2)在~中,轴右侧的角可记为,同样把该范围“旋转”后,得,,故轴右侧角的集合为 . 说明:一个角按顺、逆时针旋转()后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺逆时针旋转()角后,所得“区间”仍与原区间重叠.例3 (1)如图,终边落在位置时的角的集合是__ ;终边落在位置,且在内的角的集合是_ _ ;终边落在阴影部分(含边界)的角的集合 是_ . 四、课堂练习 练习: (1)请用集合表示下列各角. ①~间的角②第一象限角③锐角④小于角. (2)分别写出: ①终边落在轴负半轴上的角的集合;②终边落在轴上的角的集合; ③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合; ④终边落在四象限角平分线上的角的集合. 说明:第一象限角未必是锐角,小于的角不一定是锐角,~间的角,根据课本约定它包括,但不包含. 例4在~间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角

高考数学总复习教案:任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 (对应学生用书(文)、(理)40~41页) 页 考情分析 考点新知 ① 了解任意角的概念;了解终边相同的角的意义. ② 了解弧度的意义,并能进行弧度与角度的互化. ③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;初步了解有向线段的概念,会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切. ① 能准确进行角度与弧度的互化. ② 准确理解任意角三角函数的定义,并能准确判断三角函数的符号. 1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在第________象限. 答案:四 解析:由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,可知θ的终边只能位于第四象限. 2. 角α终边过点(-1,2),则cos α=________. 答案:-5 5 3. 已知扇形的周长是6cm ,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________. 答案:1或4 4. 已知角α终边上一点P(-4a ,3a)(a<0),则sin α=________. 答案:-3 5 5. (必修4P15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(-x ,-6),且cos θ=-5 13,则sin θ=____________,tan θ=____________. 答案:-1213 12 5 解析:cos θ= -x x2+36=-513,解得x =5 2.sin θ=-6? ?? ?-52 2 +(-6)2=-1213,tan θ=12 5.

2019-2020学年高中数学 任意角与弧度制教案 新人教版必修4.doc

2019-2020学年高中数学 任意角与弧度制教案 新人教版必修4 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于360?角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法;(5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;(6)揭示知识背景,引发学生学习兴趣.(7)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境:“转体720?,逆(顺)时针旋转”,角有大于360?角、零角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转 一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360??~之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1.初中时,我们已学习了0360??~角的概念,它是如何定义的呢? [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图 1.1-1,一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720? ” (即转体2周),“转体1080?”(即转体3周)等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学

1.1-任意角和弧度制-教学设计-教案

1.1-任意角和弧度制-教学设计-教案

教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能 (1)推广角的概念、引入正角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法;(5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念. 2、过程与方法 通过创设情境:“转体,逆(顺)时针旋转2周”,角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物. 2. 教学重点/难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 3. 教学用具 多媒体 4. 标签 任意角 教学过程 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25小时,你应 当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1.初中时,我们已学习了角的概念,它是如何定义的呢? [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1,一条射线由原来的位置,绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置,就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边,叫终边,射线的端点叫做叫的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体”(即转体2周),“转体”(即转体3周)等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

2017年高考一轮复习教案—第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数教学设计 (1)

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数教学设计 教师:蓝春艳 最新考纲要求 (1)了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化. (2)会判断三角函数值的符号. (3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知识点一 角的有关概念 (1)从运动的角度看,可分为正角、 和 . (2)从终边位置来看,可分为 和轴线角. (3)若α与β角的终边相同,则β用α表示为 . 易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”,把“0°~90°的角”等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是{α|0°<α<90°},第一象限角的集合为{α|2k π<α<2k π+π 2 ,k ∈Z }.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点二 弧度的概念与公式 在半径为r 的圆中 易误提醒 角度制与弧度制可利用180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 知识点三 任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),则sin α= ,cos α= ,tan α= (x ≠0).

三角函数 正 弦 余 弦 正 切 定 义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么 叫作α的正弦,记作sin α 叫作α的余弦,记作cos α 叫作α的正切, 记作tan α 各象限符号 Ⅰ 正 Ⅱ 负 负 Ⅲ Ⅳ 正 负 口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦 三角函数线 有向线段 为正弦线 有向线段 为余弦线 有向线段 为正切线 易误提醒 三角函数的定义中,当P (u ,ν)是单位圆上的点时有sin α=ν,cos α=u ,tan α=νu ,但若不是单位圆时,如圆的半径为r ,则sin α=νr ,cos α=u r ,tan α=ν u . 考点一 角的集合表示及象限角的判断 例1.给出下列四个命题: ①-3π4是第二象限角;②4π 3是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限 角.其中正确的命题有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 练习.设集合M =? ?? x ??? ?? x =k 2 ·180°+45°,k ∈Z , N =? ??? ??x ?? x =k 4 ·180°+45°,k ∈Z ,那么 ( ) A .M =N B .M ?N C .N ?M D .M ∩N =? 解决终边相同的角的集合的两个方法 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角. (2)利用终边相同的角的集合S ={β|β=2k π+α,k ∈Z }判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α所在的象限.

导学案017第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

任意角、弧度制和任意角的三角函数的定义 考纲要求 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 考情分析 1.三角函数的定义及应用是本节考查的重点,注意三角函数值符号的确定. 2.主要以选择题、填空题的形式考查. 教学过程: 基础梳理 1.角的有关概念 (1)从运动的角度看,角可分为正角、和. (2)从终边位置来看,可分为和轴线角. (3)若α与β是终边相同的角,则β可用α表示为S={β|β=}(或{β|β=}). 3.弧度与角度的互化 (1)1弧度的角 长度等于____的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示. (2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|= ____ . (3)角度与弧度的换算①1°= ____ rad;②1 rad= _____ . (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l圆心角大小为α(rad)半径为r,又l=rα,则扇形的面积为S= ____ .

双基自测; 1.-870°的终边在第几________象限 ( ) A .一 B .二 C .三 D .四 2.已知角α的终边经过点(3,-1),则角α的最小正值是 ( ) A.2π3 B. 11π6 C.5π 6 D.3π 4 3.若sin α<0且tan α>0,则α是 ( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 4.若点P 在2π 3角的终边上,且P 的坐标为(-1,y ),则y 等于________. 5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为________,面 积为________. 典例分析 考点一:角的表示方法 [例1] (1)如果α是第三象限的角,那么-α,2α的终边落在何处? (2)写出终边在直线y =3x 上的角的集合. 变式1.若角β的终边与60°角的终边相同,则在0°~360°范围内,终边与角β 3 的终边相同的角为__. 方法总结: (1)利用终边相同的角的集合S ={β|β=2k π+α,k ∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成 [0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后 判断角α的象限. (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角. 考点二:三角函数的定义 [例2] 已知角α的终边经过点P (m ,-3),且cos α=-4 5 ,m 等于 ( ) A .-114 B.11 4 C .-4 D .4 变式:2.(20122丽水模拟)角θ的终边上有一点(a ,a ),a ∈R 且a ≠0,则sin θ的值是 ( ) A. 22 B .-22 C.22或-2 2 D .1 变式3.(20122东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P ? ?? ?? x ,32, 则tan α=( ) A. 3 B .± 3 C. 3 3 D .± 33

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