2010年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)(数学[理])
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2010年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分．考试时间120分钟．
选择题部分(共50分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()
A．P?Q B．Q?P
C．P??R Q D．Q??R P
解析：集合Q＝{x|－2 答案：B 2．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为() A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7? 解析：第一次执行后，k＝2，S＝2＋2＝4； 第二次执行后，k＝3，S＝8＋3＝11； 第三次执行后，k＝4，S＝22＋4＝26； 第四次执行后，k＝5，S＝52＋5＝57，此时结束循环，故判断框中填k>4？. 答案：A 3．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5 S2＝() A．11 B．5 C．－8 D．－11 解析：设等比数列{a n}的公比为q(q≠0)，依题意知8a1q＋a1q4＝0，a1≠0，则q3＝－8，故q＝－2， 所以S 5S 2＝1－q 5 1－q 2＝1＋321－4 ＝－11. 答案：D 4．设0 2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：当0 2 时，0 故x sin x <1?x sin x sin x sin x >1，故不能 保证x sin x <1. 答案：B 5．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2x D ．|z |≤|x |＋|y | 解析：|z |＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy |＋y 2＝(|x |＋|y |)2＝|x |＋|y |，D 正确，易知A 、B 、C 错误． 答案：D 6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面知B 正确． 答案：B 7．若实数x ，y 满足不等式组???? ? x ＋3y －3≥02x －y －3≤0 x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：如图，设x ＋y ＝9，显然只有在x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求， 解得此时x ＝4，y ＝5，即点(4,5)在直线x －my ＋1＝0上，代入得m ＝1. 答案：C 8．设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在 点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±3y ＝0 D ．5x ±4y ＝0 解析：设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|， 故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝(2c )2－(2a )2＝2b ，故|PF 1|＝4b ， 根据双曲线定义4b －2c ＝2a ， 即2b －a ＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2， 即3b 2－4ab ＝0， 即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ， 即y ＝±4 3x ，即4x ±3y ＝0. 答案：C 9．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2] D ．[2,4] 解析：f (0)＝4sin1>0，f (2)＝4sin5－2， 由于π<5<2π，所以sin5<0，故f (2)<0， 故函数f (x )在[0,2]上存在零点； 由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数f (x )在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点； 令x ＝5π－24 ∈[2,4]， 则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24>0， 而f (2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点． 答案：A 10．设函数的集合P ＝{f (x )＝log 2(x ＋a )＋b |a ＝－12，0，1 2，1；b ＝－1,0,1}，平面上点的 集合Q ＝{(x ，y )|x ＝－12，0，1 2，1；y ＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数f (x )的图 象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 解析：集合P 中的元素共12个． 当a ＝－12时，f 1(x )＝log 2(x －1 2)－1， f 2(x )＝lo g 2(x －12)，f 3(x )＝log 2(x －1 2 )＋1， 当x ＝1时，这三个函数都不可能经过集合Q 中的两个点； 当a ＝0时，f 4(x )＝log 2x －1， f 5(x )＝log 2x ， f 6(x )＝log 2x ＋1, 此时只有后面两个函数恰好经过集合Q 中的两个点； 当a ＝12时，f 7(x )＝log 2(x ＋1 2) －1， f 8(x )＝lo g 2(x ＋12)， f 9(x )＝lo g 2(x ＋1 2 )＋1， 此时只有后面两个函数经过集合Q 中的两个点； 当a ＝1时，f 10(x )＝log 2(x ＋1)－1， f 11(x )＝log 2(x ＋1)， f 12(x )＝log 2(x ＋1)＋1， 此时f 10(x )经过集合Q 中的两个点(0，－1)，(1,0)，f 11(x )经过集合Q 中的三个点(－1 2， －1)，(0,0)，(1,1)，函数f 12(x )经过集合Q 中的点(－1 2 ，0)，(0,1)． 综上可知集合P 中只有6个元素满足题意． 答案：B 非选择题部分(共100分) 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．函数f (x )＝sin(2x －π 4)－22sin 2x 的最小正周期是________． 解析：f (x )＝sin(2x －π 4)－22sin 2x ＝22sin2x －2 2cos2x －22×1－cos2x 2 ＝ 22sin2x ＋2 2 cos2x － 2 ＝sin(2x ＋π 4)－2，故该函数的最小正周期为2π2 ＝π. 答案：π 12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________ cm 3. 解析：该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32； 下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为1 3×(16＋4×8 ＋64)×3＝112. 故该空间几何体的体积为144. 答案：144 13．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：抛物线的焦点F 的坐标为(p 2，0)，线段FA 的中点B 的坐标为(p 4，1)，代入抛物 线方程得1＝2p ×p 4 ， 解得p ＝2，故点B 的坐标为(24，1)，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324 . 答案： 32 4 14．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋1 3)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的 最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－1 3 5，…，T n ，…其中T n ＝________. 解析：根据已知条件，总结规律，进而可得???? ? 0 当n 为偶数时12n －13n 当n 为奇数时. 答案：???? ? 0 当n 为偶数时12n －13 n 当n 为奇数时 15．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6 ＋15＝0，则d 的取值范围是________． 解析：S 5S 6＋15＝0?(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 即30a 21＋135a 1d ＋150d 2 ＋15＝0， 即2a 21＋9da 1＋10d 2 ＋1＝0， 由于a 1，d 为实数，故 (9d )2－4×2×(10d 2＋1)≥0， 即d 2≥8，故d ≥22或d ≤－2 2. 答案：d ≤－22或d ≥2 2 16．已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________． 解析：如图，设AC ＝α，A B ＝β，则在△ABC 中，∠ACB ＝ 60°， 根据正弦定理 |α|sin ∠ABC ＝|β| sin60° ，即|α|＝sin ∠ABC sin60°＝ 233sin ∠ABC ，由于0°<∠ABC <120°， 所以0 3. 答案：(0， 23 3 ] 17．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)． 解析：上午测试安排有A 4 4种方法，下午测试分为： (1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试； (2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有C 13种方法选择，其余三位同 学选1人测试“握力”有C 13种方法，其余两位只有一种方法，则共有C 13· C 1 3＝9种， 因此测试方法共有A 44·(2＋9)＝264种． 答案：264 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－1 4. (1)求sin C 的值； (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解：因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－1 4，及0 所以sin C ＝ 104 . (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得 c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－1 4，及0 cos C ＝±6 4 . 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得 b 2±6b －12＝0， 解得b ＝6或26， 所以??? b ＝6，c ＝4.或??? b ＝26， c ＝4. 19．(本小题满分14分)如图，一个小球从M 处投入，通过管道自 上而下落到A 或B 或C .已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的． 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分别设为1,2,3等奖． (1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k (k ＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ； (2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P (η＝2)． 解：(1)由题意得ξ的分布列为 则Eξ＝316×50%＋38×70%＋716×90%＝3 4 . (2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为316＋38＝9 16. 由题意得η～B (3， 916 )， 则P (η＝2)＝C 23(916)2(1－916)＝1 701 4 096 . 20．(本小题满分15分)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝2 3 FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成 △A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF . (1)求二面角A ′－FD －C 的余弦值； (2)点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长． 解：法一：(1)取线段EF 的中点H ，连接A ′H ， 因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点． 所以A ′H ⊥EF . 又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H ?平面A ′EF ， 所以A ′H ⊥平面BEF . 如图建立空间直角坐标系A －xyz ， 则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)． 故F A ′＝(－2,2,22)，F D ＝(6,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量， 所以??? －2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0， 取z ＝2，则n ＝(0，－2，2)． 又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)， 故cos 〈n ，m 〉＝ n ·m |n |·|m |＝3 3 . 所以二面角A ′－FD －C 的余弦值为3 3 . (2)设FM ＝x ，则M (4＋x,0,0)， 因为翻折后，C 与A ′重合，所以CM ＝A ′M ， 故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得 x ＝214 ， 经检验，此时点N 在线段BC 上． 所以FM ＝ 214 . 法二：(1)取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ， 连结A ′G ，A ′H ，GH ， 因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点， 所以A ′H ⊥EF . 又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ， 所以A ′H ⊥平面BEF . 又AF ?平面BEF ， 故A ′H ⊥AF ， 又因为G ，H 是AF 、EF 的中点， 易知GH ∥AB ， 所以GH ⊥AF ， 于是AF ⊥面A ′GH ， 所以∠A ′GH 为二面角A ′－FD －C 的平面角． 在Rt △A ′GH 中，A ′H ＝22，GH ＝2，A ′G ＝2 3. 所以cos ∠A ′GH ＝ 33 . 故二面角A ′－DF －C 的余弦值为33 . (2)设FM ＝x ， 因为翻折后，C 与A ′重合， 所以CM ＝A ′M ， 而CM 2＝DC 2＋DM 2＝82＋(6－x )2， A ′M 2＝A ′H 2＋MH 2＝A ′H 2＋MG 2＋GH 2 ＝(22)2＋(x ＋2)2＋22， 得x ＝214 ， 经检验，此时点N 在线段BC 上． 所以FM ＝ 214 . 21．(本小题满分15分)已知m >1，直线l ：x －my －m 2 2＝0， 椭圆C ：x 2 m 2＋y 2＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点． (1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程； (2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围． 解：因为直线l ：x －my －m 2 2＝0经过F 2(m 2－1，0)， 所以m 2 －1＝m 2 2 ，得m 2＝2， 又因为m >1， 所以m ＝ 2. 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由??? x ＝my ＋m 2 2 ， x 2m 2 ＋y 2 ＝1， 消去x 得 2y 2 ＋my ＋m 2 4 －1＝0， 则由Δ＝m 2 －8(m 2 4 －1)＝－m 2＋8>0，知m 2<8， 且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－1 2. 由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 故O 为F 1F 2的中点． 则AG ＝2G O ，B H ＝2H O ， 可知G (x 13，y 13)，H (x 23，y 2 3)， |GH |2 ＝(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)2 9 . 设M 是GH 的中点，则M (x 1＋x 26，y 1＋y 2 6)， 由题意可知，2|MO |<|GH |， 即4[(x 1＋x 26)2＋(y 1＋y 26)2]<(x 1－x 2)29＋(y 1－y 2)2 9， 即x 1x 2＋y 1y 2<0. 而x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋m 22)(my 2＋m 2 2)＋y 1y 2 ＝(m 2 ＋1)(m 28－1 2 )， 所以m 28－1 2<0， 即m 2<4. 又因为m >1且Δ>0. 所以1 所以m 的取值范围是(1,2)． 22．(本小题满分14分)已知a 是给定的实常数．设函数f (x )＝(x －a )2(x ＋b )e x ，b ∈R ，x ＝a 是f (x )的一个极大值点． (1)求b 的取值范围； (2)设x 1，x 2，x 3是f (x )的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到x 4∈R ，使得x 1，x 2，x 3，x 4的某种排列xi 1，xi 2，xi 3，xi 4，(其中{i 1，i 2，i 3，i 4}＝{1,2,3,4})依次成等差数列？若存 在，求所有的b 及相应的x 4；若不存在，说明理由． 解：(1)f ′(x )＝e x (x －a )[x 2＋(3－a ＋b )x ＋2b －ab －a ]， 令g (x )＝x 2＋(3－a ＋b )x ＋2b －ab －a ， 则Δ＝(3－a ＋b )2－4(2b －ab －a )＝(a ＋b －1)2＋8>0，