年上海春季高考数学试题版含答案

年上海春季高考数学试题

版含答案

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2006年上海市普通高等学校春季招生考试

数 学 试 卷

一. 填空题（本大题满分048分） 1. 计算：=+-∞→3

42

3lim

n n n .

2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .

3. 函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f .

4. 不等式

01

21>+-x x

的解集是 . 5. 已知圆)0()5(:2

22>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共

点，则r 的取值范围是 .

6. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当),0(∞+∈x 时，=)(x f .

7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首

尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .

9. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .

10. 若向量b a

、的夹角为 150，4,

3==b a ，则=+b a

2 .

11. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原 点，则三角形OAB 面积的最小值为 .

12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；

反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语

言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则 （结论用数学式子表示）. 二．选择题（本大题满分016分） 13. 抛物线x y 42=的焦点坐标为( )

（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(. 14. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）-b

a

11<. （B ）22b a >. （C ）

1

12

2+>+c b

c a .（D ）||||c b c a >. 15. 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13

322

=+--k y k x 表示双曲线”的( )

（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.

（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.

16. 若集合1

31,11,2,01A y y x x B y y x x ??????

==-≤≤==-<≤??????????

，则A ∩B 等于( )

（A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）?. （D ）}1{.

三．解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

17. (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中，所成

已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1角的大小（结果用反三角函数值表示）. 18. (本题满分12分) 已知复数w 满足

i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5

-+=

w w

z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.

19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知函数??

????∈-??

?

?

?+

=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若5

4sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.

20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按

顺时针方向）的轨迹方程为125

10022

=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物

线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、??

? ??

764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落

点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方

程；

（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点

B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应

向

航天器发出变轨指令？

21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

设函数54)(2--=x x x f .

（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；

（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；

（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.

22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.

已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；

201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.

（1）若4020=a ，求d ；

（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；

（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

2006年上海市普通高等学校春季招生考试

数 学 试 卷

参考答案及评分标准

一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

1. 43.

2. 2.

3. []8,5),5(31∈-x x .

4. ??

? ??-21,1. 5. )10,0(. 6. 4x x --. 7. 48. 8.

3

16

. 9.

25

7

. 10. 2. 11. 4. 12. )1(2121n m n

a a a m a a a n

m <≤+++≤

+++ 和

.

题 号

13 14 15 16 代 号

B C A B 17. [解法一] 连接D A 1，

D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分 连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ， ……6分

则D

A B A BD D A B A D BA 112

212112cos ??-+=∠

25

9

552322525=

??-+=

. ……10分 ∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为

25

9

arccos

. ……12分 [解法二] 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. ……2分 则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、，

得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=B A . ……6分 设B A 1与C B 1的夹角为θ，

则25

9

cos =

θ， ……10分 ∴ B A 1与C B 1的夹角大小为25

9

arccos

， 即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为25

9

arccos . ……12分 18. [解法一] i 2i

21i

34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， ……4分 i 3|i |i

25

+=-+-=

∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=?=+z z z z ，

∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分 [解法二] 设i

b a w +=R)(∈b a 、

b a b a 2i 2i 34i +-=-+，

得 ???-==-,23,24a b b a ∴ ?

??-==,1,

2b a

i 2-=∴w ， ……4分 以下解法同[解法一].

19. [解]（1）53cos ,,2,54sin -=∴??

?

???∈=x x x ππ ， ……2分

x x x x f cos 2cos 21

sin 232)(-???

?

??+= ……4分 5

3

354+=

. ……8分 （2）??

?

?

?

-

=6sin 2)(πx x f ， ……10分 ππ

≤≤x 2

， 656

3

ππ

π

≤

-

≤∴

x ， 16sin 21≤??? ?

?

-≤πx ，

∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分

20. [解]（1）设曲线方程为7

64

2+

=ax y ， 由题意可知，764640+?=a .

7

1

-

=∴a . ……4分 ∴ 曲线方程为7

64

712+-=x y . ……6分

（2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知

??????

?+-==+)

2(,76471)1(,12510022

2x y y x 得

036742=--y y ，

4=y 或4

9

-=y （不合题意，舍去）.

4=∴y . ……9分 得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴

C 点的坐标为

)4,6(， ……11分

4||,52||==BC AC .

答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分 21. [解]（1） ……4分 （2）方程5)(=x f 的解分别是4

,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因

此

(][)

∞++-∞-=,142]4,0[142, A . ……8分

由于A B ?∴->-<+,2142,6142. ……10分

（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .

436202422

+--

??

? ??

--=k k k x ， ……12分 ∴

>,2k 124<-k

. 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤

x -=

， min )(x g ()[]

64104

1436202

2---=+--=k k k .

064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ，

则0)(min >x g . ……14分 ② 当

12

4-<-k

，即6>k 时，取1-=x ， min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .

因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 [解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .

由??

?++-=+=,

54),

3(2

x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ， 令 0)53(4)4(2=---=?k k ，解得 2=k 或18=k ， ……12分

在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点

)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点. ……14分

如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线

)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图

像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分

22. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 4分 （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， …… 8分 ???

?????+??? ??+=4321102

30

d a ，

当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞. …… 12分

（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. …… 14分 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围.…… 16分 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()

???

??=+≠--?=+++=++.1),

1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 18分