最短路径问题——和最小 【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是,在一条直线上面找一点,使得这个点与两个定点距离的和最小(将军饮马问题).如图所示,在直线l 上找一点P 使得PA +PB 最小.当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时,PA +PB 最小. 【方法归纳】 ①如图所示,在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小.过点A 作AB ⊥l ,垂足为B ,则线段AB 即为所求. ②如图所示,在直线l 上找一点P 使得PA +PB 最小.过点B 作关于直线l 的对称点B ′,BB ′与直线l 交于点P ,此时PA +PB 最小,则点P 即为所求. ③如图所示,在∠AOB 的边AO ,BO 上分别找一点C ,D 使得PC +CD +PD 最小.过点P 分别作关于AO ,BO 的对称点E ,F ,连接EF ,并与AO ,BO 分别交于点C ,D ,此时PC +CD +PD 最小,则点C ,D 即为所求. ` ④如图所示,在∠AOB 的边AO ,BO 上分别找一点E ,F 使得DE +EF +CF 最小.分别过点C ,D 作关于AO , BO 的对称点D ′,C ′,连接D ′C ′,并与AO ,BO 分别交于点E ,F ,此时DE +EF +CF 最小,则点E ,F 即 为所求. l B A l A l l A l O B O B B O B O
⑤如图所示,长度不变的线段CD 在直线l 上运动,在直线l 上找到使得AC +BD 最小的CD 的位置.分别过点A ,D 作AA ′∥CD ,DA ′∥AC ,AA ′与DA ′交于点A ′,再作点B 关于直线l 的对称点B ′,连接A ′B ′与直线l 交于点D ′,此时点D ′即为所求. ⑥如图所示,在平面直角坐标系中,点P 为抛物线(y =14x 2 )上的一点,点A (0,1)在y 轴正半轴.点P 在什么位置时PA +PB 最小过点B 作直线l :y =-1的垂线段BH ′,BH ′与抛物线交于点P ′,此时PA + PB 最小,则点P 即为所求. 1.(13广东)已知二次函数y =x 2 -2mx +m 2 -1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O (0,0)时,求二次函数的解析式; (2)如图,当m =2时,该抛物线与y 轴交于点C ,顶点为D ,求C 、D 两点的坐标; (3)在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点 P ,使得PC +PD 最短若P 点存在,求出P 点的坐标;若P 点不存在,请说明理由. $ l l
二次函数典型例题——最短路径 1、已知抛物线2:(1)1C y x m x =-++的顶点在坐标轴... 上. (1)求m 的值; (2)0>m 时,抛物线C 向下平移n (n > 0)个单位后与抛物线C 1:c bx ax y ++=2关于y 轴对称,且1C 过点(n ,3),求C 1的函数关系式; (3)03<<-m 时,抛物线C 的顶点为M ,且过点P (1,y 0)问在直线1-=x 上是否存在一点Q 使得△QPM 的周长最小,如果存在,求出点Q 的坐标, 如果不存在,请说明理由. (1)m 的值=1,-1,-3; (2)C 1的函数关系式:22y x x =+; (3)Q 的坐标4 (1,)3-. 2、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线211 24 y x =+ 的顶点为M ,直线2y x =,点()0P n , 为x 轴上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线211 24 y x =+和直线2y x =于点 A ,点 B . ⑴直接写出A ,B 两点的坐标(用含n 的代数式表示); ⑵设线段AB 的长为d ,求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值,并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系; (3)已知二次函数2y ax bx c =++(a ,b ,c 为整数且0a ≠),对一切实数x 恒有x ≤y ≤21 24 x + ,求a ,b ,c 的值. 解:(1)21 (2)4 A n n +,,() B n n , . (2) d =AB =A B y y -=21 24 n n -+. ∴ d =2112()48n -+=211 2()48 n -+ ∴ 当14n =时,d 取得最小值1 8 . 当d 取最小值时,线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB =PM . (如图10) (3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤21 24 x + , ∴ 对一切实数x ,x ≤2ax bx c ++≤21 24 x + 都成立. (0a ≠) ① 图10 x y 111 A P B M O
最短路径问题——和最小 【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是,在一条直线上面找一点,使得这个点与两个定点距离的和最小(将军饮马问题).如图所示,在直线l 上找一点P 使得PA +PB 最小.当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时,PA +PB 最小. l B A l 【方法归纳】 ①如图所示,在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小.过点A 作AB ⊥l ,垂足为B ,则线段AB 即为所求. l A l ②如图所示,在直线l 上找一点P 使得PA +PB 最小.过点B 作关于直线l 的对称点B ′,BB ′与直线l 交于点P ,此时PA +PB 最小,则点P 即为所求. l B A ③如图所示,在∠AOB 的边AO ,BO 上分别找一点C ,D 使得PC +CD +PD 最小.过点P 分别作关于AO ,BO 的对称点E ,F ,连接EF ,并与AO ,BO 分别交于点C ,D ,此时PC +CD +PD 最小,则点 C , D 即为所求. O B O B ④如图所示,在∠AOB 的边AO ,BO 上分别找一点E ,F 使得DE +EF +CF 最小.分别过点C ,D 作关于AO ,BO 的对称点D ′,C ′,连接D ′C ′,并与AO ,BO 分别交于点E ,F ,此时DE +EF +CF 最小,则点E ,F 即为所 求. B O B O ⑤如图所示,长度不变的线段CD 在直线l 上运动,在直线l 上找到使得AC +BD 最小的CD 的位置.分别过
点A ,D 作AA ′∥CD ,DA ′∥AC ,AA ′与DA ′交于点A ′,再作点B 关于直线l 的对称点B ′,连接A ′B ′与直线l 交于点D ′,此时点D ′即为所求. l l ⑥如图所示,在平面直角坐标系中,点P 为抛物线(y =1 4x 2)上的一点,点A (0,1)在y 轴正半轴.点P 在什么位置时PA +PB 最小过点B 作直线l :y =-1的垂线段BH ′,BH ′与抛物线交于点P ′,此时PA +PB 最小,则点P 即为所求. 1.(13广东)已知二次函数y =x 2-2mx +m 2-1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O (0,0)时,求二次函数的解析式; (2)如图,当m =2时,该抛物线与y 轴交于点C ,顶点为D ,求C 、D 两点的坐标; ( 3)在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点P ,使得PC +PD 最短若P 点存在,求出P 点的坐标;若P 点不存在,请说明理由. 【思路点拨】
二次函数速记口诀 二次方程零换y,二次函数便出现。 全体实数定义域,图像叫做抛物线。 抛物线有对称轴,两边单调正相反。 A定开口及大小,线轴交点叫顶点。 顶点非高即最低。上低下高很显眼。 如果要画抛物线,平移也可去描点, 提取配方定顶点,两条途径再挑选。 列表描点后连线,平移规律记心间。 左加右减括号,号外上加下要减。 二次方程零换y,就得到二次函数。 图像叫做抛物线,定义域全体实数。 A定开口及大小,开口向上是正数。 绝对值大开口小,开口向下A负数。 抛物线有对称轴,增减特性可看图。 线轴交点叫顶点,顶点纵标最值出。 如果要画抛物线,描点平移两条路。 提取配方定顶点,平移描点皆成图。 列表描点后连线,三点大致定全图。 若要平移也不难,先画基础抛物线, 顶点移到新位置,开口大小随基础。 二次函数与几何方法 分为:二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、
矩形、菱形、形、圆、面积等问题) 重要思想:①分类讨论→代表性题型:动态几何问题,存在性讨论问题; ②转化思想(待定系数) →代表性题型:面积问题,二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等; ③最短路径→代表性题型:利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标; ④尺规作图→代表性题型:二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标,采用直角三角板与圆规进行尺规作图分析; ⑤极端值思想→代表性题型:动态几何问题,动态函数问题; ⑥数形结合思想→代表性题型:函数与几何综合题。 二次函数的常见考法 (1)考查一些带约束条件的二次函数最值; (2)结合二次函数考查一些创新问题 二次函数的实际应用 在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中,有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题,它们都有可能用到二次函数关系,用到二次函数的最值。 那么解决这类问题的一般步骤是: 第一步:设自变量; 第二步:建立函数解析式; 第三步:确定自变量取值围; 第四步:根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值围)。
专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点,它贯穿于整个初中数学,自数轴起始,至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值,函数的综合类题目,无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变,而其中又有一些技巧性很强的数学思想(转化思想),本专题以几个基本的知识点为经,以历年来中考真题为纬,由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间,线段最短; 2. 垂线段最短; 3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点,P是某直线上一动点,当P、A、B在一条直线上时,PA PB 最大,最大值为线段AB的长(如下图所示); (1)单动点模型 ~ 作图方法:作已知点关于动点所在直线的对称点,连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示,P是x轴上一动点,求PA+PB的最小值的作图.
P是∠AOB内一点,M、N分别是边OA、OB上动点,求作△PMN周长最小值. 作图方法:作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’,连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求. O 5. 二次函数的最大(小)值 ()2 y a x h k =-+,当a>0时,y有最小值k;当a<0时,y有最大值k. 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. (详见精品例题解析) ~ 三、精品例题解析 例1. (2019·凉山州)如图,正方形ABCD中,AB=12,AE=3,点P在BC上运动(不与B、C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为
专题09 二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题 ·最短路径思路点拨: 1. 两点之间,线段最短; (1)单动点模型 作图方法:作已知点关于动点所在直线的对称点,连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示,P 是x 轴上一动点,求P A +PB 的最小值的作图. OA 、OB 上动点,求作△PMN 周长最小值. 作图方法:作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’,连接P ’P ’’ 与动点所在直线的交点M 、N 即为所求. 2. 垂线段最短; 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点,P 是某直线上一动点,当P 、A 、B 在一条直线上时,PA PB 最大,最大值为线段AB 的长(如下图所示); O
利用三角形面积计算方法(铅垂高水平宽法或底乘高法或割补法等)列出方程求解 . ·平行四边形存在性问题 题型一、单动点周长最短及面积存在性问题 (2019·四川凉山州中考)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 的图象过点A (﹣1,0)、B (3,0)、C (0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使得△P AC 的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标及△P AC 的周长;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,在x 轴上方的抛物线上是否存在点M (不与C 点重合),使得S △P AM =S △P AC ?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析. 【解析】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3), ∴ 3 930 a b c c a b c -+= ? ? = ? ?++= ? ,解得: 1 2 3 a b c =- ? ? = ? ?= ? ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3. (2)如图,连接PB、BC ∵点P在抛物线对称轴直线x=1上,点A、B关于对称轴对称,P A=PB,∴C△P AC=AC+PC+P A=AC+PC+PB ∴当C、P、B在同一直线上时,PC+PB=CB最小, 由勾股定理得:AC BC =, ∴C△P AC 设直线BC解析式为y=kx+3 把点B代入得:3k+3=0,解得:k=﹣1∴直线BC的解析式为:y=﹣x+3, ∴y P=﹣1+3=2 ∴点P(1,2)使△P AC (3)存在满足条件的点M,使得S△P AM=S△P AC.∵S△P AM=S△P AC ∴点C和点M到直线P A距离相等 ∴CM∥P A, ∵A(﹣1,0),P(1,2), 可得直线AP的解析式为:y=x+1,
二次函数压轴题专题一 最短路径问题——和最小 知识梳理 最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中,两点间的最短距离,常涉及以下 两个方面: 1、两点之间,线段最短; 2、垂线段最短。 常用思考的方式: 1、把立体转化为平面; 2、通过轴对称寻找对称点。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等 变式问题考查。 例题导航 例1:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三 角形,使三角形周长最小. 例:如图,A.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直) 解:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E, 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。 证明:由平移的性质,得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为: AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中,∵AC+CE>AE, ∴AC+CE+MN>AE+MN,即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。 例:如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧,为了方便灌溉作物,?要 A B a ··
在河边建一个抽水站,将河水送到A 、B 两地,问该站建在河边什么地方,?可使所修的渠道最短,试在图中确定该点。 作法:作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ,则点D 为建抽水站的位置。 证明:在直线 a 上另外任取一点E ,连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上,∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在△ACE 中,AE+EC >AC, 即 AE+EC >AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D 处, 常见问题归纳 “和最小”问题常见的问法是,在一条直线上面找一点,使得这个点与两个定点距离的和最小(将军饮马问题).如图所示,在直线l 上找一点P 使得PA +PB 最小.当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时,PA +PB 最小. 【方法归纳】 ①如图所示,在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小.过点A 作AB ⊥l ,垂足为B ,则线段AB 即为所求. ②如图所示,在直线l 上找一点P 使得PA +PB 最小.过点B 作关于直线l 的对称点B ′,BB ′与直线l 交于点P ,此时PA +PB 最小,则点P 即为所求. ③如图所示,在∠AOB 的边AO ,BO 上分别找一点C ,D 使得PC +CD +PD 最小.过点P 分别作关于AO ,BO 的对称点E ,F ,连接EF ,并与AO ,BO 分别交于点C ,D ,此时PC +CD +PD 最小,则点C ,D 即为所求. l B A l l A l l B A l
最短路径模型——旋转最值类 【典例1】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连结B′D,则B′D的最小值是(). A.B.6 C.D.4 【典例2】如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF 交BD于点G,连结BE交AG于点H,若正方形的边长是2,则线段DH长度的最小值 是 . H G A
【针对训练 】 1. 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =1,点A ,C 分别在x 轴,y 轴上,当点A 在x 轴正半轴上运动时,点C 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点O 的最大距离为( ). A B C .1+ D .3 2.如图,在矩形ABCD 中,AB =4,BC =6,E 是矩形内部的一个动点,且AE ⊥BE ,则线段CE 的最小值为( ). A .32 B . C . D .4 3. 如图,在△ABC 中,AB =10,AC =8,BC =6,以边AB 的中点O 为圆心,作半圆与AC 相切,点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点,连接PQ ,则PQ 长的最大值与最小值的和是( ). A .6 B .1 C .9 D .322 4.如图,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,连接BD 交圆于E 点,连CE ,则CE 的最小值为( ). A .213- B .213+ C .5 D .9 16 5.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 边上的动点,BF ⊥AE 交CD 于点F ,垂足为G ,连结CG ,则CG 的最小值为( ). A 1 B 1 C 1 D 1 6.如图,△ABC 、△EFG 是边长为2的等边三角形,点D 是边BC 、EF 的中点,直线AG 、FG 相交于点M ,当△EFG 绕点D 旋转时,线段BM 长的最小值是 A .2 B 1 C D 1
二次函数中的最短路径问题 教学目标:能利用轴对称解决二次函数中简单的最短路径问题,体会转化思想。 教学重点:利用轴对称将“最短路径问题”转化为“两点之间,线段最短”问题。 教学难点:确定最短路径的作图及说理。 教学过程: 一、复习回顾 课本原型:(七年级下册)如图,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短? 学生回顾基本解法:对称性基本依据:两点之间,线段最短。 二、例题分析15例:已知抛物线, ,OA的中点P出发,先到达对称轴上点F①若一个动22x yx22 点M从的位置,并求FA最后运动到点。确定使点M运动的总路径最短的点. 出这个最短路程的长,再Ex②若一个动点M从P出发,先到达轴上的点 运动的总。确定使点,最后运动到点到达抛物线的对称轴上点FAM. 、点E路径最短的点F的位置,并求出这个最短路程的长
y A x o (PF+AF) 点运功的路程是哪些线段的和?(1)M分析:最短作法是什么?使(PF+AF) 三点共线)F、A(利用对称性,使P、、P两点中哪个点关于对称轴的对称点简便?为什么?取 A 结合图形,怎样求(PF+AF)的最小值? (PE+EF+FA) )这里M点运功的路程是哪些线段的和?(2、求三条线段和的最小值作法是什么?(利用对称性,使P A四点共线)E、F、 P两点中哪个点关于对称轴的对称点简便?为什么?作A、结合图形求解。总结:对比这两个题的解法,找区别与联系。三、课堂练习 CB,的坐标分别为练习1:如图,在直角坐标系中,点A,三点的抛物线
的,,BC,过00(3,),(,3)A,0-1(,)上一动点.ll对称轴为直线,D为对称轴 1()求抛物线的解析式;的坐标;D最小时点AD+CD)求当2(. 为半径作⊙A.3()以点A为圆心,以AD 与⊙A相切;求证:当AD+CD的最小时,直线BD ,)1 (,:练习2如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为3的面积是, X轴上△AOB点在B3(1)求点B的坐标; (2)求过点A、O、B的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
最短路径问题——和最小 【典型例题】1、已知二次函数y=x2-2mx+m2-1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式; (2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P 点的坐标;若P点不存在,请说明理由.
2、如图,抛物线y =1 2 x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,且A (﹣1,0). (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; (2)判断△ABC 的形状,证明你的结论; (3)点M (m ,0)是x 轴上的一个动点,当MC +MD 的值最小时,求m 的值.
3、已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两 点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:y= 3 3x+3对称. (1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上; (2)求二次函数解析式; (3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
5、如图,抛物线y =1 2(x -3)2-1与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点 C ,顶点为 D 了. (1)求点A ,B ,D 的坐标; (2)连接CD ,过原点O 作OE ⊥CD ,垂足为H ,OE 与抛物线的对称轴交于点E ,连接AE ,AD .求证:∠AEO =∠ADC ; (3)以(2)中的点E 为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ,过点P 作⊙E 的切线,切点为Q ,当PQ 的长最小时,求点P 的坐标,并直接写出点Q 的坐标.
专题15二次函数中最短路径问题 【做题思路】: 一般在二次函数中,会求PA+PC的最小值,且点P为动点;对于这类问题,首先将动点所在直线作为“河”,根据“将军饮马问题”的作图步骤,作出图形。 【做题步骤】: ①首先找出“河”:动点所在直线就是“河”; ②选出其中一个特殊定点,做关于“河”的对称点; ③连接对称点与另一个定点; ④连线与河的交点即为动点所在位置,连线长度即为最短路径长(可以用两点之间距离公式); 【变换类型】 求一个三角形的周长最短:周长就是三条线段相加,其中有一条线段是确定的,两条线段长随着动点运动而变化,那么只需要求出与动点相连两定点的线段最小值即可,也就是求两个线段的最小值。 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括: ①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点,求最短路径的问题. ②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题. ③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径. ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径. 【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”. 【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”. 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等. 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查. 【十二个基本问题】
1.直线y=2 3 x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点, PC+PD值最小时点P的坐标为() A.(-3,0)B.(-6,0)C.(-5 2 ,0)D.(- 3 2 ,0) 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示. 直线y=2 3 x+4与x轴、y轴的交点坐标为A(﹣6,0)和点B(0,4), 因点C、D分别为线段AB、OB的中点,可得点C(﹣3,2),点D(0,2).再由点D′和点D关于x轴对称,可知点D′的坐标为(0,﹣2). 设直线CD′的解析式为y=kx+b,直线CD′过点C(﹣3,2),D′(0,﹣2), 所以 2=-3k+b -2=b ? ? ? ,解得: 4 k=- 3 b=-2 ? ? ? ?? , 即可得直线CD′的解析式为y=﹣4 3 x﹣2. 令y=﹣4 3 x﹣2中y=0,则0=﹣ 4 3 x﹣2,解得:x=﹣ 3 2 , 所以点P的坐标为(﹣3 2 ,0).故答案选C.
二次函数动点问题典型例题 等腰三角形问题 1. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=,且经过点A(2,1),点P是抛物线上的动点,P的横坐标为m(0<m<2),过点P作PB⊥x轴,垂足为B,PB 交OA于点C,点O关于直线PB的对称点为D,连接CD,AD,过点A作AE⊥x轴,垂足为E. (1)求抛物线的解析式; (2)填空: ①用含m的式子表示点C,D的坐标: C(,),D(,); ②当m=时,△ACD的周长最小; (3)若△ACD为等腰三角形,求出所有符合条件的点P的坐标. 面积最大 1. 如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2). (1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标. 2.已知:如图,直线y=3x+3与x轴交于C点,与y轴交于A点,B点在x轴上,△OAB是等腰直角三角形. (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)若直线CD∥AB交抛物线于D点,求D点的坐标;
(3)若P点是抛物线上的动点,且在第一象限,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积;若没有,请说明理由. 3. (2015?黔西南州)(第26题)如图,在平面直角坐标系中,平行 四边形ABOC如图放置,将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到 平行四边形A′B′OC′.抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点. (1)求A、A′、C三点的坐标; (2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积; (3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问点M在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并写出此时M的坐标. 最短路径 1.(2014绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点 M(﹣2,),顶点坐标为N(﹣1,),且与x轴交于A、 B两点,与y轴交于C点. (1)求抛物线的解析式; (2)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点P的坐标; (3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由. 2. (2014?泸州)如图,已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B(0,1)和点C,且图象C′过点A(2﹣,0). (1)求二次函数的最大值; (2)设使y2>y1成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程 =0的根,求a的值; (3)若点F、G在图象C′上,长度为的线段DE在线段BC上移动,EF与DG始终平行于y轴,当四边形DEFG的面积最大时,在x轴上求点P,使PD+PE最小,求出点P的坐标. 平行四边形
中考专题复习—最短路 径问题教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
中考专题复习——路径最短问题 课题:中考中的最短路径问题 教学目标:1、利用“垂线段最短”原理确定最短路径 2、利用“两点之间,线段最短”原理确定最短路径 3、让学生学会把立体图形展开平面图形确定最短路径 4、让学生熟悉构建“对称模型”确定最短路径 二教学重点与难点 重点:1、利用“垂线段最短”和“两点之间,线段最短”原理确定最短路径 2、把立体图形转化平面图形之后确定最短路径 3、构建“对称模型”确定最短路径 难点:把立体图形转化平面图形及利用对称性确定最短路径 三、教学过程 知识回顾:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”。“饮马问题”,“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱 形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等。 利用“垂线段最短”原理确定最短路径 1、平面图形 例题1:如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的 一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为_____________ 2、立体图形(展开成平面图形) 例题2:如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面 圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC 上,问它爬行的最短路线是多少? 二、利用“两点之间,线段最短”原理确定最短路径 1:立体图形(展开成平面图形) 例题3:如右图是一个长方体木块,已知AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁 在点 A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径 是。 练习(1)已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6, 高为12cm,今有一蚂蚁 沿圆柱侧面从A点爬到B点觅食,问它爬过的最短距离应是 ____________ (2)如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A 点出发,绕侧面一周又回到A点,它爬行的最短路线长是 ___________ . 2:平面图形(建立“对称模型”) A B C D A B A B B A 2
例题:已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.(1) 求抛物线的解析式;(2) 抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值; 步骤:1:找对称点。2:连线求直线。3:求线段的长度或交点(利用勾股定理) 二次函数综合题 例题:(2013滨州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c 经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点. (1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式; (2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值. 跟踪练习: 1.(2015?甘肃武威)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△P AB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (2015湖南)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图①,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形P AOC的周长最小?若存在,求出四边形P AOC周长的最小值;若不存在,请说明理由.例题:已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.(1) 求抛物线的解析式;(2) 抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值; 步骤:1:找对称点。2:连线求直线。3:求线段的长度或交点(利用勾股定理) 二次函数综合题 例题:(2013滨州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c 经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点. (1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式; (2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值. 跟踪练习: 1.(2015?甘肃武威)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△P AB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (2015湖南)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图①,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形P AOC的周长最小?若存在,求出四边形P AOC周长的最小值;若不存在,请说明理由.
中考二次函数压轴题———解题技巧 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题,同时在省级,国家级数学竞赛中也有二次函数大题,我们的学生大部分都难以在有限时间内完全解答出来,最主要的原因是对解题思路以及方向上没有做到大体的定位。经多番研究比较,发现26题基本设有三小问,第一问基础为主(3到4分),多为求解析式、坐标轴上坐标、系数、顶点,第二问为中等档次(4分),多以求线段长度类、面积类、三角形形状判断、四边形形状、全等、相似,第三问区分度较大,拉开距离的小问(4到5分),多以动点类结合,构成四边形、三角形,此问涉及面广,有多种情况。压轴题出题方向多与几何图形紧密结合,出题范围广,但万变不离其宗,抓住其中关键性质,利用好代数式,80%的分值可以拿到手,现将压轴题的各种解法思路罗列出来,望各位同学有针对性的去查漏补缺,做到1得2拿3取半。 几个自定义概念: ① 三角形基本模型:有一边在X 轴或Y 上,或有一边平行于X 轴或Y 轴的三角形称为三角形基本模型。 ② 动点(或不确定点)坐标“一母示”:借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式,用一个字母把该点坐标表示出来,简称“设横表纵”。如:动点P 在y=2x+1上, 就可设 P (t, 2t+1).若动点P在y=2 321x x -+,则可设为P (t ,2 321t t -+)当然若动点M 在X 轴上,则设为(t, 0).若动点M 在Y轴上,设为()t ,0 ③ 动三角形:至少有一边的长度是不确定的,是运动变化的。或至少有一个顶点是运动,变化的三角形称为动三角形。 ④ 动线段:其长度是运动,变化,不确定的线段称为动线段。 ⑤ 定三角形:三边的长度固定,或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥ 定直线:其函数关系式是确定的,不含参数的直线称为定直线。如:63-=x y 。 ⑦ X 标,Y 标:为了记忆和阐述某些问题的方便,我们把横坐标称为x 标,纵坐标称为y 标。 ⑧ 直接动点:相关平面图形(如三角形,四边形,梯形等)上的动点称为直接动点,与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“表示”是针对直接动点坐标而言的。 1.求证“两线段相等”的问题: 借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来; 然后看两线段的长度是什么距离(即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴(y 轴)的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等。 2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题: 由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t ),借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式 -y y 下 上或 21y y -,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的 性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题:
最短路径问题一一和最小 【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是,在一条直线上面找一点,使得这个点与两个定点距离的和最小(将军 饮马问题)?如图所示,在直线 丨上找一点P 使得P%PB 最小?当点P 为直线AB 与直线丨的交点时,PA + PB 最小. B -r | P , B' B 4 P . B' ③如图所示,在/ AOB 勺边AO B0上分别找一点 C D 使得PO C 戻PD 最小?过点P 分别作关于 AO BO 的对称点E ,F ,连接EF,并与AO B0分别交于点C, D,此时PO C 戻PD 最小,则点C D 即为所求. ④如图所示,在/ AOB 勺边AO BO 上分别找一点 E F 使得D 可EF + CF 最小?分别过点 C , D 作关于AO BO 的对称点D ; C ;连接DC,并与AO BC 分别交于点E, F ,此时DE^EF + CF 最小,则点E, F 即为所求. ⑤如图所示,长度不变的线段 CD 在直线丨上运动,在直线丨上找到使得AO BD 最小的CD 的位置?分别过 点A , D 作AA// CD DA// AC AA 与 DA 交于点A ;再作点B 关于直线丨的对称点B',连接A'B 与直线丨交于 【方法归 纳】 在直线 丨上找一点B 使得线段AB 最小?过点A 作AB1丨,垂足为B,则线段AB 即为所求. 在直线 ②如图所示, 点P ,此时PA^ PB 最小,则点P 即为所求. 丨上找一点P 使得PA^ PB 最小?过点B 作关于直线丨的对称点B',BB'与直线丨交于 B F B
点D ,此时点D 即为所求. 1 ⑥如图所示,在平面直角坐标系中,点 P 为抛物线(y = 4X 1 2)上的一点,点A ( 0, 1)在y 轴正半轴.点P 在什么位置时PA+PB 最小?过点B 作直线I : y =— 1的垂线段BH, BH 与抛物线交于点 P ,此时PA+ PB 最小,则点P 即为所求. 【思路点拨】 (1) 由二次函数的图象经过坐标原点 0(0,0),直接代入求出 m 的值即可; 1 (13广东)已知二次函数 y = x 2 — 2m 灶卅一1. (1) 当二次函数的图象经过坐标原点 0(0, 0)时,求二次函数的解析式; (2) 如图,当m= 2时,该抛物线与y 轴交于点C ,顶点为D 求C 、D 两点的坐标; (3) 在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点 P ,使得PO PD 最短?若P 点存在,求出P 点的坐标;若P 点不存在,请说明理由 . B B B'