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快速突破二次函数图象特征

快速突破二次函数图象特征
快速突破二次函数图象特征

快速突破二次函数图象特征

【板块一:知识回顾】

1. 二次函数y =ax 2

+bx +c 的图象是以x =-a b 2为对称轴,以(-a b 2,a b ac 442

-)为顶点的抛物线.

2. 【图象特征】

◆ 开口:a

◆ 对称轴:直线x =-a

b 2 ◆ 顶点:(-a b 2,a

b a

c 442

-) ◆ 与坐标轴的交点

● 与y 轴恒有交点,交点坐标恒为(0,c )

● 与x 轴交点个数

i. △=b 2-4ac >0 两个交点;

(交点坐标为(x 1,0)、(x 2,0),其中 x 1、 x 2是方程ax 2+bx +c=0 (a ≠0)

的两根.)

ii. △=0 只有一个交点;

iii. △<0 没有交点;

◆ 单调性

二次函数y =ax 2+bx +c 的图象,如图,

● 当a > 0时,其图象的开口向上,

当x <-

a

b 2时y 的值随x 的增大而减小; 当x >-a b 2时y 的值随x 的增大而增大; 当x =-a b 2时,y 有最小值a

b a

c 442-.

当a < 0时,其图象的开口向下,

当x <-

a

b 2时y 的值随x 的增大而增大; 当x >-a b 2时y 的值随x 的增大而减小; 当x =-a b 2时,y 有最大值a

b a

c 442 .

【板块二:例题精讲】

1. (2010?昭通)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则下列结论正确的是( )

A .a <0,b <0,c >0,b 2-4ac >0

B .a >0,b <0,c >0,b 2-4ac <0

C .a <0,b >0,c <0,b 2-4ac >0

D .a <0,b >0,c >0,b 2-4ac >0

2. (2011?孝感)如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半

轴相交,其顶点坐标为(2

1,1),下列结论:①ac <0;②a +b =0;③4ac -b 2=4a ;④a +b +c <0.其中正确结论的个数是( )

A .1

B .2

C .3

D .4

3. (2011?广西)已知:二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如

图所示,下列结论中:

①abc >0;②2a +b <0;③a +b <m (am +b )(m ≠1的实数);

④(a +c )2<b 2;⑤a >1.其中正确的项是( )

A .①⑤

B .①②⑤

C .②⑤

D .①③④

4. (2010内蒙古)已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点(-2,0)、(x 1,

0),且10;④2a-b +1>0.其中正确结论的个数是 个.

5.(2008?德阳)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)且a<b<c.那么

①abc>0;②b2-4ac<0;③a+b+c=0;④2a-b<0;⑤2a+c<0.这五个式子中,一

定正确的是③④⑤

【综合运用】

6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列8个结

论:①abc>0;②b2-4ac<0 ;③4a+2b+c>0;④2a+b=0 ;

⑤b<a+c ;⑥2c<3b ;⑦a+b>m(am+b),(m≠1的实数) ;

⑧(a+c)2>b2,其中正确的结论有( )

A.2个B.3个C.4个D.5个

【板块三:规律总结】

1.先定a、b、c;

2.代入特殊值;

3.四点一线;

4.组合变形;

二次函数表达式、图象、性质及计算(讲义)

二次函数表达式、图象、性质 及计算(讲义) 一、知识点睛 1. 一般地,形如__________________(_______________)的 函数叫做x 的二次函数. 2. 表达式、图象及性质: ①由一般式通过______________可推导出顶点式. 顶点式:________________(其中h =______,k =_________). ②二次函数的图象是_________,是________图形,对称轴是__________,顶点坐标是_____________. ③当a_______时,函数有最_____值,是____________; 当a_______时,函数有最_____值,是____________. ④当a _____时,图象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______;当a_____时,图 象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______. ⑤a ,b ,c 符号与图象的关系: a 的符号决定了抛物线的开口方向,当_____时,开口向____;当_____时,开口向____. c 是抛物线与_______交点的______. b 的符号:与a_____________,根据_____________可推导. 3. 二次函数图象平移: ①二次函数图象平移的本质是__________,关键在______. ②图象平移口诀:________________、________________. 平移口诀主要针对二次函数_________________. 二、精讲精练 1. 下列函数(x ,t 是自变量)是二次函数的有________.(填写序号) ①2132y x x =--;②2123y x x =-+;③21 32 y x =-+; ④2 22y x =+;⑤2y x =-;⑥231252 y x x =-+; ⑦215s t t =++;⑧2 20x y -+=. 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数,则a =( ) A .-3 B .3 C .±3 D .5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式( ) A .2 (3)5y x =-- B .2 (3)5y x =+- C .2 2(3)5y x =-+ D .2 2(3)5y x =--

二次函数图象多选题--2019中考真题汇编

001(2019?甘肃)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,对于下列说法:①ac>0,②2a+b >0,③4ac<b2,④a+b+c<0,⑤当x>0时,y随x的增大而减小,其中正确的是() A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤ 002(2019?天津)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表: 且当x时,与其对应的函数值y>0.有下列结论: ①abc>0;②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0<m+n. 其中,正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3

003(2019?安顺)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=OC.则由抛物线的特征写出如下结论: ①abc>0;②4ac﹣b2>0;③a﹣b+c>0;④ac+b+1=0. 其中正确的个数是() A.4个B.3个C.2个D.1个 004(2019?赤峰)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b>0;②a ﹣b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④当x<﹣1或x>3时,y>0.上述结论中正确的是.(填上所有正确结论的序号)

005(2019?通辽)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现给以下结论:①abc<0; ②c+2a<0; ③9a﹣3b+c=0; ④a﹣b≥m(am+b)(m为实数); ⑤4ac﹣b2<0. 其中错误结论的个数有() A.1个B.2个C.3个D.4个 006(2019?贵港)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,且b2﹣4a>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=﹣1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是.

一元二次函数的图像和性质

§ 3.4一元二次函数的图象和性质 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质 教学目标 1、知道二次函数的意义; 2、会用描点法画出二次函数的图象; 3、掌握二次函数的两种表达形式:一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式; 4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值; 5、会根据已知条件求出二次函数的解析式. 知识讲解 1、二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c (a、b、c是常数,a≠0)其特点是:解析式是自变量的整式表达式,自变量最高次数是二次,二次项系数必须不为零。当b=c=0时,就是一个特殊的二次函数y=ax2(a≠0),我们首先学习的就是这类最简单的二次函数,y=ax2的图象是一条顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上,函数有最小值当x=0时,最小值是0;当a<0时,抛物线的开口向下,函数有最大值当x=0时,最大值是0。 2、二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k (a≠0),顶点的坐标为(h,k),对称轴为x=h,当 a>0时,抛物线开口向上,此时,当x=h时y有最小值为k;当a<0时,抛物线开口向下,此时当x=h时y有最大值k.。 例题讲解

例3、根据下列条件,分别求二次函数的解析式: ⑴顶点为(2,3),图象经过点(0,1) ⑵当x=4时,函数有最小值-3,且图象经过点(1,0) ⑶对称轴为x=2,图象经过(1,4),(5,0) ⑷形状与y=3x2相同,当x=-1时,y有最大值2

巩固练习: 1.二次函数y=2x 2-4x+3通过配方化为顶点式为y=______. 2.将函数y=-2x 2 +8x -7,写成y=a (x -h )2 +k 的形式为_______,其顶点坐标是______,对称轴是_______. 3.已知抛物线y=x 2-6x+5的部分图象如图1,则抛物线的对称轴为直线x=_______.?满足y<0的x 的取值范围是________,将抛物线y=x 2-6x+5向________平移______?个单位,可得到抛物线y=x 2 -6x+9. 4.老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质: 甲:函数的图像经过第一、二、四象限;乙:当x <2时,y 随x 的增大而减小. 丙:函数的图像与坐标轴... 只有两个交点. 已知这三位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________. 5.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是 . 6.如图,如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,? 与y 轴交于C 点,且OB=OC= 12 OA ,那么b= _______________. 7.以下画抛物线y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的步骤,顺序正确的是( ) ①利用函数的对称性列表;②确定抛物线的开口方向;③描点画图;?④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a (x -h )2+k 的形式 A .③②①④ B .④②①③ C .②④①③ D .③②④① 8.把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2-3x+5,则有( ) A .b=3,c=7 B .b=-9,c=-15 C .b=3,c=3 D .b=-9,c=21 9.抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图2,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a> 12 ;④b<1.其中正确的结论是( ) A .①② B .②③ C .②④ D .③④ 10.满足a<0,b>0,c=0的函数y=ax 2 +bx+c 的图象是图中的( )

二次函数选择题(含答案)

2008年全国中考数学试题分类精编 二次函数专题一、选择题 1.(2008资阳市) 在平面直角坐标系中,如果抛物线y =2x 2 不动,而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A .y =2(x -2)2 + 2 B .y =2(x + 2)2 -2 C .y =2(x -2)2-2 D .y =2(x + 2)2 + 2 2.(2008四川达州市)已知二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,当0y <时, x 的取值范围是( ) A .13x -<< B .3x > C .1x <- D .3x >或1x <- 3.(2008泰州市)二次函数 342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得 到,下列平移正确的是( ) A .先向左平移2个单位,再向上平移1个单位 B .先向左平移2个单位,再向下平移1个单位 C .先向右平移2个单位,再向上平移1个单位 D .先向右平移2个单位,再向下平移1个单位 4.(2008山西省)抛物线 5422---=x x y 经过平移得到22x y -=,平移方法是( ) A .向左平移1个单位,再向下平移3个单位 B .向左平移1个单位,再向上平移3个单位 C .向右平移1个单位,再向下平移3个单位 D .向右平移1个单位,再向上平移3个单位 5.(2008年陕西省)已知二次函数 2y ax bx c =++(其中000a b c >><,,), 关于这个二次函数的图象有如下说法: ①图象的开口一定向上;②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧. 以上说法正确的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 6、(2008年吉林省长春市)抛物线 ()2 23y x =++的顶点坐标是 【 】 A.(-2,3) B.(2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 7、(2008年吉林省长春市)二次函数 362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是【 】 A .3

初中数学二次函数图像性质练习题(附答案)

初中数学二次函数图像性质练习题(附答案) 1、函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()232 1-- =x y ,顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小, 函数有最 值 。 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 (1)右移2个单位;(2)左移3 2个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。 3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质(至少2个)。 4、二次函数()2h x a y -=的图象如图:已知2 1=a ,OA=OC ,试求该抛物线的解析式。 5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ,与y 轴交点为B ,求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。 6、二次函数2)4(-=x a y ,当自变量x 由0增加到2时,函数值增加6。求:(1)求出此函数关系式。(2)说明函数值y 随x 值的变化情况。 7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上,求k 的值。 2、()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个以(2, 3)为顶点,且开口向上的二次函数: 。 2、二次函数 y =(x -1)2+2,当 x = 时,y 有最小值。 3、函数 y =12 (x -1)2+3,当 x 时,函数值 y 随 x 的增大而增大。 4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位,再向 平移2个单位得到。 5、已知抛物线的顶点坐标为2,1,且抛物线过点3,0,则抛物线的关系式是 6、如图所示,抛物线顶点坐标是P (1,3),则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( ) A 、x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y 。 (1)确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)当x= 时,抛物线有最 值,是 。 (3)当x 时,y 随x 的增大而增大;当x 时,y 随x 的增大而减小。 (4)求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离; (5)求出该抛物线与y 轴的交点坐标; (6)该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的 8、已知函数()412-+=x y 。 (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ,求△ABC 的面积; (3)指出该函数的最值和增减性; (4)若将该抛物线先向右平移2个单位,在向上平移4个单位,求得到的抛物线的解析式; (5)该抛物线经过怎样的平移能经过原点。 (6)画出该函数图象,并根据图象回答:当x 取何值时,函数值大于0;当x 取何值时,函数值小于0。 3、c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 。

二次函数的性质与图像

第二章二次函数 1.二次函数所描述的关系 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念,对一次函数、反比例函数的相关知识如:各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础,相关应用也较常见,学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些解决实际问题活动,感受到了函数反映的是变化过程,并可通过列表、解析式、图像了解变化过程,对各种函数的表达方法的特点有所了解,获得了探究学习新函数知识的基础;同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本课的具体学习任务:本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系,重点是通过分析实际问题,以及用关系式表示这一关系的过程,引出二次函数的概念,获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.让学生通过 分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系),从学生感兴趣的问题入手,并广泛联系多学科问题,使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义,感受数学的广泛联系和应用价值.在教学中,让学生通过观察、思考、合作,交流,归纳出二次函数的概念,并从中体会函数的建模思想。 教学目标 (一)知识与技能 1.探索并归纳二次函数的定义. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. (二)过程与方法 1.经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系. 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题. (三)情感态度与价值观 1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. 2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用. 3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.

数学:二次函数的表达式、图象、性质及计算(二 人教版 九年级训练考试卷)

学生做题前请先回答以下问题 问题1:二次函数的一般式通过_______可推导出顶点式 ______________________. 问题2:想一想什么特征下设二次函数解析式为顶点式,如何设? 问题3:想一想什么特征下设二次函数解析式为交点式,如何设? 问题4:二次函数图象平移: ①二次函数图象平移的本质是__________,关键在坐标; ②图象平移的口诀:__________,__________. 平移口诀主要针对____________. 二次函数的表达式、图象、性质及计算(二)(人 教版) 一、单选题(共12道,每道8分) 1.在平面直角坐标系中,若将抛物线先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 2.抛物线如何平移可得到抛物线( ) A.向左平移4个单位,再向上平移1个单位 B.向左平移4个单位,再向下平移1个单位 C.向右平移4个单位,再向上平移1个单位 D.向右平移4个单位,再向下平移1个单位 3.要得到二次函数的图象,需将的图象( ) A.向左平移2个单位,再向下平移2个单位 B.向右平移2个单位,再向上平移2个单位 C.向左平移1个单位,再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位,再向下平移1个单位 4.抛物线先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为,则b,c的值分别为( )

A. B. C. D. 5.若把函数的图象记作,把函数的图象记作,则 可以由______平移得到.( ) A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 6.如图,把抛物线沿直线向上平移个单位后,其顶点在直线上的点A 处,则平移后的抛物线解析式为( ) A. B. C. D. 7.已知抛物线C:,将抛物线C平移到.若两条抛物线C,关于直线x=1对称,则下列平移方法中正确的是( ) A.将抛物线C向右平移个单位 B.将抛物线C向右平移3个单位 C.将抛物线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位 8.把二次函数的图象先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得图象的解析式为,则b的值为( )

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2,y=a(x-h)2 ,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象,能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质:

2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质:

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左 加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

二次函数图象性质及应用(讲义及答案)

二次函数图象性质及应用(讲义) ?课前预习 回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识,回答下列 问题: 1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说,a,b,c 符号与图象的关系: a 的符号决定了抛物线的开口方向,当时,开口向; 当时,开口向. c 是抛物线与交点的. b 的符号:与a ,根据可推 导.判断下面函数图象的a,b,c 符号: (1)已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限,那么() A.a > 0,b > 0,c > 0 C.a < 0,b < 0,c > 0 B.a < 0,b < 0,c = 0 D.a > 0,b > 0,c = 0 (2)二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,给出下列结论:①abc>0;②2a-b=0.其中正确的是. 2.函数y 值比大小,主要利用函数的增减性和数形结合.如点 A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b 上,当k>0,x1<x2时,y1y2.

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?知识点睛 1.二次函数对称性:两点对称,则相等;纵坐标相等, 则两点;由(x1,y1),(x2,y1)知,对称轴为直线.2.二次函数增减性:y 值比大小、取最值,常利用, 借助求解. 3.观察图象判断a,b,c 符号及组合: ①确定符号及信息; ②找特殊点的,获取等式或不等式; ③代入不等式,组合判断残缺式符号. ?精讲精练 1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表: x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A.5 B.-3 C.-13 D.-27 2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x,纵坐标y 的对应值 如下表: x …-2 -1 0 1 2 … y …0 4 6 6 4 … 从上表可知,下列说法中正确的是.(填写序号) ①抛物线与x 轴的一个交点为(3,0); ②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6; ③抛物线的对称轴是直线x =1 ; 2 ④在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大. 3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 .若x ≥2 时,函数值y 随 x 的增大而增大,则m 的取值范围是;若x≤1 时,函数值y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是. 4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中,若y 随x 的增大而增大, 则x 的取值范围是. 2 二次函数草图的画法: 1. 一般草图 1找准开口方向、对称轴、顶点坐标,画二次函数; 2根据各点与对称轴的距离描点(或结合函数间关系画图).2. 坐标系下画草图时,往往要根 据四点一线来确定大致图 象.四点:二次函数顶点,二 次函数与y 轴的一个交点,二 次函数与x 轴的两个交点. 一线:二次函数对称轴.

高中数学《二次函数的性质与图象》教案

§2.2.2 二次函数的性质与图象(教案) 一、教学目标 1、知识目标 (1)使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法 (2)进一步掌握二次函数2(0) =++≠的性质及图象的画法。 y ax bx c a 2、能力目标 (1)培养学生的观察分析能力,引导学生学会用数形结合的方法研究问题; (2)培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标 (1)通过新旧知识的认识冲突,激发学生的求知欲; (2)通过合作学习,培养学生团结协作的思想品质。 二、教学重点、难点 运用配方法研究二次函数的性质。 三、教学方法 采用“问题引导——合作探究”的教学方式,通过创设一个个问题情境,引导和激发学生对知识进行思考、探索,从而完成新知识的建构,用学案提高课堂效益,用多媒体辅助教学,以增强直观性。 四、教学过程 1、问题引入 问题1:二次函数的定义,二次函数的图象是一条抛物线。 2、研究函数2(0) y ax a =≠的性质 请同学们拿出预习时所做的8个二次函数图象,对照图象填写下表。 函数2 y ax =的性质

目的:由特殊到一般,同时为配方法打下基础。 3、配方法的引入 问题2:(1)函数2(1)(0)y a x a =-≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到?平移后哪些性质将会发生改变?哪些性质没变? (2)函数2(1)2(0)y a x a =-+≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到? 将2(1)2y a x =-+展开得2222y ax ax a =-++即二次函数的一般形式了。 因此要研究一般形式的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象及性质,我们可想法化为 2(1)y a x k =-+形式,那采用方法是: 配方法 4、实例演练 例1:(1)研究二次函数21()462 f x x x =++的性质和图象; (2)研究二次函数2()43f x x x =--+的性质和图象 先研究第一题 (1)配方:21()462 f x x x =++2211(8)6[(4)16]62 2 x x x =++=+-+ 21 (4)22 x =+- 图象开口方向向上,顶点(-4,-2)

2二次函数图象的几何变换

一、二次函数图象的平移变换 (1)具体步骤: 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式,确定其顶点(,)h k ,然后做出二次函 数2y ax =的图像,将抛物线2 y ax =平移,使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示: (2)平移规律:在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2 y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+- ; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =--+. 5. 关于点()m n , 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 知识点拨 二次函数图象的几何变换

最新二次函数单元测试题及答案

二次函数单元测评 (试时间:60分钟,满分:100分) 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是() A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点在第___象限 () A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4,图 象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的 图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线 x=-1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3,y3)是直线上的点,且-1

二次函数的图像和性质测试题

二次函数的图像和性质测验 姓名:___________得分:__________ 一、选择题(每小题3分,共45分): 1、下列函数是二次函数的有( ) 12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y x y x y (6) y=2(x+3)2-2x 2 A 、1个; B 、2个; C 、3个; D 、4个 2. y=(x -1)2+2的对称轴是直线( ) A .x=-1 B .x=1 C .y=-1 D .y=1 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是( ) A .(2,1) B .(-2,1) C .(2,-1) D .(-2,-1) 4. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2, 1) 5.已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点,则m 的值为 ( ) A . 0或2 B . 0 C . 2 D .无法确定 6.函数y=2x 2-3x+4经过的象限是( ) A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 7.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图5所示,有下列结论: ①0abc >;②a+b+c>0③a-b+c<0;;其中正确的结论有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 8、已知二次函数213x y -=、2231x y -=、232 3x y =,它们的图像开口由小到大的顺序是( ) A 、321y y y << B 、123y y y << C 、231y y y << D 、132y y y << 9、与抛物线y=- 12 x 2 +3x -5的形状、开口方向都相同,只有位置不同的抛物线是( ) (A) y = x 2+3x -5 (B) y=-12x 2 (C) y =12x 2+3x -5 (D) y=1 2 x 2 10.正比例函数y =kx 的图象经过二、四象限,则抛物线y =kx 2-2x +k 2的大致图象是( ) 11.把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为( ) A .2)1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2++=x y D .2)1(2-+=x y 图5

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

二次函数的图像和性质基础知识测试题

九年级数学下册《二次函数的图像和性质》基础知识测验 班级:_________姓名:___________得分:__________ 一、选择题(每小题3分,共45分): 1、下列函数是二次函数的有( ) 12)5(;)4();3()3(;2 )2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y x y x y (6) y=2(x+3)2-2x 2 A 、1个; B 、2个; C 、3个; D 、4个 2. y=(x -1)2+2的对称轴是直线( ) A .x=-1 B .x=1 C .y=-1 D .y=1 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是( ) A .(2,1) B .(-2,1) C .(2,-1) D .(-2,-1) 4. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2, 1) 5.已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点,则m 的值为 ( ) A . 0或2 B . 0 C . 2 D .无法确定 6.函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是( ) A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 7.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图5所示,有下列结论: ①0abc >;②a+b+c>0③a-b+c<0;;其中正确的结论有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 8、已知二次函数213x y -=、2231x y -=、232 3 x y =,它们的图像开口由小到大的顺序是 ( ) A 、321y y y << B 、123y y y << C 、231y y y << D 、132y y y << 9、与抛物线y=- 12 x 2 +3x -5的形状、开口方向都相同,只有位置不同的抛物线是( ) (A) y = x 2+3x -5 (B) y=-12x 2 (C) y =12x 2+3x -5 (D) y=1 2 x 2 10.正比例函数y =kx 的图象经过二、四象限,则抛物线y =kx 2-2x +k 2的大致图象是( ) 图5

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