当前位置：文档库 › 勾股定理

勾股定理

学生姓名刘卓铭年级初二授课时间 5.31上午教师姓名罗龙课时2h

课题：勾股定理

教学目标：1．会用勾股定理解决实际问题。

2．树立数形结合的思想。

重点：勾股定理的实际应用

难点：勾股定理的灵活应用

内容：

一、复合

１．勾股定理

内容：

表示方法：

2、勾股定理的逆定理

内容：

三角形的判定：

3、常用的勾股数

如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；22

1,2,1

n n n

-+（2,

n≥n为正整数）

4、勾股定理的适用范围

5、勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC

?中，90

∠=?

，则c

，

，a

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

6．勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

7、勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

A B

30°

A A

二、经典例题（接上节课内容）

三、题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直

例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD =80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图5，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。

例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，B C∥MN,BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚

好打开。

例1：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，PA=2,PB=求△ABC 的边长.

分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，

根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

变式1、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，

试探究222

BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.

题型七：关于翻折问题

例1、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折

叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.

题型八：关于勾股定理在实际中的应用：

例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，

AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周

围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向

行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖

拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

题型九：关于最短性问题

例5、：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？

课堂练习

一、填空题

1.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离

相等，则这棵树高_____________________米。

2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、

2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是

_____________.

3、将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离为。

4、如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________。

5、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为。

二、选择题

1．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（）

A 、24cm 2

B 、36cm 2

C 、48cm 2

D 、60cm 2

2．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）

A 、56

B 、48

C 、40

D 、32

3．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（）

A 、450a 元

B 、225a 元

C 、150a 元

D 、300a 元

4．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（）

A 、121

B 、120

C 、132

D 、不能确定

5．在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为

A ．42

B ．32

C ．42或32

D ．37或33

6. 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（）

（A ）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对

2032A B 150° 20m 30m 第3题图 B

课后练习

1、如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为d(已知d2=400000m2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？

2、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.

3．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

4、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

5、已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2

2，

求（1）AB的长；（2）S

△ABC 。

B D

E F