柱坐标系、球坐标系与直角坐标系之间单位矢量的转换

1.8 圆柱坐标系和球坐标系

1.8 圆柱坐标系与球坐标系 1.8.1 圆柱坐标系 （1）建立圆柱坐标系 空间任一点P 的位置由坐标（ρ，φ，z ）确定，如图（a ）所示。其中： ① ρ 是P 点到z 轴的距离，即位置矢量r 在xoy 平面上的投影； ② φ 是正x 轴转到半平面o ABC 的方位角(0≤φ ≤2π)； ③ z 是位置矢量r 在z 轴上的投影，即P 点到xoy 平面的距离。 这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面： ① 以z 为轴、ρ为半径的圆柱面； ② 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转φ角度所得半平面； ③ 距xoy 平面为z 的平行平面。 这三个坐标面交汇于P 点，且在P 点处相互正交。为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一个单位矢量e ρ、e φ和e z ，三单位矢量有以下特点： ① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系 e ρ ? e φ = e z e φ ? e z = e ρ （1.8.1） e z ? e ρ = e φ (b ) y x y e x (平面) ) ρ =常数 (圆柱面y

② 除e z 是常矢外，e ρ和e φ 的方向都有可能随 P 点的不同而变化，它们是坐标函数: y x y x e e e e e e φφφφφρcos sin sin cos +-=+= e ρ、e φ、e z 对坐标ρ、φ、z 求偏导 ???? ? ??????=??=??=??=??-=??=??=??=??=??0000000z z z z z z e , e , e e ,e e ,e e ,e e , e φ ρ φρφρ φρφφρ φρρ 矢量F （ρ、φ、z ）在圆柱坐标系下的表示式 z z A A A e e e A ++=φφρρ (1.8.2) （2）线元矢量、面元和体积元 当点的位置发生微小变化导致了微分位移，用线元矢量d l 表示 z z e e e l d d d d ++=φρφρρ (1.8.3) 三个坐标微分增量d ρ、d φ、d z 所形成的体积元d V z V d d d d φρρ= （1.8.4） 两坐标变量的微小变化将形成三个典型面元，它们的正方向分别沿坐标ρ、φ、z 的 正方向 (a ) (b ) ρ φ d s ρ

高中数学1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教版选修4-4

四柱坐标系与球坐标系简介 课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐 标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学? 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q,连接OR 记| OP |= r ，OP 与0Z 轴正 向所夹的角为 ，P 在oxy 平面的射影为 Q, Ox 轴按逆时针方向旋转到 0Q 时所转过的最小 正角为 ，点P 的位置可以用有序数组 （r,,）表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫 球坐标系（或空间极坐标系） 有序数组（r,,）叫做点P 的球坐标，其中 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与球坐标（r, 2 x 2 y 2 2 z r x rsi n cos y r si n sin z r cos 2、柱坐标系 有序数组（p , 9 ,Z ）叫点P 的柱坐标，其中p 》0, 0 <9 <2n , z € R 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与柱坐标（p , 9 ,Z ）之间的变换关系为： x cos y sin r > 0, 0< < , o w v 2 。 ,）之间的变换关系为： 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组 系叫做柱坐标系 Q 用（P , 9 ）（ P> 0,0 <0 <2n ）表示点在 （p , 9 ,Z ）表示把建立上述对应 关系的坐标

《球坐标系与柱坐标系》教学案1

1.9《球坐标系与柱坐标系》教学案 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式. 教学重点： 体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点： 利用它们进行简单的数学应用 授课类型： 新授课 教学模式： 启发、诱导发现教学. 教 具： 多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度. 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系). 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π. 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为：

??? ????====++θ? θ?θcos sin sin cos sin r z r y r x r z y x 2 222 2、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ，θ)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，Z )表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ，θ，Z )叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0， 0≤θ<2π， z ∈R . 空间点P 的直角坐标(x ， y ， z )与柱坐标(ρ，θ，Z )之间的变换关系为： 3、数学应用 例1建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点. 变式训练 建立适当的柱坐标系， 表示棱长为1的正方体的顶点. 例2.将点M 的球坐标)65,3, 8(ππ化为直角坐标. 变式训练 1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标. 2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π 化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么？ 例3.球坐标满足方程r =3的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程. 变式训练 标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么？ ?????===z z y x θ ρθρsin cos

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4

1．柱坐标系 柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为 Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有 之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点 R. ∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z. 由公式求出ρ，再由tan θ＝y x 求θ. 由公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得ρ2＝x 2＋y 2 ， 即ρ2 ＝12 ＋(3)2 ＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x ＝3， 又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π 3 ， ∴点A 的柱坐标为? ?? ??2，π3，5. 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为? ?? ??4，π3，8， 求 它的直角坐标． 直接利用公式求解．

由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z 得 x ＝4cos π 3 ＝2，y ＝4sin π3 ＝23，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． 已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可． 3．点N 的柱坐标为? ?? ??2，π2，3，求它的直角坐标． 解：由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得 x ＝ρcos θ＝2cos π 2 ＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2 ＝2， 故点N 的直角坐标为(0,2,3)． 4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为? ?? ??2，π2，1，求A ，B 两点间距离． 解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB |＝ －1－ ＋－ ＋ － ＝ 6. 故A ，B 两点间的距离为 6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( ) A.? ????2，π3，2 B.? ????2，2π3，2 C.? ????2，4π3，2 D.? ?? ??2，5π3，2

柱坐标系与球坐标系

柱坐标系与球坐标系 1、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面oxy 上的极坐标， 点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z ＜+∞ 2，柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系 及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为： 3 应用：例1：设点的直角坐标为(1，1，1)，求它:在柱坐标系中的坐标. 解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为 （ ， ，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 练习： 1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 3，柱坐标系： r 为常数 圆柱面 半平面 平 面 x y z o P(ρ,θ,Z) Q θ 4π?? ???===z z y x θρθρsin cos ?? ???===z 1sin 1cos 1θρθρ224π?),,(z y x M ),(θr P ?θr z x y z o 点在柱坐标系中的坐标为(2,,1)4π求它的直角坐标。的柱坐标为、设点),7,6,2(2πM (3,1,7) 为常数θ为常数z

球坐标系 1，球坐标系： 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为φ. 设P 在oxy 平面上的射影为Q ， Ox 轴按逆时 针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示. 空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标， 2 , 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为； 3 应用：例：设点的球坐标为(2， ， ) 求它的直角坐标.？ 点在直角坐标系中的坐标为（ －1 ，1 ，－ ）. 4 小结： 数轴 平面直角坐标系 坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化， 从而产生了坐标法. y o P Q X Z 其中 πθπ?20,0,0<≤≤≤≥r x y z o P(r,φ,θ) Q θ r φ 称为高低角 －的方位角，被测点称为 球坐标中的角应用，在测量实践中，文学中有着广泛的球坐标系在地理学、天 ?θ?θ090),,(r P ?? ???===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x 43π43π22222r z y x =++） ，，（为直角坐标。 、将下列点的球坐标化例65381ππM

柱坐标系与球坐标系简介教案

四 柱坐标系与球坐标系简介 课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为： ???????====++θ ?θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ?? ???===z z y x θ ρθρsin cos

球坐标系与柱坐标系

4.1.3球坐标系与柱坐标系 1．球坐标系、柱坐标系的理解． 2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化． [基础·初探] 1．球坐标系与球坐标 (1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系． 图4-1-5 (2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P 的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π. 2．直角坐标与球坐标间的关系 图4-1-6 若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox 轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4-1-6所示．

x 2＋y 2＋z 2＝r 2， x ＝r sin_θcos_φ， y ＝r sin_θsin_φ， z ＝r cos_θ. 3．柱坐标系 建立了空间直角坐标系O -xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R . 图4-1-7 4．直角坐标与柱坐标之间的关系 ??? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，z ＝z . [思考·探究] 1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？ 【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成． 2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？

球坐标系与柱坐标系

球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)。 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为： ???????====++θ ? θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 。 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ?????===z z y x θ ρθρsin cos

柱坐标系和球坐标系(教师)

7 柱坐标系和球坐标系 主备： 审核： 学习目标： 1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法； 2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式. 学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系. 学习难点：利用它们进行简单的数学应用. 学习过程： 一、课前准备 阅读教材1618P P -的内容，了解柱坐标系的定义, 以及如何用柱坐标系描述空间中的点.并思考下面的问题： 空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置的方法？ 答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐标，柱坐标系，球坐标系. 二、新课导学： （一）新知： 1.柱坐标系： （1）设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<表示点 Q 在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有 序数组(,,)z ρθ表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，记作(,,)z ρθ.其中0ρ≥， 02θπ≤<，z R ∈. （2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建 立起来的. （3）空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换公式为 cos sin x y z z ρθρθ=?? =??=? . 2.球坐标系： （1）设P 是空间任意一点，连接OP ， 记||OP r =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为?. 设 P 在xOy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向

旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ?θ表示.空间的点与有序数组(,,)r ?θ之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组 (,,)r ?θ叫做点P 的球坐标，其中0,0,02r φπθπ≥≤≤≤<. （2）点P 球坐标(,,)r ?θ与直角坐标(,,)x y z 的互化公式： ①2222 x y z r ++=；②sin cos sin sin cos x r y r z r ?θ?θ?=??=??=? . （二）典型例题 【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为1的正方体的顶点. 【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分别为(1, ,0)2 A π ，1 ,0)4 A π ，,)24 B ππ， 1,)4 B π? ，其中tan ?=α为锐角， (1,,)22C ππ ，1,)42 C ππ，(0,0,0) D ，1(1,0,0)D . 动动手：在例1 中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标. 【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下： (1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，,0)4B π ，1,1)4 B π， (1,,0)2 C π， 1(1,,1)2 C π，(0,0,0) D ，1(0,0,1)D . 【例2】已知点1P 的柱坐标是)1,6 ,2(1π P ,2P 的柱坐标是)3,3 2, 4(2-π P ,求21P P . 【解析】点1P 的柱坐标是)1,6 , 2(1π P 转化为直角坐标为,1,16 sin 2,36 cos 2=====z y x π π ，即)1,1,3(1P ， 点2P 的柱坐标是)3,3 2, 4(2-π P 转化为直角坐标为,3,323 2sin 4,232cos 4-===-==z y x π π，即)3,32,2(2--P ， 所以， 126PP = =. 动动手：在球坐标系中，求)6,3, 3(π πP 与)3 2,3,3(π πQ 两点间的距离.

2018高中数学第1章坐标系13柱坐标系和球坐标系学案北师大版4-4!

1.3 柱坐标系和球坐标系 1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点) 2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点) 3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点) 教材整理1 柱坐标系和球坐标系 1.柱坐标系 如图1-3-1，建立空间直角坐标系O -xyz .设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ， z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞ ＜z ＜＋∞. 图1-3-1 特别地， r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面； z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面. 2.球坐标系 设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM → 与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看， x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP → 的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图 1-3-2).这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

图1-3-2 特别地， r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面； φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.( ) (2)在柱坐标系M (r ，θ，z )中，θ表示OM 与y 轴所成的角.( ) (3)球坐标中，r 表示OM 的长度.( ) 【解析】 (1)√ 柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同. (2)× θ表示OM 与x 轴所成的角. (3)√ 球坐标中r 表示OM 的长度. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理2 空间中点的坐标之间的变换公式 设空间一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，则 填空： (1)柱坐标? ????2，π3，1的直角坐标是________. (2)球坐标? ????4，π4，π6的直角坐标是________. 【解析】 (1)x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π 3 ＝3，z ＝1.