曾量子力学题库(网用)
一、简述题：
1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问
题上的差别
2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位）
3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应
4. （1）试简述Bohr 的量子理论
5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件
6. （1）试述de Broglie 物质波假设
7. （2）写出态的叠加原理
8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件
10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在
),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。
11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr
e r
1=
ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应
16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念
20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？
21.（4）若算符A
?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。
22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。
23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x
L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式
25.（4）简述幺正变换的性质
26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222
1
)(x x V μω=
的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。
28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。
29.（4）如果C B A
?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ a)
3?2
1A b) )????(21A B B A
- b) )????(21A B i B A - 30.（5）试述守恒量完全集的概念
31.（5）全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？ 32.（5）试述守恒量的概念及其性质
33.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？
34.（5）电子在均匀电场),0,0(ε=E 中运动，哈密顿量为z e m
p H
ε-=2??2。试判断z y x p p p ?,?,?各量中哪些是守恒量，并给出理由。
35.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？
36.（6）中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值 37.（6）写出中心力场中的粒子的所有守恒量
38.（6）试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较
39.（6）二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同，并给出二维、三维各向同性
谐振子能级简并度。 40.（6） 氢原子体系处于状态 ),()(2
3),()(21),,(1,22,31,11,3?θ?θ?θψ-+=
Y r R Y r R r ，给出2L 和z L 可能取值及取值几率，并说明该状态是否是定态？为什么？
41（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为)(2?)(2?2
2222r V r
L r r r r H ++????-=μμ ，试列举出几种该量子体系力学量完全集的选取方案。
42.（7）什么是正常Zeeman 效应？写成与其相应的哈密顿量，并指出系统的守恒量有哪些。 43.（8）试给出电子具有自旋的实验依据
44.（8）写出z σ表象中x σ、y σ和z σ的本征值与本征态矢 45.（8）试述旋量波函数的概念及物理意义
46.（8）以α和β分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。
47.（8）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道
耦合项），试给出|α>和|β>态的守恒量完全集
48.（10）若在0?H 表象中，H H H '+=???0，0
?H 与H '?的矩阵分别为 ??????
?
??='??
?????
?
?=--25015100002.01.0101.01.0?,10000010000010000010?64
1
30H H ， 是否可以将H
'?看作微扰，从而利用微扰理论求解H ?的本征值与本征态？为什么? 49.（11）利用Einstein 自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。 50.（11）是否能用可见光产生 1阿秒(18
10
-s) 的激光短脉冲，利用能量—时间测不准关系说明原因。
51.（11）试给出跃迁的Fermi 黄金规则（golden rule ）公式，并说明式中各个因子的含义。 52. （8）在质心坐标系中，设入射粒子的散射振幅为)(θf ，写出靶粒子的散射振幅，并分别写出全
同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分散射截面表达式。
二、判断正误题（请说明理由）
1. （2）由波函数可以确定微观粒子的轨道
2. （2）波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的
3. （2）平面波表示具有确定能量的自由粒子，故可用来描述真实粒子
4. （2）因为波包随着时间的推移要在空间扩散，故真实粒子不能用波包描述
5. （2）正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系
6. （2）测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准
7. （2）设一体系的哈密顿H
?与时间t 无关，则体系一定处于定态 8. （2）不同定态的线性叠加还是定态
9. （3）对阶梯型方位势，定态波函数连续，则其导数必然连续
10.（3）H
?显含时间t ，则体系不可能处于定态，H ?不显含时间t ，则体系一定处于定态 11.（3）一维束缚态能级必定数非简并的
12.（3）一维粒子处于势阱中，则至少有一条束缚态
13.（3）粒子在一维无限深势阱中运动，其动量一定是守恒量 14.（3）量子力学中，静止的波是不存在的 15.（3）δ势阱不存在束缚态
16.（4）自由粒子的能量本征态可取为kx sin ，它也是x
i p
x ??
-= ?的本征态 17.（4）若两个算符有共同本征态，则它们彼此对易
18.（4）在量子力学中，一切可观测量都是厄米算符
19.（4）如果B A
?,?是厄米算符，其积B A ??不一定是厄米算符 20.（4）能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态
21.（4）若B A
?,?对易，则B A ?,?在任意态中可同时确定 22.（4）若B A
?,?不对易，则B A ?,?在任何情况下不可同时确定 23.（4）
x p ?和x
L ?不可同时确定 24.（4）若B A
?,?对易，则A
?的本征函数必是B ?的本征函数 25.（4）对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并
26.（4）若两个算符不对易，则它们不可能同时有确定值 27.（4）测不准关系只适用于不对易的物理量
28.（4）根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，只能求其平均值 29.（4）力学量的平均值一定是实数
30.（5）体系具有空间反演不变性，则能量本征态一定具有确定的宇称 31.（5）在非定态下力学量的平均值随时间变化 32.（5）体系能级简并必然是某种对称性造成的
33.（5）量子体系的守恒量无论在什么态下，平均值和几率分布都不随时间改变 34.（5）全同粒子系统的波函数必然是反对称的
35.（5）全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变
36.（5）描述全体粒子体系的波函数，对内部粒子的随意交换有确定的对称性
37.（6）粒子在中心力场中运动，若角动量z L ?是守恒量，那么x
L ?就不是守恒量 38.（6）在中心力场)(r V 中运动的粒子，轨道角动量各分量都守恒 39.（6）中心力场中粒子的能量一定是简并的
40.（6）中心力场中粒子能级的简并度至少为 ,2,1,0,12=+l l 41.（8）电子的自旋沿任何方向的投影只能取2/
42.（8）两电子的自旋反平行态为三重态
三、证明题：
1. （2）试由Schr?dinger 方程出发，证明0?=??+ρ??j t ，其中??
?
??-ψ?ψ-=ψψ=ρ.).(2),(?)
,(),(),(*
*c c m i t r j t r t r t r 2. （3）一维粒子波函)(x ψ数满足定态Schr?dinger 方程，若)(1x ψ、)(2x ψ都是方程的解，则有
无关）
（与常数x =ψψ-ψψ''1221 3. （3）设)(x ψ是定态薛定谔方程对应于能量E 的非简并解，则此解可取为实解
4. （2）设)(1x ψ和)(2x ψ是定态薛定谔方程对应于能量E 的简并解，试证明二者的线性组合也是该
定态方程对应于能量E 的解。
5. （3）对于δ势垒，)()(x x V γδ=，试证δ势中)('x ψ的跃变条件
6. （3）设)(x ψ是定态薛定谔方程)()()(22
22x E x x V dx d m ψψ=??
?
???+- 的一个解，对应的能量为E ，试证明)(*x ψ也是方程的一个解，对应的能量也为E
7. （3）一维谐振子势场2/22x m ω中的粒子处于任意的非定态。试证明该粒子的位置概率分布经历
一个周期ωπ/2后复原。 8. （3）对于阶梯形方势场 ??
?><=a
x V a x V x V 2
1,)( ，若)(12V V -有限，则定态波函数)(x ψ及其
导数)(x ψ'必定连续。
9. （3）证明一维规则势场中运动的粒子，其束缚态能级必定是非简并的 10.（4）证明定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数 11.（4）证明定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 12.（4）证明：在定态中几率流密度矢量与时间无关
13.（4）令2
22
2?x
p x
??-= ，试证2
?x p 为厄密算符 14.（4）试证m p T
2/??2=为厄密算符 15.（4）设)(?t U 是一个幺正算符且对t 可导，证明U dt U d i t H ??)(? =?
是厄米算符。 16.（4）已知A
?和B ?是厄米算符，证明(A ?+B ?)和A ?2也是厄米算符 17.（4）试证明：任何一个力学量算符在它以自己的本征矢为基矢的表象中的表示为对角矩阵
18.（4）试证明x 表象中p
?算符的矩阵元是)"'('
)("'x x x i p x x -??
-=δ 19.（4）试证明p 表象中x 算符的矩阵元是)"'('
)("'p p p i x p p -??
=δ
20.（4）若厄米算符B A ?,?具有共同本征函数，即α
αα
αψ=ψψ=ψn n n n n n B B A A ?,?，而且构成体系状态的完备函数组，试证明0]?,?[=B A
21.（4）若 ,2,1);(=n x n ?构成完备基组，证明：∑'='-n
n n x x x x )()()(*
??δ 22.（4）证明两个线性算符之和仍为线性算符
23.（4）设算符B A F
???=，1????=-A B B A ，若?为F ?的本征函数，相应的本征值为ε，求证?φA ?≡和?ψA
?≡也是F ?的本征函数，并求出相应的本征值。 24.（4）试证明z y x xyz ++=
)(ψ是角动量平方算符2?l
属于本征值22 的本征函数。 25.（4）试证明表象变换并不改变算符的本征值
26.（4）证明对易关系 x
i x p
x ?ψ
?-=ψ )](,?[ 27.（4）证明在z l ?的本征态下0==y x l l
28.（4）设粒子处于()?θ,lm Y 状态下，证明()()
()[]
222
2
12
1
m l l L L y
x -+=
?=? 29.（4）证明谐振子的零点能ω 210=E 是测不准关系2
ΔΔ ≥p x 的直接结果。
30.（4） 一维体系的哈密顿算符具有分立谱，证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零
31.（4）如果厄米算符A 对任何矢量|u>，有 为厄米正定算符 32.（5）设全同二粒子的哈密顿量为)2,1(?H ，波函数为)2,1(ψ，试证明交换算符12 ?P 是个守恒量 33.（5）证明在定态下，任意不显含时间t 力学量A 取值几率分布不随时间改变。 34.（5）设力学量A 是守恒量，证明在任意态下A 的取值概率分布不随时间改变。 35.（5）证明：量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值不随时间改变。 36.（5）试证在一维势场)(x V 中运动的粒子所受势壁的作用力在束缚定态中的平均值为0（提示：利 用对易关系x p i x H ?],?[μ -=） 37.（5）设系统的哈密顿量为H ?，厄米算符A ?与H ?对易。试证明0=?dt A d ，其中A ?是A 的均方根偏差，即2/12])[(A A A -=?，式中尖括号表示求平均值。 38.（5）如果0]?,?[]?,?[==H B H A ，但0]?,?[≠B A ，试证明H ?的本征值必有简并。 39.（5）粒子在对数函数型势场中运动，)/ln()(0r r C r V =，其中常数0,00>>r C 。试利用Virial 定理证明：各束缚态的动能平均值相等。 40.（5）试根据力学量平均值表达式? ψψ=dx t x F t x F ),(?),(*证明力学量平均值随时间的变化为]?,?[1?H F i t F dt F d +??=，其中H ?为体系的哈密顿 41.（4、5） 证明：宇称算符的本征函数非奇即偶 42.（5）设粒子处在对称的双方势阱中??? ??<<<>∞=a x V b x a b x x V ||||0||,)(0 （1）在∞→0V 情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并； （2）证明0V 取有限值情况下，简并将消失。 43.（5、6）证明在氢原子的任何定态),,(?θψr nlm 中，动能的平均值等于该定态能量的负值，即 n nlm E p -=>μ<2/?2 44.（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为)(2?)(2?2 2222r V r L r r r r H ++????-=μμ ，证明中心力场中运动的粒子角动量守恒 45.（8）证明Pauli 算符各个分量的反对易关系 46.（8）若电子处于z S ?的本征态。试证在此态中，y S ?取值2/ 或2/ -的概率各为2/1。 47. （8）设有两个电子，自旋态分别为? ???? ? ??=???? ??=-2/2/2sin 2cos ,01??θθξχi i e e 。证明两个电子处于自旋单态（S=0） 和三重态（S=1）的几率分别为)2 cos 1(21),2cos 1(2122θωθω+=-= b a 48.（10）在一定边界条件下利用定态薛定谔方程求解体系能量本征值与变分原理等价。 49.（12）已知在分波法中∑∞=+=0)(cos sin e )12(1)(l l l i P l k f l θδθδ ∑ ∞ =+= 0)(sin e 124l l l i Y l k l θδπδ， 据此证明光学定理。 四、计算题： 1.（2）设一维自由粒子的初态为x ik e x 0)0,(=ψ，求),(t x ψ。 2.（3）质量为m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为()()0;0,;0,x a V x x x a ∈??=? ∞<>?? （1）求解能量本征值n E 和归一化的本征函数()n x ψ； （2）若已知0t =时，该粒子状态为()) 12,0()()x x x ψψψ= +，求t 时刻该粒子的波函数； （3）求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ （4）求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 3. （3）粒子在一维δ势阱中运动),0() ()(>-=a x a x V δ求粒子的束缚定态能级与相应的归一化 波函数。 4. （3）设有质量为m 的粒子（能量0>E ）从左入射，碰到δ势垒)0() ()(>=γγδ常数x x V ， 试推导出δ势中'ψ的跃变条件。 5. （3）质量为m 的粒子，在位势 )0()()(<' +=ααδV x x V 中运动，其中 00{ 00 >><='V x x V V a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数； b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 6. （3）一个质量为m 的粒子在一维势场 ?? ?<≥∞=a x x a x x V ||) (||,)(γδ，求波函数满足的方程及连续性 条件，并给出奇宇称能量本征波函数及相应的本征能量。 7. （3）质量为m 的粒子在一维势场 ?? ?>∞ <=a x a x x V ||||0 )( 中运动。求 ①粒子的定态能量n E 与归一化的波函数)(x n ψ； ②粒子在态)(x n ψ上的位置平均值x 。 8. （3）如图所示，一电量为q -质量为m 的带电粒子处在电量为Q +固定点电荷的强电场中，并被约束在一直线AB 上运动，Q +到AB 的距离为a ，由于Q +产生的电场很强，q -只能在平衡位置O 附近振动，即a 远大于粒子的运动范围，设平衡位置O 为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。 9.（3）一电量为q -质量为m 的带电粒子处在强度为E 的均匀强电场 中，并被约束在一半径为R 的圆弧上运动，电场方向如图所示，由于电场很强，q -只能在平衡位置O 附近振动，即R 远大于粒子的运动范围，设平衡位置O 为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。 10. (3) 一维谐振子处于基态2 221 0)(x e x α π αψ-= ，求谐振子的 1）平均值2 x ；2）平均值2p ；3）动量的几率分布函数。 （提示：①Γ>+Γ= ? ∞ +-,0,) 21 ( 2 10 2 1 2 K K n dx e x n Kx n 函数满足递推关系： π= Γ=ΓΓ=+Γ)2 1 (,1)1(),()1(z z z ； ②?∞∞ -- ±-= 2 22 22αββα α πe dx e x i x ）。 11.（3）把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势， 对于下列一维模型（如图） ,0,0{)(0 ><-=x x V x V 试就（1）0>E ，（2）00 <<-E V 两种情况计算 接近金属表面的传导电子的反射和透射几率。 12.（3、4）设0=t 时，质量为m 、频率为ω的谐振子处于 )](2 2sin )()[(cos ),(202 1 22x H x H Ae c x x αβ + αβ=ψα- θ O a B A -q +Q + 状态，其中β,A 是实常数，)(,2 /1x H m n α? ? ? ??ω=α 是厄米多项式。 （1） 求归一化常数A ； （2） 求t 时刻体系的状态),(t x ψ； （3） 求t 时刻位置的平均值)(t x ； （4） 求谐振子能量取值及相应几率 13.（3）设一维粒子由-∞=x 处以平面波ikx in e =ψ入射，在原点处受到势能)()(0x V x V δ=的作用。 （1）写出波函数的一般表达式；（2）确定粒子在原点处满足的边界条件；（3）求出该粒子的透 射系数和反射系数；（4）分别指出00>V 与00 14. （3、4、5）设一维线性谐振子处于基态 （1）求><> x ?, （2）写出本征能量E ，并说明它反映微观粒子的什么性质 （3）利用位力定理证明：2/ =??x p x ，其中 ?????><-><=?> <-><=?2 222??x x x p p p x x x 15. （4）设一维谐振子能量本征函数为n ψ。试利用递推公式??? ? ??ψ+ψ+= ψ-+112211n n n n n x α求谐振子坐标在能量表象中的矩阵表示 16.（4、5）一维谐振子0=t 时处于基态0ψ和第一激发态1ψ的叠加态 ))()((2 1)0,(10x x x ψ+ψ= ψ 其中222 1 00)(x e N x α-=ψ，x e N x x α=ψα-2)(222 1 11 （1）求t 时刻位置和动量的平均值t t p x ><><,； （2）证明对于一维谐振子的任何状态，t 时刻位置和动量的平均值有关系； t t p m x t ><=><1 d d ； （3）求t 时刻能量的平均值t H >< 17.（4）设体系处于212101Y c Y c +=ψ状态（已归一化，即1||||2 22 1=+c c ）。求 ①z l ?的可能测值及平均值； ②2 ?l 的可能测值及相应的几率。 18．（4）设一量子体系处于用波函数)cos sin (41 )(θθπ θψψθ+= i e 所描述的量子态中。试求（1）在该态下z l ?的可能测值和各个值出现的几率；（2）z l ?的平均值 19.（6）0=t 时氢原子的波函数为]322[10 1)0,(121211210100-ψ+ψ+ψ+ψ= ψr 。忽略自旋和 跃迁。 （1）写出系统能量、角动量平方2 L 及角动量z 分量z L 的可能测值（表示成基本物理的函数即 可）； （2）上述物理量的可能测值出现的几率和期望值； （3）写出t 时刻的波函数。 20.（6）求势场r B r A r V -= 2 )(中的粒子的能级和定态波函数（A,B>0） 21.（7、8）设有一个定域电子，受到沿x 方向均匀磁场B 的作用，Hamiltonian 量（不考虑轨道运动）表为x x mc eB s mc eB H σ2? ==。设0=t 时电子自旋“向上”（2 =z s ），求0>t 时s ?的平均值。 22. （8）假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z 轴正向，电子磁矩 在均匀磁场中的势能为：V B μ=-? ，其中2s e e g s m μ=- ，（2s g =）为电子的磁矩,自旋用泡利矩阵??2 s σ= 表示。 （1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：?i H t χχ?=? ； （2）假设0t =时，电子自旋指向x 轴正向，即2x s = ，求0t >时，自旋s 的平均值； （3）求0t >时，电子自旋指向y 轴负向，即2 y s =- 的几率是多少？ 23. （8）自旋2 1=s ，并具有自旋磁矩S M ??0 μ=的粒子处于沿 x 方向的均匀磁场B 中。已知t=0时，粒子的 =z s ，求在以后任意时刻发现粒子具有 ±=y s 的几率。 24.（8）在z S ?表象中求自旋角动量在)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θ方向的投影 θ?θ?θcos ?sin sin ?cos sin ??z y x n S S S S ++= 的本征值和所属的本征函数。 25．（8）两个自旋为1/2 的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为??? ? ?????? ??2211βαβα，其中，2 i α 是第i 个粒子自旋向上的几率，2 i β是第i 个粒子自旋向下的几率。 a. 求哈密顿量)(?21210x y y x V H σσσσ-=的本征值和本征函数（V 0为一常数）； b. t=0时，体系处于态0,11221 ====βαβα，求t 时刻发现体系在态1,01221====βαβα 的几率（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量） 26.（8）考虑由两个自旋为 1 的粒子组成的体系，总自旋21???s s S +=，求总自旋的平方及 z 分量 (2 ?S ,z S ?) 的共同本征态，并表示成1?s 和2?s 本征函数乘积的线性叠加（取?=1）。 27.（8）一束自旋为 21的粒子进入Stern-Gerlach 装置SG （I ）后被分成两束，去掉其中 2 1 =z s 的一束，另一束（ 2 1 -=z s ）进入第二个SG （II ），SG （I ）与SG （II ）的夹角为α。则粒子 束穿过SG （II ）后又被分为两束，求这两束粒子的相对数目之比。 28.（8）试求z σ ?表象中x σ?的矩阵表示 29.（8）自旋为1/2的粒子，其自旋角动量算符和动量算符分别为S ?和P ?。令>±2/1,,,|z y x p p p 为z y x P P P ?,?,?和z S ?的共同本征态，其本征值分别为z y x p p p ,,和2/ ±，算符P S A ????=。试问： （1） A ?是否为厄米算符？在以>±2/1,,,|z y x p p p 为基的空间中，A ?的矩阵形式如何？ （2） A ?的本征值是什么？求出z y x P P P A ?,?,?,?的共同本征函数系 30.（8）对自旋为1/2的粒子，z y S S 和是自旋角动量算符，求z y S B S A H ???+=的本征函数和本征值（B A 与是实常数） 31.（8）电子处于沿y 轴方向的均匀恒定磁场B 中，t=0时刻在z S 表象中电子的自旋态为 ??? ? ??=ααξsin cos )0(，不考虑电子的轨道运动。 （1）求任意t>0时刻体系的自旋波函数)(t ξ； （2）在t 时刻电子自旋各分量的平均值； （3）指出哪些自旋分量是守恒量，并简述其理由。 32.（8）考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或 是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。 （1）假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：12S s s =+ 。 求：2 S 和z S 的本征值； （2）假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，2S 和z S 的本征值； （3）假设两电子系统哈密顿量为：12H Js s =? ，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。 33.（8）两个电子处在自旋单态)]2()1()2()1([2 1 )00(αβ-βα= χ中，其中βα、分别是自旋算符2/ =z S 和2/ -=z S 的单粒子自旋态。 （1）试证明：)00(χ是算符21??σ?σ的本征态（1?σ和2?σ分别是两个单电子的自旋算符）； （2）如果测量一个电子的自旋z 分量，得2/ =z S ，那么测量另一个电子的自旋2/ =z S 的概率 是多少？ （3）如果测量)00(χ态的一个电子的自旋y S ，测量结果表明它处在2/ =y S 的本征态，那么再测 量另一个电子自旋x 分量，得到2/ -=x S 的概率是多少？ 34.（8）由两个非全同粒子组成的体系，二粒子自旋均为2/ ，不考虑轨道运动，粒子间相互作用可 写作21???s s A H ?=。设初始时刻（0=t ）粒子1自旋朝上（2/11=z s ），粒子2自旋朝下 （2/11-=z s ）。求t 时刻 （1）粒子1自旋向上的概率； （2）粒子1和2自旋均向上的概率； （3）总自旋为0和1的概率 35.（8）质量为m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受势能(,,)V x y z 由下式给出： ()()()0,0,;0,;0,(,,),x a y a z a V x y z others ∈∈∈??=?∞?? （i ）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数； （ii ）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写 出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为12 ，是费米子）； （iii ）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？ 并写出归一化系统基态波函数。 36.（2、4、6、8）已知0=t 时，氢原子的波函数为????? ? ??==ψ)(23)(21 )0,,(211100r r t s r z ψψ，其中 ),()()(.?θψlm n nlm Y r R r = 满足归一化条件?=1|)(|32r d r nlm ψ。试 （1）写出任意t 时刻的波函数),,(t s r z ψ （2）求能量E 、轨道角动量2 L 和z L ?、自旋z S ?的可能取值和相应的几率以及平均值 （3）计算t 时刻自旋分量x S ?的平均值x S （4）写出t 时刻电子处在以原子核为球心，半径为R 的球体积内，且2 = z S 的几率的表达式 37.（6、10）粒子处在无限深球方势阱中（1）求其径向波函数)(0,r R r n 和能量本征值0,r n E ；（2）今 加上一微扰r V ε='（ε为小量），求能量一级修正值（只求第一激发态1=r n 的结果）。 38. （6、10）一维无限深方势阱)0(a x <<中的粒子受到微扰 )0(cos '?a x a x A H <<π= 的作用，其中A 为常数。求基态能量的二级近似与波函数的一级近似。 39.（3、10）一维谐振子的哈密顿为,2 12?222220x m dx d m H ω+-= 若再加上一个外场作用)1('?<<=a ax H ，使用微扰论计算体系的能量到二级修正，并与严格解比较。 40.（10）有一两能级体系，哈密顿量为'???0H H H +=，在0?H 表象中，'??0H H 和表示为 2121 0,0110'?,0 0?E E b H E E H >???? ??=??? ? ? ?= '?H 为微扰，b 表示微扰程度，试求H ?的本征值和本征态。 41. （10）设Hamilton 量的矩阵形式为：??? ? ? ??-=20003 01c c c H （1）设c<<1，应用微扰论求H 本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值； （3）在怎样条件下，上面二结果一致。 42.（10）设在表象0?H 中，H H H '+=???0，0 ?H 与微扰H '?的矩阵为 ? ??? ? ??=200010001?0 0E H ??? ?? ??='211101110?c H 其中0E 与02E 分别是基态与激发态的零级近似能量，c 是微小量。 (1) 求基态的一级近似能量与零级近似态矢 (2) 激发态的二级近似能量与一级近似态矢。 43.（10）已知系统的哈密顿量为????? ? ?=31 1 00 000 00 εεεH ，??? ? ? ??='00000b b a a H 。用微扰法求能量至二级修 正。 44.（10）设粒子在二维无限深势阱? ? ?∞<<=o t h e r w h e r e ,00),(a y x y x V 中运动，设加上微扰),0(?a y x xy H I <<=λ。求基态和第一激发态的一阶能量修正。 45.（10）一个取向用角坐标 θ 和 ? 确定的转子作受碍转动，用下述哈密顿描述： )2c o s (??22? B L A H +=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L 是角动量平方算符。试用一级微扰论计算系统的p 能级(l =1)的分裂，并算出微扰后的零级近似波函数。 46.（3、10）对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为2 x e λ-，λ为参数。用变分法求基态能量，并 与严格解进行比较。 47. （3、10）一维无限深势阱加上如图所示的微扰， 则 势函数为 ?????≥≤∞ <<=a x x a x V x a V x V 或为小量）00()(00 试用微扰论求基态能量本和波函数至一级近似。 48. （10）氢原子处于基态：沿z 方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰。求电场作用后的基态波函 数（一级近似），能级（二级近似），平均电矩和电极化系数（不考虑自旋）。 49.（10）考虑体系)(?x V T H +=，且0 )0({)(<>∞>=x x A Ax x V ， a. 利用变分法，取试探波函数为2 2 22/11)2( )(b x e b x -=ψπ ，求基态能量上限； b.我们知道，如试探波函数为2 22 /122)1( )(b x e b x b x -=ψπ ，则基态能量上限为3 /1223/12)()481(m h A E π=。对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？ 50.（10）以2 x e αψ-=为变分函数， 式中α为变分参数， 试用变分法求一维谐振子的基态能量和波函 数。 已知 [] ? ∞ = -0 22d exp x x x n α1 212)12 31++π -?????n n a n （ 51.（10）质量为μ的粒子在一维势场?? ?><∞=0 ,0 ,)(z Gz z z V 中运动，式中0>G 。 （1）用变分法计算基态能量时，在0>z 区域内的试探波函数应取下列波函数中的哪一个？为什 么？ z d ze c e b z z a z z λλ+λ-λ-sin )(, )(, )(, )(2 2 （2）算出基态能量。 [提示：必要时可利用积分公式：1 !d +∞ α-α = ? n z n n z e z ] 52.（10）质量为 m 的的粒子在势场 )0(0 , 0, )(2 >???><∞=C x Cx x x V 中运动。 (1) 用变分法估算粒子基态能量，试探波函数取λψλ,)(x Axe x -=为变分参量。 (2) 它是解的上限，还是下限？将它同精确解比较。 （附：积分公式 1 !+∞ -= ?n x n a n dx e x α） 53.（10）（1）设氢原子处于沿z 方向的均匀静磁场k B B =中，不考虑自旋，在弱磁场下，求2 =n 能级的分裂情况；（2）如果沿z 方向不仅有静磁场k B B =，还有均匀静电场k E 0ε=，再用微 扰方法求2=n 能级的分裂情况（取到一级近似，必要时可以利用矩阵元 a z 3210||200->=<）。 54.（11）设体系的Hamilton 量为??? ? ??-ω=1001 H ，频率ω是实常数。 （1）求体系能量的本征值和本征函数； （2）如果0=t 时体系处于 ??? ? ??i 121状态，求0>t 时体系所处的状态； （3）如果0=t 时体系处于基态，当一个小的与t 有关的微扰??? ? ??γγ=-00't e H 在0=t 时加上后，求∞→t 时体系跃迁的激发态的几率 55.（11）设),3,2,1(| =>n n 为一维谐振子的能量本征函数，且已知 ?? ????>-+>++α>=1|21|211|n n n n n x ， ω = αm （1） 求> （2） 设该谐振子在0=t 时处于基态>0|，并开始受微扰kt e x H 22'-=的作用。求经过充分长时 间（∞→t ）以后体系跃迁到>2|态的几率 56. （11）中微子振荡实验发现：电子中微子可以转变为缪子中微子。我们用波函数1表示电子中微 子，2表示缪子中微子，用非对角项不为零的22?矩阵表示哈密顿量，计算表明中微子将在电 子中微子态1和缪子中微子态2间振荡。假设：110?? = ???，021??= ??? ，中微子波函数可表示 为：12a b ψ=+ 1=，中微子哈密顿量的矩阵表示：g H g εε?? = ??? ，其中ε和g 都是实数；波函数随时间的演化满足薛定谔方程：d H i dt ψψ= (1)中微子哈密顿的本征方程是H ψλψ=，求对应本征值和归一化本征矢量； (2)假设0t =时，全部是电子中微子：(0)1ψ=；证明t t =时，中微子波函数是 ? ???? ? ?? -=-)sin()cos()( gt i gt e t t i εψ； (3)求t t =时电子中微子转变为缪子中微子的几率 57. （11）基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 ???≥≤=-)(0 ,0 ,0/0 为大于零的参数当当τεετ t e t t 求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率。 58.（11）一个定域（空间位置不动）的电子处于z 方向强磁场z B 中，自旋朝下（z 轴负方向）。此时加上一个y 方向交变弱磁场)cos(t B y ω，其频率ω可调。自旋朝上与朝下的能量差可写成0ω 。 在10>>ω≈ω的条件下，用微扰方法求出很短时间τ后粒子自旋朝上的几率。 59.（12）带有电荷q 的一维谐振子在光照下发生跃迁。 （1）给出电偶极跃迁的选择定则； （2）设照射光的强度为)(ωI ，计算振子由基态到第一激发态的跃迁速率（如必要，可利用递推公 式?? ????++=+-)(21 )(21)(11x n x n x x n n n ψψαψ进行计算）。 60.（12）质量为μ的高能粒子被中心力势)0,0()(2 2 />>= -a A Ae r V a r 散射，求散射微分截面 )(θσ和总截面t σ。 61.（12）用玻恩近似法求粒子在势能()0,/0>-=-a e U r U a r ，时的微分散射截面。 [提示：必要时可用积分公式 ? ∞ -+= 222) (2sin n m mn nxdx xe mx ，0>m ] 62.（12）试用玻恩近似公式计算库仑散射的微分截面)(θσ，库仑势为r r V α= )(，入射粒子质量为μ，速度为v ，α为实数。[提示：必要时可用积分公式：q r qr 1 d sin 0 = ? ∞ ] 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 《量子力学》题库 一、 简答题 1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： 其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。 2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。 3根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。 答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。 4设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1?和2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子 2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。 答：2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1?态，又处于2?态。或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1?、2?中。 在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为2 1c 和 2 2c 。 5什么是定态？定态有什么性质？ 答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。 6什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2 量子力学试题集 判断题 1、量子力学中力学量不能同时有确定值。（×） 2、量子力学中能量都是量子化的。（√） 3、在本征态中能量一定有确定值。（√） 4、波函数一定则所有力学量的取值完全确定。（×） 5、量子力学只适用于微观客体。（×） 6．对于定态而言，几率密度不随时间变化。( √ ) 7．若，则在其共同本征态上，力学量F和G必同时具有确定值。( √ ) 8．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化： 。 ( × ) 9．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。( √ ) 10．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。( × ) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； ψ*代表微观粒子出现的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A ψ一定也是该方程的一个解； A. * ψ一定不是该方程的解； B. * ψ一定等价； C. Ψ与* D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l ∧ x l ∧x l 7．如果算符∧ A 、∧ B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则： B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态. 量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2 λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝2 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22 E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2 ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ω 21± ，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0） ＝ω 21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2 (0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时， 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能 值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用 Dirac 符号时，若将ψ(,)? r t 改写为ψ(,)? r t 有何不 妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内 的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0，其中（1） ∧) (H 0的本征值)(n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很 小，称为加在∧) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4 η。 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共40 分） 1. 微观粒子具有波粒二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用厄米算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的本征值。 7．定态波函数的形式为：t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2 η ± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性曾量子力学题库(网用).
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