广东省广州市番禹区仲元中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷理科 含解析 精品

2016-2017学年广东省广州市番禹区仲元中学高二（上）期末数

学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．集合A={y|y=x+1，x∈R}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．（0，+∞）B．{0，1}C．{1，2}D．{（0，1），（1，2）}

2．已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）

A．f（x）=x3B．f（x）=x C．f（x）=3x D．f（x）=（）x

4．以下四个命题中，其中真命题的个数为（）

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0；

③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；

④命题p：“x＞3”是“x＞5”的充分不必要条件．

A．1 B．2 C．3 D．4

5．若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则直线l的方程是（）

A．x=0 B．y=1 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0

6．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则

=（）

A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2

7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（）

A．α=，β=﹣1 B．α=﹣，β=1C．α=1，β=﹣D．α=﹣1，β=

8．已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）

A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm3

9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A．16 B．17 C．14 D．15

10．设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程

ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）

A．必在圆x2+y2=2上B．必在圆x2+y2=2外

C．必在圆x2+y2=2内D．以上三种情形都有可能

11．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）

A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣

12．偶函数f（x）的图象关于x=1对称，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）的图象与函数y=lg|x|的图象的交点个数为（）

A．14 B．16 C．18 D．20

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡相应位置上

13．已知向量夹角为45°，且，则=．

14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．

15．球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O的体积是．

16．设点A、F（c，0）分别是双曲线的右顶点、右焦点，

直线交该双曲线的一条渐近线于点P．若△PAF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知函数的最小正周期为π，直线

为它的图象的一条对称轴．

（1）当时，求函数f（x）的值域；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．

18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

19．已知递增的等差数列{a n}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}

的前n项和为S n，且S n=1﹣．

（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；

（2）记c n=a n?b n，数列{c n}的前n项和为T n．求证：T n＜2．

20．如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD，，E为DC的中点，将

它沿AE折成直二面角D﹣AE﹣B．

（1）求证：AD⊥平面BDE；

（2）求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．

21．已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

22．设a为实数，记函数f（x）=a++的最大值为g（a）．

（1）设t=+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；

（3）试求满足g（a）=g（）的所有实数a．

2016-2017学年广东省广州市番禹区仲元中学高二（上）

期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．集合A={y|y=x+1，x∈R}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．（0，+∞）B．{0，1}C．{1，2}D．{（0，1），（1，2）}

【考点】交集及其运算．

【分析】根据一次函数的值域求出A，根据指数函数的值域求出B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．

【解答】解：∵集合A={y|y=x+1，x∈R}=R=（﹣∞，+∞），B={y|y=2x，x∈R}={y|y ＞0 }=（0，+∞），

故A∩B=（﹣∞，+∞）∩（0，+∞）=（0，+∞），

故选A．

2．已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．

【解答】解：因为复数z的共轭复数，

所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．

z在复平面内对应的点位于第四象限．

故选D．

3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）

A．f（x）=x3B．f（x）=x C．f（x）=3x D．f（x）=（）x

【考点】函数单调性的判断与证明．

【分析】可先设f（x）为指数函数，并给出证明，再根据指数函数单调性的要求，得出C选项符合题意．

【解答】解：指数函数满足条件“f（x+y）=f（x）f（y）”，验证如下：

设f（x）=a x，则f（x+y）=a x+y，

而f（x）f（y）=a x?a y=a x+y，

所以，f（x+y）=f（x）f（y），

再根据题意，要使f（x）单调递增，只需满足a＞1即可，

参考各选项可知，f（x）=3x，即为指数函数，又为增函数，

故选：C．

4．以下四个命题中，其中真命题的个数为（）

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0；

③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；

④命题p：“x＞3”是“x＞5”的充分不必要条件．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】直接由抽样方法判断①；写出特称命题否定判断②；求解对数不等式，然后利用充分必要条件的判定方法判断③；直接利用充分必要条件的判定方法判断④．

【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；

②对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故

②正确；

③由ln（x+1）＜0，得0＜x+1＜1，即﹣1＜x＜0，∴“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件，故③错误；

④命题p：“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件，故④错误．

故选：A．

5．若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则直线l的方程是（）

A．x=0 B．y=1 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】直线过定点（0，1），截得的弦最短，圆心和弦垂直，求得斜率可解得直线方程．

【解答】解：直线l是直线系，它过定点（0，1），要使直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，

必须圆心（1，0）和定点（0，1）的连线与弦所在直线垂直；

连线的斜率﹣1，弦的所在直线斜率是1．

则直线l的方程是：y﹣1=x

故选D．

6．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则

=（）

A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2

【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．

【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式

表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．

【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，

即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，

求得q=1±，

∵各项都是正数

∴q＞0，q=1+

∴==3+2

故选C

7．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，且=α+β，

则（ ）

A ．α=，β=﹣1

B ．α=﹣，β=1

C ．α=1，β=﹣

D ．α=﹣1，β= 【考点】向量在几何中的应用．

【分析】根据向量加法的多边形法则可得， =

=

=

=

，从而可求α，β．

【解答】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得， =

=

=

=

，

∴α=，β=﹣1， 故选A ．

8．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为（ ）

A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm3

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体为四棱锥，结合直观图判断棱锥的高与底面四边形的形状，判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．

【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，如图：

其中SA⊥平面ABCD，SA=2，四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，

∴四棱锥的体积V=××2×2=2（cm3）．

故选：A．

9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A．16 B．17 C．14 D．15

【考点】程序框图．

【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：S=log2，n=2；

第二次循环：S=log2+log2，n=3；

第三次循环：S=log2+log2+log2，n=4；

…

第n次循环：S=log2+log2+log2+…+log2=log2，n=n+1；

令log2＜﹣3，解得n＞15．

∴输出的结果是n+1=16．

故选：A．

10．设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程

ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）

A．必在圆x2+y2=2上B．必在圆x2+y2=2外

C．必在圆x2+y2=2内D．以上三种情形都有可能

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=﹣、x1x2=﹣，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．

【解答】解：∵e==，∴=，

∵x1，x2是方程ax2+bx﹣c=0的两个实根，

∴由韦达定理：x1+x2=﹣=﹣，x1x2==﹣，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1=＜2，

∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内．

故选：C．

11．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）

A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣

【考点】几何概型．

【分析】分别求出该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的对应事件的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，

∴三角形的高AD=4，

则三角形ABC的面积S=×6×4=12，

则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，

三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，

则阴影部分的面积为S1=12﹣×π×22=12﹣2π，

则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为=1﹣，

故选：C．

12．偶函数f（x）的图象关于x=1对称，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）的图象与函数y=lg|x|的图象的交点个数为（）

A．14 B．16 C．18 D．20

【考点】对数函数的图象与性质．

【分析】由题意知函数f（x）是偶函数，且周期为2，从而作函数f（x）的图象与函数y=ln|x|的图象解答．

【解答】解：由题意知，

函数f（x）是偶函数，且周期为2，

x＞0时，作函数f（x）的图象与函数y=lgx的图象如下：

，

函数f（x）与y=lgx的交点个数为9个，

由f（x）是偶函数，得x＜0时也有9个交点，

故函数f（x）的图象与函数y=ln|x|的图象交点个数为18；

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡相应位置上

13

．已知向量夹角为45°，且，则=3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

【分析】由已知可得，=，代入|2|=

===

可求

【解答】解：∵，=1

∴=

∴|2|====

解得

故答案为：3

14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公

共点，则a的取值范围是[，4] ．

【考点】简单线性规划．

【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件

的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．

【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：

因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．

所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，

当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．

又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．

所以≤a≤4．

故答案为：[，4]

15．球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O的体积是

4．

【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．

【分析】由球的正方体的表面积求出球的半径，然后求体积．

【解答】解：因为球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则正方体

的棱长为2，正方体的体对角线为2，所以球O的半径是，体积是

．

故答案为：4π；

16．设点A、F（c，0）分别是双曲线的右顶点、右焦点，

直线交该双曲线的一条渐近线于点P．若△PAF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为2．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，可得△PAF是等腰三角形即有|PA|=|AF|．设双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得A（a，0），P（，），运用两点的距离公式，化简整理，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：显然|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，

所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|．

设双曲线的一条渐近线方程为y=x，

可得A（a，0），P（，），

可得=c﹣a，

化简为e2﹣e﹣2=0，

解得e=2（﹣1舍去）．

故答案为2．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知函数的最小正周期为π，直线

为它的图象的一条对称轴．

（1）当时，求函数f（x）的值域；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．

【考点】余弦函数的图象．

【分析】（1）根据三角函数的性质求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．

（2），求出角A的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c ≤6．

【解答】解：（1）∵函数的周期是π，

∴T=，则ω=2，

则f（x）=2cos（2x+φ），

∵为它的图象的一条对称轴，

∴2×（﹣）+φ=kπ，k∈Z，

即φ=kπ+，

∵0＜φ＜，

∴当k=0时，φ=，

即f（x）=2cos（2x+），

若时，2x∈[﹣，]，

2x+∈[﹣，]，

即当2x+=0时，函数f（x）取得最大值此时f（x）=2，

当2x+=时，函数f（x）取得最小值此时f（x）=0，即函数的值域为[0，2]．

（2）若，

则2cos[2×+]=2cos（﹣A+）=，

即cos（﹣A+）=，

额cos（A﹣）=，

∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，

即A﹣=，

即A=，

∵a=3，

∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos=b2+c2﹣bc=9，

即（b+c）2﹣3bc=9

即3bc=（b+c）2﹣9，

∵bc≤（）2，（b+c）2﹣9≤3（）2，

即4（b+c）2﹣36≤3（b+c）2，

则（b+c）2≤36，

即0＜b+c≤6，

即b+c的最大值是6．

18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；

（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，即可求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

【解答】解：（1）由题意可知，

样本容量n==25，y==0.008，

x=0.100﹣0.008﹣0.012﹣0.016﹣0.040=0.024．…

（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，

∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率为．…

19．已知递增的等差数列{a n}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}

的前n项和为S n，且S n=1﹣．

（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；

（2）记c n=a n?b n，数列{c n}的前n项和为T n．求证：T n＜2．

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．

【分析】（1）解方程可得a2=3，a5=9，从而求得a n=2n﹣1；讨论n以确定b1=；

n≥2时b n=b n

，从而解得{b n}的通项公式；

﹣1

（2）化简c n=a n?b n=2（）n?（2n﹣1），从而利用错位相减法求数列的前n项和即可．

【解答】解：（1）∵x2﹣12x+27=0，

∴x=3或x=9，

又∵等差数列{a n}是递增数列，且a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，

∴a2=3，a5=9，

∴a n=2n﹣1；

①当n=1时，b1=1﹣b1，

故b1=；

②当n≥2时，S n=1﹣b n，S n﹣1=1﹣b n﹣1，

故b n=（1﹣b n）﹣（1﹣b n﹣1），

故b n=b n﹣1，

故{b n}是以为首项，为公比的等比数列，

故b n=?（）n﹣1=2（）n．

（2）证明：c n=a n?b n=2（）n?（2n﹣1），

T n=?1+?3+?5+…+2（）n?（2n﹣1），

3T n=2?1+?3+?5+?7+…+2（）n﹣1?（2n﹣1），

故2T n=2+?2+?2+?2+…+4（）n﹣1﹣2（）n?（2n﹣1），

故T n=1++++…+2（）n﹣1﹣（）n?（2n﹣1）

=1+﹣（）n?（2n﹣1）

=2﹣（）n﹣1﹣（）n?（2n﹣1）＜2．

20．如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD，，E为DC的中点，将它沿AE折成直二面角D﹣AE﹣B．

（1）求证：AD⊥平面BDE；

（2）求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】方法一：（1）由题设可知AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE．证明BE⊥AD即可得到AD⊥平面BDE．

（2）由（1）知AD⊥平面BDE．AD⊥DB，AD⊥DE，故∠BDE就是二面角B﹣AD