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广州市育才中学2011届高三2月月考(文科数学)试题和答案

广州市育才中学2011届高三2月月考考试题

文科数学

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1

A ．－1＋3i

B ．1

－ C ．2

1＋2

3i D ．－

-i

2、定义运算{|}A B x x A B x A B ?=∈? 且，若已知集合13{}2

A x x =-

<<，

1{1}B x

=≥，则A B ?= A ．1

3,01,22??

??-

????

??? B ．13,01,22????- ?????? C ．13,22??

-????

D ．(]0,1 3、下列命题中，正确的是

A ．命题“2,0x x x ?∈-≤R ”的否定是“2,0x x x ?∈-≥R ”

B ．命题“q p ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件

C ．“若22

am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真

D ．若实数[],1,1x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4

4、某学校为了解高三男生的百米成绩，随机抽取

了50人进行调查，右图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图．根据该图可以估计出全

校高三男生中百米成绩在[]13,15内的人数大约是140人，则高三共有男生

A ．800

B ．700

C ．600

D ．500 5、双曲线

的两条渐近线与抛物线2

8y x =-的准线所围成的三角形面积等于

． B ．

．

秒

6、已知1sin()6

α+=

，则2cos(2)3

πα-

的值是

A ．

7 B ．3

1 C ．3

D ．9

7、先后抛掷两枚骰子，每次各1枚，则事件“出现的点数之和大于3”发生的概率为

A ．1112

B ．12

C ．16

D ．

112

8、函数x

x y |

|lg =

的图象大致是

（）学科网学科

9、若圆224210x y x y +-++=关于直线210(,)ax by a b --=∈R 对称，则a b 的取值范围是 A ．1,

?-∞ ??? B ．1,16??-∞ ??? C ．1,04??- ??? D ．1,16??

+∞????

10、已知正方体的棱长为a ,以正方体的六个面的中心为顶点的多面体的表面积是

33a

B.3a 2

33a

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．14、15选做

11．函数2

2()log (1)f x x =-的定义域为 .

12．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1236==S a , 则=n a

13．一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图3所示，则该几何体的侧面积为 cm 2. 下面两题选做一题，两题都做按14题给分：

14．在直角坐标系中圆C 的参数方程为?

??+==θθ

sin 22cos 2y x （θ为

参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为_________．

15．如右图,PA 切圆O 于点A ,割线PBC 经过圆心O ， 1==PB OB ，OA 绕点O 逆时

针旋转60°到OD ，则PD 的长为．

三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知函数2

()sin(2)2cos 1().6

f x x x x R π

=-+-∈

（I ）求()f x 的单调递增区间；

（II ）在A B C ?中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

1(),2,182

f A a b c bc =

=+=，求a 的值。

17．（本小题满分12分）某商品在近30天内每件的销售价格P 元和时间)(N t t ∈的关系如图所示．

（1）请确定销售价格P （元）和时间t （天）的函数解析式；（2）该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的关系是：

40(030,)Q t t t N =-+≤≤∈，

求该商品的日销售金额y （元）与时间t （天）的函数解析式；（3）求该商品的日销售金额y （元）的最大值，并指出

日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？ (注：日销售金额=日销售量?销售价格)

18．（本小题满分14分）已知四棱锥P A B C D -的直观图和三视图如图所示，E 是P B 的中点.

（Ⅰ）求三棱锥C P B D -的体积；

（Ⅱ）若F 是B C 上任一点，求证：AE PF ⊥；

（Ⅲ）边P C 上是否存在一点M ，使D M ∥平面EAC ，试说明理由．

天)

主视图

左视图

俯视图

19、（本小题满分14分）已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且满足2

21n n n a S a -=．

（Ⅰ）求1a ，2a 的值；

（Ⅱ）证明{}2n S 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列2211n n S S +??????

的前n 项和．

20、（本小题满分14分）如图所示，椭圆C ：2

221(0)x

a b a b +=>>的两个焦点为1F 、2F ，

短轴两个端点为A 、B ．已知O B 、1F B 、12F F

成等比数列，1122F B F F ?= ，与x 轴不垂直的直线l 与C 交于不同的两点M 、N ，记直线A M 、A N 的斜率分别为1k 、2k ，且1232

k k ?=

．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求证直线l 与y 轴相交于定点，并求出定点坐标．

21、（本小题满分14分）已知函数 2

1()ln (1)2

f x x m x m x =

-+-，m ∈R ．

（Ⅰ）当 2m = 时，求函数 ()f x 的最小值；（Ⅱ）当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性；

（Ⅲ）求证：当 1m =- 时，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有 2121

()()

1f x f x x x ->--

广州市育才中学2011届高三第二次模拟考答案

文科数学

一、选择题：每小题5分，共50分．

D B C B C D A D B B

二、填空题：每小题5分，共30分．

11．()1,1- 12．2n 13．80 14．??

?22π， 15．7

三、解答题：共74分．

16．（本小题12分）解： 22226

()s i n c o s c o s s i n c o s

s i n (

)

f x x x x x π

ππ

+=+ 由2222

k x k π

ππ-

≤+

得 3

k x k π

ππ-

≤≤+

∴()f x 的增区间为3

[,]()k k k Z π

ππ-

∈

（2）126

()sin()f A A π=+

，0(,)A π∈ ，526

A A π

ππ

∴+

∴=

2a b c =+ ，2

42a b bc c ∴=++，

2422434543

cos cos

bc A a bc bc a

bc a

=+-=--?=-=-

解得a =17．（本小题14分）

（1）当N t t ∈<≤,250，设P=at+b,将(0,19),(25,44)代入，得??

?+==b

a b 254419 ……1分

解之得),250(19,191

N t t t P b a ∈<≤+=∴?

??== ……2分当N t t ∈≤≤,3025，同理可得,100+-=t P ……3分

综上所述：销售价格P （元）和时间t （天）的函数解析式为

???∈≤≤+-∈<≤+=)

,3025(,100),250(,

19N t t t N t t t P ……4分

（2）依题意，有Q P y ?=，由(1)得

()()()??

?∈≤≤+-+-∈<≤+-+=)

,3025(),40(100),250(,

4019N t t t t N t t t t y ……5分化简得???∈≤≤+-∈<≤++-=)

,3025(,4000140)

,250(,760212

2N t t t t N t t t t y ……6分

（3）由()()???

??∈≤≤--∈<≤+--=)

,3025(,90070),250(,25.8705.102

N t t t N t t t y ……8分

当 N t t ∈<≤,250时，由二次函数的性质知：

t=10,或t=11时， y 有最大值870元 ……9分

当N t t ∈≤≤,3025时，∴>,3070 y 在区间[25，30]上是减函数 ……10分因此t=25时， y 有最大值1125元 ……11分因为1125>870，所以当t=25时，即在第25天，

日销售金额最大，最大值为1125元。 ……12分

（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P A B C

D - 的底面是边长为2和1的矩形，侧棱P A ⊥平面A B C D ，且2PA =.

∴1

122323

C P B

D P B C D V V --==

????=

. 4分

（Ⅱ）∵,,,BC AB BC PA AB PA A ⊥⊥=

∴B C ⊥平面P A B . ∴BC AE ⊥．

又在P A B ?中，∵PA AB =,E 是P B 的中点， ∴AE PB ⊥．

∵BC PB B = , ∴A E ⊥平面PBC ．

∴AE PF ⊥. 8分（Ⅲ）存在点M ，可以使D M ∥平面EAC .

连接B D ，设AC BD O = ,连结E O .

在PBD ?中，E O 是中位线，∴P D ∥E O ．又∵E O ?平面EAC ,P D ?平面EAC ， ∴P D ∥平面EAC ．

∴ 当点M 与点P 重合时，可以使D M ∥平面EAC . 12分（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）令1n =，则有22

1121,a a -=111(1a a ?==-舍去）．令2n =，得212222()1a a a a +-=，即2

22210a a +-=．

∴21a =

（舍去负值）． 3分

（Ⅱ）∵2

21n n n S a a -=，① 又n ≥2时有1n n n a S S -=-，代入①式并整理得

1n n S S --＝1．

∴ 2

{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列. 6分

D C B A

F o

B A

E F

∴211n S n n =+-=

，∴1n n n a S S -=-=

n ≥2）

，又11a =

∴n a =

8分

（Ⅲ）设2211n n s s +??

????

的前n 项和为n T ．

由（Ⅱ）知n T =

111223

+??1(1)

n n +

111(1)(

)223

+ …＋111()11

n n

n n n -

=-=

+++．

即2211n n s s +??????

的前n 项和为1n

n +． 12分

（20）（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）易知O B b = 、1F B a = 、122F F c =

（其中c =

）

，则由题意知有22a bc =．又∵222a b c =+，联立得 b c =

．∴a =

．

∵1122F B F F ?=

，∴ 2cos 452ac ?=．∴ 221,2b a ==．

故椭圆C 的方程为

y +=． 4分

（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx b =+，M 、N 坐标分别为11(,)M x y 、22(,)N x y ．

由22

222

1(12)42202x y k x kbx b y kx b ?+=??+++-=??=+?

． ∴ 2

12122

422,1212kb b x x x x k

-+=-

++． 7分

∵ 12121

11,y y k k x x ++=

．

∴22

121212121212

(1)(1)(1)()(1)kx b kx b k x x b k x x b k k x x x x ++++++++++?=?=＝3

2．

将韦达定理代入，并整理得

222

2(1)4(12)(1)

k b k b k b b --+++=-，解得2b =．

∴直线l 与y 轴相交于定点（0，2）． 12分

（21）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）显然函数()f x 的定义域为()0,+∞．

当2

(1)(2)

2,()x x x x m f x x

+--+'===

时．

∴ 当()0,1,()0x f x '∈<时，()1,,()0x f x '∈+∞>．

∴()f x 在1x =时取得最小值，其最小值为 (1)f =

． 4分（Ⅱ）∵2

(1)(1)()

()(1)m x m x m

x x m f x x m x

+---+'=-+-==，

∴（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数； (),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； ()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数．

（2）当1m ≤-时，()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数； ()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数；

(),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数． 9分

（Ⅲ）当1m =-时，函数2

1()ln 22

f x x x x =+-．构造辅助函数()()

g x f x x =+，

并求导得

3()11

4()1x x x g x x x

-+'=+-=

．

∴()0g x '>，()g x 为增函数．

∴ 对任意120x x <<，都有12()()g x g x <成立，即1122()()f x x f x x +<+．即2112()()f x f x x x ->-．又∵120x x -<，∴

2121

()()

1f x f x x x ->--． 14分