D1一对一系统-有理数概念
第一讲有理数概念（教案）
【课堂导入】101％的意义…
从严格的数学意义来看，100％等于什么？那么比100％还多又怎么解释呢？想想那些说
自己正在付出101％的人…我们常常处于别人期望我们付出101%的境地…
怎么达到101%呢？生活中怎样达到101％呢？请看看下面的这组公式，它们会帮助我们找到答案！
如果：
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
代表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26.
如果：
K-N-O-W-L-E- D-G-E 知识
11+14+15+23+ 12+5+4+7+ 5 = 96%
同时：
H-A-R-D-W-O- R- K 认真工作
8+1+18+4+23+15+18+11 = 98%
但是：
A-T-T-I-T-U- D-E 态度
1+20+20+9+20+ 21+4+5 = 100%
那么，现在看看上帝会给我们带来什么？
L-O-V-E- O-F-G-O-D 热爱上帝
12+15+22+5+15+ 6+7+15+4 = 101%
于是，我们从数学计算上肯定地回答说，
认真工作和知识会让你接近100%，态度会让你达到100%，
而
热爱上帝，能让你超过100%！
你也可以像我一样，把这个有趣的计算与你的好友分享！
本部分的学习或复习分为三个探究，每一部分的探究又分为知识回顾、典型例题、变式训练、随堂练习四个环节，三个探究分别板书于黑板的三个部分，即左中右，四个环节按照上中下板书。每个探究的进行都有三种情况：新课、优生复习课、差生复习课。知识回顾的画单线部分为板书的内容，画双线的部分为学生需要填的空，知识回顾时注意与实例相结合进行。典型例题首先交给学生做，如果很好做出来，则总结一下即可，如果做得不太好，则认真讲解，讲解完后，可反复变式训练直到完全掌握，不过变式训练的容量和难度取决于学生的程度，学习的阶段，时间安排等具体情况。紧接着进行随堂练习，随堂练习部分还需进行批改。
【探究一】正负数，有理数定义，有理数分类
【知识回顾】
有理数
1、正数与负数
（1）正数：像3，2，＋0.5这样大于0的数叫做正数。
（2）负数：像－3，－2，－155这样在正数前面加上负号“－”的数叫做负数。
（3）0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。0的意义已不仅是表示“没有”，如0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。
（4）在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。
（5）对于正数与负数，不能简单理解为带“＋”就是正数，带“－”的就是负数，如－a ，当a ＝0时，－a ＝0，当a 表示负数时－a 是正数，只有当a 是正数时－a 才是负数。
2、有理数的定义
正整数、0、负整数统称为整数。如：－2，101，0，－10.正分数和负分数统称为分数，如：1.2，0.3，
25-
，227，－3.1。如：－1，0.003，0，67-，13
，－7.9，32。整数和分数统称有理数。有理数也可以分为正数、零、负数，正数又分为正分数、负分数，负数分为正整数、负整数。 3、有理数分类
【典型例题】
例1、判断：（边读题边判断边讲解）
（1）前面带有“－”的数是负数（×）
（2）在有理数中‘0的意义仅仅表示没有（×）
（3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数(×) 例2、填空：（将题抄写在黑板上）
-4.5， 3.14， -2， +43， .
0.6-， 0.618，
7
22
，0，-0.212，184-
正数： 4 个；负数： 5 个；整数： 3 个；分数： 7 个；正分数： 3 个；负分数： 4 个；
正整数： 1 个；负整数： 1 个；非正整数： 2 个；非负整数： 2 个；
例3、（1）在知识竞赛中，如果用＋10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？
（2）某人转动转盘，如果用＋5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？
【变式训练】
例1可以演变为以下三题，例2的演变可以随时出题。 （1）存在既不是正数，也不是负数的数（√）
(2)a 是正数 （×） （3）－a 是负数（×） （4）a 和－a 一定有一个表示负数（×） 2、（1）如果零上5℃记作＋5℃，那么零下3℃记作什么？
（2）东、西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示什么？物体原地不动记为什么？
正整数
正分数
负分数
有理数
零
负整数
分数
负数
有理数
分数
整数
正整数
负整数
零 正分数
负分数
（3）某仓库运进面粉7.5吨记作＋7.5吨，那么运出3.8吨应记为什么？
【随堂练习1】
1、判断
（1）前面带有“－”的数是负数（ ） （2）在有理数中‘0的意义仅仅表示没有（ ） （3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数 （ ）
（4）存在既不是正数，也不是负数的数（ ） （5）a 是正数（ ） （6）－a 是正数（ ） （7） a 和－a 一定有一个表示负数（ ） （8）a 和－a 表示一对相反数（ ） 2、将下列各数分别填入相应的大括号里：
-3.5， 3.14， -2， +43， .
0.6 ， 0.618，
7
22
，0，-0.202 正数集合：｛ ….｝ 负数集合：｛ …….｝ 整数集合：｛ ….｝ 分数集合：｛ …….｝ 正分数集合：｛ ….｝ 正整数集合：｛ ….｝ 负分数数集合：｛ ….｝ 负整数集合：｛ ….｝ 非负整数集合：｛ ….｝ 非正整数集合：｛ ….｝
3、在4个不同时刻。对同一水池中的水位进行测量，记录如下：上升3厘米，下降6厘米，下降1厘米，不升不降。如果上升3厘米记为＋3厘米，那么其余3个记录怎样表示？
4、（1）如果节约20千瓦·时记作＋20千瓦·时，那么浪费10千瓦·时电记作什么？ （2）如果－20.50元表示亏本20.50元，那么＋100.57元表示什么？ （3）如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示什么？
【探究二】数轴
【知识回顾】
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
（1）在直线上取一个点表示0，这个点叫做原点，通常情况下原点的选取是任意的；
（2）通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向；
（3）选取适当的长度为长度单位，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示－1，－2，－3，…
【典型例题】
例3、数轴上的点（4道题共用一条数轴，后面的在前面的基础上变化而来）
第 4 题 图
-52O B
A
画图时将点B 的坐标改为1 （1）（2009年宜宾）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为 6 。 （2）在数轴上，到表示-5的点的距离为6的点所表示的数是 1或-11 。
【变式训练】
（1）(2010河北)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为-5，则点B 所对应的数为 1 ．
（2）一个点从-5的点开始，向右移动9个单位长度所得到的点所表示的数为 14 。
A 0
B
C D
（3）一个点从-5的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到达的终点是表示数-8 的点。
（4）点A 为数轴上表示-5的动点，当A 点沿数轴移动4个单位长度到B 点时，点B 所表示的实数为 -1或-9 。
【随堂练习2】
1、（2009年宜宾）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为 。
第 4 题 图
-52O
B
A
2、(2010河北)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．
3、 在数轴上点P 表示的数是2，那么在同一数轴上与点P 相距5个单位的点表示的数是 。
4、点A 为数轴上表示-2的动点，当A 点沿数轴移动4个单位长度到B 点时，点B 所表示的实数为 。
5、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到达的终点是表示数____________的点。
【探究三】相反数，绝对值，倒数
【知识回顾】
0A A'
1、相反数
几何定义：数轴上表示相反数的两个点分布在原点两旁且到原点的距离相等，这两个点关于原点对称。 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）在任意一个数前面加上“－”号，新的数就是原数的相反数。如－（－3）＝3，－（＋1.6）＝－1.6，相反数是它本身的数是零。
（2）一般地，数a 的相反数是－a ，0的相反数是0.如：2.5的相反数是－2.5，15与1
5
-
互为相反数。 a 与－a ；0与0；2.5与－2.5；
15与1
5
-互为相反数。 （3）a,b 互为相反数 a ＋b ＝0或a ＝－b 或b ＝－a
2、绝对值
几何定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作∣a ∣
代数定义：∣a ∣= 或 ∣a ∣=
A 0
B
C D a(a ＞0) 0(a ＝0) －a(a ＜0) a(a ≥0) －a(a ≤0)
注：非负数的绝对值等于它的本身，负数的绝对值等于它的相反数。
3、倒数
定义：乘积是1的两个数互为倒数。
若ab ＝1，则a,b 互为倒数。如：－3与-1∕3互为倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1.
特别提示：倒数和相反数的区别
（1）符号上不同：互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两个数符号相反（零除外）； （2）和、积不同：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1； （3）零的问题：零的相反数是零；零没有倒数。
【典型例题】
例4、－｛＋3〖－（＋6.6）〗｝＝ 。 例5、（2009年福州）2010的相反数是 。 例6、若a －2 的相反数是5，则a 的值为____． 例7、求下列各数的绝对值
（1）－38；（2）－0.15；（3）m(m ＜0)； 例8、求下面每个数的倒数 （1）－38；（2）
1
4
；（3）－0.25； 例9、判断
（1）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（ ） （2）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （3）|a |一定是正数（ ）
例10、
m m
= 。（b ≠0)
【变式训练】
1、求下列各数的绝对值
（1）3c(c ＞0)；（2）m －2(m ＜2)；（3）m-n(m ＜n)． 2、求下面每个数的倒数
（1）-3.5；(2)0；(3)1，-1； 【随堂练习3】
1、判断(边读边判断边讲解）
（1）两个有理数，绝对值小的离原点近（ ） （2）有理数的绝对值一定是正数（ ） （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等（ ） （4）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（ ） （5）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （7）|a |一定是正数（ ）
（8）|21a |=－2
1
a ，则a 一定是非正数（ ） （9）若|a |＝|b|，则a ＝
b ； ( )
（10）
(0)b b
b b
b
=
≠ ；（ ） 2、求下列各数的绝对值（由数到字母再到式子逐个演变去绝对值符号）
（1）－38 （2）0.15 （3）a(a ＜0) （4）3b(b ＞0) （5）a －2(a ＜2) （6）a-b(a ＞b)
3、若5 a ，则a 的值是 .
4、求下面每个数的倒数
（1）－38 （2）1/4 （3）0.15 （4）-2.5 （5）0 (6)1，-1 5、(2010巴中)-3∕2的倒数的绝对值 2∕3 。
6、如果-2∕3的相反数恰好是有理数a 的绝对值，那么a 的值是±2∕3。
7、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是 。
【探究四】有理数大小比较
【知识回顾】
在数轴上表示有理数，它们从左向右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 （1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小。 特别提示：
异号两数大小比较，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们绝对值的大小。两个数的大小关系反映的是数轴上的两个点的左右关系，两个数绝对值的大小反映的是数轴上两个点，到原点距离的大小。
【典型例题】
例11、比较下列每组数的大小： （1）-2和+6；（2）0和-1.8；（3）-
3
2
和-4； 例12、指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示的有理数，并用“＜”将它们连接起来。
【变式训练】
（1）－3.5，1； （2）－5，3，－2.7； （3）－0.618和－
35； （4）－2
17
和－113 【随堂练习4】
1、比较下列每组数的大小： （1）－10，－7；（2）－
12，－14；（3）－9，0；（4）3.8，－4.1，－3.9；（5）－89和－9
10
； 2、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小。 7，－
45，－3.5，0，4
3
3、下表记录了某日我国几个城市的平均气温：
北京 西安 哈尔滨 上海 广州 —7.6℃
－1.2℃
－20.8℃
0.5℃
12.7℃
将各城市的平均气温从高到低进行排列。
4、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定。现有一场足球比赛。选取6个足球对其质量进行检测，检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）如下：－25，＋10，－
20，＋30，＋15，－40.清指出哪个足球更标准？为什么？
第一讲有理数概念（学案）
【故事分享】101％的意义…
从严格的数学意义来看，100％等于什么？那么比100％还多又怎么解释呢？想想那些说
自己正在付出101％的人…我们常常处于别人期望我们付出101%的境地…
怎么达到101%呢？生活中怎样达到101％呢？请看看下面的这组公式，它们会帮助我们找到答案！
如果：
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
代表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26.
如果：
K-N-O-W-L-E- D-G-E 知识
11+14+15+23+ 12+5+4+7+ 5 = 96%
同时：
H-A-R-D-W-O- R- K 认真工作
8+1+18+4+23+15+18+11 = 98%
但是：
A-T-T-I-T-U- D-E 态度
1+20+20+9+20+ 21+4+5 = 100%
那么，现在看看上帝会给我们带来什么？
L-O-V-E- O-F-G-O-D 热爱上帝
12+15+22+5+15+ 6+7+15+4 = 101%
于是，我们从数学计算上肯定地回答说，
认真工作和知识会让你接近100%，态度会让你达到100%，
而
热爱上帝，能让你超过100%！
你也可以像我一样，把这个有趣的计算与你的好友分享
【探究一】正负数，有理数定义，有理数分类
【知识回顾】
有理数
1、正数与负数
（1）正数：像3，2，＋0.5这样大于0的数叫做。
（2）负数：像－3，－2，－155这样在正数前面加上负号“－”的数叫做。
（3）0既不是也不是，0是正数与负数的。0的意义已不仅是表示“没有”，如0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。
（4）在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有的意义。
（5）对于正数与负数，不能简单理解为带“＋”就是正数，带“－”的就是负数，如－a，当a＝0时，－a＝，当a表示负数时－a是，只有当a是正数时－a才是。
2、有理数的定义
、、统称为整数。如：－2，101，0，－10.正分数和负分数统称为，如：
1.2，0.3，25-
，227，－3.1。如：－1，0.003，0，67-，13
，－7.9，32。整数和分数统称有理数。有理数也可以分为正数、零、负数，正数又分为 、 。
3、有理数分类
【典型例题】
例1、判断：（边读题边判断边讲解）
（1）前面带有“－”的数是负数（ ）
（2）在有理数中‘0的意义仅仅表示没有（ ）
（3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数( ) 例2、填空：（将题抄写在黑板上）
-4.5， 3.14， -2， +43， .
0.6-， 0.618，
7
22
，0，-0.212，184-
正数： 个；负数： 个；整数： 个；分数： 个；正分数： 个；负分数： 个；正整数： 个；负整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个；
例3、（1）在知识竞赛中，如果用＋10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？
（2）某人转动转盘，如果用＋5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？
【随堂练习1】
1、判断
（1）前面带有“－”的数是负数（ ）
（2）在有理数中‘0的意义仅仅表示没有（ ）
（3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数 （ ） （4）存在既不是正数，也不是负数的数（ ） （5）a 是正数（ ）
有理数
正分数
负分数
有理数
分数
负数
（6）－a 是正数（ ）
（7） a 和－a 一定有一个表示负数（ ） （8）a 和－a 表示一对相反数（ ） 2、将下列各数分别填入相应的大括号里：
-3.5， 3.14， -2， +43， .
0.6 ， 0.618，
7
22
，0，-0.202 正数集合：｛ ….｝ 负数集合：｛ …….｝ 整数集合：｛ ….｝ 分数集合：｛ …….｝ 正分数集合：｛ ….｝ 正整数集合：｛ ….｝ 负分数数集合：｛ ….｝ 负整数集合：｛ ….｝ 非负整数集合：｛ ….｝ 非正整数集合：｛ ….｝
3、在4个不同时刻。对同一水池中的水位进行测量，记录如下：上升3厘米，下降6厘米，下降1厘米，不升不降。如果上升3厘米记为＋3厘米，那么其余3个记录怎样表示？
4、（1）如果节约20千瓦·时记作＋20千瓦·时，那么浪费10千瓦·时电记作什么？ （2）如果－20.50元表示亏本20.50元，那么＋100.57元表示什么？ （3）如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示什么？
【探究二】数轴
【知识回顾】
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
（1）在直线上取一个点表示0，这个点叫做原点，通常情况下原点的选取是任意的；
（2）通常规定直线上从原点 （或向上）为正方向，从原点 （或向下）为负方向； （3）选取适当的长度为 ，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示－1，－2，－3，…
【典型例题】
例3、数轴上的点（4道题共用一条数轴，后面的在前面的基础上变化而来）
第 4 题 图
-52O B
A
画图时将点B 的坐标改为1 （1）（2009年宜宾）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为 。 （2）在数轴上，到表示-5的点的距离为6的点所表示的数是 。
【随堂练习2】
1、（2009年宜宾）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为 。
第 4 题 图
-52O
B
A
2、(2010河北)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应A 0
B
C D
的数为 ．
3、 在数轴上点P 表示的数是2
，那么在同一数轴上与点P 相距5个单位的点表示的数是 。 4、点A 为数轴上表示-2的动点，当A 点沿数轴移动4个单位长度到B 点时，点B 所表示的实数为 。
5、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到达的终点是表示数____________的点。
【探究三】相反数，绝对值，倒数
【知识回顾】
0A A'
1、相反数
几何定义：数轴上表示相反数的两个点分布在原点两旁且到原点的 ，这两个点关于 对称。 代数定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数。
（1）在任意一个数前面加上“ ”号，新的数就是原数的相反数。如－（－3）＝3，－（＋1.6）＝－1.6，相反数是它本身的数是 。
（2）一般地，数a 的相反数是 ，0的相反数是 .如：2.5的相反数是－2.5，15与1
5
互为相反数。 （3）a,b 互为相反数 或 或
2、绝对值
几何定义：一般地，数轴上表示数a 的点与 叫做数a 的绝对值，记作 代数定义：∣a ∣= 或 ∣a ∣=
注：非负数的绝对值等于它的 ，负数的绝对值等于它的 。
3、倒数
定义： 的两个数互为倒数。
若ab ＝1，则a,b 互为倒数。如：－3与-1∕3互为倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1.
特别提示：倒数和相反数的区别
（1）符号上不同：互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两个数符号相反（零除外）； （2）和、积不同：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1； （3）零的问题：零的相反数是零；零没有倒数。
【典型例题】
1、－｛＋3〖－（＋6.6）〗｝＝ 。
2、（2009年福州）2010的相反数是 。
3、若a －2 的相反数是5，则a 的值为____．
4、求下列各数的绝对值
（1）－38；（2）－0.15；（3）m(m ＜0)；（4）3c(c ＞0)；（5）m －2(m ＜2)；（6）m-n(m ＜n)． 5、求下面每个数的倒数
A 0
B
C D (a ＞0) (a ＝0) (a ＜0) (a ≥0) (a ≤0)
（1）－38；（2）
1
4
；（3）－0.25；（4）-3.5；(5)0；(6)1，-1； 6、判断
（1）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（ ） （2）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （3）|a |一定是正数（ ）
7、
m m
= 。（b ≠0)
【随堂练习3】
1、判断(边读边判断边讲解）
（1）两个有理数，绝对值小的离原点近（ ） （2）有理数的绝对值一定是正数（ ）
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等（ ） （4）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（ ） （5）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （7）|a |一定是正数（ ）
（8）|21a |=－2
1
a ，则a 一定是非正数（ ） （9）若|a |＝|b|，则a ＝
b ； ( )
（10）
(0)b b
b b
b
=
≠ ；（ ） 2、求下列各数的绝对值（由数到字母再到式子逐个演变去绝对值符号）
（1）－38 （2）0.15 （3）a(a ＜0) （4）3b(b ＞0) （5）a －2(a ＜2) （6）a-b(a ＞b) 3、若5=a ，则a 的值是 . 4、求下面每个数的倒数
（1）－38 （2）1/4 （3）0.15 （4）-2.5 （5）0 (6)1，-1 5、(2010巴中)-3∕2的倒数的绝对值 2∕3 。
6、如果-2∕3的相反数恰好是有理数a 的绝对值，那么a 的值是±2∕3。
7、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是 。
【探究四】有理数大小比较
【知识回顾】
在数轴上表示有理数，它们从左向右的顺序，就是从小到大的顺序，即 小于 。 （1）正数大于0，0大于负数，正数大于 ； （2）两个负数，绝对值大的 。 特别提示：
异号两数大小比较，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们绝对值的大小。两个数的大小关系反映的是数轴上的两个点的左右关系，两个数绝对值的大小反映的是数轴上两个点，到原点距离的大小。
【典型例题】
例11、比较下列每组数的大小：
（1）-2和+6；（2）0和-1.8；（3）-3
2
和-4；
例12、指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数，并用“＜”将它们连接起来。
【随堂练习4】
1、比较下列每组数的大小：
（1）－10，－7；（2）－1
2
，－
1
4
；（3）－9，0；
（4）3.8，－4.1，－3.9；（5）－8
9
和－
9
10
；
2、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小。
7，－4
5
，－3.5，0，
4
3
3、下表记录了某日我国几个城市的平均气温：
北京西安哈尔滨上海广州
—7.6℃－1.2℃－20.8℃0.5℃12.7℃
将各城市的平均气温从高到低进行排列。
4、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定。现有一场足球比赛。选取6个足球对其质量进行检测，检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）如下：－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40.清指出哪个足球更标准？为什么？
第一讲 有理数概念检测题
一、 判断题：（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题2分，共20分）
1．自然数是整数； （ ） 2．正分数一定是正有理数 ； （ ）
3．3
1
1-是分数； （ ） 4．a 是正数； （ ）
5．所有的有理数都有绝对值；（ ） 6．所有的有理数都有相反数； （ ） 7．－∣－6∣的相反数是6-；（ ） 8．若y x =，则x =y ； （ ） 9．若x 1．如果把公元2010年记作+2010，那么－2010表示 ； 2．如果向东行走为正，那么走－〖－（－10）〗米表示是意义是 ； 3．把下列各数填在相应的空格里： 32 9 ，3.14，π，21-，+2008，0，－88，－〖＋（－8）〗，－∣－9∣ 是整数的有 ，是负数的有 ； 4．最小的正整数是 ，绝对值最小的数是 ； 5． 的相反数是0，2--的相反数是 ； 6．绝对值不小于3的整数有 个； 7．用“>”或“<”填空： ① －87 －98 ，② 153 1 1003 -，③ -9 8， ④ 0 -78； 8．化简1-12 ?? ???+-?? ?? ??? ?= ，＋〖-（+3.6） 〗 = ； 9．下列三组数中，它们是互为相反数的是第 组，相等的是第 组； ①－（-3）与－〖＋（－10）〗， ② -（-3）与+（-3）， ③－〖－（－10）〗 与+（-3）. 10． 设3 m 14 =-，则－m = ； 11． ① 当b 0时，∣b ∣＞0>0， ② 当c 0时，c <－c ． 三、 解答题：（第1、3、4题每小题5分，第2题10分，共30分） 1. 写出三个大于－2的负有理数，将它们从小到大排列． 2．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：21-，0，5.2-，5--，-3 1 3． 并用“<”连接各数。 3．计算： （1）∣－24∣－∣＋16∣＋∣－20∣； （2）∣－24∣×∣－1 13 ∣－∣－25∣． 4．比较大小：－ 1110与－1211 ．（要求写出解题过程） 四．选择题：（每小题5分，共10分） 1．数a 、b 在数轴上表示如图，下列判断正确的是（ ） （A ）b <0 （B ）b >1 （C ）n >－5 （D ）n <－5 2．已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，现比较m 、n 、－m 、－n 的大小，正确 的是（ ） （A ）－m<－n 五．附加题：（10分） 已知232++-b a =0，求b a a ++22 的值。 a -5 b m 0 n 有理数的概念 知识点一、有理数的概念及分类 1、正数与负数： 正数：像1，1.1，517，2009 等大于0 的数，叫做正数； 负数：像-1，-1.1，-517，-2009 等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。 正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。 “0”既不是正数，也不是负数。 在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量： 向东走100 米记作－100 米，则向西走五十米记作+50 米。 盈利100 元记作+100 元，则亏损100 元记作什么？ 水位升高1.2 米，下降0.7 米，如何用有理数表示？ 2、有理数：整数与分数统称为有理数 注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数； （2）无限不循环小数不是有理数，如π ； （3）正数和零统称为非负数； 注意：0 既不是正数，也不是负 数，是唯一的中性数 （4）0 是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。 3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。 例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。 4、有理数“0”的作用： 随堂练习 1、气温下降2度记?2°C，那么上升3度表示为°C . 2、用+20米表示前进20米，那么?15米表示. 3、如果向北走10 m记作+10 m，那么?6 m表示（）. A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m 4、有理数包括（）. A 、整数、分数和零 B 、正有理数、负有理数和零 C 、正数和负数D、正数和分数 5、下列说法中，正确的是（）. A 、在有理数中，零的意义表示没有 B 、一个数不是正数就是负数 有理数的概念知识梳理 有理数的概念一、目标认知学习目标： 了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。 重点： 有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小 难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。运用数轴理解绝对值的几何意义。有理数比较大小的方法的掌握。 二、知识要点梳理 知识点一：负数的引入 要点诠释： 正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。 知识点二：正数和负数的概念 要点诠释： （1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。 （2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。 （3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 注意： （1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号， 例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。 例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数， 若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0； 当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。 知识点三：有理数的有关概念 要点诠释： 1、有理数：整数和分数统称为有理数。 注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。 但是本节中的分数不包括分母是1的分数。 （2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 （3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。 2、整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、 3、0、－1、－2、－3等等。 3、分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。 知识点四：有理数的分类 要点诠释： 1、按整数、分数的关系分类： 2、按正数、负数与0的关系分类： 注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0表明a是非正数。 知识点五：数轴的概念 要点诠释： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。 知识点六：数轴的画法 初中数学有理数基础测试题附答案 一、选择题 1．若30,a -=则+a b 的值是（ ） A ．2 B 、1 C 、0 D 、1- 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B ． 考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值． 2．下列等式一定成立的是( ) A = B ．11= C 3=± D ．6=- 【答案】B 【解析】 【分析】 根据算术平方根、立方根、绝对值的性质逐项判断即可. 【详解】 321-=，故错误； B. 11=，故正确； 3=， 故错误； D. ()66=--=，故错误； 故答案为：B. 【点睛】 本题考查了算术平方根的概念、立方根的概念、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握其定义和性质. 3．若︱2a ︱＝－2a ，则a 一定是( ) A ．正数 B ．负数 C ．正数或零 D ．负数或零 【答案】D 【解析】 试题分析：根据绝对值的意义，一个正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值是其相反数，可知a 一定是一个负数或0. 故选D 4．如图是张小亮的答卷，他的得分应是（ ） A．40分B．60分C．80分D．100分 【答案】A 【解析】 【分析】 根据绝对值、倒数、相反数、立方以及平均数进行计算即可． 【详解】 解：①若ab=1，则a与b互为倒数， ②（-1）3=-1， ③-12=-1， ④|-1|=-1， ⑤若a+b=0，则a与b互为相反数， 故选A． 【点睛】 本题考查了实数，掌握绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数的定义是解题的关键．5．下列各数中，最大的数是（） A． 1 2 -B． 1 4 C．0 D．-2 【答案】B 【解析】 【分析】 将四个数进行排序，进而确定出最大的数即可．【详解】 11 20 24 -<-<<， 则最大的数是1 4 ， 故选B． 【点睛】 此题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解本题的关键． 华东师大版七年级数学练习卷（二） 班级＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿ 座号＿＿＿＿ （有理数的概念） 一、填空题：（每题 2 分，共 24 分） １、如果零上 5℃记作＋5℃,那么零下3℃记作＿＿＿＿＿。 ２、－2 的相反数是＿＿＿＿＿。 ３、化简：－（＋3）＝＿＿＿＿＿。 ４、－ 的绝对值是＿＿＿＿＿。 ５、绝对值为 2，符号是“－”的数是＿＿＿＿＿。 ６、化简：－ ＝＿＿＿＿＿。 ７、比较大小：0＿＿＿＿－3 ８、绝对值小于 3 的整数有＿＿＿＿＿个。 ９、一个数的相反数是它本身，这个数是＿＿＿＿＿。 10、－（－2）表示的意义是 －2 的＿＿＿＿＿数。 11、比 －2 大而比 3 小的整数有＿＿＿＿＿个。 12、在数轴上与原点距离为 2 个单位的点所表示的数是＿＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 3 分，共 18 分） １、下列各数中，是正数的有（ ） －3，－（－1），＋（－），０，，－ Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个 ２、如果向东为正，那么－6千米就是表示（ ） A 、向东走 6 千米 B 、向北走 6 千米 C 、向南走 6 千米 D 、向西东走 6 千米 ３、下列各组数中，互为相反数的是（ ） A 、－0.75 和 Ｂ、－ 和 0.2 Ｃ、 和 Ｄ、2 和 －(－2) ４、下列各图中，所表示的数轴正确的是（ ） Ａ、 Ｃ、 Ｄ、 ５、a 为有理数，则下列结论正确的是（ ） A 、－a 的负有理数 B 、 是正数 Ｃ、 是非负数 Ｄ、＝a ６、有理数 a 、b 在数轴上对应点如图所示，下列各式正确的是（ ） Ａ、 ＞ b Ｂ、a ＜ －b Ｃ、a ＞ b Ｄ、 ＜ 三、１、画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： 0 -1 1 2 0 -1 1 2h ttp 有理数的相关概念 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 第一讲有理数的相关概念 【知识要点及巩固】 一、有理数基本概念 1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正 数。正数都大于0。 2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做 负数。负数都小于0。 0既不是正数，也不是负数。 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 注意：正数和负数是表示相反意义的量。 如：南为正方向，向南km 3 -。 3表示为km 1表示为km +，那么向北km 1 3、有理数：整数与分数统称为有理数。 4、无理数：无限不循环小数，如π。 5.有理数的分类： 6.几个重要概念： 注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。 例1：判断下列说法正确与否 ⑴ 一个有理数不是整数就是分数 （ ） ⑵ 一个有理数不是正数就是负数 （ ） ⑶ 一个整数不是正的，就是负的 （ ） ⑷ 一个分数不是正的，就是负的 （ ） 例2： 1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中： -7.2，4 3 ，-9, 1.4，0, 3.14，π，5 412，-2.5， 121121112.0，3 6 整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？ 例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？ （3）第2014个数是正数还是负数排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置 有理数的概念 一、目标认知 学习目标： 了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。 重点： 有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小 难点： 绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。运用数轴理解绝对值的几何意义。有理数比较大小的方法的掌握。 二、知识要点梳理 知识点一：负数的引入 要点诠释： 正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。 知识点二：正数和负数的概念 要点诠释： （1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。 （2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。 （3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 注意： （1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号， 例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。 例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数， 若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0； 当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。 有理数的有关概念和分类 知识要点 1、一个整数a 和一个非零整数b 的比是有理数（rational number ），例如：12，-53 ，155 ，实际上所有的整数都可以写成分数的形式． 2、有理数分类，有理数可以按形式以及正负分类： 3．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上右边的数总比左边的数大。数轴上的点不都代表有理数 4. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。0的相反数是0。 判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若0a b +=，则a b 与互为相反数；②从直观上看a a -与是互为相反数。 一、夯实基础 (一)选择题 1.下列表示的数轴中，正确的是( ) A ． B ． C ． D ． 2.有理数a 、b 、c 在数轴上所对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( ) A ．b ＞c ＞0＞a B ．a ＞b ＞c ＞0 C ．b ＞0＞a ＞c D ．a ＞c ＞b ＞0 3.如图，A 、B 、C 、D 、E 为某未标出原点的数轴上的五个点，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，则点D 所表示的数是( ) A ．10 B ．9 C ．6 D ．0 4. 下 列 结 论 正确 的 有 （ ） ①任何有理数都有相反数；②符号相反的两个数互为相反数； ③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等； ④若有理数a ，b 互为相反数，则它们一定异号. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.若a ＜－1，则a ，－a ，1a ，-1 a 的大小关系是( ) A ． B ． C ． D ． 6. 点A 在数轴上表示＋2，将点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所示的有理数是( ) A ．3 B ．－1 C ．5 D ．－1或3 7. 若m ＋n ＝0，n ＋p ＝0，且m －q ＝0，则( ) A ．p 与q 相等 B ．m 与p 互为相反数 C ．m 与n 相等 D ．n 与q 相等 8. 已知两个有理数a ，b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＞0 C ．a ，b 异号 D ．a ，b 异号，且负数的绝对值较大 9. 一个动点M 从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s,到达点A 后立即返回,运动7s 到达点B,若动点M 运动的速度为每秒2个单位长度,则此时点B 在数轴上所表示的数是( ) ??? ? ?????????? ???负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0???? ?? ???????? ?负分数负整数负有理数正分数正整数 正有理数有理数0 。圆周率不是有理数； （3）自然数<==>0和正整数；a>0 <==>a是正数；a<0 <==>a是负数； a≥0<==>a是正数或0<==>a是非负数；a≤0<==>a是负数或0<==>a是非正数。 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2,-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。 （4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 4、相反数 （1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。如：5和-5，-2和2，它们数字相同符号相反，所以互为相反数。 求任何一个数或式子的相反数，只需要在这个数或式子前面加上“负号”，然后适当化简即可。 如：a+b的相反数是-（a+b）=-a-b （2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a,我们说这两点关于原点对称。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0,正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0. 有理数及其有关概念练习题 一、填空： 1、有理数的分类： （1）按定义分类：（2）按性质符号分类： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 正分数 分数 负整数 正整数 整数 有理数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 负整数 负有理数 正分数 正整数 正有理数 有理数0 2、把下列各数分别填在相应的表示集合的圈里． 3、用正数或负数表示下列各题中的数量： (1)如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作______； (2)+150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作______； 4、最小的自然数是，最大的负整数是，最小的非负整数是。 5、观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数. （1）–1，2，–3，4， _______, ________; （2） , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 _______, ________; （3）–11，–7，–3，1，_______, _________; 6．-4的绝对值是________；2的相反数的绝对值是______． 7．若│a│=│-3│，则a=_______． 8.绝对值小于3的整数有_________________，它们的和是_______ 9. 从数轴上表示-1的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点所表示的数是___________。 10. 数轴上与原点的距离是6的点有___个，这些点表示的数是____。 11. 在数轴上点A 、B 分别表示-12和12，则数轴上与A 、B 两点的距离相等的点表示的数是___________。 12、用“>、<、=”号填空 │+9│ │-9│ , -5 -8, 0 ___|-?︱ 二、选择题： 1、0是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 整数 D. 正有理数 2、下列各数：9,05.0,101,32 4,65 0,76.8,1,54 --+---，，中,（ ） A 、只有1，–7，+101，–9是整数 B 、其中有三个数是正整数 C 、非负数有1，8.6，+101，0， D 、只有是负分数 3. 如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 4. 下列各组数中，大小关系正确的是（ ） A. -<-<-752 B. ->->752 C. -<-<-725 D. ->->-275 5. 下列说法正确的是（ ） A. 有原点、正方向的直线是数轴 B. 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 C. 有些有理数不能在数轴上表示出来 D. 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 有理数的相关概念 教学目标： 掌握有理数的基本性质及相关概念并能实现灵活应用； 教学重难点分析： 重点：1、有理数中的知识与概念； 难点：1、绝对值、有理数知识的灵活应用； 知识点梳理： 1、正数与负数； 3、数轴； 4、相反数； 5、绝对值； 6、有理数比较大小； 知识点1、正数与负数 【例1】在8.5，-2.1，+4,0.6，，0中，是负数的是_________。 【例2】水位上升20m记作+20m，则-30m表示______________，水位不升不降记为__________。 【例3】某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在____℃至_____℃范围内保存才合适。 【例4】某图纸上说明：一种零件的直径是mm，下列尺寸合格的是【】 A.30.05mm B.29.08mm C.29.97mm D.30.01mm 【例5】七年级一班第一小组五名同学某次数学测试的平均分数为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负，将五名同学的成绩分别记作-15分，-4分，0分，4分，15分，则这五名同学的实际成绩分别是多少分？ 【随堂练习】 1、把下列各数分别填入相应的集合里． ()88.1,5,2006,14.3,722,0,34,4++----- 正数集合：｛ …｝； 负数集合：｛ …｝； 整数集合：｛ …｝； 分数集合：｛ …｝。 2、上升3.5米记作_________米；下降5.3米记作__________米。 3、某冷库的温度是16-℃，下降了5℃，又下降了4℃，则两次变化后的冷库的温度是__________。 4、某食品包装上标有“净含量385±5克”，这袋食品的合格率含量范围是 克至 克. 5、排球比赛所使用的排球质量是有严格规定的。现检查4个排球的质量，超过规定质量的记做正数，不足规定质量的记做负数。1—4号排球检查结果如下＋15，－10，＋30，－20，那么哪一号排球的质量好些【 】 A.1号 B.2号 C.3号 D.4号 6、某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“60030（ml ）”的字样，那么30ml 表示什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，588ml ，568ml ，628ml ，问抽查的产品是否合格？ 7、光明牛奶再一次质量检测中，测得七袋牛奶的质量分别为498克、500克、503克、496克、497克、502克、504克。这七袋牛奶质量的平均值是多少？ 以平均值为标准（超出为正、低于为负），用正、负数分别表示出他们对应的数。 七年级数学第一章第一单元练习题 学号_________姓名__________ 一、 填空题：（每小题5分，共30分） 1．__________的相反数是4。 2．8 1－ ＝___________。 3．在数轴上，一个点从1开始，往右运动4个单位，再往左运动7个单位，这时表示的数是______。 4．“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“500±30mL ”字样，其中500表示标准容量是500mL ，+30表示最多不超过标准容量30mL ，那么－30表示____________________________________。 5．比较大小：－4______－2 6．化简：＝－??? ? ? -215______________ 二、选择题：（每小题5分，共15分） 7．下列说法中，正确的是( ) A ．0是最小的整数 B ．1是最小的正整数 C ．1是最小的整数 D ．一个有理数不是正数就是负数 8．下列说法，不正确的是( ) A ．数轴上的数，右边的数总比左边的数大 B ．绝对值最小的有理数是0 C ．在数轴上，右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大。 D ．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大。 9．下列说法中，正确的是( ) A ．没有最小的正整数，也没有最大的负整数 B ．一个数的绝对值一定是正数 C ．符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数 D ．－a 表示负数 三、判断题：（每小题3分，共24分） 10．-3与原点的距离是-3个单位长度。( ) 11．比0大的数是正数，比0小的数是负数，0不是正数也不是负数。( ) 12．温度计中显示0℃时，表示没有温度。( ) 13．有理数分为正有理数和负有理数。( ) 14．有理数分为整数和分数。( ) 新苏教版七升八数学第一讲有理数的概念和性质 一、【概念和性质】 1、正数和负数 正数：比0大的数。如+3、+1.5、+1 2、+584（正号可以省略） 负数：比0小的数。如－3、－1.5、－1 2、－584（负号不可以省略） 零：既不是正数，也不是负数。零是正数和负数的分界。 【实际意义】如“零上”和“零下”“高出”和“低于” “上升”和“下降”“超出”和“不足” “盈利”和“亏损”“收入”和“支出” ▲如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 例：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为－3km， 向南－5km表示向北5km 填空（1）若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米，则向西行驶1.5千米记作； 汽车原地不动记作。 （2）某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针转2圈，那么圈－3表示。 2、整数和分数统称为有理数。 ▲有理数可以写成 m n（ m、n是整数，n≠0）。 ▲有理数的两种分类： ①按定义分： ②按符号分（常用）： 整数 分数 正整数 负整数 正分数 负分数 有理数 正有理数 正整数 正分数 有限小数 无限小数 分数（分子是1时，这个分数就是正数） 无限循环小数 无限不循环小数（无理数） 小数 自然数 几个重要概念 （1）非负数：正数和零 （2）非正数：负数和零 （3）非负整数：正整数和零 （4）非正整数：负整数和零 3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但不是数轴上所有点都是有理数。 左边的数 〈 右边的数 ▲ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。 4、绝对值的意义与性质： ① 数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作||a 。 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ② ③ 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ④ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 5、绝对值相同，符号相反的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。 ▲ 几何特征：关于原点对称（到原点的距离相等） 6、乘积是1的两个数是互为倒数（0没有倒数） 乘积是－1的两个数是互为负倒数 ▲ 正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数 ▲ 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。 【思考】 已知a 为有理数，判断下列语句是否正确： ① （a+12 ）2是正数； ② －（a －12 ）2 是负数； 111 -2 -1 0 1 2 大 小 ' 初一数学有理数基本概念测试 姓名________一．选择题：(2分×6=12分) 1、下面两个数互为相反数的是( ) A、1 2和B、1 3 和－0.333 C、－和3 2 4 D、9和－(－9) 2、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是( ) A、正有理数 B、负有理数 C、零 D、不可能 3、在数轴上，原点及原点左边所表示的数是( ) \ A、正数 B、负数 C、不是负数 D、不是正数 4、下列说法中正确的有( )个 (1)0既不是正数，也不是负数；(2)1是绝对值最小的数；(3)一个有理数不是整数就是分数；(4)最小的整数是0；(5)互为相反数的两个数的绝对值相等； (6) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；(7)在有理数中，0的意义仅表示没有；(8)正有理数和负有理数组成全体有理数；(9)既不是整数，也不是分数 A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 5、校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明同学从家里出发，向北走了 50米，接着又向北走了－70米，此时张明的位置在( ) A 、在家 B 、在学校 C 、在书店 D 、不在上述地方 6、如果a 、b 两有理数满足a>0，b<0，a (2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 有理数相关的概念 一、选择题 1. （2011江苏连云港，9，3分）写出一个比－1小的数是______． 考点：有理数大小比较。 专题：开放型。 分析：本题答案不唯一．根据有理数大小比较方法可得． 解答：解：根据两个负数，绝对值大的反而小可得﹣2＜﹣1，所以可以填﹣2．答案不唯一． 点评：比较有理数的大小的方法：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 2. （2011?南通）如果60m 表示―向北走60m‖，那么―向南走40m ‖可以表示为（ ） A 、﹣20m B 、﹣40m C 、20m D 、40m 考点：正数和负数。 分析：本题需先根据已知条件得出正数表示向北走，从而得出向南走需用负数表示，最后即可得出答案． 解答：解：60m 表示―向北走60m‖，那么―向南走40m‖可以表示﹣40米．故选B ． 点评：本题主要考查了正数和负数，在解题时要能根据正数和负数分别表示什么意义是本题的关键． 3. （2011陕西，1，3分） 32-的相反数是（ ） A ．2 3- B ．2 3 C ． 3 2 D ．3 2- 考点：倒数。 专题：计算题。 分析：根据倒数的意义，两个数的积为1，则两个数互为倒数，因此求一个数的倒数即用1 除以这个数． 解答：解：3 2- 的倒数为， 1÷（3 2- ）=2 3- ， 故选：A ． 点评：此题考查的是倒数，关键是由倒数的意义，用1除以这个数即是． 4.（2011四川广安，1，3分）一3的倒数是（） A．1 3 B． 1 3 -C． 1 3 ±D．3 考点：倒数专题：有理数 分析：乘积等于1的两个数互为倒数，所以－3的倒数是1÷（－3）＝ 1 3 -． 解答：B 点评：一般地，()0 a a≠的倒数为1 a ，并且一个数与它的倒数符号相同． 5.（2011四川凉山，1，4分）0.5 -的倒数是（） A．2 -B．0.5C．2 D．0.5 - 考点：倒数． 专题：计算题． 分析：根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，－0.5×（－2）＝1即可解答．解答：解：根据倒数的定义得：－0.5×（－2）＝1，因此倒数是－2．故选A． 点评：本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 6.（2011台湾，10，4分）在1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除，再将剩下的整数由小到大排列，求第10个数为何（） A．13 B．14 C．16 D．17 考点：有理数大小比较。 分析：根据45的因子有1，3，5，9，15，全部删除后，即可得出第10个数的值． 解答：解：∵1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除， 而45的因子有1，3，5，9，15，所以全部删除后， 由小到大排列，第10个数为：14． 故选：B． 点评：此题主要考查了有理数中数的因子的性质，找出45的因子是解决问题的关键． 7.（2011重庆市，1，4分）5的倒数是 (4).实数的相关概念：①整数：正整数、零、负整数统称整数；②分数：正分数和负分数统称分数；③有理数：整 数和分数统称有理数（即：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数）；☆④无理数:无限不循环小数称为无理数（即：圆周率π、开不尽的方根、无限不循环小数都是无理数）☆⑤实数：有理数和无理数统称实数。 ⑺.非负数：非负数就是不是负数的数，也就是零和正数；数的绝对值、数的偶次幂、算术根等都是常见的非负 数；几个非负数的和为零，则这几个非负数必同时为零。（非正数：非正数就是不是正数的数，也就是零和负数） ⑻.有理数的运算法则： ○1加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；○2互为相反数的两个数相加得零； ○ 3减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； ○ 4乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零。 ○ 5除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数，都得零；（零不能作除数） ⑼.有理数的乘方：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即 记作n a ，读作a 的n 次方；像这样求n 个相同因 数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂；在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数， 读作a 的n 次方，当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂；当指数 是1时，通常省略不写．【a ?a 可简记为a 2，读作a 的平方(或二次方)；a ?a ?a 可简 记为a 3，读作a 的立方(或三次方)】 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；零的任何非零次幂都是0；零的零次幂没有意义；任何不等于零的数的零次幂都等于1,即()010≠=a a ；☆任何不等于零的数的-P （P 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数,即 p p a a 1=-（a ≠0,P 是正整数）. ⑽.有理数的混合运算顺序:○ 1先算乘方，再算乘除，最后算加减；○2同级运算，按照从左至右的顺序进行；○3如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。（加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。）（进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法.） 知识点复习 1、整数包括哪些数？自然数是什么？什么叫有理数？ 答：整数包括正整数、零、负整数；零和正整数（即非负整数）又叫自然数；正整数、零、负整数、正分数、负分数（即整数和分数）统称为有理数。 2、什么叫数轴？在数轴上如何表示数？ 答：数轴是一条带有方向、原点和规定长度单位的直线。一个有理数在数轴上总可以找出一点和它对应。表示方向的箭头在直线的右端。数轴上方或右方是正数、原点的左方或下方是负数、原点是零。 3、什么叫相反数？什么是绝对值？如何判定有理数的大小？ 答：到原点距离相等的两个数叫互为相反的数。零的相反数是零。数轴上表示的数a 到原点的距离叫数a 的绝对值。一个正数的绝对值是它本身、一个负数的绝对值是它相反数、零的绝对值是它本身。正数大于零，零大于负数，正数大于负数、两个负数绝对值大的反而小。 4、有理数加法法则是什么？ 答：符号相同的两数相加，和的符号与加数的符号相同，并把它们的绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，和的符号取绝对值较大的那个加数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的数相加，和为零；任何数与零相加，和就是这个数。 2020七年级数学复习讲义—有理数的概念 班级 小组 姓名 一、填空题: 1．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有“质量为(25±0.1)kg 、(25±0.2)kg 、(25±0.3)kg”的字 样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多能相差 kg ； 2．地图上标有甲地的温度为25度，乙地的温度为2020丙地的温度为-5度，则温度最高处与最 低处相差____度； 3． －0.5的倒数是 ，()25.0-= ，()3 5.0-= . 4．若a 的相反数是3，则a 的倒数是 ， 一个数等于它的倒数的４倍，这个数 是 。 5．若| a |=0.75, 则a 是 ，若|x |≤２，且 x 为整数，那么x 为 6．.绝对值不大于2020的所有整数的和是________，积是_______. 7． 数轴上点A 表示－3，那么到点A 的距离是５个单位长的点表示的数是__________. 8．相反数等于它本身的有理数是_____________，绝对值等于它本身的有理数是_____________， 倒数等于它本身的有理数是_____________，平方等于它本身的有理数是_____________， 立方等于它本身的有理数是______________。 9．在－45 ，0，9.8，－6，－3.2，＋108，28，-9这些有理数中， (1)正整数有 ；(2)负整数有 ；(3)负分数有 . 10．比较大小:－[－(－0．3)] －∣－31∣。 11．数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 12．若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。 13．在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的 积是____________。 14．大肠杆菌每过2020由1个分裂成2个，经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成_____个。 15．若2-x +232y ??+ ?? ?=0,则x y =______. 16．已知92=x ，则x =______，若x 334=-()，则x =______. 17．(－1)2n +(－1)2n+1+(－1)2n+2=______．(n 为正整数) 18．某网站的点击人数是306100人，用科学记数法表示得___________．(保留两个有效数字) 19．将边长为1的正方形对折5次后，得到图形的面积是 2020003.50是一个近似数，它精确到_______位，有________个有效数字． 21．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm ，若在数轴上随意画出一条长为 2020cm 的线段AB ，则线段AB 盖住的整点有 个。 22．假设有足够多的黑白围棋子,按照一定的规律排列成一行 则第2020个棋子是黑的还是白的？答:_ ___. 二、选择w W w .x K b 1.c o M 21．.一个数的倒数的相反数是135,这个数是( ) A. 165 B.516 C.-165 D.-516 …… 有理数的历史定义 数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数。 有理数在希腊文中称为λογο?，原意是“成比例的数”。英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语即是“可比数”。对应地，无理数则为“不可比数”。 但并非中文翻译不恰当。有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。 明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（“λογο?”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。 当有理数从日本传回中国时又延续错误。清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法 可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。 运算[编辑] 有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下： 两个有理数和相等当且仅当 有理数中存在加法和乘法的逆： 时， 古埃及分数[编辑] 主条目：古埃及分数 古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如： 对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。 形式构建[编辑] 数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里不为零。我们可 第一节 有理数及相关概念 一、课标导航 注：负倒数课标不作要求， 二、核心纲要 1.有理数：整数与分数统称有理数 2．有理数的分类 注：①小学学过的π不是有理数． ②“四非”：非负数，非负整数，非正数，非正整数．（不要丢掉“O”） ③“0”既不是正数也不是负数． 3．数轴：规定了原点、正方向和单l 立长度的直线叫 做数轴． 4．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．特别地，0 的相反数是0 ． 5．绝对值 (1)绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离．数a 的绝对值记 作.||a (2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值 是0． 6.(1)倒数：若a 与b 的乘积是1，则称a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则.1=ab 注：① O 没有倒数； ②求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数． (2)负倒数：若a 与b 的乘积是-1，则称a 与b 互为负倒数；反之，若a 与b 互为负倒数，则 .1-=ab 7．比较有理数大小的常用方法 ①代数法：正数大于非正数，零大于一切负数． ②数轴法：数轴右边的数比左边的数大， ③绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小． ④特殊值法：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小． 8．数学思想方法 (1)初步理解分类讨论的思想， 分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对 每一类分别研究得出每一类的结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略． (2)体会数形结合思想． 数形结合思想是一种重要的数学方法，数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，本章中的“数”就是有理数，“形”就是数轴，由于任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，就把数和形巧妙的结合起来了，数轴是数形结合常用的工具，运用数形结合思想可解决与数轴有关的各种问题， 本节重点讲解：一个方法 （比较太小)两个思想（分类讨论.数形结合）六个概念（有理数、数轴、 相反数、绝对值、倒数和负倒数） 三、全能突破 基 础 演 练 1．(1)下列说法中，正确的是( ) A ．正数和负数统称为有理数 B ．任何有理数均有倒数 C.绝对值相等的两个数相等 D ．任何有理数的绝对值一定是非负数 (2)下列语句正确的是( ) A ．数轴上的点只表示整数 B ．不同的有理数可能用数轴上的同一点表示 C.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 D .有些分数；在数轴上不能表示 2．下列各对数中，不是相反数的是( ) )]3([)3(.----+与A |1|)]1([.--++与B |8|)8(.----与C )]2.5([2.5.-+--与D 3．(1)有下列四个命题：①最大的负整数是-1；②最小的整数是1；③最小的负整数是-1;④最小的正 整数是1．其中正确的说法有 ． (2)下列数中：,|,05.0|,420.0%,23,322,8.3,5,722, 83,15π------负有理数有 ，分数有 4．-a 的相反数是2，则=a ；若3m+7与-10互为相反数，则=m 1;+-m 的相反数是 . 5．数轴上，若点M 、N 表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6，则这两点所表示的数为 ． 6．绝对值小于|5.4|-的整数有 ，和为 . 7．已知,2||,3||==y x 且,y x >求y x +的值．有理数基本概念
有理数的概念知识点归纳及练习题
初中数学有理数基础测试题附答案
有理数的概念测试题及答案
有理数的相关概念(终审稿)
有理数的概念--教案+例题+习题
2.有理数的概念及分类
有理数的概念知识点整理
(完整版)有理数及其有关概念练习题
第二章有理数的相关概念
有理数有关概念练习题
第1讲有理数的概念和性质和答案
有理数概念练习题
2011中考数学真题解析2 有理数相关的概念(含答案)
有理数概念、知识点汇总
2020年新人教版七年级数学上《有理数的概念》期末复习试题
有理数的历史定义
第一节 有理数及相关概念-学而思培优