微分方程求解
学习目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程
的通解、特解及微分方程的初始条件等
学习重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 学习难点：微分方程的通解概念的理解 学习内容：
1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。
（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足
x dx
dy 2= （1）
同时还满足以下条件：
1=x 时，2=y （2）
把（1）式两端积分，得
?=
xdx y 2 即 C x y +=2
（3）
其中C 是任意常数。
把条件（2）代入（3）式，得
1=C ，
由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：
12
+=x y （4）
（2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.
问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？
解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函
数)(t s s =满足：
4.022
-=dt
s d （5）
此外，还满足条件：
0=t 时，20,0==
=dt
ds v s （6）
(5)式两端积分一次得：
14.0C t dt
ds v +-==
（7）
再积分一次得
212
2.0C t C t s ++-= （8）
其中21,C C 都是任意常数。
把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得
0 ,2021==C C
把21,C C 的值代入（7）及（8）式得
,204.0+-=t v （9） t t s 202.02
+-= （10）
在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：
)(504
.020s t ==
。
再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程
).(500502050
2.02
m s =?+?-=
上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。
微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）
是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程
()
x y y y y y
2sin 5'12''10'''44=+-+-
是四阶微分方程。
一般地，n 阶微分方程的形式是
,0),,',,()
(=n y
y y x F （11）
其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)
(n y 是必须出现的，而
)
1(,,',,-n y
y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
01)
(=+n y
中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。
如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程
).,,',,()
1()
(-=n n y
y y x f y
（12）
以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数f 在所讨论的范围内连续。
由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足
微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数)(x y ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，
()
,0)](,),('),(,[≡x x x x F n ?
??
那么函数)(x y ?=就叫做微分方程（11）在区间I 上的解。
例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。
由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。
设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是
0x x =时，0y y =，
或写成 00
|y y x x ==
其中0x ，0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：
0x x =时，0y y =，0''y y =
或写成 00
|y y x x ==，0'|'0
y y x x ==
其中0x ，0y 和0'y 都是给定的值。上述条件叫做初始条件。
确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满
足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。
求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问题，叫
做一阶微分方程的初值问题，记作
??
?===.|),
,('00
y y y x f y x x （13） 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意
义是求微分方程的通过点),(00y x 的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题
??
?=====00'|',|),
',,(''00
y y y y y y x f y x x x x 的几何意义是求微分方程的通过点),(00y x 且在该点处的切线斜率为0'y 的那条积分曲线。 3、 例题
例1 验证：函数
kt C kt C x sin cos 21+= （14）
是微分方程
02
22
=+x k dt
x d （15）
的解。
解 求出所给函数（14）的导数
,cos sin 21kt kC kt kC dt
dx +-=
)sin cos (sin cos 212
22122
2
kt C kt C k kt C k kt C k dt
x d +-=--=
把
2
2
dt
x d 及x 的表达式代入方程（15）得
)sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212
kt C kt C k +0≡
函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。
小结：本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解
及微分方程的初始问题
学习目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法 学习重点：可分离变量的微分方程的解法 学习难点：可分离变量的微分方程的解法 学习内容：
本节开始,我们讨论一阶微分方程
),('y x f y = (1)
的一些解法.
一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:
0),(),(=+dy y x Q dx y x P (2)
在方程(2)中,变量x 与y 对称,它既可以看作是以为x 自变量、y 为未知函数的方程
)
,(),(y x Q y x P dx
dy -
= )0),((≠y x Q ,
也可看作是以x 为自变量、y 为未知函数的方程
)
,(),(y x P y x Q dy
dx -
= )0),((≠y x P ,
在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程
x dx
dy 2=，
或 .2x d x dy = 把上式两端积分就得到这个方程的通解：
C x y +=2
。
但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程
2
2xy dx
dy = （3）
就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数y 积分
?
dx xy 2
2 求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以
2
y
dx ，使方程（3）变为
xdx y
dy 22
=，
这样，变量x 与y 已分离在等式的两端，然后两端积分得
C x y
+=-2
1
或 C
x y +-=2
1 （4）
其中C 是任意常数。
可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方
程（3）的通解。
一般地，如果一个一阶微分方程能写成
dx x f dy y g )()(= （5）
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。
假定方程（5）中的函数)(y g 和)(x f 是连续的，设)(x y ?=是方程的解，将它代入（5）
中得到恒等式
.)()(')]([dx x f dx x x g =??
将上式两端积分，并由)(x y ?=引进变量y ，得
?
?=
dx x f dy
y g )()(
设)(y G 及)(x F 依次为)(y g 和)(x f 的原函数，于是有
C x F y G +=)()( （6）
因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果)(x y Φ=是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在0)(≠y g 的条件下，)(x y Φ=也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当0)(≠y g 时，
,)
()()
(')(')('y g x f y G x F x ==Φ
这就表示函数)(x y Φ=满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中)(y g 和)(x f 是连续的，且0)(≠y g ，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。
例1 求微分方程
xy dx
dy 2= （7）
的通解。
解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得
xdx y dy 2=
两端积分
,2??
=
x d x y
dy
得 ,ln 12
C x y += 从而 2
11
2
x
C C x e
e e
y ±=±=+。
又因为1
C e ±仍是任意常数，把它记作C 便得到方程（7）的通解
2
x
Ce
y =。
例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断
减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量M
成正比。已知0=t 时铀的含量为0M ，求在衰变过程中含量)(t M 随时间变化的规律。
解 铀的衰变速度就是)(t M 对时间t 的导数
dt
dM 。由于铀的衰变速度与其含量成正
比，得到微分方程如下
,M dt
dM λ-= （8）
其中)0(>λλ是常数，叫做衰变系数。λ前的负号是指由于当t 增加时M 单调减少，即
0 dM 的缘故。 由题易知，初始条件为 00|M M t == 方程（8）是可以分离变量的，分离后得 .dt M dM λ-= 两端积分 ().?? -= dt M dM λ 以C ln 表示任意常数，因为0>M ，得 ,ln ln C t M +-=λ 即 .t Ce M λ-= 是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得 C Ce M o ==0 故得 .0t e M M λ-= 由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。 小结：本节讲述了一阶微分方程中可分离变量的微分方程，及其解法。 学习目的：熟练掌握齐次微分方程的解法 学习重点：齐次方程的解法 学习难点：齐次方程的解法 学习内容： 1、 齐次方程的形式 如果一阶微分方程 ),('y x f y = 中的函数),(y x f 可写成 x y 的函数，即)(),(x y y x f ?=，则称这方程为齐次方程。例如 0)()(=-++dy x y dx y x 是齐次方程，因为其可化为 .11x y x y y x y x dx dy - +=-+= 2、 齐次方程 )( ),(x y y x f ?= （1） 的解法。 作代换 x y u = ，则ux y =，于是 .u dx du x dx dy += 从而 )(u u d x d u x ?=+， x u u dx du -= )(?， 分离变量得 x dx u u du = -)(? 两端积分得 ? ?= -x dx u u du )(? 求出积分后，再用x y 代替u ，便得所给齐次方程的通解。如上例 u u u dx du x -+= +11 分离变量，得 x dx u du u =++2 1)1( 积分后，将u =x y 代回即得所求通解。 例1 解方程 )ln ln 1('x y y xy -+=。 解 原式可化为 )ln 1(x y x y dx dy += ， 令u =x y ，则 u d x d u x d x d y +=， 于是 )ln 1(u u u dx du x +=+ 分离变量 x d x u u d u =ln 两端积分得 C u u ln ln ln ln += Cx u =ln 即 Cx e u =。 故方程通解为 Cx xe y =。 3、 练习 1 xy y y x =+22' 通解为 C x y y += ln 2 02)3(22=++-xydy dx y x 通解为 1 22-=-Cx y x 小结：本节讲述了齐次方程，及其解法 学习目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换 解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法 学习重点：一阶线性微分方程的形式,及解的形式，利用变量代换解微分方程 学习难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程 学习内容： 一、线性方程 1、定义 方程 )()(x Q y x P dx dy =+ （1）称为一阶线性微分方程。 特点 关于未知函数y 及其导数'y 是一次的。 若0)(≡x Q ，称1）为齐次的； 若0 )(≠x Q ，称1）为非齐次的。 如：（1）2 22'x xe xy y -=+ （2）25 )1(1 2'+=+- x x y y 2、解法 当0)(≡x Q 时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当0)(≠x Q 时，为求其解首先把)(x Q 换为0，即 0)(=+y x P dx dy （2） 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解 ? =-dx x P Ce y )( 为求（1）的解，利用常数变易法，用)(x u 代替C ，即?=-dx x P e x u y )()( 于是， )]([')()(x P ue e u dx dy dx x P dx x P -?+?=-- 代入（1），得 C dx e x Q u dx x P +?= ? )()( 故 ))(()()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=?-。 （3） 3、例 求方程 25 )1(1 2'+=+- x x y y （4） 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。 01 2=+-x y dx dy ， 1 2+= x dx y dy ， C x y ln )1ln(2ln ++=， 2 )1(+=x C y （5） 用常数变易法。把C 换成)(x u ，即令 2 )1(+=x u y ， 则有 )1(2)1('2 +++=x u x u d x d y ， 代入（1）式中得 21 )1('+=x u ， 两端积分，得 C x u ++= 23 )1(3 2。 再代入（4）式即得所求方程通解 ])1(3 2[ )1(23 2 C x x y +++=。 另解 我们可以直接应用（3）式 ))(()()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=?- 得到方程的通解，其中， 1 2)(+- =x x P ， 25 )1()(+=x x Q 代入积分同样可得方程通解 ])1(3 2[ )1(23 2 C x x y +++=， 此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（3）式求解。 二、贝努力方程 1、定义 n y x Q y x P d x d y )()(=+ )1,0(≠n 称为贝努力方程。 当1,0=n 时，为一阶线性微分方程。 2、解法 两边同除n y )()(1x Q y x P dx dy y n n =+-- 令n y z -=1，则有 dx dy y n dx dz n --=)1( )()(11 x Q z x P dx dz n =+- 而 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+ 为一阶线性微分方程，故 ))()1(()()1()()1(C dx e x Q n e z dx x P n dx x P n +?-?=?---。 贝努力方程的解题步骤 （1） 两端同n y n )1(- （2） 代换n y z -=1 （3） 解关于z 的线性微分方程 （4） 还原 例 解方程 63'y x y xy =+ 解 过程略，通解为 5 35 2 5Cx x y += -。 三、利用变量代换解微分方程 例 解方程 )ln (ln 'y x y y xy +=+ 解 令 u xy =，则 dx dy x y dx du +=，于是 u x u u y dx du ln ln = = 解得 Cx e u =， 即 Cx e xy = 例 解方程 y x dx dy +=1 解 过程略，通解为 y Ce y x =++1。 小结：本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努力方程的解法，利用常数变易法， 和变量代换法来解微分方程。 学习目的：掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察 法找积分因子 学习重点：全微分方程的解法，观察法找积分因子 学习难点：全微分方程的解法，观察法找积分因子 学习内容： 1、定义 若0),(),(=+dy y x Q dx y x P （1）恰为某一个函数的全微分方程，即存在 某个),(y x u ，使有dy y x Q dx y x P du ),(),(+=，则称（1）为全微分方程。 可以证明 C y x u =),(是（1）式的隐式通解。 2、解法 若),(y x P ，),(y x Q 在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，条件 x Q y P ??=?? 是（1）式为全微分方程的充要要条件。 通解为 C dy y x Q dx y x P y x u y y x x =+ = ? ? ),(),(),(。 例1 求解 0)33()35(222324=+-+-+dy y xy y x dx y xy x 解 令 =P 3 2 4 35y xy x -+，22233y xy y x Q +-= 则 x Q y xy y P ??=-=??2 36 此方程为全微分方程。于是 3 3 2 2 5 2 3 2 43 12 3 )35(),(y xy y x x dy y dx y xy x y x u y x + -+ =+ -+= ? ? 通解为 C y xy y x x =+ -+3 3 225 3 12 3 3、积分因子 若x Q y P ??≠ ??，则（1）式不是全微分方程，但若有一个适当函数),(y x μμ=，使（1） 式乘以),(y x μ后为全微分方程，称函数),(y x μ为积分因子。 一般积分因子不好求，我们只要求通过观察找到积分因子。 例2 方程0=-xdy ydx 不是全微分方程，但 2 )(y xdy ydx y x d -= 于是将方程乘以 2 1y ，则有 02 =-y x d y y d x ， 即 0)(=y x d ，从而C y x =为其通解。此时21y 为其积分因子。 注意 积分因子一般不唯一。 如上述方程，若同乘 xy 1有 0=- y dy x dx ， 于是 0)ln (ln =-y x d ，即 C y x =为其通解。 xy 1也是其积分因子。 小结：本节讲述了全微分方程的解法，用观察法长积分因子，使之满足全微分方 程的充要条件。 学习目的：掌握三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法 学习重点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习难点：三种可降阶的高阶微分方程的求法 学习内容： 一、)()(x f y n =型 令 z y n =-)1(，则原方程可化为 )(x f dx dz =， 于是 ? += =-1)1()(C dx x f y z n 同理 C dx C dx x f y n ++=??-])([1)2( 。。。 。。。 n 次积分后可求其通解。 其特点：只含有) (n y 和x ，不含y 及y 的)1(~1-n 阶导数。 例1 解方程 1 21'''+=x y 解得 322 125 )12(15 1C x C x C x y ++++= 为其通解。 二、)',(''y x f y = 令 ,'p y = 则 '''p y =，于是可将其化成一阶微分方程。 特点 含有x y y ,',''，不含y 。 例2 0'''2=-+x y xy 解得通解为 213 ln 9 1C x C x y ++= 三、)',(''y y f y = 令 ,'p y = 则 dy dp p dx dy dy dp dx dp y ===''， 于是可将其化为一阶微分方程。 特点 不显含x 。 例3 0''''2=+-y y yy 解 化为一阶线性或可分离变量的微分方程，解得通解为 211)1ln(C x C y C +=+。 小结：本节讲述了三种容易降阶的高阶微分方程及其求解方法 学习目的：掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的 特解及通解的形式。 学习重点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 学习难点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。 学习内容： 1、定义：方程 2 2() ()()d y dy P x Q x y f x dx dx ++= (1) 称为二阶线性微分方程。 当()0f x ≡时称为齐次的，当()0f x ≠时称为非齐次的。 为求解方程（1）需讨论其解的性质 2、解的性质 2 2 () ()0d y d y P x Q x y d x d x ++= （2） 性质1 若12(),()y x y x 是（2）的解，则1122()()y C y x C y x =+也是（2）的解， 其中1C ，2C 为任意常数。 称性质1为解的叠加原理。 但此解未必是通解，若12()3()y x y x =，则1212()(3)()y x C C y x =+，那么 1122()()C y x C y x +何时成为通解？只有当1y 与2y 线性无关时。 线性相关 设12,,,n y y y 是定义在区间I 内的函数，若存在不全为零的数12,,,n k k k 使得 11220n n k y k y k y +++= 恒成立，则称12,,,n y y y 线性相关。 线性无关 不是线性相关。 如： 221,cos ,sin x x 线性相关， 21,,x x 线性无关。 对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时， 线性无关。 性质2 若12(),()y x y x 是（2）的两个线性无关的特解，那么 1122()()y C y x C y x =+ （1C ，2C 为任意常数）是方程（2）的特解。 此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。 如：12cos ,sin y x y x ==是''0y y +=的两个解，又 12 y ctgx y =≠常数。因此， 12cos sin y C x C x =+为''0y y +=的通解。 又(1)'''0x y xy y --+=的解12,x y x y e ==亦线性无关。 则12x y C x C e =+为其通解。 下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质.称（2）为（1）所对应的齐次方程。 性质3 设*y 是（1）的特解，Y 是（2）的通解，则*y Y y =+是（1）的通解。 如：2''y y x +=， 12cos sin y C x C x =+为''0y y +=的通解，又2 *2y x =-是特解， 则12cos sin y C x C x =+的通解。 性质4 设（5）式中12()()()f x f x f x =+，若12*,*y y 分别是 2 12 () ()()d y dy P x Q x y f x dx dx ++=， 2 22 () ()()d y dy P x Q x y f x dx dx ++= 的特解，则12**y y +为原方程的特解。 称此性质为解的叠加原理。 小结：本节讲述了二阶线性方程解的结构，包括齐次线性方程的通解，非齐线性 方程的特解及通解的形式。 学习目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特 征根的三种情况，通解的三种不同形式。 学习重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形 式。 学习难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 学习内容： 若2 2() ()0d y dy P x Q x y dx dx ++= （2）中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次 微分方程，而(2)称之为二阶变系数齐次微分方程。 记：'''0y py qy ++= （3） 将rx y e =代入（3）中有2()0rx r pr q e ++=，称2 0r pr q ++=为（3）的特征方程。 设12,r r 为（4）的解。 （1）当12r r ≠即2 40p q ->时，1212r x r x y C e C e =+为其通解。 （2）当12r r r ==即240p q -=时，（3）只有一个解rx y C e =。 （3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x y e αβ±=是解。 利用欧拉公式可得实解，故通解为 12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。 例 求下列微分方程的通解 1、''2'30y y y --= 2、''2'50y y y -+= 解 过程略。 通解为 （1）312x x y C e C e -=+， （2）12(cos 2sin 2)x y e C x C x =+。 上面结果可扩展到n 阶常系数微分方程。 例 求 (4)2'''5''0y y y -+=。 通解为 1234(cos 2sin 2)x y C C x e C x C x =+++。 小结：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当 特征根形式不同时，通解具有不同形式。 学习目的：掌握二阶常系数非齐次线性微分方程当()f x 为()x m P x e λ与 [()cos ()sin ]x l n e P x x P x x λωω+时，特解的形式及解法。 学习重点：当()f x 为()x m P x e λ与[()cos ()sin ]x l n e P x x P x x λωω+时特解的形式及解 法。 学习难点：当()f x 为()x m P x e λ与[()cos ()sin ]x l n e P x x P x x λωω+时特解的不同形式。 学习内容： 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为 '''()y py qy f x ++=， 这里我们只讨论()f x 为()x m P x e λ与[()cos ()sin ]x l n e P x x P x x λωω+型。 一、()f x =()x m P x e λ 利用待定系数法求通解。 据分析可设特解*()x m y Q x e λ=，推得*()k x m y x Q x e λ=其中()m Q x 是与()m P x 同次多 项式。k 按λ是特征方程的单根、重根、不是根可取为1、2、0。 例 求下列方程的特解或通解。 1、''2'331y y y x --=+，（特解） 1*3 y x =-+ 。 2、2''5'6x y y y xe -+=， （通解） 232 2121(2)2 x x x y C e C e x x e =+- +。 二、()f x =[()cos ()sin ]x l n e P x x P x x λωω+ 利用上面结果及欧拉公式、性质推得 (1) (2) *[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+。 （1） 当i λω+是特征根时，1k =， （2） 当i λω+不是特征根时，0k =。 例 求下列微分方程的特解 ''cos 2y y x x +=. 解 过程略。特解为 4*cos 2sin 23 9 x y x x =- + 。 小结：本节讲述了二阶常系数非齐次线性微分方程，当()f x =()x m P x e λ与 ()f x =[()cos ()sin ]x l n e P x x P x x λωω+时，特解的不同形式及求解方法。 微分方程公式运用表 一、 一阶微分方程 判断特征： (,)dy f x y dx = 类型一：()()dy g x h y dx =（可分离变量的方程） 解法（分离变量法）： ()()dy g x dx h y =，然后两边同时积分。 类型二：()()dy P x y Q x dx +=（一阶线性方程） 解法（常数变易法）：()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -??=+? 类型三： (,)(,)dy f x y f tx ty dx ==（一阶齐次性方程） 解法（换元法）：y u x =?令类型一 类型四：P()y=Q(x)y n dy x dx +（伯努利方程） 解法（同除法）：1()()n n dy y P x y Q x dx --+=?类型二 二、 可降阶的高阶微分方程 类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx -=? =?令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dp p y f x p dx =?=?令一阶微分方程 类型三：''(,')y f y y = 解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy =?==??令类型二 三、线性微分方程 类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y x y x 则：1122()()()y x c y x c y x =+ 类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程） 解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程的任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程） 解法（特征方程法）：2 1,20p q λλλ++=?= （一）122121240x x p q y c e c e λλλλ?=->?≠?=+ （二）12120()x y c c x e λλλλ?=?==?=+ （三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ? 引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。 一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ， 利用MATLAB求解常微分方程数值解 目录 1. 内容简介 (1) 2. Euler Method(欧拉法)求解 (1) 2.1. 显式Euler法和隐式Euler法 (2) 2.2. 梯形公式和改进Euler法 (3) 2.3. Euler法实用性 (4) 3. Runge-Kutta Method(龙格库塔法)求解 (5) 3.1. Runge-Kutta基本原理 (5) 3.2. MATLAB中使用Runge-Kutta法的函数 (7) 4. 使用MATLAB求解常微分方程 (7) 4.1. 使用ode45函数求解非刚性常微分方程 (8) 4.2. 刚性常微分方程 (9) 5. 总结 (9) 参考文献 (11) 附录 (12) 1. 显式Euler法数值求解 (12) 2. 改进Euler法数值求解 (12) 3. 四阶四级Runge-Kutta法数值求解 (13) 4.使用ode45求解 (14) 1.内容简介 把《高等工程数学》看了一遍，增加对数学内容的了解，对其中数值解法比较感兴趣，这大概是因为在其它各方面的学习和研究中经常会遇到数值解法的问题。理解模型然后列出微分方程，却对着方程无从下手，无法得出精确结果实在是让人难受的一件事情。 实际问题中更多遇到的是利用数值法求解偏微分方程问题，但考虑到先从常微分方程下手更为简单有效率，所以本文只研究常微分方程的数值解法。把一个工程实际问题弄出精确结果远比弄清楚各种细枝末节更有意思，因此文章中不追求非常严格地证明，而是偏向如何利用工具实际求解出常微分方程的数值解，力求将课程上所学的知识真正地运用到实际方程的求解中去，在以后遇到微分方程的时候能够熟练运用MATLAB得到能够在工程上运用的结果。 文中求解过程中用到MATLAB进行数值求解，主要目的是弄清楚各个函数本质上是如何对常微分方程进行求解的，对各种方法进行MATLAB编程求解，并将求得的数值解与精确解对比，其中源程序在附录中。最后考察MATLAB中各个函数的适用范围，当遇到实际工程问题时能够正确地得到问题的数值解。 2.Euler Method(欧拉法)求解 Euler法求解常微分方程主要包括3种形式，即显式Euler法、隐式Euler法、梯形公式法，本节内容分别介绍这3种方法的具体内容，并在最后对3种方法精度进行对比，讨论Euler法的实用性。 本节考虑实际初值问题 使用解析法，对方程两边同乘以得到下式 第五章 控制系统仿真 §5.2 微分方程求解方法 以一个自由振动系统实例为例进行讨论。 如下图1所示弹簧-阻尼系统，参数如下： M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1N F 图1 弹簧-阻尼系统 假设初始条件为：00=t 时，将m 拉向右方，忽略小车的摩擦阻力，m x 0)0(= s m x /0)0(=? 求系统的响应。 )用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、 ode23、ode113、ode15s 、ode23s 等。 wffc1.m myfun1.m 一、常微分方程的数值求解函数ode45求解 解：系统方程为 F kx x b x m =++??? 这是一个单变量二阶常微分方程。 将上式写成一个一阶方程组的形式，这是函数ode45调用规定的格式。 令： x x =)1( （位移） )1()2(? ?==x x x （速度） 上式可表示成： ??????--=??????=??? ???????)1(*4.0)2(*2.02.0)2()2()2()1(x x x x x x x && 下面就可以进行程序的编制。 %写出函数文件myfun1.m function xdot=myfun1(t,x) xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)]; % 主程序wffc1.m t=[0 30]; x0=[0;0]; [tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0); plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold on plot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-k') legend('位移','速度',’加速度’) 一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即： 第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截 各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=---- 第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的 特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？ 第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,, ,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供 常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx 伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x] 偏微分方程求解方法及其比较 发表时间：2008-12-11T09:32:01.530Z 来源：《科海故事博览科教创新》2008年第10期供稿作者：曹海洋吕淑娟王淑芬 [导读] 近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注. 摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注. 关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近； 1偏微分方程及其谱方法的介绍 偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。 谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau 方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。而这些方法的基础就是建立空间基函数。 下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。 1) Chebyshev-Gauss: 2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1, 3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1, 4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且 5） Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且 6） Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且 下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为： 其中： Jacobi正交多项式满足正交性： 而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。 2 几种典型的谱方法 谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。从方程近似角度看，谱方法可分为在物理空间离散求解的Collocation法、在谱空间进行离散求解的Galerkin法，以及先在物理空间离散求积，再变换到谱空间求解的Pseudo-spectral法。Collocation法适用于非线性问题．Galerkin法适用于线性问题，而Pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。谱方法的特点是对光滑函数指数性逼近的谱精度；以较少的网格点得到较高的精度；无相位误差；适合多尺度的波动性问题；计算精度高于其他方法。快速傅立叶变化的提出大大促进了谱方法的发展，迄今已有各种的谱方法计算格式被提出．并被应用于天文学、电磁学、地理学等各种问题的计算。 下面介绍一下应用于各个区域的几种谱方法： 1）以Fourier谱方法为例介绍谱方法解方程的主要过程 以一阶波动方程为例： 其中u(x,t)为方程的解，L是包含u和u关于空间变量的导数的算子，除了方程以有初始条件和适当的边界条件。 故可设其中为试探空间的基函数，ak(t)为展开系数，对于傅立叶谱方法中的共轭有： 其中从而利用其正交性和周期性可以减少工作量，另外再结合边界条件就可以求出来。 2) Galerkin方法是谱方法中十分经典的解偏微分方程的方法，但还有其局限性，而利用Hermite谱方法中依赖时间的权函数对经典的Galerkin方法进行拓展后的新的方法能适用范围扩大了很多。它能很好的应用在微分方程最优控制问题有限元方法的分析中，并且如果能够灵活运用利用Chebyshev方法、Galerkin方法和配置方法，则会形成更强的计算方法。如将Tau方法的思想成功地应用于奇数阶微分方程Petrov－Galerkin谱方法。 3)在无界区域上谱方法和拟谱方法发展了以Hermite函数和Laguerre函数为基函数的正交逼近和插值理论，在这些结果的基础上发展了全空间和半空间上数理方程的谱方法和拟谱方法，从而形成一种新的能更好解决误解区域问题的方法，此种方法被很好的应用于统计物理、量子力学和流体力学中。 4) 我们利用非一致带权Sobolev空间中的Jacobi多项式正交逼近和Jacobi-Gauss型插值理论，提出以Jacobi多项式为基函数的Jacobi谱方法和拟谱方法用来解决一些奇异问题和计算某些特定的无界区域问题。 5）有限谱方法是基于有限点、有限项的局域谱方法。这种方法要求近似函数应具有等同隔网格和非周期性的性质。有限谱方法分为基于非 实验八 常微分初值问题的数值解法 8.1实验目的 ① 掌握常微分方程数值解的常用算法； ② 培养编程与上机调试能力. 8.2算法描述 8.2.1改进欧拉法 求解 '0 ()(,)()()y x f x y a x b y a y ?=≤≤?=? 对给定的(,)f x y ，用改进的欧拉公式 1111()[()()]2 n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y ++++=++???=++++??求解常微分方程初值问题的解. 8.2.2四阶龙格-库塔法 对上述给定的(,)f x y ，用四阶龙格-库塔法求解常微分方程初值问题 112341213243(22)6(,) 11(,)2211(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y k k k k k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk +?=++++??=???=++???=++??=++?? 8.3实验题目 （1） 用改进的欧拉公式，求解常微分方程初值问题的解 20.10.4(0)1 dy y x dx y ?=?≤≤??=? （2） 用四阶龙格-库塔公式解初值问题： / 2.0 2.6,0.2(2.0)1dy x y x h dx y ?=?≤≤=??=? 8.4实验要求 （1）选择一种计算机语言设计出改进欧拉法和四阶龙格-库塔法方法求解常微分方程初值问题的程序，观察运行结果. （2）利用Matlab求解常微分方程初值问题 函数dsolve()用于求解微分方程.Dy表示：dy/dt（t 为缺省的自变量），Dny表示y对t 的n阶导数. Matlab6.1环境下操作如下： >> y=dsolve('Dy=y*y','y(0)=1') %求解题目1 >> y=dsolve('Dy=y/t','y(2.0)=1') %求解题目2 （3）利用最小二乘法拟合通过改进欧拉法求出微分方程的一系列数值解的近似函数方程.并利用Matlab的绘图功能画出函数的曲线 8.5思考 一阶微分方程初值问题有哪些数值解法？比较各种方法的优缺点并举具体例子说明之？ 第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,,,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,, ]f t t t t =(要单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver. 1. 课本2p 有证明 2. 课本812,p p 有说明 3. 课本1520,p p 有说明 4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ???是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可 表为1n n i i i u c ?==∑ ，则,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???=== -=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ????=，令 () 0n j J u c ?=?，从而得到12,...n c c c 满足1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1 n n i i i u c ?==∑， 从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法 简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1 n n i i i u c ?== ∑， 利用,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程 Galerkin 法：为求得1 n n i i i u c ? == ∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,) n a u V f V =，对任 意 n V u ∈或（取 ,1j V j n ?=≤≤） 1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1 n n i i i u c ?==∑的过程称 Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程： 1 (,)(,)n i j i j i a c f ???==∑ 5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构 造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用 有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。 6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i x x - 高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现. MATLAB解微分方程(2011-07-15 17:35:25) 转载▼ 分类：matlab学习标签： 教育 先说明一下最常用的ode45调用方式，和相应的函数文件定义格式。 [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0); 其中，Fun就是导函数，tspan为求解的时间区间（或时间序列，如果采用时间序列，则必须单调），x0为初值。 这时，函数文件可以采用如下方式定义 function dx=odefun(t,x) 对于上面的小例子，可以用如下的程序求解。 2.终值问题 tspan可以是递增序列，也可以为递减序列，若为递减则可求解终值问题。 [t,x]=ode45(@zhongzhiode,[3,0],[1;0;2]);plot(t,x) function dx=zhongzhiode(t,x) dx=[2*x(2)^2-2; -x(1)+2*x(2)*x(3)-1; -2*x(2)+2*x(3)^2-4]; 结果如下 3.odeset options = odeset('name1',value1,'name2',value2,...) [t,x]=solver(@fun,tspan,x0,options) 通过odeset设置options 第一，通过求解选项的设置可以改善求解精度，使得原本可能不收敛的问题收敛。options=odeset('RelTol',1e-10); 第二，求解形如M(t,x)x'=f(t,x)的方程。 例如，方程 x'=-0.2x+yz+0.3xy y'=2xy-5yz-2y^2 x+y+z-2=0 可以变形为 [1 0 0][x'] [-0.2x+yz+0.3xy] [0 1 0][y']=[2xy-5yz-2y^2 ] [0 0 1][z'] [x+y+z-2 ] 这样就可以用如下的代码求解该方程 function mydae M=[1 0 0;0 1 0;0 0 0]; options=odeset('Mass',M); x0=[1.6,0.3,0.1]; [t,x]=ode15s(@daedot,[0,1.5],x0,options);plot(t,x) function dx=daedot(t,x) dx=[ -0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2); 2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2); x(1)+x(2)+x(3)-2]; 4.带附加参数的ode45 数值模拟偏微分方程的三种方法介绍 （有限差分方法、有限元方法、有限体积方法） I．三者简介 有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。 差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。 有限元方法（Finite Element Methods）的基础是虚位移原理和分片多项式插值。该方法的构造过程包括以下三个步骤。首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等），在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。 有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。微分方程公式运用表
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