平面几何入门教学
平面几何入门教学
序
为了大面积提高初中数学教学质量，为国家培养各级各类的合格人才，1982年，常州市教研室的杨裕前同志，与教师中有志于改革的积极分子，针对当时几何教学造成大批学生数学成绩严重下降的情况，首先成立了“平面几何教学研究小组”，并以它为核心，团结起全市数学教师，开展了全市性的改革几何教学的研究试验活动。
他们从分析学生学习几何的困难入手，发现学生的困难虽然是在学习“三角形”一章的证明时才开始表现出来的，但它是从学习几何开始起就逐渐积累下来的。因为在证题时，尽管是刚开始做证明题，至少要具备以下知识和技能：
1．对题目中各个概念有清晰而正确的理解，能想象出概念所反映的图形，以及它具有的性质（特别是本质属性)；
2．能够看懂图形，能把复杂图形分解成各种简单图形，能找出图形中的各个元素，以及各个元素之间的关系；
3．能够口头叙述、尤其是书面表述概念、性质和定理；
4．掌握推理的基本规律和书面表述的规范格式。
在开始做“三角形”一章的证明题时，虽然用到的知识是少量的，技能的要求也只是初步的、浅显的，但毕竟都是必需的，而且表现为一种综合运用的能力，缺少哪一方面或在哪一方面稍有缺陷，都将影响证明的完成。他们发现，学生对所需的知识和技能掌握得并不好，包括几何开始时的一些基本概念。于是他们又进一步从学习的内容和方法的转变，即从数到形、从运算到论证的转变，以及心理的准备等方面，分析了学生的情况。
基于对学习内容和学生状况的分析，他们提出了研究几何入门教学的任务，研究从几何的第一课开始怎样引起学生喜爱学几何的欲望，怎样使学生逐步掌握知识，特别是怎样训练这些技能。比如，怎样引起学生学习几何的兴趣，怎样培养学生学好几何的信心，怎样进行几何概念的教学，怎样训练学生看图、画图以及几何语言的表述的技能，怎样使学生掌握推理论证的规律，以及怎样进行证明、作图的书写格式规范的训练，等等。
由于他们是紧密结合教学实际来进行研究的，更由于这种研究是有广大教师直接参加的，因而不仅能够集中群众的智慧，使问题抓得准，分析得透，更为重要的是调动了广大教师为提高教学质量、进行教学改革实践的主动性和积极性，把研究的结果用之于教学实践并进行检验、改进，从而在当年就取得了大面积提高平面几何教学质量的可喜结果。1983年春，中国教育学会数学教学研究会在烟台召开了“大面积提高初中数学教学质量座谈会”。在这个座谈会上，杨裕前同志介绍了他们的经验，受到了与会代表的重视。代表们不仅认识到大面积提高初中数学教学质量的重大意义，而且树立了一种信心：学生数学成绩不好不是必然的，通过改进教学，绝大多数学生是可以学好的。
常州的同志并没有满足于已取得的经验和成绩。他们结合教改实践学习教育学、心理学，把已有的经验提高到理论上来认识，并在理论的指导下进一步改进平面几何入门教学的实践。这样，常州全市近几年来的几何教学成绩持续达到大面积的高质量，并且写出了这本理论与实践相结合的《平面几何入门教学》。
本书的出版，对大面积提高我国数学教学质量无疑会起到促进作用。由于本书讲的是教学实际，内容生动具体，对从事初中几何教学的教师来说，可以直接作为进行教学的参考；对其他从事数学教学和研究的人员来说，本书提供了可资借鉴和研究的真实材料。所以本书对数学教育的实践和理论的研究都是有价值的。
几何难学、难教，难在什么地方？归相结底，主要不是在几何事实的认识和应用，而是在于它的严密的科学体系。长期以来，人民之重视几何，说是为了学习几何的实际知识，毋宁说是为了学习它的这个科学体系，也就是说，学习几何主要在于使学生的思维受到严格的逻辑推理的训练，并从中掌握科学的思想方法和科学的体系。因为这种方法和体系，以及推理论证的能力，对于从事脑力劳动，尤其是从事科学研究的人来说是必不可少的。这种教育观点，至少在实科教育兴起之前是这样。其实，在实科教育兴起之后，这种观点仍然强烈地影响着数学教育。
几何的科学体系，通常是指欧几里得几何的公理体系。它是人们经过了漫长的岁月，积累了丰富的关于几何事实的知识及其相互间的关系的认识之后，到了两千多年之前，才由欧几里得完成的。欧氏几何是人类完成科学体系的第一门学科，是人类认识史上的一次伟大飞跃。我以为，人的认识能力的发展过程与人类认识能力的发展过程存在着一致性。所以，第一，学生学习和掌握这个尽管还不是严密的欧氏几何体系，确实不是一件轻而易举的事；第二，它又毕竟是人类完成的第一个科学体系，比起晚近出现的其他更为抽象的体系——比如抽象代数的公理体系来，又是轻易于为学生所理解和掌握的一个体系，因为它可以借助于图形的直观。因此，欧氏几何有对学生早期进行系统的推理论证训练、学习科学思想方法和体系的优点，不过，在初中学习几何仍有“化难为易”的必要。20世纪初期，就有人主张在“理论几何”之前增
加一门“实验几何”，即先学习一些几何事实的知识，再学习公理体系的论证几何。我国自1933年公布《初级中学算学课程标准》起到解放前，采用的就是这种主张。不过当时更多学校采用“三S”几何课本进行教学，是一本把实验几何与论证几何结合起来的课本，受到了当时教者的欢迎。1978年的中学数学教学大纲，对初中几何除了精简只起训练思维作用的繁琐内容、强调知识的实用性外，在安排上采用扩大的公理体系，也就是把实验几何与论证几何结合起来的体系。现在，常州市以及其他一些地区和学校的经验证明，采用扩大公理体系的方法是可行的；同时，他们的经验更说明，在入门阶段的几何教学，确实需要有一个小步训练、逐级渐进的过程。所以，《平面几何入门教学》一书，不仅对研究教学方法有积极的意义，而且对改进教材的编写也提供了经验。
现在，教育改革已进入了一个新的阶段，初中教育已属于义务教育。无论是几何教材的内容，还是教学方法，都要从教育改革的新阶段和义务教育的要求来加以重新考虑；另外，有不少学校在初中一年级进行几何教学的试验也取得了有益的经验。所以，我们也要从这个要求和经验来看待《平面几何入门教学》。实践、认识，再实践、再认识，这是认识的规律。因此，我们广大数学教师要在不断的实践中，不断地创造新经验，为大面积提高数学教学质员，为建立数学教育学作出贡献。
张孝达
1988年10月
一“入门教学”的特点
平面几何教学普遍存在“入门难”的问题。为解决这个问题，首先有必要研究平面几何的入门教学，即起始阶段的教学具有的一些特点。
1．每一门新的教学科目，它研究的对象往往与以前的有所不同。《几何》主要研究图形及其性质。在初中《几何》教学以前的小学数学和初一代数，主要是研究数量关系。也就是说，平面几何这门学科使中学数学进入了一个新的领域，“新”在研究对象发生了根本的变化，这是平面几何教学带根本性的一个特点。
2．研究对象的变化，必然使研究方法也随之发生变化，平面几何不再用学生较为熟悉的运算的方法，而是用学生还很陌生的说理、推理、论证的研究方法。这种新的方法，学生在以往的学习中没有得到系统的训练。因此，研究方法是新的，也是平面几何教学中一个重要的特点。
3．从教学内容看，平面几何入门教学又有“基础知识多而集中，难度虽不大，但对整个几何教学具有本源性”这样的特点。在平面几何的起始阶段教学中，作为这门学科的最基础的知识，如基本概念、名词术语、符号等都将集中出现。这些知识从表面上看似乎不难，实际上并非如此，它们是这门学科知识的本源，以它们为基础才能逐步形成整个平面几何的知识结构。
在实际教学中，这个特点往往不被教与学的两方面充分认识。从“学”的方面看，学生常常对集中出现又无明显联系的一大堆知识感到枯燥乏味，加之知识难度不大，因而往往表现在学习中掉以轻心；再从“教”的方面看：教师也常常感到起始阶段教学内容零碎难教，远不如进入推理阶段的教学那样得心应手，因而也可能产生尽量压缩教时，尽早进入平面几何教学的"华彩乐章”的想法。教与学两方面可能存在的这种“轻视”心理，对搞好平面几何的教学是十分不利的。
4．从技能和能力的要求看，平面几何教学需要学生逐步具备识图、画图、作图，正确地理解和表述几何语言、运用三段论证的方法进行演绎推理的技能和能力，以及逐步了解并掌握图形变换的思想、分析的方法、反证法的思想方法等等。这些技能、能力和思想方法，学生在学习平面几何以前没有得到过系统的训练和培养。因此，平面几何教学在技能、能力和思想方法的要求上，具有“突变性”的特点。
把第3，4两个特点结合起来考虑，我们清楚地看到：应该利用平面几何入门教学阶段知识难度不大的时机，有计划有重点地逐步训练学生掌握学好几何所必须具备的技能、能力和思想方法，而不应急于进入推理论证教学。同时，不宜把这些训练安排在平面几何教学进入核心阶段——推理论证后去进行。因为推理论证阶段已是诸种技能和能力的综合运用阶段。到那时再开始进行上述训练，就为时太晚了。
5．在入门教学阶段，由于研究对象、方法的变化，以及技能、能力和思想方法上的突变性，学生在起始阶段的学习中，一般需要有一个调整学习方法、改变学习习惯的过程。比如，由于种种原因，不少学生在代数学习中仍常用背诵的方法学习基础知识，解题时又习惯于套用程式，这种不好的学习方法和习惯在几何学习中尤需改变，因为学习几何更加要求重理解、会思考。又如，他们在由运算转变为论证时，对解题的书写格式也会不习惯等等。因此入门教学中必须考虑学生这样一个调整的过程。
6．学生的学习动机、兴趣、意志、情感、注意，乃至态度、理想等非智力因素，在入门教学中具有重大的作用。学生刚开始学习一门新学科时，往往有新奇感，并表现出一定的兴趣。但是，如果起始阶段教学趣味性不强，或由于各种原因使学生在学习中遇到了较大的困难，学生又不能以坚强的意志和毅力克服这些困难，那么他们便可能丧失学习的兴趣和信心。
因此，入门阶段的教学关系到能否帮助学生形成“乐学——学懂——更乐学”的良性循环，还是相反
地出现学习上的恶性循环。1983年5月，人民教育出版社的有关同志在常州一所学生基础差的学校召开了一次座谈会，问参加座谈会的九名留级生：“为什么你们去年没有学好几何，今年都学得很好(当时，初二下学期期中考试成绩，一人80分以上，余均在90分以上)”?这几位学生说：“现在学几何有趣，学得懂，上课就认真听讲，所以就学好了。”这正是非智力因素发挥了积极作用，从而使智力因素得到较好发展的—个例证。可以这样说：能否在入门阶段调动学生的非智力因素，促进教学的良性循环的形成，对每一门新学科的整体教学具有决定性的影响。
7．新学科的教学与以前学科教学之间必然存在着迁移，这也是入门教学中必须认真研究的一个特点。在初中平面几何教学前，学生在小学“简单的形体知识”教学中，已经了解了诸如直线、射线、线段、垂线、平行线、两点间距离、等腰三角形、等边三角形等名称，学会了某些特殊四边形、圆和简单几何体的有关计算等。这些对初中平面几何教学都有着可利用的正迁移作用。但是，由于小学生的年龄特征和知识面的限制，小学数学没有也不可能用说理的方法去导出这些形体知识，而是大量地借助直观。这种以“直现”代替“论证”的获取知识的过程，常常会使学生对平面几何教学中论证的必要性认识不足，甚至产生排斥的心理，这就将给初中平面几何的教学带来很多困难。
比如，一位小学生在作业本上计算图1的面积时，列出式子（3+6)×4÷2，显然，他把图1看作为直角梯形(注：原题意中没有说明这一点)。
下面是家长与该生的一段对话：
问：“你怎么知道长度为4的那条线段是梯形的高呢?”
答：“如果它不是梯形的高，我怎么能做这道题呢?”
学生的回答令人啼笑皆非，但似乎又是合乎情理的。因为他们只能借助图形直观，看看图形象什么，就认为它是什么。这使我们想到：初中学生在几何论证中不也常常杜撰条件(比如，角的内部有一条过角的射线，就把它当成角的平分线)导致错误吗?
我们再来看这位学生在初二年级学习了“直线的基本性质”以后，家长与他的另一段对话：
问：“今天《几何》课上，你们学习了“两条直线相交，只有一个交点吗?”
答：“学习了。”
问：“这个‘直线的基本性质’是怎样说理的?”(注：课本在这个性质的说理中用了反证法的思想方法，家长问话的本意是想了解学生能否粗浅地了解这种方法。)
答：“我觉得老师用一大段话去说明这个性质，是多余的。”
问：“怎么会是多余的呢？”
答：“老师讲这个性质之前，讲‘经过两点有一条直线并且只有一条直线’时，先在黑板上过两点画出一条直线，再过这两点画直线，画不出第二条直线，所以把那个结论作为‘公理’。那么，两条直线相交，无论怎样画也总只有一个交点，为什么却要说理呢?”
是啊！初学几何的学生尚不清楚，平面几何要有若干条公理，然后在公理和定义的基础上，用说理的方法去论证一系列的几何命题和定理。由此可见，用直观代替乃至取消论证这种获取知识的方法和习惯，对初中几何教学造成了很大的障碍。不注意到这一点，便会使平面几何起始阶段的教学中，教师与学生总也想不到一块儿去！教师想的是如何讲才能使学生听懂道理，学生想的却是不需要讲道理。不解决这一问题，怎么能取得好的教学效果呢？
针对入门教学的以上特点，平面几何起始阶段的教学应注意以下几点。
第一，要明确本学科教学的根本目的。
近几十年来，平面几何这门学科一直是教学内容改革的对象。国内外对这门古老的学科在中学数学中的地位和作用，有着很多的争论。但是，至今它仍在中学数学中占有一席之地。这些现象说明了什么呢?毫无疑问，随着当代科学技术的发展，在两千多年前开始形成的几何这门学科，它的某些内容确实已经失去了实用的价值，有的也过于繁难，因此平面几何教学内容要改革是合理的。那么经历了多次改革和冲击，平面几何作为中学数学的一门学科仍被保留下来，这又说明它必然有着独特的作用，即它对培养初中学生的逻辑思维能力有效，目前尚未有更好的办法去替代它的这种作用。因此，平面几何的教学必须在教给学生有用的知识的同时，把培养学生分析、综合、演绎、归纳等逻辑思维能力作为其根本的目的。
为此，平面几何教学要注重知识的应用价值，要着眼于使学生会思考、会学习，而不应以证题术为中心。逻辑思维能力的培养也不一定需要搞大量的难题，用大量的一般难度题(课本中的习题)和少量的难题同样可以达到这个目的。关键在于如何在解题过程中教会学生思考问题的方法。
第二，教学要求必须恰当。
教学要求恰当，是平面几何教学中始终应当注意的，在入门阶段的教学中显得尤为重要。我们认为，每门学科的教学要求应考虑以下几个不同的层次：
大纲规定的要求；
本学科教学的要求；
章节或单元的教学要求，或某个知识系统、某种数学思想方法在整个学科教学中的要求；
每堂课教学的具体要求。
它们的关系是前者决定后者，局部服从于整体并为整体服务；它们既有区别，不能等同，又是相互紧密相连的。
既搞清了不同层次的教学要求，又承认学生之间实际存在的差异，才能做到面向多数，克服教学要求任意拔高，教学内容任意膨胀的做法，把握好教学分寸。
第三，在起始阶段的教学中，要注重经常的、细致的调查研究。
应当承认，许多有经验的教师对学生学习中的困难和问题存比较正确的估计和了解。但是，教学不可能是一成不变的，它要受时空、对象变化的影响。同时，应考虑到初中学生身心发展的特点，他们的性格表现出越来越强的独立性，部分学生性格趋于内向，不轻易地表露个人的想法（包括几何学习中的困难)。因此，在平面几何入门教学中，教师应通过课堂教学、批改作业、个别谈话、书面调查等多种形式，深入了解并力求真正摸清学生学习中的具体困难和问题，从而确立好教学的基点，使入门教学更具针对性。
第四，要十分注意培养学生的学习兴趣，激发他们的学习积极性(本书第三部分将详细论述)。
第五，要用辩证法的思想观点处理好入门阶段教学内容多而集中的矛盾。突出重点，有轻有重，有主有从，不要求全。
“在有利于继续学习的前提下，信息量愈少，需要记住的事实愈少就愈经济”，这是提高教学效率的重要原则。根据这个原则，入门教学中大量的知识不应该也不可能都作为重点，只有切实抓好对平面几何教学有重大影响的那些知识的教学，才能使整个教学较为顺利，取得好的效果。
第六，要在学生调整、改变学习方法和习惯的同时，改进教学方法，以帮助学生尽快适应几何教学的要求。
要根据几何学科的特点，按照学生的认识规律进行教学。比如，几何概念的形成往往要经过直观形象、形象(图形)抽象、本质抽象这样几个阶段。这与代数概念的教学是不尽相同的。因此，不能简单地搬用代数概念教学方法教几何概念。
在入门教学阶段要注重使用“渗透的教学方法”。所谓“渗透”就是采用教者有意、学者无心的办法，经过多次反复，日积月累，逐步使学生形成某种技能，粗浅地了解某种数学思想方法，以求得“水到渠成”的效果。
此外，还可选择适当的教学内容，采用教师引导、学生探索并获取知识的方法进行教学。这种教法不是由教师在课堂上抛出一个又一个结论，使学生应接不暇，来不及思考，而是把教学作为一个过程，使学生在主动获取知识的过程中，既学会了数学的思想方法，训练了技能，发展了能力，又养成了思维的习惯，因为“数学知识，不仅是那个高度抽象的结论，得出那个结论的过程同样是十分重要的”，“在这个过程中，往往具体体现了数学的基本方法和重要思路”。
第七，要在注重基础知识的同时，十分注重技能的训练。
如前所述，入门教学具有“知识的本源性和技能、能力的突变性”这样的特点。数学技能是发展数学能力的基础。我们不能脱离知识来发展学生的能力，也不能脱离技能的训练来谈发展学生的能力。
因此，在平面几何入门教学中，应加强对学生进行识图、画图、作图、几何语言的理解、表述和翻译，以及推理等技能的渗透性训练，应在通盘考虑平面几何教学中技能训练序列的基础上，有计划、有层次地把技能训练渗透在各个阶段的教学之中。
必须指出：这里的“训练”，不能片面地理解为解题。一般地说，课堂教学中的训练应包括以下几个方面：
基础知识(概念、定理)的简单应用；
各种基本技能的训练；
数学思想方法的渗透；
非智力的心理素质的训练；
为后续教学可能做好的各种准备等。
同时，这里的“训练”这个词语，还包含了根据教学对象的差异，在要求、方法和数量等方面都可以有所不同的意思。
二重视非智力因素的作用，培养学生的学习兴趣
教育心理学认为：“学习”是一个含义极广的概念，学生在学校里，“不仅学习知识，而且也学习技能，形成良好的态度与习惯，还要改变不良的行为习惯”。学习，“不仅指文化知识的学习，也指思想品质和行为习惯的学习”。教学实践也证明，知识、品质、行为习惯的学习是相互影响、相互促进的。
在日常的教学活动中，往往狭义地把“学习”理解为知识、技能和能力的学习。即使就这种意义的学习而言，它也是一种复杂的心理过程。在这种过程中的心理成分可分为两类：一类是认知过程本身所涉及的，如感知、记忆、思维、想象等，即所谓智力因素；另一类是与激发学习积极性有关的，如动机、兴趣、注意、意志、情感、态度等，即所谓非智力因素。长期以来，我们在教学活动中往往偏重于研究智力因素，而不重视非智力因素对教学的影响和作用。事实上，只有不仅注重前者，而且同样注重后者，使学生生动
活泼、主动地学习，教学才能取得最优效果，在一门学科起始阶段的教学中则尤为如此。
在诸种非智力因素的心理成分中，兴趣是一种十分活泼的因素，它对其他各种心理成分有着重大的影响。对此，古今中外著名的教育家、科学家有许多精辟的论述。我国古代教育家孔子说：“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”。宋朝程颐说：“教人未见其趣，必不乐学”。爱因斯坦说过：“热爱是最好的老师。赞可夫说：“对所学知识内容的兴趣可能成为学习动机”。苏联心理学博士彼得罗夫斯基指出：“对某种对象或活动具有兴趣，是决定注意高度集中之所以能持久的一系列条件之一”。由此可见，注意培养学生的学习兴趣，就能激发他们的学习热情，调动他们学习的积极性。做到乐好、好学、学会、会学。
应当看到，平面几何是一门趣味性较强的学科(至少在中学数学的各门学科中如此)。但是，这里所说的“兴趣”主要是指平几教学进入推理阶段后，学生解出难题后得到自我激励所产生的乐趣。因此，这种“兴趣”只是部分学生的兴趣。事实上，学习兴趣是可以培养的。我们这里强调的是从平面几何教学一开始就要培养全体学生的学习兴趣。
但是，在平面几何起始阶段教学中，培养全体学生的学习兴趣有着一些不利的因素：
教学内容较为零碎，抽象的名词、概念多，学生往往感到枯燥乏味；
由“数”到“形”引起的突变，学生常常不能适应；
部分学生有“几何难学”的畏难情绪，缺乏学好几何的自信心；
基础较差的学生往往意志薄弱，有自卑感，自制力也差。他们对几何学习或采取无所谓的态度，或由于对几何这门学科不了解而产生“神秘感”，如引导不当也可能转化为畏难情绪。
当然，初二学生的好奇心强，对新事物容易发生兴趣(尽管这种兴趣并不稳定)；平面几何作为一门新的学科，既可能在早期出现两极分化，同时它又给包括差生在内的全体学生提供了同等的机会，即差生也可以赶上去，这些都是平面几何入门教学中培养学生学习兴趣的有利条件。
那么，怎样在平面几何入门教学中培养学生的学习兴趣呢？
学习兴趣的“第一个源泉，第一颗火星”在于教师对要讲的材料和要分析的事实所抱的态度和采取的办法。《几何》开头的引言课介绍了体、面、线、点等概念名称，有些叙述与学生熟悉的日常的生活经验相差甚远，如“体是由面围成的”，“面没有厚薄”，“面和面相交于线”，“线没有粗细”，“点没有大小”等。因此，学生可能产生“《几何》这门课很‘玄’，生活中本来很清楚的事情在几何中反而糊涂了”这种想法。如果学生真的这样想，那对《几何》教学是十分不利的。要使几何教学的“趣味性”从一开始就能体现出来，就应当把“引言课”的教学设计得直观、有趣。
“引言课”的教学内容可作如下安排。
首先，简要介绍平面几何这门学科随着生产、生活实际的需要而产生、发展的历史，讲一些有趣的故事，特别要介绍我国古代在几何学上的光辉成就。如《周髀算经》中就写了‘勾三股四弦五”，祖冲之在圆周率的计算上达到了相当精确的程度等，以激发学生的爱国主义热情，激励学生为实现祖国四化而勤奋学习。
其次，要结合学生的实际，选编一些趣味性强、与几何知识又有一定联系的实际问题，让学生解决，从中培养起学习几何的兴趣。这类问题大致有以下几类：
1．折纸
比如让学生“把一张长方形的纸裁成一个正方形”。然后，我们可以告诉学生，这样的动作中包含了《几何》中的三个知识：(1)第一条折痕把长方形的一个直角分成一样大小的两部分，这条拆痕是一条重要的线(即角的平分线)；(2)第二条折痕实际上比较出了长方形的长比宽长多少，这就是《几何》中将要学习的“比较两条线段大小”的方法；(3)把图2中的阴影部分裁去，又可以看作在长方形的“长”上截取一条较短的线，使它的“长”与“宽”一样长，这就是《几何》中的一种基本作图——作一条线段使它等于已知线段。
这样讲解，学生便会感到，他们十分熟悉的简单的动作中就包含了不少几何知识，《几何》这门学科并不难学。
又如，要求学生“从一张纸片上剪下一个等腰三角形”。开始时，学生往往凭观察，徒手剪下一个“等腰”三角形，这时可让学生量一量，是否真正“等腰”。然后，引导学生先把纸对折，再剪下一个直角三角形，最后把剪下的直角三角形摊平，就得到一个真正的等腰三角形。
这不仅可以让学生认识到单凭观察常常不精确，又可使学生体会等腰三角形这种图形的特性，为后续有关内容的教学准备一点感性材料。
再如，“把两张长方形的纸片拼成一个凸字形，并使竖放的一张纸在横放的那张纸片的正中间”。学生解决此题，常有三种不同办法：(1)单凭眼睛观察，移动竖放的纸片使其居中，这是不精确的；(2)在第一种办法的基础上，再用刻度尺量竖放的纸片两旁，并随时移动调整位置，这种方法是准确的，但费时间，又需要有刻度尺；(3)把两张纸片分别沿横向和纵向对折，然后把它们届展平叠合在一起，并使两条折痕对齐，显然这种方法既省时又精确。最后可以向学生介绍，“折纸”在《几何》中就是一种对称变换，也称为翻折变换。是研究几何图形性质的一种重要方法。
2．拼搭图形
比如，“用火柴棒搭一个等边三角形”；“怎样用五根火柴棒搭两个等边三角形”(如图3——(1)、(2)，其中出现“公共边”的直观形象)；然后，“搭六个这样的等边三角形，看谁用的火柴棒最少”，这时，搭成图4——(1)共用13根火柴棒；而搭成图4——(2)只需用12根火柴棒，这种更优的办法必将激起全体学生很大的兴趣。同时，图4——(2)表明的“正六边形是由六个同样大小的等边三角形拼合而成的”这一点，又是《几何》中将要介绍的一个重要性质。
再如，先让学生剪好两块同样大小的直角三角形，教师示范，把这两块直角三角形拼合成一个平行四边形，然后由学生自己动手采用不同的拼合方法，看看可以拼出些什么形状的图形。学生将拼合出等腰三角形，长方形，另一种形状的平行四边形，以及一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形等图形。在这个过程中，学生不仅感知到各类图形的结构，而且不知不觉地接触、了解了图形拼合的思想方法。
3．观察、判断与思考
观察是人们感知事物的重要途径，但是由于生理上的原因，观察并不总是可靠的，同时如前所述学生在小学“形体知识”学习中，又形成了仅仅依赖直观作出判断的习惯。因此，我们应该设计一些会产生视错觉的图形，“诱使”学生作出错误的判断，进而帮助学生纠正。
比如，让学生判断“图5中的两条线段哪一条长一些”。生理学研究表明：经过同样的距离，视线“从上到下”观察停留的时间要比“从左到右”观察长一些，因而会产生竖着的线段要“长”一些的错觉。当学生作出这种错误判断时，教师可以用圆规度量，验证两条线段一样长。同时，向学生指明，今后学习《几何》这门学科，要学会观察认识图形，而观察的结果有时是错误的，有待于验证和说理证明。因此，学好《几何》必须要学会说理、论证，从而防止和克服小学“形体知识”教学对《几何》教学可能产生的负迁移影响。
如果学生由于其他原因(比如高年级同学事先告诉了他们图5中两条线段一样长)自觉排除了视错觉，从而避免判断的错误时，则可以将图5中竖着的线段再稍为画短一点，如图6，再让学生观察并判断。实践证明，几乎没有一个学生能仅仅凭观察得出“竖着的线段较短”的正确结论，这样的效果甚至更佳。此时，学生对于“学习几何要注重说理”这样的话才能心悦诚服，真正听得进去。
象这类容易产生视错觉的图形还有很多，比如图7——（1）中线段AE与DE实际一样长，看起来长度不相等；图7——（2）两组图形的中间两个圆，被小圆所衬托的那个圆似乎“大”一些。其实，这都是由于“背景”（如图7——(2)中周围的若干个较小或较大的圆)对“对象”（图7——(2)的中间两个圆)产生了干扰而引起的。“背景”与“对象”的关系在几何教学中的应用，以后还将有所论述。
4.欣赏图案
几何图案简明(由弧线和线段组成)、和谐、美观并被广泛地应用于生产和生活实际中。教学中让学生欣赏一些漂亮的几何图案(图片和相片)，实地观察建筑物、印花布上的各种图案，不仅可以对学生进行美学的教育，以图案美激发他们学习几何的兴趣，而且也有助于训练学生的识图技能。
此外，可以用一张白纸和一张透明的纸分别画上简单的几何图形。然后把它们叠合在一起，再通过平移（或旋转等）透明纸的方法组成各种花色的图案。还可以与初一、初二年级的美术课结合起来，让学生画一些花边图案等。
课后，可要求学生自己设计一些漂亮的图案(如窗花)。他们在兴趣盎然的画图过程中，不仅学习了作图工具的使用方法，而且不自觉地体验了图形的位置关系，这些对平面几何的教学都会产生良好的作用。
引言课的实践性、趣味性，成了激发学生学习兴趣的“第一颗火星”。据1982年10月份的调查统计，92%的学生感到学习几何“有兴趣”或“很有兴趣”。兴趣是入门的先导，学生学习兴趣的提高将为平面几何的教学创造十分有利的条件。
当然，我们应当清醒地认识到：引言课激发出学生的这种兴趣主要是由于他们的好奇心得到满足和所设计的问题有较强的趣味性而产生的，还处于较低级的阶段，也是不稳定的，这就要求教师在后继的教学中“以知识本身的价值吸引学生，使学生感到认识事物的乐趣”，千方百计使学生的学习兴趣趋于稳定，并逐步转化为较高级的“志趣”。
从课本第一章起，教学中可以采用如下手段，进一步培养学生的学习兴趣。
1．充分挖掘教材的实践性、趣味性，把教学内容与实际联系起来。
数学是抽象、严密的科学，因而它有着广泛的应用。数学又来源于生产、生活实践。但是数学的抽象性、严密性往往掩盖了它的实践性和趣味性。因此，在中学数学(特别是初中数学)教学中，要采用各种方法使数学“回到”学生熟悉的生活实际中去，这样便能使全体学生(包括对数学学习态度冷漠的学生)兴致勃勃地学习、思考。
比如，讲授“点到直线的距离”这个起始阶段难教的重要概念时，可以测量跳远成绩为实例作如下的说明：测量跳远成绩时，先把皮尺的始端放在落点处，再把皮尺拉直，皮尺与起跳线的交点就是垂足，皮尺上的读数就是跳远的成绩。这个实例可以抽象成为数学问题：把起跳线看成—条直线，沙坑里的落点即直线外一点，测量跳远成绩就是度量直线外一点到直线的距离。这样，学生感到通俗易懂，生动有趣，从而能较好地掌握这个概念。
事实上，几何教学内容与实际有较为广泛的联系。比如，线段的概念可以用“两地间造一条直路”形象地比喻；用“四地中每两地之间都要造一条直路，要造几条路”引导学生画图、识图；用比较筷子长短的实例介绍“线段大小比较”的办法；以时针的转动、做广播操的踢腿动作引出旋转所成角的概念；用练习本的横线描述平行线，用“田”、“中”、“喜”等汉字来导入轴对称概念等。这样教学可使学生体会到几何知识与日常生活有着紧密的联系，并不玄。
在借助实例揭示知识的实践性、趣味性的同时，还要注重用知识本身的价值去吸引学生。比如，为什么射击瞄准时，用手托住枪杆(此时枪杆与弯曲的手臂构成三角形)可以保持稳定，而银行的铁门总是做成平行四边形才能开关？为什么车轮都是圆形的?又如，在公路两侧有村庄A,B，怎样造一个汽车站P，使PA+PB 最小?如何利用太阳照射的影子测量物体的高度？怎样用长90cm，宽45cm的矩形木板拼接成长120cm，宽30cm的矩形木板，既要拼接的次数少，又使拼成的木板美观牢固？等等。
2．运用简易教具演示或实验，激发学生的学习兴趣。
教具的直观形象，常常使学生感到生动有趣，同时又有助于他们理解、掌握有关的知识。比如，用折纸的方法讲“线段的中点”、“角平分线”、“线段的垂直平分线”，以及探求等腰三角形的性质等。还可以利用教具演示图形的运动变化，处理如下的“一般——特殊”的关系：两线相交(斜交)——两直线垂直；两条相交直线(借助第三条直线）——两条平行直线；平行四边形——矩形或菱形——正方形等等。
又如，讲授三角形按角分类时，可以先制作锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各一张，然后任取其中一张，出示这张三角形纸片含锐角的那一部分，其余部分用别的纸遮住，问学生能否判断这张纸片是什么三角形?(不能!因为有一个角是锐角的三角形，可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形。)如果出示含钝角(或直角)的那一部分，那么能否判断呢?（能！因为有一个角是钝角或直角的三角形，可以断定它是钝角三角形或直角三角形)这样辨析概念比单纯用“三个角都是锐角”、“有一个角是钝角(或直角)”等词语强化概念，趣味性更强，效果也更好！
3．进行简单的图形变换。图形变换是研究几何图形性质的重要思想方法，也是激发学生学习兴趣的有效手段。因为通过变换不断地改变学生感知的图形，使主体(学生)的活动在相当时间内没有变化，而客体(图形)却发生更迭。这样能使学生在集中注意的同时产生注意的转移，而注意的转移可以防止疲劳的产生，从而使学生表现出较高的学习兴趣和热情。
图形变换还有助于学生在克服困难之中发展学习兴趣。比如，用三角形内角和定理的推论证明图8——(6)中的∠BP C＞∠A。当时由于学生没有系统进行论证训练，证明此题普遍感到困难。为此，教学中可以用竹针、橡皮泥搭出图8——(1)，并变式成图8——(2)，再添一根竹针成图8——(3)，指出这三个图形中都有∠α＞∠2，对此学生不难掌握。然后，仿照图8——(3)(其特征是在三角形内把一个顶点与对边上的一点连结起来），用较短的竹针搭出图8——（4)；再把图8——(4)叠合到图8——(3)中，得图8——(5)，这时学生
不难知道∠α＞∠β，∠β＞∠A，最后从图8——（5）中抽去那根短竹针，便得图8——(6)，证明∠BPC
＞∠A的方法也就不言而明。这样使学生在带有趣味的活动中不知不觉地突破了论证的困难，又感知了图形叠合的方法。
不过这样的演示过程也有不足之处，即学生没有得到独立探究的训练。为弥补这一点不妨让学生思考：还有什么别的方法也可以证明图8——(6)中的∠BPC＞∠A呢?教师可给予适当的提示：抓住如图8——(3)这类图形的特征，能否用另外的方法把图8——(6)中的△ABC分成两个类似的图形。当学生想到连结AP 并延长交BC于点D(如图8——(7)) 的方法证明时，他们更能享受到自己取得成功的喜悦。并且这种新的证法又体现了图形拼合的思想方法。
4．引导学生自己探索、猜想并获取知识。在平面几何入门教学阶段，尽管学生的知识面较窄，技能和能力也正在逐步发展，但是仍然可以选择恰当的教学内容，采用创设问题情境的办法，引导学生自己去获取知识。这种尝试的成功，将使学生增强学习的自信心，提高学习的内部动机，也会使学习兴趣向高级的方向转化。
笔者曾作过如下的尝试。
在讲多边形的有关概念和性质时，先给出图9，并指出：AC是四边形ABCD的一条对角线，AD是五边形ABCDE的一条对角线，AD是六边形ABCDEF的一条对角线。然后要求学生观察图形，概括多边形对角线的特征后，由他们自己给出多边形对角线的定义。
一位学生说：“连结不相邻顶点的直线（应改为线段)叫多边形的对角线。”
我们认为：这种由学生自己从观察具体图形入手，经过概括并用较正确的语言表述定义的过程，不仅使学生获取了知识，面且得到了相应技能的训练，它比学生直接阅读书本并背诵定义的方法效果可能更好一些。
接着，这堂课上从四边形、五边形、六边形到n边形,由学生探索以下结论：
从同一顶点出发的对角线的条数；
多边形所有对角线的条数；
多边形内角和的度数；
多边形外角和的度数等。
当时，在探索多边形所有对角线条数的结论时，有一位学生说：“六边形有8条对角线。其理由是：“四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，说明(不完全归纳)当多边形的边数增加1时，对角线增加3条。所以五边形变为六边形时，对角线共有5+3＝8条。”我们不妨仔细地分析一下这位学生的回答。尽管他的结论是错误的，但他的思维过程有可取之处，即他已尝试用归纳的方法去探索结论。从这个例子也可以看出；研究教学不能仅注重结果，同时也要注重“过程”。
这堂课后，学生们说：“像这样上课，先由我们自己总结(得出)定义，让我们自己去探索规律，然后再看课本，很有趣！而且(对所学知识的)印象深刻，全记在脑子里。”可见，当学生克服了困难，完成了学习任务后，必然会产生精神上的满足感，从而激发出更高的学习兴趣。
当然，这种探索、猜想并获取知识的难度不能过高，要接近学生能力的邻近区域；也不要把它作为硬性的要求，以保护包括中等程度以下学生在内的全体学生的积极性。
5．一题多解(证)，一图多用、多变，这些传统教学中经常使用且行之有效的方法，也有利于激发学生的兴趣。应当注意的是：不要单纯地追求多种证法，而要使学生把寻求新的方法，并不断地优化方法成为一种自我需要，这样去一题多解、一题多变，才会成为一种趣事。
6．注意练习的多样化。心理学研究表明：单调的、长时间的、无创造性的工作会减弱注意的集中。大量的没有变化的重复练习，会使学生情绪低落，丧失兴趣，产生厌倦心理。练习中注意题型的变化，尽量避免过量的机械重复，增加练习的新异性，则能调节学生练习时的情绪，激发他们认真练习的兴趣。
现行课本在这方面已有所改进，除常规形式的练习题外，增加了一定数量结合实际的说理题，读句画图、看图写话题，判断题，各种类型的填空题，以及文字语言与结合图形的符号语言的互译题，等等。此外，教学中可根据学生实际情况，补充选编一些。
7．教学要求恰当，这是关系到能否激发学生学习兴趣，增强学生学习自信心的重要问题。事实上，学生总是对经过努力能胜任的任务表现出较大的兴趣和热情。教学要求过高，会使学生丧失信心，使—部分本来可以跟得上的学生掉队，加剧几何教学中的两极分化；反之，教学要求过低，也会使学生失去学习的积极性，知识、技能和能力得不到应有的提高。
什么样的教学要求才是恰当的呢？我们认为，没有也不应该有一个绝对的标准，但有相对的标准。这里的“相对”包括两层意思：一是大纲和通用教材体现的要求即为相对恰当的要求；二是从具体的教学对象实际出发，确定教学要求。赞可夫在阐述其“高难度教学原则”时也说过：“困难的程度要靠掌握难度的分寸来调节，初看起来可能等于取消了这一原则本身，然而这是一种误解，因为难度的分寸不是绝对的，而是具有相对性”。这里的“相对”，与我们传统教学中提倡的“因材施教”、“可接受性”教学原则，在相对于学生的实际把握教学要求这一点上，是有共同之处的。
为使平面几何的入门教学要求恰当，一般应注意以下几点。
(1)教学进度的安排宜先慢后快。
从几何知识的结构看，入门阶段的教学慢一点，有利于多数学生掌握好平面几何的最基础的知识。只有这样才能在后续的教学中，使学生掌握好整体的几何知识，并搞清知识间纵向的系统性和横向的连通性。
(2)教学内容的处理宜铺设阶梯，减缓坡度，通过小步子，常反复，早渗透，多层次的方法，帮助学生克服几何学习中的各种困难，尽快适应几何学习的要求，逐步发展几何学习所必需的技能。
(3)要善于利用教学的反馈。学习的反馈即对学习结果的认识。如果处理得当，不仅可以对学习中的动力因素起强化作用，而且可以矫正学习行动，使之得到调节、改善。因此，教师在课堂教学中应为不同程度的学生提供各种各样的机会，使他们都能得到学习中成功的体验，意识到自己学习中的进步，并受到老师的鼓励和表扬。这样，就能不断地使学生产生新的自我要求，这种要求又将成为进一步学习的有效诱因，从而形成学习中的良性循环。
(4)教学评价中要多一些鼓励，少一些批评，避免指责和惩罚。教师在课堂提问，批改作业、练习和试卷，与学生谈话等教学活动中、随时随地对学生进行着评价。这种评价既要考虑教学本身的要求，又要从具体学生的实际出发，有较强的针对性。比如，对基础较差的学生应多对其进行“自我比较”的评价，课堂上学生回答问题发生困难或错误时，应挖掘可取的因素，并加以启发引导，切忌讽刺挖苦；批改作业宜多写鼓励性的评语，对于学生做错的题可以推迟判断，让学生改正后再批改；即使对学生违犯纪律的行为进行批评教育时，也要启发他的自重、自尊、自强等。
特别要提及的是，通过考试来评价学生，是调节教学的一种重要手段。考试应控制试题的难度，不要脱离课本要求和学生实际去任意拔高要求，应使尽可能多的学生获得好的或较好的成绩，使他们通过考试看到自己学会了什么，激发他们奋发向上。试图通过提高考试难度来教训学生、惩罚学生的做法实在不可取。这样做无异于把相当一部分学生推到教师的对立面去。当学生受到这种不公正的训斥甚至惩罚的时候，也就可能丧失了学习的自信和兴趣。众所周知，当一个学生不愿意花工夫去学习的时候，要教会这样的学生又是何等的困难啊！
8．积极开展多种形式的课外活动。在培养全体学生学习兴趣的同时，必须承认学生之间客观存在的差异，兼顾学得较好的那部分学生的培养。这部分学生在学得一定的学科知识并建立了稳定的兴趣以后，就会不满足于课堂学习的内容，进而把注意力转向课外。因此要结合课堂教学内容，适当加深拓宽，开设专题讲座，组织小型竞赛活动和小论文报告会等，使学有余力的学生也兴趣盎然地得到较充分的发展。
总之，兴趣是一门学科入门教学能否成功的重要因素。兴趣不是天生的，而是可以培养的。培养学生学习兴趣的途径又是多种多样的。教师应当注意培养、发现、巩固和发展学生的学习兴趣，激发起尽可能多的学生的学习动机和积极性，从而大面积提高平面几何的教学质量。
三几何概念的教学
概念是反映一类对象共同的本质属性的思维形式，它是在对感觉、知觉、表象所反映的事物的属性，经过分析、综合、概括后形成的，是形象思维过渡到抽象思维的第一要素。只有正确地理解和运用概念，才能进行正确的判断、推理。否则，概念理解的模糊和错误，将使论证发生困难，甚至导致错误。因此，几何概念是平面几何知识的基础，是入门教学的关键，决不能以为入门阶段概念简单而掉以轻心。
1．几何概念教学的特点
平面几何主要研究图形及其性质。为了区别各种不同的图形，就必须概括图形的本质属性并用确切的词语表述为几何概念的定义。因此，几何概念与图形、语言是紧密相联的。几何概念又是几何论证的重要依据之一。这就说明，几何概念的教学绝不能等同于概念定义的教学，更不是要求学生机械的背诵，几何概念的教学将涉及多种技能，具有一定的综合性。
正确地理解、掌握一个几何概念，至少应达到以下几方面的要求：
会表述：能正确地叙述概念的定义；
会画图：会画出表示概念的图形(包括变式图形)，熟练地掌握概念的标注法和读法；
会识图：能在复杂图形中正确识别表示某个几何概念的那部分图形：
会“翻译”：学会把概念定义的文字语言翻译成为结合图形的符号语言；
会应用：会运用概念进行简单的判断、推理、计算。
由此可见几何概念的教学与代数概念的教学相比较，要求更高，地位更重要，作用和影响更大。这是几何概念教学最主要的一个特点。
其次，《几何》作为一门其自身的逻辑性很强，前后联系十分紧密的学科，必然要把大量的概念和概念名称集中地编排在入门教学阶段，这就形成了几何概念教学多而集中的特点。仅以课本第一课为例，黑体字标出的概念就有30多个，未以黑体字标出的有关名称、术语就更多。
同时，由于众多的概念集中出现，较为零碎，它们还不能形成系统，因此，学生容易感到乏味，又往往分不清概念之间的区别和联系，可能出现混淆概念的现象。
第三，几何概念与日常生活中的概念既有联系又有区别。几何概念来源于生活实际，对此，学生常常有一定的感性认识。比如“线段”这个概念，可以用日常生活中拉紧的“一段线”来形象地描述。但是，科学的几何概念又与日常生活中的概念有所区别，学生则常常忽视这—点。比如生活中常常说：“把两段线接起来成为一段较长的线。”这个实例抽象成为几何问题就是两条线段相加，这时的几何图形应看成有三条线段，而不仅仅是一条较长的线段。再如，生活中“角”的概念常常与“带一个尖儿”的形象联系在一起，但几何中角的概念并不包含这种特征(如“平角”就不带尖儿)等。
2.学生学习几何概念的通病
初学几何的学生，由于受过去某些不良的学习习惯和方法的影响，往往用机械记忆、背诵定义的方式学习几何概念，这是—种通病。
从学生对几何概念的理解、表述、记忆、运用等几方面看，他们总是偏重于用死记硬背的办法表述定义，并且自以为“背得出”，就算学懂了；他们对几何概念的理解常常达不到本质抽象的水平，因而在概念的运用上困难就较为明显。如果教学中不注意帮助学生克服这种毛病，甚至也仅仅强调对概念定义的背诵，并以此来评价学生学习概念的优劣，那么将给整个几何教学中运用概念进行判断、推理造成极大的障碍。
近几年，我们对10所学校的300多名学生进行了多次的调查：在事先不通知学生的情况下，要求学生默写“线段中点”、“线段的中垂线”等10个概念的定义，画出表示概念的图形，并结合图形运用概念进行简单推理(填空)。据统计，默写的正确率在40%——80%之间不等，波动较大；画图及推理填空的正确率一般在80%以上，且较为稳定。对这组数据我们作出如下分析。
“默写”的正确率较低，并不表明学生不背诵，而恰恰说明机械记忆必然造成遗忘。因为调查是在10月下旬进行的，其中很多概念的定义已学了一个多月的时间，学生早已遗忘。
“画图”和“推理填空”的正确率高于“默写”，这正说明“背诵”概念的定义在整个概念的学习过程中并不起决定性作用。
再从10个概念各别的默写正确率看。据统计，默写“互余”、“互补”定义的正确率分别高达81.8%和79.2%，其原因是这两个概念定义的语句简单易记。可见学生表述概念定义的困难主要来自于语言的障碍。因此，作为熟悉几何术语的一种手段，要求学生背诵某些几何概念也是必要的。
但是，必须再次指出，会背并不等于会用几何概念。仍以“互余”、“互补”两个概念为例。第一册课本的第30页上的练习第3题是：“如图10，∠EOC=∠A0C=∠BOD＝Rt∠，在图中找出分别与∠AOB，∠BOC互余的角，有与∠BOC互补的角吗?”据统计，许多学生答∠BOC与∠AOB互余,而不能经过简单的推理指出∠DOE也与∠AOB互余，只有不到十分之一的学生指出∠BOC有补角，它是∠AOD。这就充分说明，尽管80%左右的学生能正确叙述定义，但是90％以上的学生不能在图10这种较为复杂的图形中识别表示互补概念的图形，而运用概念识图在几何教学中却是十分重要的。所以概念教学的重点应是理解和应用。
3．针对几何概念的特点和学生中的通病，应该如何搞好几何概念的教学呢？
首先，要对多而集中的概念，按照各自的特点及其对后续教学影响的大小，区别对待，做到有轻有重，有主有次，突出重要概念的教学，不必“求全”。
我们感到，诸如线段的中点、角平分线、互余、互补、垂线、中垂线、平行线、对顶角、三线八角、两点距离、点到直线的距离等这些重要概念，在几何教学中应用较多，影响较大，所以必需要求学生对这些概念的学习达到“会表述、画图、识图、翻译、运用”的要求。
对于那些只加描述的原始概念或名称，如直线、点等图形的名称，连结、截取、延长等画图术语，相邻、同旁、重合、内部、外部等表示位置关系的词语，以及等量、等角、任意长等表示数量关系的名词，教学中可结合学生熟悉的实际事例，让学生多加意会，一般不宜过多的“言传（描述）”。当然，对于表示位置关系的那些词语，应结合具体图形让学生搞清词义，对于那些表示画图动作的术语，应要求学生能听懂，并正确地根据语句回出图形。
诸如端点、角的顶点、角的边这类概念名称，它们随着教学内容的深入，可以逐步转化为常识，因而不是入门阶段概念教学的重点。同时，对其中的某些概念名称，过分地强化反而可能使学生形成一些糊涂观念。以“角的边”为例，如果教学中强化了角的边是“射线”，不是直线或线段，不仅没有必要，而且将对后续教学带来麻烦：有的学生因而认为一个三角形哪里有三个内角呢?这类问题在其他概念的学习中也时有发生。其实这里主要涉及的是几何概念定义中“数”与“形”的关系。如果一个几何概念的定义主要是规定了图形位置关系的内涵，那么它与组成图形的元素本身的数量就没有什么关系。比如“角”的定义主要是揭示两条射线有公共端点这种形的特征，“角”的数量(大小)也是由两条射线的位置关系确定的，因而组成“角”这种图形的两条射线本身画得长一些或短一些对概念就没有影响。实际上它们也可以是线段或直线。之所以选用射线来定义，是因为其具有一般性，由此可见，过分强调角的边是射线，是不必要的。
在分清概念主次的基础上，要着力搞好重要概念的教学。通常一个重要概念的教学过程是：丰富感知、把感知精确化并揭示概念的定义，把概念定义的文字语言转化为结合图形的符号语言，以及运用概念进行简单的判断、推理、计算。下面我们对过程中的各个阶段分别加以讨论。
(1)丰富感知
概念来源于实践，从感知始。初中学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡，因此，概念教学必须联系实际，让学生对概念所描述的对象有尽可能多的感知。否则，感知贫乏将使概念的形成缺少形象思维的支持，学生便难于识记和理解。
丰富感知，就要借助实物、教具、图片等，让学生动用眼、耳、口、手等多种感官，通过看、画、听、说等多种形式，共同参与识记某个概念的活动。这种联合传递能强化进入大脑的信息并建立多种联系的通道。感知可以从生活实践中来，也可以从已往的学习积累及观察、实验、操作中产生。
(2)把感知精确化
直观是领会知识的起点，而不是终点。在丰富感知的同时，必须强化概念本质属性的刺激强度，从而引导学生把感知精确化。
初中学生的感知常常是不十分精确的，他们往往被事物的某些强烈的现象所吸引，而这种现象并不一定是事物的本质特征。概念教学中必须注意考虑学生的这种心理特征。为此，要利用心理学的一些研究成果，采用各种有效的方法，引导学生精确地感知概念的本质属性。
心理学研究表明，在固定的背景中，运动着的对象很容易被感知；利用感知的这种特点设计概念教学的方式，常常能取得好的效果，比如，讲授“三角形的角平分线、中线和高”这些概念，由于前面已经讲了角的平分线、线段中点、垂线等类似概念，三角形的这几个主要线段的概念的教学已经有了基础。但是学生常常不易分清它们与相近概念之间的区别。例如“三角形的角平分线”是一条线段，它有数量(长度)的特征，而一个角的平分线是射线，无长度的特征等。为了使学生能精确感知新概念的新的本质属性，可以按如下方法进行教学。
先在黑板上画一个锐角△ABC，用一个图钉将一根牛皮筋的一端固定在点A处，然后把牛皮筋的另一端沿着线段BC从点B移动到点C，这样就形成了背景(ABC)是固定的，要学生精确感知的对象(三条主要线段)在运动中出现的情境。从而让学生观察：牛皮筋在运动过程中，形成了多少条不同位置的线段？这无数条线段中有哪些线段的位置是特殊的？这时学生不难发现三角形的角平分线、中线、高这些特殊线段，并对它们都有长度这个新的本质特征也能精确感知，为正确理解三角形主要线段的定义奠定了基础．
为突破钝角三角形的高这个教学难点，可以进而把△ABC改画成A为钝角的三角形(或设计边BC可以移动的教具)，再用同样的方法演示后，问：此时运动中出现了三角形的角平分线、中线，但是“高”到哪里去了呢？再引导学生发现，只要把牛皮筋沿着线段BC的延长线继续移动，就会出现“高”。这种运动中出现的直观形象将使学生真正搞清钝角三角形中钝角边上的高为什么在形外的道理。
心理学研究还表明：在复杂的图形中，如果对象与背景差异越大(颜色、形状、大小等)，那么这种对象也越容易被精确感知。我国语言中的很多成语都说明了这种原理。比如，“万绿丛中一点红”，这是颜色的强烈差异，使“红”(对象)极易被感知；“鹤立鸡群”，这是高矮的差异，使人一眼就看到了鹤。这种原理同样可以运用到精确感知几何概念的教学中。比如图11中，如果把直线AOB与直线COD用彩色描出，使它们作为对象与作为背景的其余部分图形造成色彩的强烈差异，学生便能正确地判断出图中仅有∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC两组对顶角，当然这种突出对象，把它从背景中分离出来的过程，应逐步地由学生自己去完成。
此外，有些概念的某种本质属性，并不能借助上述方式让学生精确感知，而要借助语言的辨析与反例的衬托。比如“互为余角”这个概念有三个本质属性，应逐步地由学生自己去完成即“两个角”、“和”、“90°”。其中，后两个属性对学生的刺激较强烈，也容易被精确感知，而第一个本质属性则常常被学生忽视从而造成“90°的角是余角”等概念的混淆。为此，教学中除了强调“两个角”这个词语外，还可用反例“∠l+∠2+∠3＝90°”、“∠1，∠2，∠3互为余角，对吗？”、“∠A＝90°，∠A是余角吗”等，以反衬互余概念中“两个角”这个本质属性，使学生精确感知。
概念感知的精确化，不仅要想方设法强化本质属性对学生的刺激，同时要排除非本质属性的干扰。比如，学生常常把“互余”概念中两个角是否相邻这种非本质属性当成本质属性，扩大了概念的内涵，使外延缩小，从而不能正确识别图10中互余、互补的角。为排除两个角位置“相邻”对互余概念的影响，不妨举一个能给学生强刺激的例子：常州市一位教师在黑板上画出∠A＝40°，北京市一位教师画了∠B＝50°，那么这两位老师画出的两个角相隔几千里，它们是否互余呢?从而使学生排除非本质属性的干扰，能根据概念正确地认识图形。
还有一些概念的本质属性，借助图形，反例仍不能清楚地揭示。比如“点到直线的距离”概念的一个本质属性——长度，即距离具有数量特征这一属性，学生常常不能精确感知，因而认为“画出点P到直线l 的距离”这样的语句是正确的。为使学生避免这种错误，讲授“点到直线的距离”的定义后，要对定义的语句进行剖析，找出其主要成分并简缩为“……长度是……距离”，从而使学生从语言的变式中看清距离是数量，而不是指图形本身。
同样地，加强语言、词义的教学，也能帮助学生精确地理解概念。比如，教学射线的表示法时，对“射线用表示它的端点和射线上任意一点的大写字母来表示”这句话，可引导学生注意“任意一点”的含义，从而避免图12中射线OA与射线0B是两条射线的错误，再如，考虑到学生在“过已知点画已知直线”的垂线时经常发生困难，因此，对“两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直”这句话，有必要强调判断两条直线是否垂直，首先要使它们“相交”再看是否“成直角”。因此，画垂线时如有必要，则应画出线段的延长线或把直线画得长一些，以使所画的直线(垂线)与之相交成直角。
总之，采用各种各样的手段和方法引导学生对概念的感知精确化，是概念教学的核心。只有这样，学生才能真正理解概念，概念的运用也才有了坚实的基础。
(3)在揭示概念的定义后，要及时地把概念定义的文字语言翻译成结合图形的符号语言，从而帮助学生克服死记硬背的毛病，把概念学活。
且把概念学活，为运用概念打好基础。
（4）在概念的运用中，逐步使学生牢固地掌握概念
由于概念的定义揭示了概念的本质属性，因而它是充要的，并有判定和性质两种作用。因此，运用概念本身可以直接进行简单的判断或推理。比如，在表一的“符号语言”一栏中写出“∵”，“∴”，即得判断如下：
∵AM＝BM，M在AB上，
∴M是线段AB的中点。
又∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°。
如果在结论后面再写上判断的依据，就形成了一次三段论证的推理。如，
∵∠1与∠2互余（已知)，
∴∠1+∠2=90°。(互余的定义)。
这是几何概念最基本、最常用的一种推理形式，实质上又是推理教学的渗透。
其次，几何概念也常常用于计算。如图13，已知：AB∥CD，∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠B＝80°。
求：∠ACB的度数。
解题中先根据“角平分线”的定义，得∠2＝35°；再由“内错角”的定义及平行线性质得∠3＝36°；最后由“同旁内角”的定义及平行线性质，得∠ACB＝65°。一般地，学生解答这类计算题的困难不大，因而教学中更应该突出概念在计算中的作用。
此外，还可经常地运用概念进行辨析。比如，“∠A的余角一定比∠A的补角小吗?为什么?”这里先要根据∠A有余角，判定∠A一定是锐角，再运用互余、互补的概念，判定∠A的余角是锐角，∠A的补角是钝角，最后根据锐角小于钝角，肯定题中的结论。
以上谈了每一个重要概念教学的四个阶段，此外，几何概念教学中还有两点亦应予以重视。
(5)一个概念的教学常常不是一次完成的，往往需要多次深化才能完成。以“线段”这个基本概念为例。第一次教学时，用学生熟悉的实例直观地描述线段的形象，并让学生动手连结两点成线段，再揭示线段是“直的”、“有两个端点”的特性；第二次在教线段的度量时，再借助实例和图形叠合的方法，使学生懂得线段有数量的特征，可以比较大小，并有两点之间线段最短的性质，这时学生对“线段”的认识有了深化；第三次通过线段的和差画法及其计算的教学，学生进而能从定性到定量地理解线段的概念，并学会在复杂图形中判断线段的大小关系等，在后续的有关内容(如三角形的主要线段)的教学中继续深化对线段概念的认识。
(6)适时地对概念进行分类，防止概念的混淆，并使学生逐步把零碎的概念形成越来越完整的、清晰的概念系统，从而在系统中更好地掌握各别的概念。
比如，在入门教学中有关“角”的概念很多，其中如“互余的角”、“余角”与“直角”，“互补的角”、“补角”与“平角”等这些本质不同又有一定联系的概念常被混淆。为此，可对“角”进行如下分类：按一个角的大小定义的有：直角、锐角、钝角、平角、周角等；按两个角的数量关系定义的有：互余的角，互补的角；按两个角的位置关系定义的有：邻角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角等；按两个角的数量和位置关系定义的角有：邻补角。还可以列成表二进行比较。
平面几何是研究图形性质的一门学科，因而图形教学是它的中心环节。识图教学有助于学生的形象思维与抽象思维同步发展，正确而清晰的识图是推理论证图形性质的先导。
所谓“识图”，就是要结合基本概念，认识表示几何概念的图形，能进行图形的分解和组合，分清各种图形之间的区别和联系，并进而能识别复杂图形和变式图形。这种识图技能的训练应从平面几何教学一开始就予以充分的重视，并贯穿在教学的始终。
识图技能的训练，主要有以下三种形式：
1．图形的组合和分解
在起始阶段，要加强简单图形的教学，并在此基础上由简到繁(图形的组合)，从简单图形过渡到复杂图形进行识图训练，从而逐步要求学生能化繁为简(图形的分解)，正确认识复杂图形。
比如，教学线段、角的概念，学生认识了表示线段、角的简单图形(图14——(1))后，应进而训练学生有条不紊地识别出图14——(2)中有三条线段、三个角，图14——(3)中有六条线段、六个角。
在教学线段的和差、角的和差后，再结合图14——(3)进行如下的识图和判断的训练。
要求学生回答：图14——(3)中，线段AD 与线段BC ，∠AOC 与∠BOD 各有什么关系?并练习：“若AC ＝BD,则AD ＝＿＿；若∠AOB ＝∠DOC ，则∠AOC ＝∠＿＿。”从而为今后的论证教学扫除识图和简单判断中可能存在的障碍。这样，在“全等三角形判定”的教学中，学生就能较顺利地识别并证明图15——
(1)中(已如AC ∥DF ，AC ＝DF ，AD ＝BE)，△ABC ≌△DEF ；图15——(2)中(已知OA=OD ，OB ＝OC ，∠1＝∠2)，△OAC ≌△ODB 。也只有这样，教师才能把课堂教学的重点放在推理论证上，即集中力量去教会学生如何运用三角形全等的判定进行思考、论证(包括书写格式)。否则就会矛盾集中，顾此失彼，致使学生不能顺利地过好推理论证的难关。
图形的分解与组合对训练学生的识图技能是有效的。“如图16——(1)，D E ∥AB ，DF ∥AC ，有多少对相等的同位角、内错角?多少对互补的同旁内角?”要正确回答这个问题，必须掌握分解图形的方法，即把图形分解为如图16——(2)那样的六个简单图形，逐一识别。
这种训练实际上是从复杂图形中分解出若干个基本图形，从而排除暂不需要的那些线或角(即背景)的干扰。据调查，这种训练对初学者普遍有效，对基础较差的学生尤为有效，教学中应根据学生的实际灵活地运用。当然，这种训练只能是帮助初学者识图的“拐棍”，最终应要求学生能不画出分解后的图形，直接认识复杂图形。
图形的组合则是分解的逆过程，若把图17——（1），（2）两种形式的相似三角形的简单图形(其中AD
∥CF ，AG ∥CD)组合在一起，并延长CF 交AG 于点B ，如图17——（3）,显然，由图17——(1)知，EF
DE ＝EC AE ；如图17——（2）知，DE EG =EC AE ，利用“中间比”，不难发现EF DE =DE
EG ，于是稍加改编，得到如下的问题：
已知：如图17—一(3)，ABCD 是平行四边形，点G 在AB 的延长线上，DG 分别交AC ，BC 于点E ，F 。求证：DE 是EF ，EG 的比例中项。
出此可见，从识图的角度看、几何论证题的编制依赖于图形的组合，论认的过程则首先要掌握图形分解的方法。
2．在加强标准位置图形教学的基础上，注重图形的变式
标准位置的图形，既反映了图形的本质特征且易于认识(比如学生对“水平”与“铅垂”这类垂直的图形是十分熟悉的)，又是变式的基础，因此要充分重视标准位置图形的识图训练。
但是，标准位置的图形常常掺杂着一些非本质属性。为了排除这些非本质属性，必须有针对性地进行图形变式的训练。比如，图18——（1）是直线AB ，CD 互相垂直的标准位置图形，为了排除AB ，CD 分别处于水平、铅垂位置的非本质属性，必须给出如图18——(2)，(3)这种变式图形才能突出“互相垂直”中“相交成90°”的本质。
又如，图19——(1)中两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，学生仅能认识这样的图形是不够的，应将两条直线处于“平放”位置这种非本质现象进行变式，正确认识图19——(2)中的∠1与∠2也是同旁内角，还要对图19——(1)中两条直线不画出交点的非本质现象进行变式，画成如图19——(3)那样封闭的图形。据调查统计，有36％的学生不能指出图19——(3)中∠1与∠2是同旁内角。
尽管几何教学中进行大量的变式图形训练，学生认识变式图形的困难仍是明显的，错误也是经常的，其原因不仅在于他们对图形的本质感知不深刻，而且也在于日常生活中大量的物体处于“平稳、正直”位置这种现象，潜移默化地对识图产生着负迁移影响。这种影响是十分顽固的。充分认识到这种不利因素，不仅要加强识别变式图形的训练，还要千方百计采取各种辅助性措施。
比如，尽可能地借助实物或教具的演示(而不是单独地画图），对标准位置的图形进行变式，使学生能借助直观正确认识变式后的图形，并把它与变式前的图形有机地联系起来。
又如，在进行图形变式前，先用几何语言复述这类图形的本质属性，以改变学生感知的形式，再根据语言概括的本质属性画出各种变式图形，也有助于学生较快地认识变式图形。例如，图20是标准位置的直角三角形。
语言概括图20的特征：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
变式后的直角三角形，如图21。
再如，在变式图形的画图中，要设计不同难度的层次进行训练。例如，先让学生在图22——(1)中画出点C 到直线AB 的垂线段，接着结合这种标准位置图形，总结画垂线段的方法；然后要求学生用同样的方法在图22——(2)中画出点C 到AB 的垂线段，进而画出射线AC ，连结BC …让学生分别在图22——(3)，(4)，
(5)中画出点C 到AB 的垂线段这样就有可能突破在变式图形中画出点到直线的垂线这个难点。
3．从多方面感知图形的训练
所谓“从多方面感知图形”，就是在一个较复杂的图形中，置某一元素于不同的部分图形中，使之具有不同的“身份”。比如，图23中的∠ADC 可以被看作为：
△ADC 的一个内角(或△ADC 中AC 边的对角)；
△ABD 的一个外角；
∠ADB 的邻补角；
……
感知图形常常受观察者主观意识等原因的影响，而从不同方面感知图形又将导致解题方法的不同。比如，仍以图23为例，已知∠ADC ＝84°，AD ＝BD ，求∠B 的度数。我们发现部分学生的解题过程是：
84°→96°→84°→42°。
其中，由84°→96°是把∠ADC 感知为∠ADB 的邻补角；由96°→84°是改变了∠ADB 的身份把它感知为△ABD 的一个内角，并用了三角形内角和定理，算出∠B ，∠BAD 这两个内角之和；由84°→42°，又把∠B 与∠BAD 感知为等腰三角形DAB 的两个底角，显然这种解法较繁。如果首先把∠ADC 感知为△ABD 的一个外角，解题过程将得到简缩。
从这个简单的例子中可以看出，训练学生从多方面感如图形，将为他们从不同的途径去思考与解决问题创造有效的前提，并进而能对不同的方法进行比较和择优。
例如，图24中ABCD 是正方形，E 在BC 的延长线上，且CE ＝AC ，AE 交CD 于F 点。
我们来观察∠AFC 有多少种不同的身份呢?
它是：(1)直角梯形ABCF 的一个内角；(2)△ACF 的一个内角；(3)Rt △AFD 或Rt △CEF 的一个外角，
(4) ∠DFE 的对顶角；(5)∠AFD 、∠CFE 的邻补角……
如果要计算图24中∠AFC 的度数，便有很多种解法。通过比较，选择如下解法(把∠AFC 看作△CEF 的一个外角)较优：
∠ACB ＝45°→∠E=22．5°→∠AFC ＝∠FCE 十∠E ＝90°十22.5°=112.5°；
另外，从各个不同的方面感知图形，并不一定都能寻求到正确的解题途径。从这个意义上讲，能否从尽可能多的方面去感知图形，不仅影响到解题方法的优劣，而且也关系到解题的成败。
如图25，BD,CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，求证：MD=ME 。
若学生不能首先感知BC 既是△ABC 的一条边，又是Rt △BDC 的斜边，也是Rt △CEB 的斜边，那么就可能误入证明△BME ≌△CMD(仅把MD ，ME 感知为这两个三角形的边)的歧途，导致失败或错误。反之，
若能感知BC 的多种身份，便可能迅速地运用“直角三角形斜边上的中线性质”，由MD ＝2
1BC(将BC 看作
Rt △BDC 的斜边)，ME ＝2
1BC(将ME 看作Rt △CEB 的斜边),得MD=ME 。 又如图26，过菱形ABCD 的顶点C 的直线，分别交AB ，AD 的延长线于点E ，F ，且AE ＝12，AF ＝10，EF ＝14，求CE ，CF 。
解答此题的关键在于，首先感知菱形ABCD 的对角线AC 平分∠BAD ，紧接着又把AC 看作为∠EAF
的平分线,便不难利用三角形平分线性质定理，解得CE=11
84，CF=1170。如果仅仅感知图形中的平行线，试图用平行线分线段成比例定理去求解，将会发生较多的困难。
多方面感知图形导出多种多样的思考方法和解题途径，这也将有助于使学生的思维变得更灵活，更易于发散。下面我们看一个这样的例子。
如图27——(1)，已知：AB ＝AC,以AB 为直径的圆交BC 于点D ，点E 为AD 的中点，延长BE 交AC
于点F ，求证：AF ＝2
1FC 。 证明此题涉及几何中的多种知识、技能和能力。现在我们仅从“多方面感知图形”这一点分析思考过程。
首先，要多方面感知∠ADB 的身份，而正确的选择是把∠ADB 看作直径上的圆周角，所以∠ADB ＝90°。
接着，由AD ⊥BC ，转而感知AD 为等腰△ABC 底边上的高，也是底边上的中线，顶角的平分线。
然后，以下的感知将发生相异的情况，但是“殊途同归”。
(1)若把点E 感知为A ，D 两点的对称中心，则作DM ∥AC,即△AFE 绕点E 旋转180°，由△AE F ≌△
DEM ，得AF ＝DM=2
1FC(如图27——(2))。 （2)若把E ，D 两点分别感知为AD ，BC 的中点，则作DN ∥BF ，可由AF ＝FN ，CN ＝NF ，得AF=2
1FC(如图27一(2))。
(3)若把AE 感知为△BAF 的角平分线，则作EH ∥AC ，由DH ＝HC ，得HB HC ＝31。从而，AC AF ＝AB
AF ＝EB
EF ＝HB HC =31得证(如图27——(3))。 (4)若把BE 看成△ABD 的中线，为了利用三角形重心定理，可再作△ABD 的中线DG ，交BE 于点M ，
则M 为△ABD 的重心，从而AC AF ＝MD
GM ＝21 (如图27——(3))。 …… 以上解法中以(1)与(2）较优。
上面阐述了识图技能训练的三种方法。最后需要说明的是，训练的方法可以是多样的，也不一定仅限于这三种。另外，训练学生的识图技能，选取什么样的图形呢?训练的要求如何才算得当呢？一般应遵循如下两条原则；一是要选用教学中经常使用的图形，以提高识图训练的针对性和效率；二是要随时通过调查，摸清各个阶段多数学生识图技能的实际水平，使识图训练切实可行，确有成效。
五 图形变换思想的渗透
图形变换是一种近代的数学思想，也是研究几何图形性质的有力工具。
所谓“图形变换”，就是按照某种对应法则，将图形F 变为另一个图形F ′。若F ′与F 可以完全重合(即它们的形状、大小都相同)，这种图形变换称为合同变换。若图形F ′与F 形状相同，大小不一定相同,这种图形变换称为相似变换。合同变换又称为保距变换，相似变换又称为保角变换。实质上，平面几何这门学科就是研究在这两种变换下图形的不变性质。
合同变换包括平移、翻折(对称)、旋转三种。若变换后的图形F ′与原来图形F 的对应线段分别平行，这种合同变换叫做平移。若F ′与F 关于某直线成轴对称，这种交换叫做翻折(对称)变换。若图形F ′是由图形F 绕着某定点旋转一个定角而得到，这种变换叫做旋转变换。这三类变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此变换后的图形F ′与变换前的图形F 可以“合同”。图形F 与F ′的各种对应元素大小不变，位置关系不变。初中《几何》课本第一册以全等形为核心，就是研究在这种变换下图形的形状、大小的不变性质。
具体地说，若将图形F 的每一点X 与定点P 连结，并在射线PX(或其反向延长线)上取点Q(或Q ′），使PQ PX (或，
PQ PX )的值＝k 一定，由这样的点Q(或Q ′)组成的图形F ′(或F ″)一定与F 相似，且是一种特殊的相似——位似(F ′与F 称为顺位似，F ″与F 称为逆位似)，这样的变换叫做位似变换。它实质上就是图形
的放大或缩小。一般的相似变换并不一定有对应点的连线交于同一个定点P的特征，因此，它可以看成先将图形进行位似变换，再把变换后的图形进行平移、翻折、旋转等合同变换的复合过程。在相似变换下，变换后的图形F′与变换前的图形F，具有对应角大小不变，对应线段的比值(＝k)不变等性质。初中《几何》课本第二册从“相似形”开始，就是研究在相似变换下图形的不变性质。
如果用图形变换的思想方法来处理平面几何的教学内容，很多定理的证明将变得简洁明了，许多命题(习题)的传统证明方法也可以简化。
比如，“等腰三角形的性质”及有关的一系列命题，均可用折纸(翻折变换)的方法去探究。如图28，把等腰三角形纸片的顶角∠BAC折成两个等角，得折痕AD即为∠BAC的平分线。因为AB＝AC，所以点C 与点B重合，于是△ACD与△ABD完全重合，从而不难发现：
(1)∠B＝∠C，即得“等腰三角形底角相等”。
(2)BD=DC，∠ADB＝∠ADC(Rt∠)，即得“等腰三角形顶角平分线垂直平分底边”。
若在AD上任取一点P，连结BP，CP并延长交AC，AB于点E，F(如图29)，用上述的翻折变换方法，又不难发现PB＝PC，即“等腰三角形顶角平分线上一点到底边两端的距离相等”，还能发现PE＝PF，AE=AF，∠APE＝∠APF等结论。
若设M
1，M
2
分别是等腰三角形两腰AB，AC上的中点，那么仍用上述折纸的方法进行翻折变换，易
知点C与点B重合，M
2与M
1
重合，于是B M
2
＝C M
1
，即“等腰三角形两腰上的中线相等”。用同样的
方法，我们不难得出“等腰三角形两腰上的高相等”和“等腰三角形两底角的平分线相等”这些结论。
其实，平面几何中各种轴对称图形(如矩形、菱形、正方形以及圆等)的有关性质，比如圆的“切线长定理”，“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”等，都可以用翻折变换的方法探求得到，此处不再赘述。
再如，平行四边形是中心对称图形，我们把它看成(如图30)是由一个三角形(△ABC)绕着它一边(AC)的中点(点0)旋转180°后得到的三角形(△CDA)与原来的三角形(△ABC)拼合而成的图形。利用旋转变换的思想，很容易得到平行四边形的对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质。
不仅如此，我们还可以简化如下一类命题的证明。
已知：如图30，O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F。
求证：0E＝OF。
不采用传统方法(证两次或一次三角形全等）证明，只需说理如下：
点O是平行四边形的对称中心，
过点O的直线与对应线段的交点E，F是对称点，
对称点的连结线段被对称中心平分，即得OE＝OF。
当然，考虑到我国目前初中教学的实际状况，以及采用传统的演绎推理的方法处理几何教学内容在初步培养学生逻辑思维能力方面的独持作用，现行初中《几何》课本未以图形变换思想为主线来编写。但现行课本明显地加强了图形变换思想的渗透，突出地反映在“轴对称”部分介绍了“对应点的连线被对称轴垂直平分”和“对应线段或其延长线的交点在对称轴上”这两条性质；在“中心对称”部分也增加了类似的两条性质，并编排了少量利用图形对称性质证题的练习。从几何教学内容的改革来看，这是有益的尝试。我们在近几年的教学实践中也感到，对初中学生来说，图形变换的思想方法并不是高不可攀的。恰恰相反，他们往往对此表现出较高的学习兴趣。只要讲究合理的训练序列和要求，初中学生是能够初步掌握并运用这种思考方法去处理问题的，并且也有助于直觉思维和逻辑思维的同步发展。
怎样在初中平面几何教学中渗透图形变换的思想，逐步训练学生掌握图形变换的方法呢？
1．结合简单图形的教学，初步介绍图形变换的基本思想。
平面几何起始教学中，可尽早开始渗透图形的平移、翻折、旋转等思想方法。本书第二部分试述引言课教学时选编的一些问题就体现了这一点。从课本第一章起，“角”是可以渗透变换思想方法的一种较为合适的图形。比如，可以让学生用硬纸片做一个角，再按下列方法进行变换：
(1)把角的纸片平放在另一张白纸上，并画出∠AOB,然后用直尺紧靠OB边再把纸片向下(或向上)移动到新的位置∠A′O′B′(如图31——（1)），这就是角的平移。
不妨让学生观察图31——(1)中0B与O′B′的位置关系，从而为平行线判定公理的教学提供感性材料。
(2)把角(∠AOB) 的纸片对折，那么折痕OC就是∠AOB的平分线；或把∠AOB沿着OB翻折到∠A′OB的位置，那么0B是∠AOA′的平分线(如图31——(2))。顺便指出，“角平分线是角的对称轴”这一最简单的几何性质在论证中有着较广泛的应用。
(3)把角（∠AOB)的纸片绕着顶点O旋转一定的角度，使它变到∠A′0B′的位置(如图31——(3))，然后让学生识别图中有几个角?思考：因为∠AOB与∠A′OB′大小相等，所以∠AOA′与∠BOB′又有什么关系?
若图31——(3)中的∠AOB＝Rt∠，那么从∠AOA′=∠BOB′,可以作出“同角的余角相等”的猜想
和判断。
若∠AOB绕着顶点O旋转180°变到了∠A′0B′的位置，此时，0A′与0A成一条直线，0B′与0B 也成一条直线。于是∠A′0B′与∠A0B成为一组对顶角，这样∠A′0B′＝∠A0B，实质上已说明了“对顶角相等”的道理。
以上通过角的变换推导出某些结论的方法直观生动，可以作为课本有关性质教学的一种有效的辅助。
又如，教学“全等三角形判定”前，为了进一步训练学生识图的技能，可以专门安排一堂图形变换课。课前，可用纸板或铁丝、塑料线制作两个全等的三角形。课堂上先把这两个三角形放置成各种不同的位置，由学生观察并指出：如何变换其中一个三角形的位置后可使它与另—个三角形重合；还可让学生把两个三角形重合在一起后，用各种方法(平移、翻折、旋转)变换其中一个的位置，使它们分离并呈现各种不同形状。接着，可以把课本“全等三角形”这一大节中出现的各种图形，按平移、翻折、旋转及它们的复合变换进行分类后分别画在黑板上，由学生指出，各个图中的两个三角形通过什么样的变换可以完全重合，并说明它们的元素之间的对应关系等(参阅本书附录3《图形变换课堂教学实录》)。
实践证明，这堂课的教学效果很好。老师们说：“这堂课为全等三角形判定的教学扫除了识图的障碍，奠定了基础。”有的学生说：“这堂课使我知道了几何图形通过平移、翻折、旋转变换出各种各样的形状，很有趣。”
2．结合定理和命题的教学，不断加强图形变换思想的渗透。
在学生初步了解图形变换的思想方法的基础上，应在有关定理和命题的教学中，引导学生探究证法的实质，突出图形变换思想在证题中的作用，从而帮助学生逐步掌握这种思想方法，现略举数例如下。
(1)在“等腰三角形的性质定理”及有关命题的证明中，往往要添置顶角平分线这条辅助线。其实质就是利用图形翻折变换的原理。类似地利用这种方法，可以证明定理“在同一个三角形中，大边对大角”。如图32，在△ABC中，AB＞AC，沿∠BAC的平分线AD将△ADC翻折变换到△ADC′的位置。显然，∵AB＞AC，∴点C′落在AB线段上。于是，∠C=∠AC′D＞∠B。用这种证法较为直观简明。
运用这种方法，还很容易证明如下一类命题：“若AD是△ABC的角平分线，且AB＝AC+CD，则∠C ＝2∠B。”利用图形变换的思想方法不难找到如下的证法。
把△ACD沿AD翻拆变换到△AC′D，点C′必落在AB上，由C′D＝CD＝AB—AC′＝C′B，得∠C=∠AC′D=∠B+∠C′DB＝2∠B。
(2)在“三角形中位线定理”的证明中，需延长中位线DF到F，使EF＝DE，从证明四边形BCFD是平行四边形入手，得到DE＝BC(如图34)。这种证法的实质就是把△ADE绕着点E旋转180°，即进行了一次旋转变换后，使三角形变换为平行四边形。“延长DE到F，使EF=DE”这种添辅助线的方法，不能仅仅简单地归结为“看到中点(或中线)常常要把有关线段(或中线)延长一倍”。这种具体的解题经验只是解题思想的“流”，而不是“源”。实质上，这样添辅助线是为了在图34中造出关于点E对称的另一组对称点D，F，再利用A，C关于点E的对称性，构成了可以通过旋转变换重合的两个全等的三角形(△ADE与△CFE)。因此，利用“中点”或“中线”的条件，常常可以把有关线段延长一倍，是为了进行图形的旋转变换，这才是此类解题思想的“源”。
这种思想方法在许多命题的证明中被采用。
例如图35中，若△ABC是圆内接正三角形，P为弧BC上的一点，则PA＝PB十PC。
略证：在PA上截取PD=PB,由∠BPD=60°，知△BPD为等边三角形，然后，由∠ABC＝∠PBD＝60°，得∠ABD=∠CBP，从而△ABD≌△CBP(SAS)。
人们常常把这类问题(求证一条线段等于两条线段之和)证明的方法归结为：先在较长的那一条线段上截取一条线段，使它等于两条线段中的一条，再证截剩下来的线段等于另一条线段。这种归结没有揭示解题思想的实质。从图形变换的观点看，这种添辅助线方法的实质是进行了一次图形的旋转变换。即把△BPC 绕着点B旋转60°后，点C必落在点A上，点P必落在AP上的一点D处(因为∠BCP＝∠BAP)，而且由于BP=BD，∠BPD=60°，所以△BPD为等边三角形，因而PB=PD，AD=PC，即得PA＝PB十PC。
指出下述两点是必要的：这里的旋转变换所起的效果是把折线段PB、PC变换成直线段PA；线段BP 绕着它的一端点B旋转60°到BD的位置，不难看出△BPD是一个等边三角形，这些都是在解题中经常会用到的。
(3）现在，再来看平移变换在证明中的应用。比如证明“等腰梯形两底角相等”，只需过点D作AB的平行线交BC于点E(如图36)，这实际上就是利用AD∥BC的条件，将线段AB平移变换到DE。教学这个性质定理时，向学生指明这一点，将有助于学生运用这种变换思想寻求论证下述命题的方法。
“如图37，CD为Rt△ABC斜边上的高，AE平分∠BAC交CD于点F，FG∥AB，求证：CF＝GB。”
思路一：利用FG∥AB的条件，可将GB平行移动到FH(作FH∥AB)的位置，由∠ACF＝∠B＝∠AHF，易证△AH F≌△ACF，从而得GB＝FH＝CF。
思路二：也可以利用角平分线AE是∠BAC的对称轴这一性质，将△AFC沿着AE翻折变换到△AHF 的位置(在AB上截取AH=AC)，由∠AHF＝∠ACF＝∠B，易证FH∥BC，从而得CF＝FH＝GB。
3．从学生的实际出发，运用各种方式激发学生用图形变换的思想方法解题的乐趣，使努力掌握这种方法成为学生的自觉要求。
(1)某些问题貌似难解，实质上用图形变换思想很容易解决。选编这类问题让学生练习，不仅有一定的趣味性，而且也能使学生体会到图形变换方法的优越性。
例如，有两块土地，一块是圆形的，一块是平行四边形的，若要造一条直的渠道穿过这两块地，怎样才能使渠道把两块地都分成等积的两小块？
事实上，利用圆可以沿任何一条直径翻折，平行四边形可以绕其对角线交点旋转的特性，不难知道只须沿着过圆心和平行四边形对角线交点的直线修筑渠道即可。
又如，有两决同样大小的正方形纸片，把其中一块的一个顶点放在另一块正方形的中心，这样叠合(如图38)后，重叠部分(即图38中的阴影部分)的面积不变。
如果把上面的正方形纸片绕着0点旋转变到图38中虚线所画的位置(0A′⊥AA′），易证，△A0A′≌△OBB′，所以阴影部分的面积等于原正方形面积的四分之一。
(2)向学生揭示如何利用图形变换编拟习题，这也既有趣味，又有助于学生掌握图形变换的思想方法。
如图39所示，图(1)象一个直立的矩形向右“倒下来"(即绕着点B顺时针旋转90°)，那么图中两个矩形的两条对角线必互相垂直。若把图(1)中水平放置的矩形向左平移成图(2)。那么CE⊥BH。于是，稍加改变即可编出如下不难证明的命题：
“如图39——（3)，已知E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，连结AG，CE，BH，DF，它们相交于点M，N，P，Q，求证MNPQ是正方形。”
若在图39——(3)中连结AC交BH于点K，显然△AHK沿AC翻折变换后必与△AEK重合，从而∠BEC ＝∠AHK=∠AEK。然后，只要保留图(3)中△ABC那部分，去掉△ADC那部分图形，便得到如下的命题：“如图39——(4)，CE是等腰直角三角形一腰AB上的中线，过点B作CE的垂线，垂足为D，延长BD交AC于点K，连结EK，求证∠AEK＝∠BEC。”
从上述变换的逆过程中，不难找到此命题的证明方法，即只需过点A作AB的垂线交BK的延长线于点H。
象这样用图形变换的方法逆向地解剖一个命题，向学生交待编拟习题的“诀窍”，无疑有助于学生掌握图形变换的思路方法，添置辅助线论证命题的思维能力也得到提高。
(3)用同一种变换图形的方法编拟类似的习题，让学生归纳并探究其解法的共同本质。
比如图40——(1)中，以△ABC的AC，BC为一边分别向形外作等边△ACD和△BCE，AE，BD相交于点O，则AE＝BD，∠AOD＝60°，这与图40——(2)中，以△ABC的AC，BC为一边向形外作正方形ACDF和BCEG，AE，BD相交于点O，则AE＝BD，且∠AOD=90°(或AE⊥BD)，证明的共同实质都是△ACE绕着点C旋转定角。后与△DCB重合(前者中∠α=60°，后者中∠α＝90°)。
若把图40——(2)中的△ABC改成平行四边形，仍以AC，BC为边向形外作正方形…．显然同样有AE ＝BD，AE⊥BD的结论，且证法毫无变化，其实质仍是△ACE置绕点C旋转了90°后与△DCB重合。
4．在学生基本掌握图形变换思想方法的基础上，紧密联系课本例题和习题提出一些难度较大的问题，供学生思考。
例如，“点M，N在直线l的同侧，怎样在l上找一点P，使PM十PN最小”这个问题，学生会用翻折变换的方法找出点M关于直线l的对称点M′，再连结M′N，它与直线l的交点即为所求之点P(图41——(1))。那么，“在△ABC的所有内接三角形中，以什么样的三角形的周长为最短呢？”这个问题的难度较大，但其解法的实质仍是利用翻折变换，现简要分析如下。
如图41——(2)，为了使DE+EF+FD为最小，常常可以利用“两点之间线段最短”这个公理，先应设法把这三条线段组成的折线段变换为直线段。为此，仿照图41——(1)找出点D关于AB，AC的对称点D′，D〃(即分别进行一次翻折变换)，连结D′D〃分别交AB，AC于点F，E，这样，△DEF的周长等于线段D′D〃。
于是问题转化为“如何确定点D的位置，使线段D′D〃(随点D位置变化而变化)的长度最小？”为比，再连结AD，AD′，AD〃。可以证明，△AD′D〃中，∠D′AD〃＝∠D′AD+∠DAD〃＝2∠BAD+2∠CAD＝2∠BAC为定值，又AD′= AD =AD〃，所以△AD′D〃是顶角大小一定的一个等腰三角形，D′D〃为其底边。
容易知道，顶角一定的所有的等腰三角形申，腰长越小底边长也越小。因此，要使D′D〃最小，就应使AD(等于腰长)最小，故点D应为垂足。从而探究得出结论：—个三角形的内接三角形中，以垂足三角形(三个垂足连结而成的三角形）的周长为最短。
又如，“怎样在锐角三角形ABC内找一点P，使PA+PB+PC最小”，解决这个问题同样要把PA，PB，PC三条线段变换位置，使它们在同一条直线上。把图42中的△BPA绕着点B旋转60°到△BP′A′的位置，如前所述，△BPP′是等边三角形，于是PA＝P′A′，PB＝PP′，这样PA+PB+PC＝A′P′+P′P 十PC。
于是，问题转化为怎样确定点P 的位置，可以使A ′P ′，P ′P ，PC 这三条线 段 恰在同一条直线上。由∠BP ′P ＝60°，可知∠A ′P ′B ＝120°，因 而 ∠APB ＝120°。同样地∠BPP ′＝60°，得∠BPC ＝120°( 于是∠APC ＝l20°)。因此，点P 的位置应按如下方法确定：分别以AB ，BC 为弦，在△ABC 内部画两条弓形角为120°的弓形弧，两条弓形弧的交点即为所求的点P 。
总之，图形变换是研究几何图形性质的重要思想方法，让学生了解并初步掌握它不仅是必要的，而且也是可能的，关键在于教学中从学生实际出发，由易到难地精心渗透，不急于求成，耐心诱导，科学训练。
六 几何语言的训练
语言是保存、传授与领会社会历史经验，交流思想和进行智力活动的工具。语言也是一切教学活动得以顺利进行的必备工具。
各门学科的教学，除了使用一般的文字语言外，还常常需要使用这门学科特有的语言。这种特殊的语言又往往在入门教学阶段大量出现，学生对这类语言则较为陌生。
在平面几何教学中，正确地理解、表述几何语言对掌握概念、识别图形、正确而顺利地进行推理论证，都有着重要的作用。近年来我们在平面几何教学研究的实践中深深感到，由于种种原因，初学几何的学生在几何语言学习上的问题很多，困难很大，语言已成为几何教学中的一大障碍。
近几年，我们先后在常州市区各校的部分学生中进行多次教学情况调查。学生的主观反映和调查统计的客观数据两方面都证实了这一点。下面列举部分调查内容及统计数据。
(1)“你学习几何觉得什么最困难?
(A)几何概念；(B)几何语言的理解和叙述；(C)认识图形；(D)讲清道理；(E)没有什么因难。”
据1982，1983年分别对500名学生的调查统计，选择(B)的占28．76％，仅次于选择(D)的38．17％，而选择(A)，(C)，(E)的分别占5．11％，12．9％和15．06％。
(2)“过A ，B ，C 三点(不在同一条直线上，给出图形)中每两点画直线，可以画几条直线？”
学生能正确画图，但据1982年统计，13．2％的学生答“可以画一条直线。”
(3)读句画图，“三条直线两两相交。”
据1983年统计有20. 8％的学生不能正确画图。
(4)“任作直线AB ，在AB 任取一点C ，在AB 外任取一点D ，分别过C ，D 两点画AB 的垂线。”
据1983年统计，30％的学生画成如图43。
(5)27％的学生误认为“直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离”这句话是正确的。
(6）不能改正“过一点有且只有一条直线平行已知直线”这句错话的学生占47％。
我们认为，学生几何语言学习产生困难的原因主要有以下四点。
首先，由于教学内容从数到形的突变，引起了数学语言从代数语言到几何语言的变化。
在小学数学和初一代数中，大量使用的语言主要表述数量及其运算关系。课本在表述时，往往可以借助“字母表示数”这个得力的工具，同时给出“文字语言”和“符号语言”两种形式，且常常以符合语言为主。
比如，代数中常常借助符号或式子给出概念的描述性定义，以便于学生进行从具体到抽象的概括。例
如“像+6和—6，221和—22
1……这样只有符号不同的两个数，其中一个数是另一个数的相反数”； “像ab ，a+b ，40t ，vt ……这样用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式”；
“像s=ab ，4－x=7……这种表示相等关系的式子叫等式”等。
借助字母，代数中表述运算律、运算法则和定理的文字语言也易于翻译成为符号语言。例如，有理数减法运算法则——“减去一个数等于加上这个数的相反数”，可以表述为： a －b=a ＋(－b)。
同样地，“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可以表述为：a m ·a n =a n m 。
“一元二次方程根与系数的关系”定理则可以表述为：“如果方程ax 2+bx ＋c=0(a ≠ 0)的两个根是x 1，
x 2，那么x 1+ x 2＝－
a b ，x 1·x 2＝a
c ”。 从这些例子可以看出，由于采用“字母表示数”，代数中的大量文字语言易于转化为符号语言，从而使数量关系表达得更一般、更简明，学生易懂易记，应用方便。但是，几何中表述图形及其位置、大小关系的文字语言，由于图形有变式，标注同种图形时使用的字母又没有作出统一的约定或规定，因而就难以用“一般化”的模式把它们转化为符号语言。这样，学生就可能把几何中的文字语言与结合图形的符号语言割裂开来，用背诵文字语言的方式学习几何概念、定理等，不会进行两种形式语言之间的“翻译”，因而也就不能灵活地运用这些概念和定理进行判断和推理论证。
其次，象每门学科一样，平面几何在起始阶段的教学中就引进并使用了大量的几何语言，它们又往往更简炼、更严密，学生一时也难以适应、熟悉。平面几何入门阶段使用的几何语言主要有以下几种：
（1)常用的几何术语。如“每两点”、“两两(相交)”、“任意(取、画)”、“任何一个”、“分别”、“有且只有”等，学生常常不能正确理解这些术语。例如，“任意画一条直线垂直于已知直线”这句话中，“任意”画并不完全是“随便”画的意思；而“在射线OP上取一点A”中，“取”即是“任意取”的意思。对此，学生有时分不清楚。
(2)表示图形位置或大小关系的词语。如“相邻”、“互相”、“互为”、“等角”、“等量”、“等边”等，学生则常常分不清这些词语表述几个图形或几个量。比如他们分不清“互为余角”表示的是两个角（不是一个角，也不是多于两个角)的关系。又如他们也搞不清“等角的余角相等”这句话涉及到几个角。
(3)表示画图、作图动作的语句。如“连结”、“延长”、“反向延长”、“过点×作直线××，使它平行(垂直)于直线××”等，学生难以根据这类文字语言做出正确的画图动作；把画图过程表述为文字语言时，又往往不会使用规范的语句。
第三，日常生活语言对几何语言可能产生的负迁移，也是学生几何语言学习产生因难的原因之一。
生活中的某些词语，如相邻、同旁、同侧等，被移植作为几何语言时，词义并不发生明显变化，这对几何语言的教学能产生正迁移，教学中应加以利用。但是，更要注意防止日常生活语言对几何语言可能产生的负迁移。这种负迁移的产生大致有以下几种情况：
(1)由于数学的严谨性，使几何语言与相类似的生活语言产生了差异。学生对“有且只有”的理解是一个十分典型的例子。他们在学习直线的基本性质——“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”时，总以为“有一条直线，并且”这几个字是多余的。他们认为，这句话只需说成“经过两点只有一条直线”就可以了。究其原因，就是因为日常生活中说“我只有一支钢笔”这句话，既包含了‘我有一支钢笔”，也包含了“我只有一支钢笔”的意思，无需说成“我有且只有一支钢笔”。生活中把“有”与“只有”这两层意思混同在一起的语言习惯，与几何中要把它们分开表述的严谨性是不同的。因此教学“直线的基本性质”时，试图要求多数学生理解“有”表示存在性，“只有”表示唯一性是不切实际的。这时，只能向学生指明，不能用生活中对这类词语的理解去“套”类似的几何语言，两者是有区别的。至于为什么几何语言中要把“有”与“只有”的意思分开叙述，只有在以后的教学中学生才能逐步弄懂。
(2)由于几何概念的本质属性引起了几何语言与生活语言的差异。比如图44——(1)，如果把直线l和P 点看作生活中的一条马路和一间房于，那么人们常说：“这间房子不在马路上”。但是，图44——(1)作为一个几何图形，因为直线是向两方无限延伸的，所以就不能断定“点P不在直线l上”。事实上，只要把直线l画得长一些，不难发现点P恰恰在直线l上。就是由于这种原因，一些学生在“读句画图”时，就把“点D在直线EF上，但在直线GH外”画成了如图44——(2)。实际上，图中的直线EF，GH是一条直线，故点D仍在直线GH上，从而导致了错误。
(3)生活语言中使用的词语，其含义往往只需“意会”，而几何中使用的词语则一般需规定其确定的意义，这种理解词义上的偏差也会使生活语言对几何语言产生负迁移。比如，用“位置相同”描述同位角的定义时，课本对“位置相同”这个词语的数学意义作了精确的阐述，即这两个角“分别在两条直线相同的一侧，并且都在第三条直线的同旁”。学生往往不仔细阅读这些语句，却以日常生活中对这个词语的不精确的理解去识别图形、进行判断，因而把图45中的∠1与∠2误认为是“位置相同”的同位角。
第四，初二学生的语言、语法知识不能适应几何教学的要求，这是学生几何语言学习产生困难的又一个原因。这种“不适应”突出地表现在以下两点：
(1)有些初二学生还分不清较长的简单句中的主要成分和次要成分。比如，“求证：等腰三角形两个底角的平分线的交点到底边的两端距离相等”。学生如不能抓住“距离相等”来分析这个句子，读句以后便无法理解题意。有的学生甚至还不能正确地掌握句子的意群，阅读中不会作出正确的停顿，那么读句后更是不知所云，当然也就谈不上根据题意正确画图，分清“已知”、“求证”并加以证明了。
（2)初二学生尚未系统学习把单句改写为复句的语法知识，而几何中命题的改写实际上就是要进行这种句式的变换。这种不同学科知识横向的不衔接，造成了学生改写命题时的困难。如把“对顶角相等”改写为“如果对顶角，那么相等”的这类错误更是普遍的。
针对学生几何语言学习中的困难、问题及其原因，平面几何教学中可采用以下的办法加强语言的训练。
(1)严格要求学生认真阅读课本，并进行必要的复述和背诵，从而使学生熟悉常用的重要几何术语，这是带有启蒙性的基础训练。
(2)用比较通俗的语言作铺垫，引导出规范化的几何语言。比如前述调查的第2题，回答“可以画一条直线”的那部分学生认为，“每两点”仍然是“两点”，经过两点只能画一条直线。所以，他们虽然画出了三条直线，但是只“敢”回答“可以画一条直线”。这显然是对过“每两点”画直线，“可以画”几条就是“一共可以画几条”的意思不理解。1983年重新用这题进行调查时，就把问句改为“一共可以画几条?”这样的语言较通俗，学生答题时就不再发生错误。接着，在学生做完此题后，再向学生指明，问句中的“一共”两字是可以省略的，从而使学生弄懂这种较为规范化的语言。
(3)简练的几何语言，应在正确表述的前提下，将语言由繁到简地逐次简缩才能得到。如调查中第4题，学生画成如图43的主要原因是，对含有“分别”这个词语的句子理解不清，同时又受垂线“唯一性”的影
高中数学立体几何教学研究
高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.
几何画板在高中数学教学中的应用
《几何画板》在高中数学教学中的应用
摘要：几何画板对高中数学教学引起了革命性的变革，数学中的概念、定理、公式、借助几何画板得以形象、直观、动态展示，大大降低了数学学习难度，文章从三个方面阐述了几何画板在高中数学教学中的应用，对推进高中数学课堂改革有积极作用。 关键词：几何画板；代数；几何；解析几何 对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家a.h.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？作为一名高中数学教师笔者就此谈几点体会： 一、《几何画板》在高中代数教学中的应用 “函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维
方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”函数的两种表达方式——解析式和图象——之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。具体说来，可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和y=x1/2的图象，比较各图象的形状和位置，归纳幂函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数 y=asin(ωx+φ)的图象时，传统教学只能将a、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段b、t的长度和a点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点a则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。 《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半
(word完整版)初中数学几何证明题技巧
初中数学几何证明题技巧 几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换
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探究平面几何的入门教学 七年级学生，第一学期就开始学习几何。俗话说：“万事开头难” 初学者学习起来有时会不适应，觉得很难，甚至中学高部有的学生也觉得学好几何比学好代数难，究其原因在于几何研究的对象、过程、思维方式、语言的表达与代数有较大的区别，并且几何的语言是人们从长期的实践中抽象提炼而成的，具有概括 性、抽象性、逻辑性较强等特点。因此，在教学中，教师要把好学生几何的“入门”关。下面结合自己的探索实践，谈几点自己粗略的见解和体会。 一、正确理解和掌握好基本概念。 几何概念，文字语言精炼、严密，教学中，要引导学生养成“咬文嚼字”的良好习惯，有的概念的教学方法可以用学语法和划分句子成分的方法，找出语句中的主干，抓住概念的关键词，可以加深对概念的理解。如教“两点间的距离”这个概念时，不少学生会理解成“连接两点间的线段”。但如果划分这个概念的句子成分：（连接两点的）（线段的）长度叫做（两点间的）距离，句子的主干为“长度”叫做“距离”，这样浅而易见：“两点间的距离”是“长度”，是一个正数，而不是线段这个图形。这样教学，就能使学生正确理解这个概念了。还有的概念的教学方法可以运用反例对比，正确理解概念的本质。如图（1）, 则正确表达了/ 1与/2是对顶角，图（2）的三个图表示/ 1与/2 不是对顶角。 对于一些相近的概念，教学时可以采用对比分析的方法，要分清它们之间的联系和区别，如教学直线、射线、线段的概念时，这三个概念既有联系又有区 别，教学时可用对比方法找出它们的共同点，更 重要的是找出它们的不同点，这样就可以排除共同因素的干扰，从而使概念更清晰，理解更深刻。 二、强化“文字语言”、“图形语言”、“符号语言”的互化。 几何中常用的“语言”有三种，即“文字语言”，如定义、定理、公理等用“文字”的表达方式；“图形语言”是根据“文字语言”画出图形；“符号语图 （1）
高中数学“立体几何初步”教学研究
专题讲座 高中数学“立体几何初步”教学研究 袁京生北京市朝阳区教育研究中心 一、“立体几何初步”教学内容的整体把握 （一）“立体几何初步”内容的背景分析 1.从立体几何发展的历程看立体几何课程 （1）不同学段几何学习的特点 一个学生从小学的数学课中就接触到了空间图形，由于知识和年龄的限制，他们对空间图形的认识方法主要是大量的观察、操作，对空间图形形成一定的感性认识. 在初中，课程安排了简单几何体的概念及体积公式，三视图的基本知识，正方体的截面、展开问题，建立了长方体模型概念，已初步具有平面几何基础知识及推理论证能力， 总体上看，初中学生对空间图形的认识主要是直观感知，操作确认，但平面几何的学习又呈现出思辨论证等理性的特征. 总之，高中以前的学生对空间图形的认识主要是对图形的整体形象的直观感知，操作确认，这种基于直观和操作的认知的优点是简便、直观，不需要更多的知识作基础，但不足也是很明显的，即不能对空间图形及其内部的元素关系进行深入的分析，不能产生对空间图形本质的认识. 当学生进入高中以后，教材对空间图形的有了专门的介绍：立体几何.从历次的立体几何教材看，无论教材怎样变化，高中立体几何的最终目标都是要从学生可接受的理论高度来认识空间图形.除了传统的综合几何外，近几年的高中《大纲》或《课程标准》还引入了空间向量，空间向量进入几何，使几何有了更多代数的味道，因此现行的高中几何不完全是欧式几何. 当我们回顾大学的几何学习时，容易发现，大学的几何学习正是沿着几何代数化的方向展开，无论《空间解析几何》、《高等几何》、《微分几何》等无不是通过代数的手段对几何进行研究，通过代数的形式呈现几何结论. （2）几何研究方法的发展
平面几何基础知识教程
平面几何基础知识教程（圆） 一、几个重要定义 外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心 内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心 垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心 凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图） （折四边形） 二、圆内重要定理： 1．四点共圆 定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补 证明：略 判定方法： 1．定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略 特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆3．视角定理：若折四边形ABCD中，∠=∠ ADB ACB，则A，B，C，D四点共圆
证明：如上图，连CD ，AB ，设AC 与BD 交于点P 因为∠=∠ADB ACB ，所以 180=∠=∠∠=∠∠+∠=∠+∠+∠= ∠+∠+∠=ΔCPB ∽ΔDPA 所以有 再注意到因此Δ∽Δ因此由此（ΔABD 的内角和） 因此A ，B，C，D四点共圆PC PB PD PA CPD BPA CPD BPA PCD PBA BCD BAD BCA PCD BAD BDA PBA BAD 特别地，当∠=∠ADB ACB =90时，四边形ABCD 有一外接圆 2．圆幂定理： 圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。 相交弦定理：P 是圆内任一点，过P 作圆的两弦AB ，CD ，则PA PB PC PD ?=? 证明：
初中几何入门教学的困难及突破口
初中几何入门教学的困难及突破口 发表时间：2013-04-17T14:52:57.077Z 来源：《少年智力开发报》2013学年29期供稿作者：王旭 [导读] 几何是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的一门学科。 王旭云南省镇雄县长风中学 几何是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的一门学科。如果任课教师在教学的过程中倘若稍有不注意，就会导致学生的成绩两极分化，以致使学生丧失学习几何的兴趣和信心。相反，如果教师处理得当，不仅会激发学生学习数学的浓厚兴趣，还可以培养学生分析和解决问题的能力。 近期本人在七年级的几何教学中发现，学生刚学习几何，头脑中形的概念特别差，部分学生没有真正接受老师的指导，适应不了初中几何题目对抽象思维能力的要求，但是几何证明、计算题在升学考试中又占有相当高的比重，这就需要学生真正领会与掌握。往往在不同的已知条件、图形的情况下，有截然不同的解法，也需要学生具备敏锐的观察能力和一定的逻辑推理能力。以下是我从学生在课堂、作业以及测试中表现出来的问题进行了分析归纳，发现学生学习几何存在五大困难： （1）读图、识图、画图难。不会将一些“复合”图形进行拆分，看成一些简单图形组合。不会由有关图形联想到相关的数量关系，挖掘隐含条件。 （2）几何语言表述难。几何讲究思维严密性，往往过分专业而严密的叙述要求使学生无法逾越语言表述的障碍，仿佛就像一道难以跨越的“鸿沟”。 （3）几何逻辑推理难。学生对数学定义、定理、公理、判定、性质、法则等理解肤浅，全凭感性认识，思维不严谨，推理不严密，不会灵活运用它来解决或证明一些数学问题，以至于无法形成较好的逻辑推理能力。 （4）几何证明过程难。面对几何证明题无从下手，不知道哪些步骤该写，哪些步骤可以省略，最终导致关键步骤缺失。 （5）联系生活实际难。几何就是为自然生活服务而存在的，在生活中几何无处不在，学生学习时不善于与周围实际生活联系起来展开丰富想象。 针对学生学习几何的以上困难，我认为，教师在几何“入门”教学时应转变教学思路，把严密的逻辑推理和合情推理有机的结合起来，通过猜想、观察、归纳等合情推理，让学生消除对几何学习的恐惧心理。要在数学活动中来学习几何，即“做数学”。还要加强学生探究性学习，结合图形理解运用。读图、识图要遵循由简到繁的规律，先从简单的图形开始，逐步向复杂的图形过渡。要根据已知条件以及与其有关的定理作辅助线或者进行逆向思维，从结论出发，结合已知条件缺什么补什么。教师是学生学习过程中的引导者，至此在教学过程中我主要围绕以下几个方面去开展教学： 一、注重培养读图、识图、画图能力 首先要求学生掌握基本图形的画法，如画直线、射线、线段、角。然后学习几个基本作图，如作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线。观察图形时，指导学生对图形进行拆分，把一个复杂的图形分成几个简单的图形来处理，从而提高识图能力。充分利用教材编排特点：量一量、摆一摆、画一画、折一折、填一填转移学生的注意力，培养学生的动手动脑能力。 二、加强几何语言表达训练 首先，结合图形让学生掌握直线、射线、线段、角的多种表示方法，认真理解数学定义、定理、公理、判定、性质，用简单的符号表达出因果关系，然后用到综合问题中，让学生大胆的猜想并描述出来，教师再加以指导，以此克服学生“怕几何”的心理。 三、重视几何学习的逻辑推理过程 要解决几何的证明问题，就要学会逻辑推理。几何证明过程的描述，是初学几何的学生很难入门的事情。我在教学时着重于方法的指导，重点介绍了“执果索因”的分析方法，让学生从结果入手，逐层剥笋，寻找原因，找到源头，明白已知条件的用处，然后再由条件到结论，把过程写出来。学生在学习中强调“一看、二悟、三对照”，一看，看课本例题，看老师的板书；二悟，通过对例题和教师板书的观察，悟出其中的道理，形成一个清晰的思路；三对照，就是写出解题过程后与他人对照，请老师指点。 四、联系生活实际 数学来源于生活，也服务于生活。我在教学过程中把几何与生活紧密联系起来，如利用在墙上钉木条的事例理解“两点确定一条直线”，利用测量跳远成绩理解“垂线段最短”，利用木工师傅做门框时钉斜条理解“三角形的稳定性”等等。让学生把感性认识与理性认识结合起来，真正做到学以致用。 总之，初中几何入门教学应不拘一格，每位教师可根据自己的实际情况和学生的实际情况，制定切实可行的教学方案，以帮助和引导学生转变旧的思维方式为主线，以培养推理论证能力为重点，以提高教育教学质量为目的，加强初中几何入门的教学工作。
论初中平面几何的入门教学
论初中平面几何的入门教学 从学习代数转到学习平面几何，产生了三个变化：学习的内容从以“数”为主变为以“形”为主；培养的能力从以“运算”为主变为以“推理”为主；使用的语言从以“代数语言”为主变为以“几何语言”为主。 因此学生在开始学习平面几何时，往往会感到困难。表现在对图形不太熟悉，语言不太习惯，概念不易理解，推理论证更是不易掌握。为了使学生能学好平面几何，抓好平面几何的入门教学是非常重要的。解决好以下三个问题是搞好平面几何的入门教学的关键。 第一．激发学生学习平面几何的兴趣，是搞好入门教学的前提。 一开始学习平面几何就要让学生对它产生浓厚的兴趣，上好引言课是非常 重要的，要用生动的 语言介绍平面几何 发展的历史，选择一 些有趣的几何问题 让学生思考和操作， 举一些容易产生视 错觉的例子让学生 观察，发现问题（如上图）。还可以介绍平面几何在生产和
生活实际中的应用，以提高学生学好平面几何积极性和自觉性。 在学习平面几何知识时注意联系日常生活实际，结合几何图形举一些生活有趣味的例子，让学生观察、思考和动手操作，还可以设计一些教具和学具进行演示和实验，帮助学生理解所学的知识，选择一些内容启发学生自己猜想和探索，这些都有助于提高学生学习的兴趣，为搞好入门教学奠定基础。 第二．重视几何概念教学是搞好入门教学的关键。 平面几何入门教学的特点之一，是概念多，一下子出来很多概念，学生不容易理解和掌握，因此抓好概念教学对于进一步学习平面几何是至关重要的。要注意以下几点： ⒈区别情况，分别对待 ⑴不加定义的原始概念，如点、直线、连结、延长等，只要求学生正确理解，准确地运用于画图或表述。 ⑵虽有定义但涉及内容较少的概念，如端点、角的边和顶点等，这些概念比较简单，不是教学的重点。 ⑶一些基本的、常用的概念，既有定义，还有判定定理和性质，如平行线、等腰三角形等，这些概念比较重要，对以后的学习影响较大，必须要求学生在理解的基础上，较熟练地掌握，并能正确运用。 ⒉从实例引入，在丰富感知的基础上，抽象出概念的本
立体几何初步知识点(很详细的)
立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用： 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。 符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理2的作用： ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
运用《几何画板》开发数学校本课程
运用《几何画板》开发数学校本课程 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2013年市现代教育技术参评论文 运用《几何画板》开发数学校本课程 【摘要】《几何画板》为数学课堂教学和学生学习数学提供了非常有效的工具。学生学习几何画板，能让学生更多的动手机会，有助于改变传统教学模式和学习模式，从而激发学生学习数学兴趣，消除学生的“数学焦虑”，培养学生的创新意识和自主探究能力。本人对数学校本课程《几何画板》的开发与实践提出一些设想，并做了初步的尝试。 【关键词】数学实验，几何画板，校本课程 一、背景分析 新课程改革提出了课程的三级管理机制，课程的三级管理包括国家课程、地方课程和校本课程。校本课程的出现是课程开发权利的下放，这意味着数学教师成为了课程的开发者，这对学校和教师提出了更高的要求，在理论和实践上都存在着许多需要我们探索和研究的问题。 著名数学教育家波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。”大数学家欧拉说：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。《数学课程标准》指出：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”在数学教学中，不仅要利用信息技术创设恰当的问题情境，而且要引导学生通过多媒体实验手段，从直观、想象到探索、发现、猜想，然后给出验证及理论证明，从而使学生亲历数学建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方式、方法，引导学生创造性地解决问题。信息与数学实验教学的整合是二者在教学目标、教学内容、教学方法、教学手段上的深层次融合。因而，在现代教育技术支持下，改革传统的数学教学模式，实施数学实验教学，正成为数学教改实验的一个新动向，越来越受到教育界同仁的关注。
高中数学必修2立体几何教材分析报告和教学建议
高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议 立体几何内容的设计： 1.定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能力、逻辑推理能力等。强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。 2.内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球→点、线、面→侧面积、表面积与体积的计算（如图1），而原教材是点、线、面→柱、锥、台、球，即从局部到整体（如图2），突出直观感知、操作确认，并结合简单的推理发现、论证一些几何性质． 3.内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位.在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修2中用向量处理.教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，不是不要证明，而是完善过程，既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。 4.教学内容增减： 删除（或在选修课内体现的）： （1）异面直线所成的角的计算。（2）三垂线定理及其逆定理。（3）多面体及欧拉公式.（4）原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）． 增加：（7）简单空间图形的三视图．专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力．（8）台体的表面积和体积等内容．立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端． 立体几何初步是初等几何教育重要内容之一，它是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通过对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力． 一、考纲要求： （1）空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （2）点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.
高中数学必修2《立体几何初步》教材分析和教学建议
高中数学必修2《立体几何初步》教材分析和教学建议 2016/10/23 一、立体几何在近几年高考中分布 近几年客观题重点在于三视图面积或体积计算及简单判断，一般有2小题，难度中等稍多（如2016等出在第6题），但有时也比较靠后（如2014出在第12题），解答题位居第2,3题的位置，包含推理证明及计算，证明主要是平行和垂直关系，利用平行证明共面（2008四川）、证异面直线（2009辽宁）比较少，全国1卷近几年还没出过，理科计算以求角居多，文科计算比较多考体积或点面距离。 注意，现在文科也考求角了，今年第11题 2016：6三视图，体积面积，11，异面直线所成角，（理）18证面面垂直，计算二面角，五面体，（文）18证中点，体积，三棱锥 2015：6体积，11三视图，面积，（理）18证面面垂直，计算异面直线所成角，线面（文）18证面面垂直，计算体积，四棱锥 2014：12三视图，棱长，（理）19证相等，计算二面角，三棱柱（文）19证线线垂直，计算棱柱高，三棱柱 2013：6体积，相接，8三视图，体积，（理）18证线线垂直，计算线面角，三棱柱（文）19证线线垂直，计算体积，三棱柱 2012：7三视图，体积，11与球相接，体积，（理）19证线线垂直，计算二面角，三棱柱（文）19证面面垂直，计算体积，三棱柱 2011：6三视图，判断，15与球相接，体积，（理）18证线线垂直，计算二面角，四棱锥（文）18证线线垂直，计算棱锥高，四棱锥 2010：10与球相接，面积，14三视图，判断，（理）18证线线垂直，计算线面角，四棱锥（文）18证面面垂直，计算体积，四棱锥 二、对教材重点内容的处理建议 1.对三视图的教学建议 三视图是年年都考的内容，由三视图还原直观图是解题的第一步，也是很关键的一步，有些年份容易有些年份难，这部分内容初中也学过一下，不要以为学生都会，掉以轻心。 三视图还原直观图，可以考虑以一些简单的几何体为原形，从三个方向切割的方法确定，三个图形从简到繁构图。如 （2016广州二测） (10)如图，网格纸上的小正方形的边长为1 体的体积是 (A) 4 + 6π (B) 8 + 6π (C) 4 + 12π (D) 8 + 12π 【答案】B 我们按正视图→侧视图→
几何入门
解决几何入门难，应从哪些方面入手？ 正确的识图和画图，是几何入门教学的重要组成部分，由于学生过去没有认识点与线、线与线之间的数量关系和位置关系，更没有从距离和角度这两个方面来研究图形的大小、形状和位置、因此，教学中要有步骤的进行识图和画图的训练。 一、重视实践操作，让学生在观察、操作、思考、交流等活动中发展空间观念。 与其他数学内容相比，几何内容的教学更容易激发学生的学习兴趣与良好的情感体验，基于这样认识，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流机会，引导他们在“做数学”活动中，在自主探索过程中获得知识与技能，掌握基本数学思想方法，设置“观察、思考、操作”等栏目，以及数学活动，通过探索一些常见几何题展开图，观察思考生活中的现象，鼓励学生敢于动手操作、勤于观察思考、善于合作交流。比如让他们通过生活中的电冰箱、水泥管、棕子、乒乓球等，体会到它们的几何特征。 二、充分利用实物原型进行教学，重视学生基本识图、作图能力的训练。 充分利用现实世界大量丰富的物体让学生通过观察，加强对图形的直观认识和感受，从中发现几何图形归纳常见几何体的基本特征，以及立体图形与平面图形的联系。比如同学们常见的易
拉罐，剪开侧面是一个长方形，上下底是两个圆形。 三、重视几何语言的训练和培养。 首先引入大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形。其后，重视图形语言的作用，在处理用文字与符号描述研究对象时，都是紧密联系图形进行的，使得抽象与直观得到有机结合。例如，线段的比较、线段的和与差、线段的中点、角的比较、角的平分线等，都是先给出直观图形，再联系数量，给出文字描述，最后再给出符号表示，使几种语言优势互补，以期收到更好的效果。 四、注重概念间的联系，通过对比加强概念教学。 对一些相近的概念，如直线、射线、线段，联接两点的线段与两点间的距离，互补与互余等，可以利用对比方法帮助学生发现它们的本质区别，加深对它们的认识和理解。如电筒发出的光是射线，人的身段是线段。 五、切实把握教学要求。 教学时要强调在实际背景中理解图形的概念与性质，经历探索图形性质的过程。例如“多彩的几何图形”中体、面、线、点以及多面体、旋转体等，都是要求学生装在实际背景中认识、理解这些概念的。 六、重视现代信息技术的应用。 我们可以利用信息技术工具，展现丰富多彩的图形世界；通过图形的动态演示，认识立体图形与平面图形的关系，帮助建立空间观念。
《几何画板》在高中数学教学中的应用
《几何画板》在高中数学教学中的应用 徐秋慧对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？作为一名高中数学教师笔者就此谈几点体会： 一、《几何画板》在高中代数教学中的应用 “函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”函数的两种表达方式——解析式和图象——之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有
关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。 具体说来，可以用《几何画板》根据函数 一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同 一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和 y=x1/2的图象，比较各图象的形状和位置，归纳幂函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，传统教学只能将A、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段b、T的长度和A点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点A则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。 《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不等式“a+b≥2ab（a、b∈R+）等；再比如，讲解数列的极限的概念时，作出数列a n=10-n的图形（即作出一个由离散点组成的函数图象），观察曲线的变化趋势，并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。 二、《几何画板》在立体几何教学中的应用 立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所
浅谈初中几何入门教学
浅谈初中几何入门教学 学生学习几何学得好与否,与教师对几何入门的教学有着最直接的联系。我们教师在教学的过程中倘若稍有不注意，就会导致学生的成绩两极分化，以致使学生丧失学习几何的兴趣和信心。相反，如果教师处理得当，不仅会引起学生学习数学的浓厚兴趣，还可以培养学生解决 和分析问题的能力。适应不了初中几何题目对抽象思维能力的要求，但是几何证明、计算题 在升学考试中又占有相当高的比重，这就需要学生真正领会与掌握。往往在不同的已知条件、图形的情况下，有截然不同的解法，也需要学生具备敏锐的观察能力和一定的逻辑推理能力。以下是我从学生在课堂、作业以及测试中表现出来的问题进行了分析归纳，发现学生学习几 何存在的几个困难之处： 1.逻辑推理过程有一定的难度。学生对数学定义、定理、公理、判定、性质、法则等理解肤浅，全凭感性认识，思维不严谨，推理不严密，不会灵活运用它来解决或证明一些数学问题，以至于无法形成较好的逻辑推理能力。 2.语言表述方面的困难。几何讲究思维严密性，往往过分专业而严密的叙述要求使学生无法 逾越语言表述的障碍，仿佛就像一座无法逾越的“城墙”。 3.证明过程及分析条理的困难。面对几何证明题无从下手，不知道哪些步骤该写，哪些步骤 可以省略，最终导致关键步骤缺失。 4.解图能力的困难。针对于一些复杂的图形看成是由一些简单图形组合而来的。不会由有关 图形联想到相关的数量关系，挖掘隐含条件。 5.结合实际生活的能力。几何来源于生活，在生活中几何无处不在，学生学习时不善于与周 围实际生活联系起来展开丰富想象。 教师对入门教学的成败,对学生学习几何知识,起着特殊作用。因此几何入门的教学在几何教 学中占有很重要的地位,值得我们教师认真去探索。针对学生学习几何的以上困难，我认为， 教师在几何“入门”教学时应转变教学思路，把严密的逻辑推理和合情推理有机的结合起来， 通过猜想、观察、归纳等合情推理，让学生消除对几何学习的恐惧心理。要在数学活动中来 学习几何，即“做数学”。还要加强学生探究性学习，结合图形理解运用。读图、识图要遵循 由简到繁的规律，先从简单的图形开始，逐步向复杂的图形过渡。作辅助线要根据已知条件 以及与其有关的定理作辅助线或者进行逆向思维，从结论出发，结合已知条件缺什么补什么。教师是学生学习过程中的引导者，至此在教学过程中我认为要始终坚持做到以下几点： 一、教师本身熟透教学目标和教学重点。 如果不精通教材,对教学目的要求把握不好,那么,在教学过程出现盲目性,这样,教学效果肯定不理想,更谈不上达到什么教学目的,所以,教者应该知道每一部分内容应该教给学生什么知识。学生对这部分内容的知识应该掌握到什么程度才算是达到教学目的。如在讲同位角、内 错角、同旁内角的概念时，可以从这些角产生的过程入手，根据‘三线八角’并对其具有的特 殊位置关系的角加以命名。在教学中不必给出严格的定义，重在会认。 二、注意培养学生学习几何的兴趣 初中数学从研究数式到研究图形，从数式计算到逻辑推理，是一个大的飞跃。所以初学平面 几何的学生会遇到各种障碍。激发学生学习几何的兴趣，是几何入门教学的一个重要环节。 为此在刚开始几何教学中，我常常拿一些实物教具，如：三角板、圆规等进行线、角教学， 消除学生对几何的陌生感、恐惧感，然后精心设计一些实例，说明几何知识及图形在实际生 活中的应用。如：飞机螺旋桨的外端连接是什么？为什么利用勾股定理可以计算一些边长等等？。这样充分利用几何本身的趣味性和实用性，改变几何教学枯燥无味的现象，形成积极 的学习态度，形成良好的学习循环，同时也培养了学生的直觉思维能力。
高中数学必修立体几何教材分析和教学建议
高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议立体几何内容的设计： 1.定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能力、逻辑推理能力等。强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。 2.内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球→ 点、线、面→ 侧面积、表面积与体积的计算（如图1），而原教材是点、线、面→ 柱、锥、台、球，即从局部到整体（如图2），突出直观感知、操作确认，并结合简单的推理发现、论证一些几何性质． 3.内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位.在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修2中用向量处理.教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，不是不要证明，而是完善过程，既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。 4.教学内容增减： 删除（或在选修课内体现的）： （1）异面直线所成的角的计算。（2）三垂线定理及其逆定理。（3）多面体及欧拉公式.（4）原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）． 增加：（7）简单空间图形的三视图．专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力．（8）台体的表面积和体积等内容．立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端． 立体几何初步是初等几何教育重要内容之一，它是在初中平面几何学习的基础上开设 的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通 过对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证，使学生的认识水平从平面图 形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力． 一、考纲要求： （1）空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （2）点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
浅谈初中几何的入门教学
浅谈初中几何的入门教学 初中学生刚接触到几何时，都觉得很难，如何将他们引入门，使他们产生兴趣，养成良好的逻辑思维能力，这里教师的教学方法将起着关键作用。实践证明，要全面提高中学数学几何教学的质量，关键取决于教师的业务素质与教学水平。初中学生数学学习水平有明显的两级分化，一般出现在几何中。这种分化的原因不仅是由学生的智力因素造成的，还有是教师教学的方法问题。因此，研究几何教学应多引导学生的思维能力对全面提高中学数学几何教学质量有着十分重要的意义。怎样抓好几何入门教学呢？本人结合多年的中学数学几何教学的经验，谈几点看法： 一、充分重视几何的教学作用 中学数学教学大纲明确指出：初中数学教学目的是使学生掌握几何的基础知识和基本技能，进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念。大纲还特别指出：培养学生的逻辑思维能力是培养能力的核心。由此可见，培养学生的逻辑思维能力在整个中学数学教学中占有突出地位。 所谓数学的逻辑思维能力，就是根据正确思维规律和形式，对数学对象的属性进行分析、综合、抽象、概括、推理证明的能力。逻辑思维能力是几何基本能力的核心。教学中，尽管可以通过数学各科和其它学科来发展学生的逻辑思维能力，但几何对此所起的作用是独到的。因为几何知识必须按一定的逻辑顺序编排，即应用前面学过的图形知识，通过逻辑推理得到有关的新图形及性质。这种逻辑关系的本身就是发展学生逻辑思维能力的极好教材。只有认清并高度重视几何的这种独特作用，搞清传授知识与发展能力的关系，才能把培养学生的逻辑思维能力更好地落实在几何教学中。 二、精心培养学生的学习兴趣 兴趣往往是推动人们去探求知识、理解事物的积极力量。古今中外的学者之所以能走向科学的殿堂，正是由于他们对科学产生了浓厚的兴趣。罗素曾说过，他对科学的兴趣来自数学，而对数学的兴趣又来自欧几里德几何。这说明欧氏几何中蕴含着激发兴趣启迪思维的极有利因素．因此，在几何教学中，要注意以下几点： 1、高度重视几何导言课的教学，精心设计并以极大的热情讲好导言课，使学生产生一种要学好几何的良好愿望。这对培养学生学习兴趣起奠基作用。 2、要善于挖掘教材的实质，联系学生感兴趣的生活原型，使抽象的几何知识变得直观具体形象，例如学生们爱玩的智力游戏一个桌子四个角砍掉一个还有多