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dd05-春-08s-p12共圆点问题

dd05-春-08s-p12共圆点问题
dd05-春-08s-p12共圆点问题

共圆点问题

同在一个圆上的许多点称为共圆点,或者说这些点共圆.证明这些点共圆常常利用以下一些方法思考:

(1)要证明若干点共圆,先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径,然后证明其他点对这条线段的视角均为直角.

(2)要证明四点共圆,可证明以这点为顶点的四边形的对角互补,或证某两点视另两点所连线段的视角相等.

(3)如果两线段AB,CD相交于E点,且AE·EB=CE·ED,则A,B,C,D四点共圆.

(4)若相交直线PA,PB上各有一点C,D,且PA·PC=PB·PD,则A,B,C,D四点共圆.

(5)若四边形一个外角等于其内对角,则四边形的四顶点共圆.

(6)要证明若干点共圆,先证其中四点共圆,然后再证其余点都在此圆上.

共圆点问题不但是几何中的重要问题,而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介.

例题讲解

例1 设⊙O1,⊙O2,⊙O3两两外切,Y是⊙O1,⊙O2的切点,R,S分别是⊙O1,⊙O2与⊙O3的切点,连心线O1O2交⊙O1于P,交⊙O2于Q.求证:P,Q,R,S四点共圆.

(图3-55)。

例2 设△ADE内接于圆O,弦BC分别交AD,AE边于F,G,且AB AC

求证:F,D,E,G四点共圆。

例3 在锐角△ABC中,BD,CE是它的两条高线,分别过B,C引直线DE的垂线,BF⊥DE于F,CG⊥DE于G,求证:EF=DG(图3-56).

例4 在梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,K,M分别是腰AD,CB上的点,∠DAM=∠CBK(图3-57).求证:∠DMA=∠CKB.

例5 设O为圆的弦MN的中点,过O作弦AB,CD,连AD,BC交MN于F,E.求证:EO=OF(图3-58).

例6 在过圆心的直线上取P,Q两点,使PO=OQ,过P作割线交圆于C,D,过Q作割线交圆于A,B,连AD,BC,分别交PQ于F,E,则FO=OE(图3-59).

例7 设四条直线相交于A,B,C,D,E,F六点,求证:△BCE,△DCF,△ADE,△ABF 的外接圆共点(图3—60).

例8 设I为△ABC之内心,过B作圆切CI于I,过C作圆切BI于I.求证:此二圆与圆ABC共点(图3-61).

课堂练习

1.设梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别在腰AD和BC上,若A,B,F,E四点共圆,则C,D,E,F也必四点共圆.

2.四边形EFGH的顶点顺次在四边形ABCD的各边上,并且AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH.求证:E,F,G,H四点共圆.

3.如图3-62.在平行四边形ABCD中,取一点P,使∠1=∠2,求证:∠3=∠4.(提示:过D引AP的平行线,过C引BP的平行线,两直线交于P′,连PP′.)

4.如图3-63.CE为⊙O的直径,以E为圆心作一圆,⊙O的弦AB所在的直线与⊙E 相切于D,求证:

5.设四边形的两条对角线互相垂直,从对角线交点向各边作垂线,求证:这四条垂线的垂足在同一个圆周上(图3-64).

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