2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的

1． 满足(z i i i z

+=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122

i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，学科网当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则

A ．123p p p =<

B ．231p p p =<

C ．132p p p =<

D ．123p p p ==

3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++ (1)(1)f g +则＝

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

4．5

1

(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是zxxk A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20

5．已知命题22

:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题

①p q ∧②p q ∨③()p q ∧?④()p q ?∨中，真命题是

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于

A ．[6,2]--

B ．[5,1]--

C ．[4,5]-

D ．[3,6]-

7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为

A ．2p q +

B ．(1)(1)12

p q ++- C D 1 9．已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx π?=-=?且

则函数()f x 的图象的一条对称轴是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6

x π= 10．已知函数zxxk 221()(0)()ln()2

x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是

A ．(

-∞ B ．(-∞ C ．( D ．( 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．

（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，学科网如果全做，则按前两题记分）

11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα

=+??=+?为参数）交于A B ，两点，则AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是

12．如图3，已知,AB BC 是O 的两条弦，,AO BC AB BC ⊥=则O 的半径等于

13．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33

x x -

<<，则a = （二）必做题（14－16题） 14．若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤??+≤??≥?

，且2z x y =+的最小值为－6，则k =

15．如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,b C F a

=两点，则 16．在平面直角坐标系中，O

为原点，(1,0),(3,0),A B C -动点D 满足

||1,CD OA OB OD =++ 则｜｜

的最大值是 三、解答题：本大题共6小题，共75分．学科网解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分） 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335

和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立．

（I ） 求至少有一种新产品研发成功的概率；

（II ） 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，

预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

18． （本小题满分12分）

如图5，在平面四边形ABCD 中，12AD CD AC ＝，＝， （I ）

求cos CAD ∠的值；

（II ） 若cos 146

BAD CBA ∠=-∠=求zxxk BC 的长．

19． （本小题满分12分）

如图6，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，

11111,,AC BD O AC B D O == 四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．

（I ）

证明：1;O O ABCD ⊥底面 （II ） 若1160,CBA C OB D ∠=-- 求二面角的余弦值．

20． （本小题满分13分）

已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈

（I ）

若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （II ） 若12

p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }学科网是递减数列，zxxk 求数列{n a }的通项公式．

21． （本小题满分13分）

如图7，O 为坐标原点，椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22

222:1x y C a b

-=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知

122

e e =且24|| 1.F F = （I ）

求12,C C 的方程； （II ） 过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦

AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．

22． （本小题满分13分） 已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数 （I ）

讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性； （II ） 若()f x 存在学科网两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的zxxk 取

值范围．