数学运算之牛吃草问题专题

数学运算之牛吃草问题专题

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式,分别是:

(1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;

(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。

核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)×天数

基本不变量:单位面积牧场上原有草量不变,一般用来列方程

每头牛每天吃草量不变,一般设为“1”

单位面积牧场上每天新增草量不变,一般设为“x”

【例1】一片牧草,可供16头牛吃20天,也可以供20头牛吃12天,那么25头牛几天可以吃完?

解法1:原的生长速度=(16×20-20×12)÷(20-12)=10牛/天

原有草量=16×20-10×20=120牛

吃的天数=120÷(25-10)=8天

解法2:设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天,这片草场可供25头牛吃n天。

根据核心公式:(16-x)×20=(20-x)×12=(25-x)×n

(16-x)×20=(20-x)×12,得x=10,代入得n=8

【例2】有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供多少头牛吃4天?

A.20

B.25

C.30

D.35

【答案】C

【解析】设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天,这片草场可供n头牛吃4天

根据核心公式:(10-x)×20=(15-x)×10=(n-x)×4

(10-x)×20=(15-x)×10,得x=5,代入得n=30

【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃尽,17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,需要多少头牛?

A.50

B.46

C.38

D.35

【答案】D

【解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天,每公亩草场原有牧草量为y,24天内吃尽40公亩牧场的草,需要n头牛

根据核心公式:33y=(22-33x)×54,

得y=(2-3x)×18=36-54x

28y=(17-28x)×84,得y=(17-28x)×3=51-84x

解方程,得x=1/2,y=9,

因此,40×9=(n-20)×24,得n=35,选择D

【注释】这里面牧场的面积发生变化,所以每天长出的草量不再是常量。

【例4】由于天气逐渐冷起来,牧场可上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或供15头牛吃6天。照此计算,可供多少头牛吃10天?

【解析】设该牧场每天减草量恰可供X头牛吃一天,这片牧场可攻N头牛吃10天。

根据核心公式:(20+X)*5=(15+X)*6=(N+X)*10

得X=10,N=5.

【例5】一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管,等水池存了一些水后,再打开出水管。如果同时打开2个出水管,那么8分钟后水池空;如果同时打开3个出水管,那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟?

【解析】假设晚开N分钟,则(2-X)*8=(3-X)*5=X*N

求得X=1/3 N=40分钟

【例6】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款,每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻,超市如果只开设一个收银台,付款开始4小时就没有顾客排除了,问如果当时开设两个收银台,则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】

A.2小时

B.1.8小时

C.1.6小时

D.0.8小时

【答案】D

【解析】设共需n小时就无人排队了,(80-60)×4=(80×2-60)×x,解得x=0.8 【例7】某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟?

【解析】等候检票的旅客人数在变化,“旅客”相当于“草”,“检票口”相当于“牛”,可以用牛吃草问题的解法求解。

(4—X)*30=(5-X)*20=(7-X)*n n=12

【例8】有三块草地,面积分别为5,6和8公顷。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。问:第三块草地可供19头牛吃多少天?

【解析】假设每公顷草地恰可供X头牛吃1天,每公顷草地原有的草量为Y,8公顷草地可供19头牛吃N天

5Y=(11-5X)*10

6Y=(12-6X)*14

得:X=1.5 Y=7

8Y=(19-8*1.5)*N N=8天

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