当前位置：文档库 › 2019年高三数学(理科)一轮复习课时训练北师大版74不等式的证明Word版含解析

2019年高三数学(理科)一轮复习课时训练北师大版74不等式的证明Word版含解析

课时分层训练(七十四) 不等式的证明

(对应学生用书第349页)

1．设a ，b 是非负实数，求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．

[证明] 因为a 2＋b 2－ab (a ＋b )

＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab )

＝a a (a －b )＋b b (b －a )

＝(a －b )(a a －b b )

＝????a 12－b 12????a 32－b 32.

因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有

a 12－

b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12) (a 32－b 32)≥0，

所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．

2．设不等式|2x －1|<1的解集为M .

(1)求集合M ；

(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小.

【导学号：79140400】

[解] (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，

解得0

(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0

所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.

故ab ＋1>a ＋b .

3．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|.

(1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ；

(2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ，证明：a ＋b ≥2ab .

[解] (1)∵f (x )＝|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，

当且仅当0≤x ≤1时取等号，

∴f (x )＝|x |＋|x －1|的最小值为1.

要使f (x )≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤1，

∴0≤m ≤2，则m 的最大值M ＝2.

(2)证明：由(1)知，a 2＋b 2＝2，

由a 2＋b 2≥2ab ，知ab ≤1.①

又a ＋b ≥2ab ，则(a ＋b )ab ≥2ab .

由①知，ab ≤1.

故a ＋b ≥2ab .

4．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值．

[解] 由柯西不等式得

(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2， ∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2.

∵2a ＋2b ＋c ＝8，

∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，

当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，

∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.

5．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]．

(1)求k 的值；

(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1.

求证：a ＋2b ＋3c ≥9.

[解] (1)因为f (x )＝k －|x －3|，

所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，

由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ]．

因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]．

因此k ＝1.

(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，因为a ，b ，c 为正实数．

所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )? ??

??1a ＋12b ＋13c ＝3＋? ????a 2b ＋2b a ＋? ????a 3c ＋3c a ＋? ??

??2b 3c ＋3c 2b ≥3＋2a 2b ·2b

6．(2018·福州质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|.

(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；

(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b ).

【导学号：79140401】

[解] (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1；

②当－1＜x ＜－12时，原不等式可化为x ＋1＜－2x －2，解得x ＜－1，此时

原不等式无解；

③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1.

综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．

(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，

所以，要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，

即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，

即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，

即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.

因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．