问题一:)sin(?ω+=x A y 图像性质
)sin(?ω+=x A y
(1)周期w
k T π2=
,最小正周期|2|
w
T π= (2)对称轴ππ?
π
πk t Z k w k x +=?∈-+
=
2)(,2
(3)对称中心)0,()0,(π?πk w k ?-
(4)零点(同上)
(5)最值变量:最大值π
π
?
π
πk t Z k w
k x 22
)(,2
2+=
?∈-+
=
最小值ππ?ππk t Z k w k x 22
3)(,232+=?∈-+
=
(6)单调区间:单调递增)22
,
22
(ππ
ππ
k k t ++-
∈
单调递减)22
3,22(ππππk k t ++∈ (7)图像变形:注意先伸缩后平移的平移量问题 (8)奇函数2
2π
??
=?k
(9)偶函数2)12(π
??+=?k
例题: 2008北京理
已知函数2
π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω?
?
=++ ??
?
(0ω>)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03
??????
,上的取值范围.
解:(Ⅰ)1cos 23()sin 222x f x x ωω-=
+311sin 2cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω?
?=-+ ??
?.
因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以
2π
π2ω
=,解得1ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得π1()sin 262
f x x ??=-
+ ??
?. 因为2π03
x ≤≤, 所以ππ7π2666
x --≤≤,
所以1πsin 2126x ??-
- ??
?≤≤, 因此π130sin 2622x ?
?-+ ??
?≤≤,即()f x 的取值范围为302??
????
,. 2011北京理
已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+-.(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在区间[,]64
ππ
-
上的最大值和最小值。 解:(1)()2sin(2)6
f x x π
=+,函数()f x 的最小正周期为π;
(2)226
6
3x π
π
π-≤+≤
,当262
x ππ+=即6x π
=时,函数()f x 取得最大值2;
当26
6
x π
π
+
=-
即6
x π
=-
时,函数()f x 取得最小值1-;
同学们请注意三角函数所以简单,主要原因在于题目套路实在是明显,请大家
查阅课上笔记,08和11年考题问题基本一致,函数形式差异在于11年将乘积和平方提取了公因式后用和差公式收起来了。
小结:请看考试是如何考察公式化简的
以函数)3
2sin(2π
+=x y 为例,这是标准形式
用两角和打开,得x x x x y 2cos 32sin )2
3
2cos 212(sin 2+=?
+?=,这是正余弦
角度相同次幂为1,系数比1:3形式(名字有点长,还有系数比1:1) 再利用二倍角公式打开,
3cos 32cos sin 22-+=x x x y ,这是乘积配平方形式,考试时这是常见的一种
出题形式,只需倒回)sin(?ω+=x A y 标准形式即可
如果继续变形,将cosx 提出,利用和差公式收回,
3)3
sin(cos 43)cos 3(sin cos 2-+=-+=π
x x x x x y ,就是
2011年的考查
形式,基本变形就是这样,这时我们注意要将)3
sin(π
+x 打开,写回乘
积平方形式,再倒回去。
(08安徽))4
sin()4sin(2)32cos(π
ππ+-+-=x x x y ,求T 和取最大值最小值时候
x 的集合
解:(1)()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
13cos 2sin 2(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =
++-+ 2213cos 2sin 2sin cos 22x x x x =
++- 13cos 2sin 2cos 222
x x x =
+- s i n (2)
6
x π
=- 2T 2
π
π=
=周期∴ 由2(),()6
2
23
k x k k Z x k Z π
π
ππ
π-
=+
∈=
+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+
∈
(2)5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈- 因为()sin(2)6
f x x π
=-
在区间[,]123
ππ-
上单调递增,在区间[,]32ππ
上单调
递减,
所以 当3
x π
=
时,()f x 取最大值 1
又 31()()12
222f f π
π-
=-
<= ,当12
x π
=-时,()f x 取最小值32-
所以 函数 ()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域为3
[,1]2-
问题二:二次复合问题
此类问题常考求最值,属于函数求值域范畴,注意换元思想转化二次函数 (06全国),ABC ?求角A 为何值时,2
cos
2cos C
B A ++取最大值? 解: 由A+B+C=π, 得B+
C 2 = π2 -A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A
2 .
cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1-2sin 2A 2 + 2sin A
2
=-2(sin A 2 - 12)2+ 3
2
当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3
2
(2010北京卷)已知函数2
()2cos 2sin 4cos .f x x x x =+- (Ⅰ)求()3
f π
的值;
[来源学科网ZXXK]
(Ⅱ)求()f x 的最大值和最小值。
问题三:解斜三角形问题
解斜三角形整体可以分4类:
(1)已知3边入手,自然使用余弦定理求角
(2)已知2边一对角入手,如果求角,由于有对角所以可以使用正弦定理,如果求边使用余弦定理可以列方程解边(有可能会多产生2个解)
(3)已知2边一夹角入手,此时不可以使用正弦定理了,只能余弦定理求第三边,如果题目求角,那就求出第三边后再去利用正弦定理求角
(4)已知1边2角入手,如果求角利用内角和180°进行诱导公式,如果求边则需再使用正弦定理
(2010北京理数)在△ABC 中,若b = 1, c =3,23
C π
∠=,则a = 。 直接使用余弦定理,
例:在△ABC 中,若b = 1, c =3,6
π
=∠B ,求∠A
(2011北京理)在△ABC 中,若b=5,,2tan ,4
==∠A B π
求a = 。
两角一边问题,求边,正弦定理
(2010陕西文数)
在△ABC 中,已知B=45°,D 是BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.
解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos ∠2222AD DC AC AD DC +- =100361961
21062
+-=-??,
∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°[来源:Z*xx*https://www.wendangku.net/doc/0815644605.html,]
在△ABD 中,AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°,
由正弦定理得sin sin AB AD
ADB B
=
∠, ∴AB =
3
10sin 10sin 60256sin sin 452
2
AD ADB B ?∠?
==
=?
(2010全国卷2理数)
ABC ?中,D 为边BC 上的一点,33BD =,5sin 13B =
,3
cos 5
ADC ∠=,求AD .
问题四:边角关系式问题
所谓边角关系问题,就是题目已知包含边角等式,和解斜三角形的区别在于,
解斜三角形是边角条件,而边角关系式问题是式子,如果都是角关系式那就属于三角公式的恒等变形了,而这类问题其实本质就是三角恒等变形加上正余弦定理的恒等变形,其中化简的统一思想也很重要,一般情况会往角或者边其中之一先去统一化简,而余弦定理的功能主要是将角化为三条边,而正弦定理的功能非常强大可以将对角正弦转化为对边,还可以将对边转化为对角正弦
例:C A B C A sin sin sin sin sin 222+=+,求∠B
同时请大家注意余弦定理的形式,补充一个:在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积,满足2
223()4
S a b c =
+-。,求角C 的大小;
例:(08 年全国理)三角形ABC ,c A b B a 53cos cos =-,求B
A
tan tan 值
(2009全国II )设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,
3
cos()cos 2
A C
B -+=,2b ac =,求B 。
(2009全国I )在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知2
2
2a c b -=,且sin cos 3cos sin ,A C A C =求b
例(2011石景山一模)在ABC ?中,a b c 、、分别为角A B C 、、的对边,且
2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++
(Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ)若sin sin 1B C +=,试判断ABC ?的形状.
(Ⅰ)由正弦定理C c
B b A a sin sin sin =
=及已知,得
c b c b c b a )2()2(22+++=
整理,得
bc c b a ++=222
有余弦定理bc
a c
b A 2cos 2
22-+=,得
2
1
cos -=A