评注：在涉及动点到直线异侧两定点距离差的绝对值最大问题往往运用轴对称的知识，转化为直线同侧，然后根据三角形两边之差小于第三边的原理加以解决，在不能构成三角形时恰好取等号。
【知识应用】求4)2(122+-++=x x y 的最小值。
评析：这是一个根式函数，如何求最值呢？
利用函数所表示的几何意义，借助图像的直观性来求函数的最值，是一种常见的方法。如何将此定函数转化为我们熟悉的模型呢？
利用函数的几何意义求最值，通常转化为以下两种类型：
（1）直线的斜率：x y 可看做点（x,y ）和点（0,0）连线的斜率，a
x b y --可看做点（x,y ）和点（a,b ）连线的斜率;
（2）两点间的距离：2121)()(y y x x -+-可看做点（x,y ）和（x 1,y 1）两点间的
距离.
而4)2(122+-++=x x y 的几何意义是动点P （x,0）到A （0,1）与B （2，2）的距离之和。此时A 、B 分别在定直线x 轴的同侧，故设A ′（0,－1）是A 点关于x 轴的对称点，所以PA+PB=PA ′+PB ≥A ′B(当且仅当A ′、P 、B 1.
如若你转化函数的几何意义是动点P （x,0）到A （0,1）与）的距离之和。则这时的A 、B 恰好在x 轴的异侧，直接连接即可。
以上两题涉及的定直线我们均是选用的x 轴，如若是一般直线，则还需在求对称点上稍
做文章。其余的思路是一模一样。同学们，对直线上的动点P ，直线外定点A 、B ，求PA+PB 最小和|PA-PB|最大问题，你会了吗？
直线x y l :上的动点P 到两个定点A(2,3),B(3,5)的距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是什么？
用数形结合的思想画图可知当P 点与两定点在一条直线上时，差的绝对值方有最大值.，用两点式可求出该直线方程然后与Y=X 联立可得P 为(1，1)
苏教版九年级上册数学[等可能条件下的概率--知识点整理及重点题型梳理]
苏教版九年级上册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 等可能条件下的概率--知识讲解 【学习目标】 1.知道试验的结果具有等可能性的含义； 2.会求等可能条件下的概率； 3.能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率. 【要点梳理】 要点一、等可能性 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 要点二、等可能条件下的概率 1.等可能条件下的概率 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A 发生，那么事件A发生的概率P（A）=m n （其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n 是指所有等可能出现的结果数）. 当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率. 2.等可能条件下的概率的求法 一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是： （1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等； （2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m； （3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=m n . 要点三、用列举法计算概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
初三数学动点问题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。
动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)
专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.
（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）
123等可能条件下的概率(二).
12.3等可能条件下的概率（二） 建湖县颜单中学陈国华 教学目标: 1、知识目标：了解等可能条件下的概率(二)两个特点,理解确定 这类几何概型概率的因素及概率的计算方法。 2、能力目标：让学生学会用转化的思想把等可能条件下的概率 (二)转化为等可能条件下的概率(一)并体会把无 限问题如何转化为有限问题解决,同时培养学生观 察分析归纳的能力。 3、情感目标：培养学生积极探索、合作交流、勇于创新的科学态度。 教学重点:等可能条件下的概率(二)两个特点,以及确定这类概率的因素和计算概率的方法 教学难点：等可能条件下的概率(二)为什么可以转化为等可能条件下的概率(一)的探索发现过程 教学方法：问题教学法、自主探索合作交流法 教学教具:有关转盘及多媒体课件 教学流程： 一、情境探究 情境1：出示一个带指针的转盘，任意转动这个转盘，如果在某个时刻观察指针的位置。
问题1：这时所有可能结果有多少个？为什么？ 问题2：每次观察有几个结果？有无第二个结果？ 问题3：每个结果出现的机会是均等的吗？ 说明：根据学生的回答，适时揭示等可能条件下的概率（二）的两个特点：1、试验结果是无限个。2、每一个试验结果出现是可能性。 情境2：出示一个带指针的转盘，这个转盘被分成8个面积相等的扇形，并标上1、2、3……8，若每个扇形面积为单位1，转动转盘，转盘的指针的位置在不断的改变。 问题1：在转动的过程中当正好转了一周时指针指向每一个扇形区域机会均等吗？那么指针指向每一个扇形区域是等可能性吗？ 问题2：怎样求指针指向每一个扇形区域的概率？它们的概率分别是多少？ 问题3：在转动的过程中，当正好转了两周时呢？当正好转了n 周呢？当无限周呢？ 说明：1、在问题1中让学生讨论得出求概率的方法：指针指向某个区域面积／整个转盘面积。让学生感知概率与指针经过的区域面
动点问题最值
G F D A B C E 动点问题最值 最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。 一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。 方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。 1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、 FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 提示：点M 在以AC 为直径的圆上 2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为 ﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上） 提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④ 3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是
《等可能条件下的概率计算》教案
《等可能条件下的概率计算》教案 教学目标 1、在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型. 2、进一步理解等可能事件的意义，会列出一些类型的随机实验的所有等可能结果(基本事件)，会把事件分解成等可能的结果(基本事件). 3、能借助概率的计算判断事件发生可能性的大小. 4、会列出一些类型的随机试验的所有可能结果. 教学过程 情境：抛掷一只均匀的骰子一次. 问题： (1)点数朝上的试验结果是有限的吗？如果是有限的共有几种？ (2)哪一个点数朝上的可能性较大？ (3)点数大于4与点数不大于4这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？ 说明：(3)要求一个随机事件的概率，首先要弄清这个试验有多少等可能的结果.这是解决问题的关键. (1)(2)等可能事件的概率的有限性和等可能性.(让学生一一列举出来) 小结：等可能条件下的概率的计算方法: ()m P A n 其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数说明：我们所研究的事件大都是随机事件.所以其概率在0和1之间. 例1、不透明的袋子中装有3个白球和2个红球.这些球除颜色外都相同，拌匀后从中任意出1个球.问： (1)(学生讨论)会出现那些等可能的结果？ (2)摸出白球的概率是多少？ (3)摸出红球的概率是多少？ 说明： (1)制定一个随机事件的可能的结果时，n的求法容易出错.有些同学认为摸出的球不是白球就是红球，所以摸出n种颜色的球是等可能的，这是不对的；引导学生弄清这个实验有多少等可能的结果. 例2、抛掷一枚均匀的硬币2次，记录2次的结果作为一次试验，重复这样的试验十次.并在小组内交流试验的结果. 问题1：你能只通过一次试验，列出所有可能的结果吗？
动点问题+角度拔高
动点问题+角度拔高 一．填空题（共1小题） 1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为度． 二．解答题（共10小题） 2．已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|＝|a ﹣b|回答问题： （1）数a在数轴上对应的点到1的距离为； （2）已知|a|＝﹣a，求|a﹣1|+|a﹣2|的最小值为； （3）已知a＜b，且有|x﹣1|+|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为5．你能否求出a的值？b的值？ 或a，b之间的关系？
3．已知A、B在数轴上对应的数分别用+2、﹣6表示，P是数轴上的一个动点． （1）数轴上A、B两点的距离为． （2）当P点满足PB＝2PA时，求P点表示的数． （3）将一枚棋子放在数轴上k0点，第一步从k点向右跳2个单位到k1，第二步从k1点向左跳4个单位到k2，第三步从k2点向右跳6个单位到k3，第四步从k3点向左跳8个单位到k4． ①如此跳6步，棋子落在数轴的k6点，若k6表示的数是12，则k o的值是多少？ ②若如此跳了1002步，棋子落在数轴上的点k1002，如果k1002所表示的数是1998，那么k0所表示的数是（请直接写答案）．
4．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数表示的点重合（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题： ①数7对应的点与数对应的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（点A在B的左侧），且A、B两点经折 叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ （3）点C在数轴上，将它向右移动4个单位，再向左2个单位后，若新位置与原位置到原点的距离相等，则C原来表示的数是多少？请列式计算，说明理由． 5．如图，数轴上有点a，b，c三点 （1）用“＜”将a，b，c连接起来． （2）b﹣a1（填“＜”“＞”，“＝”） （3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1| （4）用含a，b的式子表示下列的最小值： ①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为； ②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为； ③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为．
《等可能条件下的概率(一)》教案
《等可能条件下的概率(一)》教案 一、设计思路 本节课，我们从抛掷一枚均匀的骰子和摸球出发，在等可能条件下，让学生充分的探索和交流，一起感悟这个古典概型的两个基本特征，即试验结果的有限性和等可能性.能够在只通过一次试验中可能出现的结果的分析研究来求出随机事件的精确值.活动设计突出古典概型的基本特征(有限性、等可能性). 二、目标设计 1、在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型. 2、进一步理解等可能事件的意义，会列出一些类型的随机实验的所有等可能结果(基本事件)，会把事件分解成等可能的结果(基本事件). 3、能借助概率的计算判断事件发生可能性的大小. 三、活动设计 情境：抛掷一只均匀的骰子一次. 问题： (1)点数朝上的试验结果是有限的吗？如果是有限的共有几种？ (2)哪一个点数朝上的可能性较大？ (3)点数大于4与点数不大于4这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？ 说明：(3)要求一个随机事件的概率，首先要弄清这个试验有多少等可能的结果.这是解决问题的关键. (1)(2)等可能事件的概率的有限性和等可能性.(让学生一一列举出来) 小结：等可能条件下的概率的计算方法: ()m P A n 其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数说明：我们所研究的事件大都是随机事件.所以其概率在0和1之间. 例1、不透明的袋子中装有3个白球和2个红球.这些球除颜色外都相同，拌匀后从中任意出1个球.问： (1)(学生讨论)会出现那些等可能的结果？ (2)摸出白球的概率是多少？ (3)摸出红球的概率是多少？ 说明： (1)制定一个随机事件的可能的结果时，n的求法容易出错.有些同学认为摸出的球不是白球就是红球，所以摸出n种颜色的球是等可能的，这是不对的；引导学生弄清这个实验有
动点问题最值
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. G F D A E A C B D F E B A C D F B A C D 动点问题最值 最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。 一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。 方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。 1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 提示：点M 在以AC 为直径的圆上 2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序 号都填上） 提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④ 3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将 △AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转. （1）求证：AD=PB （2）若∠CPB=135°，求BD ； （3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明. 分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45° 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， 2，F 为BE 中点. （1）求CF 的长 （2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.
中考动点问题、最小值
中考真题解析☆动态专题 一、选择题 1.（2011辽宁本溪，8，3分）如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值（ ） A ．2 B ．4 C ． D ． 考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质 专题：探究型 分析：作D 作AE 的垂线交AE 于F ，交AC 于D ′，再过D′作AP ′⊥AD ，由角平分线的性质可得出D ′是D 关于AE 的对称点，进而可知D′P ′即为DQ +PQ 的最小值． 解答 解：作D 关于AE 的对称点D ′，再过D ′作D′P ′⊥AD 于P ′， ∵DD ′⊥AE ， ∴∠AFD =∠AFD ′， ∵AF=AF ，∠DAE =∠CAE ， ∴△DAF ≌△D′AF ， ∴D′是D 关于AE 的对称点，AD′=AD=4， ∴D′P ′即为DQ +PQ 的最小值， ∵四边形ABCD 是正方形， C E C E
∴∠DAD ′=45°， ∴AP ′=P′D ′， ∴在Rt △AP′D ′中， 2P′D ′2=AD′2，即2P′D′2=16， ∴ P′D′=DQ +PQ 的最小值为 故选C ． 点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2. （2011重庆市，10，4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形， 点C 的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x 轴的 直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长 度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分 别交于点M,N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,则 能大致反映S 与t 的函数关系的图象是 考点：动点问题的函数图象；正比例函数的图象；二次函数的图象；三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质． 分析：过A 作AH ⊥X 轴于H ，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AH ，根据三角形的面积即可求出答案． 答案： 解：过A 作AH ⊥X 轴于H ，
九上数等可能条件下的概率
等可能条件下的概率 一、知识点梳理 知识点1、概率的定义： 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率．知识点2、概率的表示方法： 等可能条件下的概率的计算方法：()m P A n = 说明： 1、其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数． 2、由于我们所研究的事件大都是随机事件．所以其概率在0和1之间． 概率是0表示该事件不可能发生，而概率是1则表示该事件一定发生或必然发生． 3、例如在抛掷一枚骰子的试验中，朝上的点数出现的所有等可能的结果共有6种（1、2、3、 4、 5、6）如果我们关注的“点数不大于4”，那么这一事件发生的可能结果有4种（朝 上的点数分别为1、2、3、4）所以P（点数不大于4）＝42 63 = 知识点3、等可能性： 设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件 ．．．．，每次试验有且只有 ．．．．其中 的一个 ．．结果出现，而且每个结果出现的机会均等 ．．．．，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性． 说明：无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备下列几个特征：①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有且只有一个结果出现③每个结果出现机会均等．这样的试验结果才具有等可能性． 知识点4、频率与概率 在试验中，某一事件发生的频率是指该事件出现的次数与试验的总次数的比值，而这一事件发生的概率是指该事件发生的可能性的大小． 说明： 1、一个事件发生的频率在概率的附近上下波动，试验的次数越多，事件发生的频率就越接近该事件发生的概率 2、频率是经过试验得到的结果，而概率是经过理论分析的预测值或理论值．两者是不同的．当试验的次数很多的时候，频率就趋近于概率． 知识点5、转盘与概率 从圆心开始将圆盘划分几个扇形区域，做成一个可以自由转动的安有指针的转盘，这样由于转盘转动的随机性，就可以根据指针所指向的扇形区域占整个圆面积的大小，来确定指针指向某一特定的区域的概率． 如图，指针固定在原点当转盘转动后，指针指向A、B、C、D四个区域是等可能的（因 为四个扇形的圆心角都是90度）所以指针指向每个区域的概率都是 4 1
等可能条件下的概率--知识讲解
等可能条件下的概率--知识讲解 【学习目标】 1.知道试验的结果具有等可能性的含义； 2.会求等可能条件下的概率； 3.能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率. 【要点梳理】 要点一、等可能性 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 要点二、等可能条件下的概率 1.等可能条件下的概率 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A 发生，那么事件A发生的概率P（A）=m n （其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n 是指所有等可能出现的结果数）. 当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率. 2.等可能条件下的概率的求法 一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是： （1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等； （2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m； （3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=m n . 要点三、用列举法计算概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释： (1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
初中数学动点问题专题复习及答案
初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC的边AB 上沿AB 方向以 1 厘米/ 秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与 点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M、N 分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t ．求四边形MNQP的面 C 积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． Q P A M N B 2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥ BC，AD 3，DC 5， AB 4 2，∠ B 45 ．动点M 从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N 同时从C点出发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． 1 ）求BC的长． 2）当MN ∥ AB 时，求t 的值． 3）试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角 形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形， OA∥BC，点 A的坐标为（6，0），点 B 的坐标为（4，3），点C在 y轴的正半轴上．动点 M在 OA上运动，从 O点出发到 A点；动点 N在 AB上运动，从 A点出发到 B点．两个动点同时出发，速度都是每秒 1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时 间为t（秒）．
（1）求线段 AB的长；当 t 为何值时， MN ∥OC？ （2）设△ CMN的面积为 S，求 S与 t之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围； S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
等可能条件下的概率
等可能条件下的概率（一）说课稿 各位评委、老师大家好！我今天说课的题目是“等可能条件下的概率”，是苏科版义务教育课程标准试验教科书数学八年级下册第十二章第二节等可能条件下的概率第一课时内容。根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教法分析，学法分析、教学过程等四个方面来展开说课。 一、教材分析 （1）教学内容与作用 本节课是初中数学八年级第十二章第二节的内容，主要内容是随机事件中等可能条件下某事物发生的概率问题。本节内容是在学生学习了概率相关事件知识的基础上，从上节课所讲的等可能事件出发，探索随机事件发生的可能的大小为目标，为学生后面学习用列举法求概率及用频率估计概率奠定了基础。 （2）教学目标 依据课程标准的精神和要求，根据教材的地位、作用，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，我确定了如下教学目标： 知识与技能：使学生在具体情境中了解概率的意义，能够运用概率的定义求简单随机事件中等可能事件发生的概率，并阐明理由。 过程与方法：通过实验、讨论、分析、计算，在活动中培养学生探究问题能力，合作交流意识。并在解决实际问题中提高他们解决问题的能力，发展学生应用知识的意识。 情感态度与价值观：引导学生对问题动手实践、逻辑分析，激发他们的好奇心和求知欲，使学生在运用数学知识解决实际问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心。并且鼓励学生思维的多样性，发展创新意识。 （3）教学重点难点 教学重点：能够运用概率的定义求简单随机事件发生的概率，能够初步用树状图、列表图等方式对简单随机事件的概率事件进行分析。 教学难点：正确地理解随机事件发生的可能性的大小。 二、教法分析 本节课共设计了6个教学活动，难易程度由浅入深、层层递进，通过游戏的形式，学生在动手操作、观察分析、类比归纳中，通过自主探究、合作交流，在教师的启发指导下,学生在轻松愉快的环境中探求新知。充分体现了“数学教学主要是数学活动教学”这一思想，体现了师生互动、生生互动的教学理念。 利用生活中常见的骰子、硬币等作为课堂实验教具，增加了课堂的趣味性和直观性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，激活学生思维能力，增大了教学容量，对解决重点、突破难点起到辅助作用。 三、学法分析 学情分析：学生在此之前学习了等可能事件的相关概念，对等可能事件发生的概率有了初步的认识，这为本节重点根据定义求简单随机事件发生的概率提供了良好的基础。初中阶段的学生逻辑思维能力不断发展，自主探索能力显著增强，能够在教师的指导下发挥学习的主动性，在探索实践中获取新知。
八年级上数学动点问题
1.如图：已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。 2.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,且AD>BC ，BC=6cm ，P 、Q 分别从A,C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？ 3,如图，梯形ABCD 中AD//BC ， ∠B=90 °AB=14cm ，AD=15cm,BC=21cm ，点M 从A 点开始，沿AD 边向D 运动，速度为1cm/s ，点N 从点C 开始沿CB 边向点B 运动，速度为2cm/s ，设四边形MNCD 的面积为S 。（1）写出面积S 与时间t 之间的函数关系式。 （2）t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？ （3） t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？ A B C M N D A B D C P Q A M B N D C
4.如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，DC//AB ，BC=3，DC=4，AD= 5.动点P 从B 点出发，由B→C→D→A 沿边运动，则△ABP 的最大面积为（ ） A.10 B.12 C.14 D.16 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=4cm ，BC=6cm ，动点P 从点C 沿CA 以1cm/s 的速度向A 运动，同时动点Q 从点C 沿CB ， 以2cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动。则运动过程中所构成的△CPQ 的面积y 与运动时间x 之间的函数关系是 。自变量的取值范围是 。 3.如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的动点，且AE=AF. (1)在运动过程中，△CEF 始终是等腰三角形吗？ (2) △CEF 能否运动成等边三角形？若能，请说明理由。若不能，还需对四边形ABCD 添加怎样的限定条件？ A B D C P C A B Q P C D A B E F
(完整word版)动点问题中的最值二
动点问题中的最值二 一、填空题 1、（2016?内江）如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是________． 2、（2016?舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________． 3、（2016?沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________ 4、（2016?龙东）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________． 5、（2016?日照）如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是________．
二、选择题 6、（2016?龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A、1 B、2 C、3 D、4 （6）（7）（10） 7、（2016?漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A、5个B、4个C、3个D、2个 8、（2016?荆门）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（） A、B、C、D、 9、（2016?鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（） A、B、C、D、 10、（2016?西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A、18cm2 B、12cm2 C、9cm2 D、3cm2 11、（2016?西宁）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（） A、B、C、D、 12、（2016?济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ 的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（） A、B、C、D、
数学动点问题练习(含答案)
动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静． 数学思想:分类思想数形结合思想转化思想 １、如图１,梯形AＢCD中,AD∥BC，∠B=90°，ＡB=1４cｍ,ＡD=1８cm，BＣ=21cm, 点P从A开始沿AD边以１cｍ/秒的速度移动，点Q从C开始沿ＣB向点Ｂ以２ｃｍ／秒 的速度移动，如果P，Q分别从A,Ｃ同时出发,设移动时间为t秒。 当 t= 时,四边形是平行四边形；６ 当t= 时,四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCＤ的边长为4，点Ｍ在边DC上,且ＤM=1,Ｎ为对角线AC上任意一 点,则DN+MＮ的最小值为 5 3、如图,在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过 点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作 CE AB ∥交直线l于点E,设直线l的旋转角为α. （１)①当α=度时,四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为; ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为； (２）当90 α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由. 解：(1）①30,１；②６0,1．５； (2)当∠α=900时,四边形ＥDＢC是菱形. ∵∠α=∠ACＢ=9０0,∴BC/／EＤ．∵CE／/ＡB, ∴四边形EDＢＣ是平行四边 形 在Rt△ABC中，∠AＣB=900,∠B=600,ＢC=２,∴∠A＝3０0. ∴ＡB＝4,AC=２3. ∴AO= 1 2 AC =3.在Rt△AOＤ中,∠A=300，∴AＤ＝2． ∴BＤ=２．∴BD=ＢC. 又∵四边形EDＢＣ是平行四边形, ∴四边形ＥDBC是菱形 O E C D A α l O C A （备用图）
第50课时4.2等可能条件下的概率一(1)教案
第50课时：等可能条件下的概率（一）（1） 班级姓名学号【教学目标】 1、在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型； 2、进一步理解等可能事件的意义，会列举出古典类型的随机实验的所有等可能结果（基本事件）； 3、理解等可能条件下的概率（一）即古典概型的两个基本特征，掌握等可能条件下的概率的计算公式． 【教学重点】理解古典概型的特征与掌握古典概型的概率计算公式． 【教学难点】理解古典概型的特征． 【教学过程】 一、创设情境： 情境1 ：甲袋中装有6个相同的小球，它们分别编号为1、2、3、4、5、6，从口袋中随机地取出1个小球，编号是奇数与编号是偶数这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？ 如果有7个相同的小球，分别编号为1、2、3、4、5、6、7呢？ 情境2 ：抛掷一枚均匀的骰子一次. （1）点数朝上的试验结果是有限的吗？如果是有限的共有几种？ （2）哪一个点数朝上的可能性较大？ （3）点数大于4与点数不大于4这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？ 二、探索新知 思考：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率是多少呢？ 【归纳概括】等可能条件下的概率的计算方法：()m P A n （其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数）． 【注】我们所研究的事件大都是随机事件,所以其概率在0和1之间． 活动一：某班级有33名男生和27名女生，名字彼此不同，现在相同的60张小纸条，每位同学分别将自己的名字写在纸条上，放入一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1张纸条，比较“抽到男生名字”与“抽到女生名字”的概率的大小．
动点问题最值
动点问题最值 最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。 一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。 方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。 1．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（） A．3 2-B．1 3+C．2D．1 3- 提示：点M在以AC为直径的圆上 2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD 于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π； ④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．（把你认为正确的说法的序号都填上） 提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：②④ 3、如图，正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点A
A B 旋转，那么C、F两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将 △AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB （2）若∠CPB=135°，求BD； （3）∠PBC= 时，BD ∠PBC= 时，BD 分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上， 且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°
2019最新动点问题
动点与线段的和与差 一、知识梳理 模型一.两点之间线段最短 【1】一定直线，异侧两定点 已知：直线l和它异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小 【2】一定直线，同侧两定点 已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小 【3】两定直线，一定点 已知：∠MON内部有一点P在OM、ON上分别作点A、B，使△PAB周长最小 【4】两定直线，两定点 已知：∠MON内部有两点P、Q，在OM、ON上分别作点A、B，使四边形PQBA周长最小
模型二.垂线段最短 1.如图5，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。 图5 图6 图7 2.如图6和7，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P 到射线ON的距离之和最小。 例题1（2013年钦州）18．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是． 思想方法 模型【2】一定直线，同侧两定点 已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小 练习1 练习2（2016年广西百色）12．如图，正△ABC的边长为2， 过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（） A．4 B．3 C．2 D．2+ 练习3 （2015?南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N 是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2014?安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（） A． B．1 C．2 D．2 练习4 （2015?内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（） A． B．2 C．2 D． 例题2 如图，点P关于OA、OB的对称点 分别为C、D，连接CD，交OA于M， 交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。 思想方法【3】两定直线，一定点
