正态性检验方法的比较
正态分布是许多检验的基础,比如F检验,t检验,卡方检验等在总体不是正太分布是没有任何意义。因此,对一个样本是否来自正态总体的检验是至关重要的。当然,我们无法证明某个数据的确来自正态总体,但如果使用效率高的检验还无法否认总体是正太的检验,我们就没有理由否认那些和正太分布有关的检验有意义,下面我就对正态性检验方法进行简单的归纳和比较。
一.图示法
1.P-P图
以样本的累计频率作为横坐标,以按照正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标,以样本值表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正态分布,则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
2. Q-Q图
以样本的分位数作为横坐标,以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标,把样本表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正太分布,则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
以上两种方法以Q-Q图为佳,效率较高。
3.直方图
判断方法:是否以钟型分布,同时可以选择输出正态性曲线。
4.箱线图
判断方法:观察矩形位置和中位数,若矩形位于中间位置且中位数位于矩形的中间位置,则分布较为对称,否则是偏态分布。
5.茎叶图
判断方法:观察图形的分布状态,是否是对称分布。
二.偏度、峰度检验法:
1. S,K的极限分布
样本偏度系数()
3
322B S B =
该系数用于检验对称性,S>0时,分布呈正偏态,S<0时,分布呈负偏态。
样本峰度系数()4
223B K B =-
该系数用于检验峰态,K>0时为尖峰分布,S<0时为扁平分布;当S=0,K=0时分布呈正态分布。
0H :F(x)服从正态分布 1H :F(x)不服从正态分布
当原假设为真时,检验统计量
对于给定的α
R ||={|>λ?|>λ} 其中14u α
-λ=
2. Jarque-Bera 检验(偏度和峰度的联合分布检验法)
检验统计量为 JB= 22164n k S K -??=+ ???
()22χ~
JB 过大或过小时,拒绝原假设。
三.非参数检验方法
1.Kolmogorov-Smirnov 正态性检验(基于经验分布函数(ECDF )的检验)
()n F x 表示一组随机样本的累计概率函数,()0F x 表示分布的分布函数。
当原假设为真时,D 的值应较小,若过大,则怀疑原假设,从而,拒绝域为 {}R D d =>
对于给定的α {}p P D d α=>= 又?{}n n
p P D D =≥
2.Lilliefor 正态性检验
该检验是对Kolmogorov-Smirnov 检验的修正,参数未知时,由22??,X S μ
σ==可计算得检验统计量?n
D 的值。
3.Shapiro-Wilk(W 检验)
检验统计量:
当原假设为真时,W 的值应接近于1,若值过小,则怀疑原假设,从而拒绝域为 R {}W c =≤
在给定的α水平下 P {}W c ≤=α
4. 2
χ拟合优度检验(也是基于经验分布函数(ECDF )的检验)
检验统计量为
r 是被估参数的个数
若原假设为真时,2χ应较小,否则就怀疑原假设,从而拒绝域为2{}R d χ=≥,对于给
定的α 2{}P d χα≥= 又22?{}p P χχ
=≥
四.方法的比较
1.图示法相对于其他方法而言,比较直观,方法简单,从图中可以直接判断,无需计算,但这种方法效率不是很高,它所提供的信息只是正态性检验的重要补充。
2.经常使用的2
χ拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov 检验的检验功效较低,在许多计算机软件的Kolmogorov-Smirnov 检验无论是大小样本都用大样本近似的公式,很不精准,一般使用Shapiro-Wilk 检验和Lilliefor 检验。
3. Kolmogorov-Smirnov 检验只能检验是否一个样本来自于一个已知样本,而Lilliefor 检验可以检验是否来自未知总体。
4. Shapiro-Wilk 检验和Lilliefor 检验都是进行大小排序后得到的,所以易受异常值的影
响。
5. Shapiro-Wilk检验只适用于小样本场合(3≤n≤50),其他方法的检验功效一般随样本容量的增大而增大。
χ拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov检验都采用实际频数和期望频数进行检验,前6. 2
者既可用于连续总体,又可用于离散总体,而Kolmogorov-Smirnov检验只适用于连续和定量数据。
χ拟合优度检验的检验结果依赖于分组,而其他方法的检验结果与区间划分无关。
7.2
8.偏度和峰度检验易受异常值的影响,检验功效就会降低。
9.假设检验的目的是拒绝原假设,当p值不是很大时,应根据数据背景再作讨论。
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