2012高考数学知识梳理复习教案-函数的表示法

函数的表示法----求解析式

一、课前检测

1．若函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-，则f = . 答案：

6-

2.已知()()()23,2f x x g x f x =++=，则()g x = . 答案：21x -

3. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = .

答案：()123

f x x =-或()21f x x =-+

二、知识梳理 求函数解析式的题型有：

1.已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 解读：

2.已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； 解读：

3.已知函数图像，求函数解析式；

解读：

4.()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

解读：

5.应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 解读：

三、典型例题分析

例1 设2211(),f x x x x

+=+，求()f x 的解析式. 答案：()22f x x =-

变式训练1：设(cos )cos2,(sin )f x x f x =求的解析式. 答案：()2sin 1f x x =-

变式训练2：设33221)1(,1)1

(x

x x x g x x x x f +=++=+， 求)]([x g f . 答案：()22f x x =-，()33g x x x =-，642[()]692f g x x x x =-+-

小结与拓展：配凑法

例2 设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式. 答案：2()56f x x x =-+

变式训练1：已知21lg f x x ??+= ???，求)(x f 的解析式. 答案：2

()lg 1f x x =-

变式训练2：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f 的解析式. 答案：2()21f x x x =++

小结与拓展：换元法

例3 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，

求()f x 的解析式； 答案：()27f x x =+

变式训练1：已知12()3f x f x x ??+= ???

，求)(x f 的解析式. 答案：1()2f x x x

=-

例4．图中的图象所表示的函数的解析式为（ B ）

A. |1|2

3

-=x y (0≤x ≤2) B. |1|2

323--=x y (0≤x ≤2) C. |1|23--=x y (0≤x ≤2) D. |1|1--=x y (0≤x ≤2)

小结与拓展：待定系数法

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.知识：

2.思想与方法：

3.易错点：

4.教学反思（不足并查漏）：

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

高考数学函数专题习题集复习资料

函数专题练习 （一） 选择题(12个) 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11[,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 )

(一)函数的表示方法教案

2.1.2 函数的表示方法(一) 【学习要求】 1.会用列表法、图象法、解析法表示一些具体的函数； 2.会根据具体条件求函数的解析式； 3.会在不同情境中用不同形式表示函数． 【学法指导】 学习函数的表示方法，不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深函数概念的理解．通过根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，感受函数与生活实际联系的密切性，通过求函数解析式加深对数学思想方法的理解，提高分析问题、解决问题的能力. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 2.图象法：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 3.解析法：如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式) 来表达的，这种方法叫做解析法. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？ 探究点一函数的表示方法 问题1 在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？ 答：解析法、图象法、列表法． 问题2列表法是如何定义的？ 答：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 问题4 图象法是如何定义的？ 答：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 问题5我们在作函数y＝2x＋1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y＝2x＋1这种表示方法叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？ 答：如果在函数y＝f(x) (x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，这种方法叫做解析法．(也称为公式法．) 问题6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点？ 答：(1)用解析法表示函数的关系．优点：简捷明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算；缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算. (2)用列表法表示函数关系．优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便；缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律． (3)用图象法表示函数关系．优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化；缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值． 例1某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)． 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．

(word完整版)高中数学函数图象高考题.doc

B 1 .函数 y = a | x | (a > 1)的图象是 ( y y o x o A B B （ ） y o 1 x -1 o 函数图象 ) y 1 1 x o x C y y x x o 1 y 1 o x D y -1 o x A B C B 3．当 a>1 时，函数 y=log a x 和 y=(1 － a)x 的图象只可能是（ ） y A4．已知 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象如图所示 yf ( x ) x O 则函数 F(x)=f(x) ·g(x) 的图象可以是 (A) y y y O x O x O x A xa x B C B 5．函数 y (a 1) 的图像大致形状是 （ ） | x | y y y O f ( x) 2x x O 1 O x （ D 6．已知函数 x x x 1 ，则 f x （ 1－ x ）的图象是 log 1 2 y y y A B C 2 。 。 1 。 － 1 D y y g( x) O x y O x D y O ） x y D 2

O x

A B C D D 7．函数 y x cosx 的部分图象是 ( ) A 8．若函数 f(x) =x 2 +bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是 （ ） y y y y o x o x o x o x A B C D A 9．一给定函数 y f ( x) 的图象在下列图中，并且对任意 a 1 (0,1) ，由关系式 a n 1 f (a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n 1 a n (n N * ) ，则该函数的图象是 （ ） A B C D C10．函数 y=kx+k 与 y= k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） x y y y y O x O x O x O x A 11．设函数 f （ x ） =1－ 1 x 2 （－ 1≤ x ≤0）的图像是（ ） A B C D

2015高考数学专题复习：函数零点

2015高考数学专题复习：函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______

高考数学复习三角函数常用公式

2019年高考数学复习三角函数常用公式 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。以下是三角函数常用公式，请打击学习记忆。 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及 sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

19.1.2 函数的图象 第2课时 函数的表示方法教案

第2课时函数的表示方法 1．了解函数的三种不同的表示方法并在实际情境中，会根据不同的需要，选择函数恰当的表示方法；(重点) 2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(难点) 一、情境导入 问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？ (2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？ 二、合作探究 探究点一：函数的表示方法 【类型一】用列表法表示函数关系 (不超过50克)，它的长度会改变， (1) (2)当所挂重物为x克时，用h厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式． (3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克． 解析：(1)根据挂重物每克伸长0.5厘米，要伸长5厘米，可得答案；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据函数值，可得所挂重物质量． 解：(1)5÷0.5×1＝10(克)， 答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克； (2)函数的表达式：h＝10＋0.5x(0≤x≤50)； (3)当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30， 答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克． 方法总结：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等． 【类型二】用图象法表示函数关系 s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：

高考数学函数专题习题及详细复习资料

函数专题练习 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1 (0,)3 (C )11[,)73 (D )1[,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>g )

2.1.2(二)函数的表示方法教案

2.1.2 函数的表示方法(二) 【学习要求】 1.进一步掌握求函数解析式的方法； 2.了解分段函数的定义，会求分段函数的定义域、值域； 3.学会运用函数图象来研究分段函数． 【学法指导】 通过求函数解析式，进一步掌握数学中的思想方法；通过分段函数的学习，感悟表达的多样性；加深函数概念的理解，提高分析问题、解决问题的能力. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 2.分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的 并 集(填“并”或“交”)． 3.分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎样的解析式表示这一函数关系？为解决这一问题，本节我们就来学习分段函数． 探究点一 待定系数法求函数解析式 问题1 若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？ 答： 若已知函数的类型，可用待定系数法求解． 问题2 用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？ 答：由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式． 例1 设二次函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式． 分析： 由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理． 解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)． 由f(x ＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线x ＝2对称． ∴－b 2a ＝2，即b ＝－4a.① 又图象过点(0,3)，∴c＝3.② 由方程f(x)＝0的两实根平方和为10， 即x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③ 由①②③解得a ＝1，b ＝－4，c ＝3. ∴f(x)＝x 2－4x ＋3. 小结： 已知f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax ＋b (a≠0)；已知f(x)为反比例函数时，可设f(x)＝k x (k≠0)；已知f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，②顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k (a≠0)； ③双根式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2) (a≠0)． 跟踪训练1 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，求函数f(x)的解析式． 解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)， 由f(0)＝0知c ＝0.∴f(x)＝ax 2＋bx. 又f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1， ∴a(x＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. 即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. 故2a ＋b ＝b ＋1且a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12 ， ∴f(x)＝12x 2＋12 x. 探究点二 消去法求函数解析式 导引 有些求函数解析式的题目，已知条件为一方程，在方程中同时含有f(x)与f(－x)或f(x)与f(1x )，那么如何

高考数学函数专题

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。

高考数学复习重点：函数

高考数学复习重点：函数 函数的概念 函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，含所有的输出值的集合被称作集合。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。 一般地，给定非空数集A,B，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。 向量函数:自变量是向量的函数叫向量函数f(a1.a2， a3......an)=y 如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。 函数f的图象是平面上点对(x,f(x))的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图象可以帮助理解证明一些定理。 如果X和Y都是连续的线，则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组 (X,Y,G)，其中G是关系的图;二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。 当k0时，直线为降，过二四象限，向上或向下平移象限。函数的有界性

函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1(f(x1)+f(x2))/2)那么称f(x)是区间上的(严格)凹函数。 反函数 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=f(y).若对于y在C 中的任何一个值，通过x=f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y).。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 二次函数：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a≠0)(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左 当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b^2-4ac0时，函数在x=-b/2a处取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

高中数学函数的表示法教案

§2.2 函数的表示法教学设计 安徽省宿州市第二中学 柏长胜 教学目标： 1.使学生掌握函数的常用的三种表示法； 2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点； 3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题； 4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。 教学重点： 函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法 教学难点： 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。 教学过程： 一、新课引入 复习提问：函数的定义及其三要素是什么？ 函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。 请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？ 答：列表法是、图像法、解析法 二、新课讲解 请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题： 1. 列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？ 2. 这三种表示法各有什么优、缺点？ 函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。 下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。 例1、 请画出下列函数的图像。 ,0 ,0x x y x x x ≥?==?-≤?

解：图像为第一和第二象限的角平分线， 如图2-5所示 图2-5 本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的数学思想方法。 问1.如何作出函数1y x =-的图像？ 2.如何作出函数1y x =-的图像？ 3. 如何作出函数23y x =+-的图像？ 4.思考：如何由函数y x =的图像得到函数y x a b =++的图像？ 5.试求函数y x =与函数y=1的图像围成的图形的面积。 例2、 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如表2-5: (多媒体课件显示) 画出图像，并写出函数的解析式。 分析：要让学生明白当信函质量020m < ≤时邮资M=1.20是信函质量m 的函数，是一种典型 的多对一的函数，可以通过多媒体动画演示让学生体会。 解：邮资M 是信函质量m 的函数，函数图像如图2-6所示 图2-6

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

2015高考数学专题复习：函数图像

2015高考数学专题复习：函数图像 1、判断函数图像依据： 1.基本函数图像特征： 2.奇偶性： 3.导数单调性： 4.特殊点： 5.定义域： 6.函数之间大小关系： 7.平移变换 2、指出下列函数与()x f y =的图像之间的关系： 1.()1-=x f y 2.()2-=x f y 3.()x f y -= 4.()x f y -= 5.()x f y --= 6.()x f y = 7.() x f y = 8.()x f y -= 练习：已知()()()()?? ?≤<≤≤-=10........... 01.sin x x x x x f π，作出下列函数图像： 1.()1-=x f y 2.()2-=x f y 3.()x f y -= 4.()x f y -= 5.()x f y --= 6.()x f y = 7.()x f y = 8.() x f y -=

1.函数)(x f y =与函数()x g y =的图像如右图所示，则函数()()x g x f y ?=的图像可能是下面的（ ） 2.()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的解析式可能为 ( ) A.()cos f x x x =-- B.()sin f x x x =-- C.()||cos f x x x = D.()||sin f x x x = 3.（山东）函数 sin x y x =， (,0)(0,)x ππ∈-的图像可能是下列图像中的 ( ) 4.（13山东）函数x x x y sin cos +=的图像大致为 ( ) 5.（山东）函数x x x y --= 226cos 的图像大致为 （ ）

函数的表示法教案

函数的表示法教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课题：§1.2.2函数的表示法 教学目的：（1）明确函数的三种表示方法； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； （4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”分段函数的表示及其图象． 教学过程： 一、引入课题 1.复习：函数的概念； 2.常用的函数表示法及各自的优点： （1）解析法； （2）图象法； （3）列表法． 二、新课教学 （一）典型例题 例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ． 分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表． 解：（略） 注意： ○函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； ○解析法：必须注明函数的定义域；

○图象法：是否连线； ○列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 巩固练习： 课本P27练习第1题 例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 第一次第二 次 第三 次 第四 次 第五 次 第六 次 王 伟 98 87 91 92 88 95 张 城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班 平 均 分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． 分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么怎么 分析借助什么工具 解：（略） 注意： ○本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研 究成绩的变化特点； ○本例能否用解析法为什么 巩固练习： 课本P27练习第2题

高考数学函数的复习方法.doc

高考数学函数的复习方法 函数是高中数学中起联接和支撑作用的主干知识，也是进一步学习高等数学的基础。其知识、观点、思想和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题的解决。因此，在高考中函数是一个极其重要的部分，而对函数的复习则是高三数学第一轮复习的重头戏。 理解概念 函数部分的一个鲜明特点是概念多，对概念理解的要求高。而在实际的复习中，学生对此可能不是很重视，其实，概念能突出本质，产生解决问题的方法。对概念不重视，题目一定也做不好。就高考而言，直接针对函数概念的考题也不少，例如05年上海春季高考数学卷的第16题就是考察学生是否理解函数最大值的概念。在高中数学的代数证明问题中，函数问题是最多最突出的一个部分，如函数的单调性、奇偶性、周期性的证明等等，而用定义法判断和证明这些性质往往是最直接有效的方法。上海卷连续两年都考查了这方面的内容与方法，如06年文、理科的第22题，考查的是函数的单调性、值域与最值，07年的第19题，文科考察的是函数奇偶性的判断与证明，理科在此基础上还考察了函数单调性。 知识建构

当问到学生类似于函数主要有哪些内容? 等问题时，学生的回答大多是一些零散的数学名词或局部的细节，这说明学生对知识还缺少整体把握。所以复习的首要任务是立足于教材，将高中所学的函数知识进行系统梳理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，以便于找出自己的缺漏，明确复习的重点，合理安排复习计划。 就函数部分而言，大体分为三个层次的内容：1、函数的概念与基本性质，主要有函数的概念与运算、单调性、奇偶性与对称性、周期性、最值与值域、图像等。2、一些简单函数的研究，主要是二次函数、幂、指、对函数等。3、函数综合与实际应用问题，如函数-方程-不等式的关系与应用，用函数思想解决的实际应用问题等。 当然，在这个过程中也发现，学生梳理知识的过程过于被动、机械，只是将课本或是参考书中的内容抄在本子上，缺少了自己的认识与理解，将知识与方法割裂开来，整理的东西成了空中楼阁，自然没什么用。这时，就需对每一个内容细化，问问自己复习这个内容时需要解决好哪些问题，以此为载体来提炼与总结基本方法。 以函数的单调性为例，可以从哪些问题入手复习呢?问题一：什么是函数的单调性?可以借助一些概念的辨析题来帮助理解。问题二：如何判断和证明一个函数在某个区间上的单调性?对这个

全国高考数学复习微专题：函数的图像

函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点 （1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 （2）二次函数：()2 y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数：1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x →+∞，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x →+∞（或-∞）时，()f x →常

高一数学1.2.2函数的表示法(二)教案

高一数学1.2.2函数的表示法（二）教案 【课型】新授课 【教学目标】 （1）了解映射的概念及表示方法； （2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。 【教学重点】求函数的解析式。 【教学难点】对函数解析式方法的掌握。 【教学过程】 一、复习准备： 1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例： 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应； 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？ 3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射。 二、讲授新课： （一）映射的概念教学： 定义： 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。记作： （四）、归纳小结： 本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。 （五）、作业布置： 1．课本P24习题1.2B组题3，4； 2．阅读P26 材料。 1.2.2函数的表示法（三） 【课型】新授课 【教学目标】 （1）进一步了解分段函数的求法； （2）掌握函数图象的画法。 【教学重点】函数图象的画法。 【教学难点】掌握函数图象的画法。。 【教学过程】 一、复习准备： 1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。 2.讨论：函数图象有什么特点？ 四、归纳小结：

高考数学函数解题技巧方法总结

高考数学函数解题技巧方法总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ， 值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ， 值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ []的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 []（答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。