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中考数学动点问题复习

中考数学复习（一）动点型问题

一、中考专题诠释

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲

解决动点问题的关键是“动中求静”.

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲

考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.

例1如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）

A．B．C．D．

对应训练

1．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）

A．B．C．D．

考点二：动态几何型题目

（一）点动问题．

例2如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）

A．B．C．D．

对应训练

2．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

（二）线动问题

例3如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）

A．B．C．D．

对应训练

3．如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）

A．B．C．D．

（三）面动问题

例4如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）

A．B．C．D．

对应训练

4．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）

A．B．C．D．

考点三：动点综合题

动态问题是近几年来中考数学的热点题型，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.

（一）因动点产生的等腰三角形问题

例1如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB 上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．

（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP ＝2，求CQ 的长；

（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．

图1备用图

例2如图1，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；

（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

例3如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

例4如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数4

y x =

的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

图1 例5如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．

（1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12

y m

，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1

例6如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF //BC 交CD 于点F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．

（1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交BC 于M ，过M 作MN //AB 交折线ADC 于N ，连结PN ，设EP ＝x ．

①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．

图1图2图3

因动点产生的直角三角形问题例1如图1，抛物线213

442

y x x =

--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧）

，与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m ,0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．

（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

例2如图1，抛物线23

384

y x x =--

+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）

，与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；

（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4,0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．

图1

例3在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2

＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．

（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．例4设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．

（1）已知直线①1

y x =-

+；

②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．

图1 例5在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244

m m

y x x m m -=-

++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．

（1）求点B 的坐标；

（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长； ②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．

图1

例6如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．

（1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？

图1

例7如图1，直线43

=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）

．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．

①求S 与t 的函数关系式；

②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．

图1

例8如图1，直线43

=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）

．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；

①求S 与t 的函数关系式；

图1

课后练习（一）

一、选择题

1．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（）

A ．2

B ．2.5或3.5

C ．3.5或4.5

D ．2或3.5或4.5

2．图1所示矩形ABCD 中，BC=x ，CD=y ，y 与x 满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过

C 点，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（） A ．当x=3时，EC ＜EMB ．当y=9时，EC ＞EM

C ．当x 增大时，ECCF 的值增大

D ．当y 增大时，BEDF 的值不变

3．如图，将边长为4的正方形ABCD 的一边BC 与直角边分别是2和4的Rt △GEF 的一边GF 重合．正方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿GE 向右匀速运动，当点A 和点E 重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t 秒，正方形ABCD 与Rt △GEF 重叠部分面积为s ，则s 关于t 的函数图象为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q 从点O 、动点P 从点A 同时出发，分别沿着OA 方向、AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t （秒）（0＜t≤5）．以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连接CD 、QC ．（1）求当t 为何值时，点Q 与点D 重合？

（2）设△QCD 的面积为S ，试求S 与t 之间的函数关系式，并求S 的最大值；（3）若⊙P 与线段QC 只有一个交点，请直接写出t 的取值范围．

6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．

①求证：∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

7.如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为(2，2 3)，∠BCO＝60°，OH⊥BC于点H。动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度。设点P运动的时间为t秒。

⑴求OH的长；

⑵若△OPQ的面积为S(平方单位)。求S与t之间的函数关系式。并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？

⑶设PQ与OB交于点M。①当△OPM，为等腰三角形时，求⑵中S的

值。②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论。

8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝50，AD＝75，BC＝135。点P从点B出发沿折线段BA

－AD－DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD－DA－AB于点E。点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒(t＞0)。

⑴当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；⑵当点P

运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC？

⑶设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；(不必写出t的取值

范围)

⑷△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由。

9.如图所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上。过点B、C作直线l。将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E。

⑴将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t≥0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积(图中阴影部份)为S，S关于t 的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4。①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；

②当2＜t＜4时，求S关于t的函数解析式；

⑵在第⑴题的条件下，当直线l向左或向右平移时(包括l与直线BC重合)，在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等

腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

因动点产生的线段和差问题

例1在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．

（1）如图1，求点E的坐标；

（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．

①设AA ′＝m ，其中0＜m ＜2，使用含m 的式子表示A ′B 2＋BE ′2，并求出使A ′B 2＋BE ′2

取得最小值时点E ′的坐标；

②当A ′B ＋BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标（直接写出结果即可）．

图1图2

例2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过A (－2,－4)、O (0,0)、

B (2,0)三点．

（1）求抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的解析式；

（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．

图1

例3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2

＋2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．

（1）求直线AC 的解析式及B 、D 两点的坐标；

（2）点P 是x 轴上的一个动点，过P 作直线l //AC 交抛物线于点Q ．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标．

图1

因动点产生的面积问题例1如图1，已知抛物线2

y x bx c =

++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）

，与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．

（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；

（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在

同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；

②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．

图1

例2如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0,1)、B (2,0)、O (0,0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．

（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；

（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．

图1

例3如图1，在平面直角坐标系中，直线112

y x =

+与抛物线y ＝ax 2

＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．

（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．

①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；

②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．

图1

例4如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m

y x

=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =

(x ＞0)和m

y x

=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；

（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；

（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．

图1

例5如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线1

y x b =-

+交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

例6如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．

（1）求线段AD 的长；

（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，

①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．

（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．

图1备用图

例7如图1，正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；

（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．

（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．

图1图2

因动点产生的梯形问题

例1已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2

＋2x ＋c 经过点A ，B ．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．

①求点D 的坐标；

②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若7

tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．图1

例2如图1，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A (1，2)，过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过O 、A 、C 三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P 为线段OC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点

P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移的过程中与△COD 重叠部分的面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

图1

例4已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12)两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；

（2）如图1，在直线y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ．将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ．在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．

图1图2 例5如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝

114

x +，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．

(1)写出点M 的坐标；

(2)当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．

图1

例6如图1，二次函数)0(2

<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为

．（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△A BC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

因动点产生的相切问题

例1如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点．

（1）当1tan 2

A =时，求AP 的长；

（2）如果⊙Q 过点P 、O ，且点Q 在直线AP 上（如图2），设AP ＝x ，QP ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）在（2）的条件下，当4tan 3

A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙

M 的半径的长．

图1图2图3 例2如图1，A (－5,0)，B (－3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD //AB ，∠CDA ＝90°．点P 从点Q (4,0)出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．

（1）求点C 的坐标；

（2）当∠BCP ＝15°时，求t 的值；

（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．

图1

例3如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P 从A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点

P 运动的时间为t 秒．

（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ //BC ；

（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共

点和2个公共点？

图1

因动点产生的相似三角形问题

例1如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2

＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．

图1

例2如图1，已知抛物线211(1)444

y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

例3如图1，已知抛物线的方程C 1：1

(2)()y x x m m

=-+-(m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．

（1）若抛物线C 1过点M (2,2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

图1

例4如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、

C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、B 1的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1图2

例5如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．

图1

例62008年苏州市中考第29题

图1

中考数学动点问题专题练习(含答案)

动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y

C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ．（1）当6=AE 时，求AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长；（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H

中考数学动点问题十大题型

1、如图，已知ABC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中 AB AC △中，10 点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △ 与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △全等？ △与CQP （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？

2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，364y x =-+A B 、P Q 、O A Q OA

速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． P O B A A B 、Q t OPQ △S S t 485S P O P Q 、、M

3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

(完整版)中考数学动点问题专题讲解

动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

初三数学动点问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。

中考数学综合题专题复习[几何中的动点问题]专题解析

中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析【真题精讲】【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10，梯形的高为4 ?动点M 从 B 点出发沿线段B C 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段C D 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动?设运动的时间为t （秒）? （1）当MN I AB 时，求t 的值； 2）试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形. 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1 ）由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形. ??? AB II DE , AB II MN . ??? DE II MN . （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MN 放在三角形 ? MC NC EC CD （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=C ^两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三（2）分三种情况讨论： ①当MN NC 时，如图②作 NF BC 交BC 于F ,则有MC 2FC 即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） .4丄?解得t 50 . 10 3 5 17 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是 MN=NC 角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】

中考数学压轴题专题：动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s 的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN 上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】解：（1）t－2。（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：

①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE 上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=。（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： ①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。 DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。 ∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。 ∴FM=AM=t．

中考数学最新经典动点问题-十大题型

1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？

2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 3 64 y x =-+A B 、P Q 、O A Q OA P O B A A B 、Q t OPQ △S S t 48 5 S = P O P Q 、、 M

3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A

2017中考数学备考专题复习动点综合问题含解析

1 / 20 动点综合问题一、单选题（共12题；共24分） 1、（2016?安徽）如图，Rt △ ABC 中，AB 丄BQ AB=6, BC=4 P 是厶ABC 内部的一个动点，且满足 / PAB 2 PBC 则线段 CP 长的最小值为（） B 、 2 C.]+1 C 、 9 D — 3、（ 2016?十堰）如图，将边长为 10的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，C 是AB 边上的动点（不与端点 A , B 重合），作CDLOB 于点D,若点C, D 都在双曲线y= 上（k > 0, x > 0）, C D 5、（ 2016?宜宾）如图，点 P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点, AC 和 BD 的距离之和是（ B 、2 4、（2016?娄底）如图，已知在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90，点 C 不重合），作 BE 丄AD 于E , CF 丄AD 于F ,贝U BE+CF 勺值（ D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B ） 13 2、（2016?台州）如图，在△ ABC 中，AB=10 AC=8 BC=6以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点P, Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接 PQ 贝U PQ 长的最大值与最小值的和是（） C 6 D 7.2 不变增大减小先变大再变小矩形的两条边 AB BC 的长分别是） D 9 B 5

6、( 2016?龙岩)如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1, AF=2,若P为对角线BD上一动点, 则EP+FP的最小值为( ) A、1 B、2 C、3 D 4 O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点 7、(2016?漳州)如图，在△ ABC中，AB=AC=5 BC=8, D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段 AD长为正整数，则点D的个数共有( 沿折线A- B- M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s .设P点的运动时间为P的运动路径与OA OP所围成的图形面积为S (cm?),则描述面积S (cm2)与时间t P由A开始 t (s)，点 (s)的关系的图象可以是( ) D______________ C A 、 B 、 C 、 D 5个 4个 3个 2个 8、(2016?荆门)如图，正方形ABCD的边长为的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为关于 x (cm)的函数关系的图象是( ) 2cm,动点P从点A出发，在正方形的边上沿A T B-C x( cm)，在下列图象中，能表示△ ADP的面积y( cm2)

2018中考数学动点问题专题复习(含答案)

2018中考数学动点问题专题复习 1.如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ ＝90°．（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP ＝2，求CQ 的长；（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．图1 备用图解：（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10．在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以 315tan 544ED CD C =?∠=? =，25 4EC =．（2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是 △ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．因此△PDM ∽△QDN ．所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．图2 图3 图4 ①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．此时 3344QN PM = =．所以319444CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．此时 31544QN PM = =．所以1531444CQ CN QN =+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中， 3 tan 4QD DN QPD PD DM ∠= == ．在Rt △ABC 中， 3tan 4BA C CA ∠= = ．所以∠QPD ＝∠C ．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ．因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形． ①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）．此时 4433PM QN ==．所以45 333BP BM PM =-=-= ． ②如图6，当QC ＝QD 时，由 cos CH C CQ = ，可得5425 258CQ =÷= ．所以QN ＝CN －CQ ＝ 257488- = （如图2所示）．此时 4736PM QN ==．所以725 366BP BM PM =+=+= ． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图6 2.如图1，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

中考数学压轴题专题动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】解：（1）t－2。（2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

中考数学动点综合问题

动点综合问题一【例1】（2016广东梅州）如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．【例2】（2016四川攀枝花）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心 Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，P A长为半径的⊙P 与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？【例3】（2016山东济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、 E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．

5．（2016青海西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=3 同步练习一、选择题 1．（2016山东泰安）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）4．（2016湖北荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O 于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接A D、CD，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是（） A．15°B．20°C．25°D．30° 2．（2016山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（） 4，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（） A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2 3．（2016广东省）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）二、填空题 6．（2016四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C （1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．

历年中考数学动点问题题型方法归纳

x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

中考数学难点之动点问题

动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于 A B 、两点，动点P Q 、同时从出发，同时到达 A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6） 2、当0＜t ＜3时，S =t 2 当3＜t ＜8时，S =3／8(8-t )t 提示：第（2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时

图B 图 B 图按已知线段身份不同分类-----①O P为边、O Q为边，②O P为边、O Q为对角线，③O P为对角线、O Q为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，A B是⊙O的直径，弦B C=2c m， ∠A B C=60o．（1）求⊙O的直径；（2）若D是A B延长线上一点，连结C D，当B D长为多少时，C D与⊙O相切；（3）若动点E以2c m/s的速度从A点出发沿着A B方向运动，同时动点F以1c m/s的速度从B点出发沿B C方向运动，设运动时间为 )2 )( (<

2021年中考数学总复习动点问题练习(含答案)

2021中考数学总复习动点问题年班姓名成绩： 1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图解：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以 315 tan5 44 ED CD C =?∠=?=， 25 4 EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以 4 3 PM DM QN DN ==．所以 3 4 QN PM =， 4 3 PM QN =．图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时 33 44 QN PM ==．所以 319 4 44 CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时 315 44 QN PM ==．所以 1531 4 44 CQ CN QN =+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中， 3 tan 4 QD DN QPD PD DM ∠===．在Rt△ABC中， 3 tan 4 BA C CA ∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形． ①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时 44 33 PM QN ==．所以 45 3 33 BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC＝QD时，由cos CH C CQ =，可得5425 258 CQ=÷=．所以QN＝CN－CQ＝ 257 4 88 -=（如图2所示）．此时 47 36 PM QN ==．所以 725 3 66 BP BM PM =+=+=． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5 图6 2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1 解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由 BH PH BO CO =，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1, 2)．图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6 -)或(1,0)．

中考数学--动点问题题型方法归纳

动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 3 1、( 2009年齐齐哈尔市) 直线y x 6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发, 4 同时到达A点，运动停止?点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O T B T A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标； (2)设点Q的运动时间为t秒，△ OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；「48 (3)当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5 坐标. 提示：第(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类；第(3)问是分类讨论：已知三定点OP、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、(2009年衡阳市) 如图，AB是O O的直径，弦BC=2cm / ABC=60). (1) 求O O的直径； (2) 若D是AB延长线上一点，连结CD当BD长为多少时，CD与O O相切； (3) 若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC t(S)(0 ::: t ::: 2)，连结EF,当t为何值时，△ BEF为直角三角形. 注意：第(图问按直角位置分类讨论 O 图(2) D A

中考数学动点问题专题讲解

中考动点专题 1、如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH= 32NH=2 1 32?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2 362 1 21x OH MH -==. 在Rt △MPH 中, . ∴ y =GP= 32MP=23363 1 x + (0

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