变式教学研究(定稿)
变式教学研究
鲍建生黄荣金易凌峰顾泠沅
1 一个悖论
1.1 有关中国人数学学习的悖论
从上世纪八十年代末以来，在有关中国数学教学和学生数学学业成就的国际比较研究中，出现了一个引人注目的相互矛盾的结果：
一方面，大量研究表明，无论是国际数学教育成就调查（IEA）还是奥林匹克竞赛(IMO)，中国以及其他东亚国家中小学生的数学成绩均显著优于西方学生（Beaton et al., 1996; Lapoite et al., 1992; Mullis et al., 1997; 2000; Stevenson et al., 1992; 1993）。
但另一方面，许多西方研究者的调查与研究却认为，“中国学习者”1的数学学习环境存在着许多缺陷，尤其在教学方式上，属于典型的“被动灌输”和“机械训练”（Biggs, 1991; Ginsberg, 1992; Kember & Gow, 1991）。例如，金斯伯格（Ginsberg, 1992）对中国教学的调查研究认为，中国教学是教师主导的被动灌输式教学，教学是“一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者”，进而认为中国的数学教学不具有先进性。
这两种矛盾的现象就构成了所谓的“中国学习者悖论”（Marton et al., 1993）, 而对这个悖论的研究与解释，已经成为国际比较教育及心理学研究的一个热点(Biggs 1994; Biggs & Watkins, 1996; Leung, 1995, 2001; Morris et al.,1996; Watkins & Biggs, 2001)。
1.2 海外学者不同侧面的解释
从逻辑的角度看，悖论的两个对立方面必有一假。由于“中国学习者”的数学成就已被越来越多的国际比较研究所证实，因此，近年来许多西方的研究者开始重新审视中国数学教学，致力于从深层次去揭示中国数学教学的一些有价值的成分，从而寻求对悖论的合理解释。这里介绍的三项研究，正是从不同角度入手揭示了中国数学教学的内在价值：
（1）多角度理解知识——中美小学数学教师对数学知识理解的比较研究
中国留美学者马力平的研究（Ma, 1999）表明：在学科知识的“深刻理解”（profound understanding knowledge）上，中国教师有明显的优势；在数学知识的教学过程中，美国教师比较重视操作过程，中国教师则更注重对概念和原理的多角度理解。具体表现在运算上，美国教师往往只知道如何计算，并不清楚相关算法的合理性；中国教师不仅十分注意对基本算法的熟练掌握，也非常重视如何才能更为迅速、更为容易地去完成计算。而要做到后一点，仅靠机械训练显然是不行的，关
1主要指受到中国传统儒家文化影响的东亚各国及地区的学生（Biggs& Watkins, 1996; Marton et al., 1993）
键是在教学中注意提倡多种不同的算法，并能通过比较理解各自的优缺点。“这也正是中国数学教学的一个重要特征”（郑毓信，2001）。
（2）有层次推进教学——对中国数学教学模式与新教师入职教育的研究
美国密歇根州立大学彭恩霖（Lynn, Paine）教授根据对中国数学课堂教学多年实地考察与研究，把中国教学法描述为“鉴赏家模式”（virtuoso model），中国课堂中由浅入深地有层次推进（step by step）的教学方式给她留下了深刻的印象。她的研究认为，中国教师在学科知识上所拥有的“深刻理解”，在很大程度上源于具有中国特色的、合作探究式的教师在职培训模式（Paine, 1992, 2002）。
（3）寻找不同的问题解决途径——对东西方数学课堂教学的比较研究
斯蒂文森（H. Stevenson）和斯蒂格勒（J. Stigler）对中、日、美三国小学数学教学方法的比较中发现：中国和日本的课堂教学是精心设计的、轻松的和非权威性的，“教师常常让学生主动地进行探索，课程以问题解决为导向而并非集中于事实和程序的机械掌握…”（Stevenson & Stigler, 1992，p. 177），因此，中国和日本的数学教学不应被看成机械的、单纯讲授式的，学生也并非处于被动接受的地位，而是学习活动的积极参与者（郑毓信，2001）。
通过对日本、德国和美国八年级的数学课堂的深入分析，斯蒂格勒与赫伯特（Stilger and Hiebert，1999）对三个国家的数学课堂给出了一个生动的描述：在一节典型的日本数学课中，教师通常出示一个复杂的问题，要求学生独立地寻求各种不同的解法，然后是小组讨论, 接着由教师和学生一起对各种解法的优缺点进行分析；而在一节典型的美国数学课中，则常常由教师先给出某类问题的解法，然后让学生练习一批类似的问题。日本课堂中所采取的这种“一题多解”的做法，也正是中国数学教学的一个典型特征，它与西方的数学教学方法有着明显的差异。
显然，上面这几项研究所反映出的中国数学教学的一些基本特点，如对概念、原理的多角度理解，课堂教学的有层次推进，及一种问题的多种解法等，与“被动灌输”和“机械训练”的观点是背道而驰的。可以说，“中国学习者悖论”的形成，不仅与西方学者所持的哲学与理论观点有关，而且更可能源于他们对中国数学教学表面现象的解读。因此，要解释“中国学习者悖论”，首先必须对中国数学教学有更深层次的理解。
1.3 聚焦变式教学
西方研究界之所以形成两种对中国数学教学的不同看法，除了外部观察者的局限性和文化偏见外，一个重要的原因是对教与学的本质的不同理解。例如，马登等学者（Marton et al., 1996; 1997）认为，一些西方研究者之所以把“中国学习者”描述为“机械学习者”（rote-learners），是因为他们往往把记忆与理解看成是对立的两个方面，而将重复学习与机械学习相提并论，事实上，有变化的重复学习也可以是有意义的学习。
马登(Marton ，2002)进一步指出, 在日本和中国的课堂教学中，学生通过同一个问题做着不同的事情（一题多变或一题多解），而在美国的数学课堂中，学生通过不同的问题重复做着同一件事情（同一过程，同一方法）。根据马登的现象图式学(Phenomenongraphy)的变异理论(Theory of variation) (Bowden & Marton, 1998; Marton & Booth,1997; Runesson, 2001; Rovio-Johansson, 1999)，这一教学差异具有
典型性，因此，对教学变异（variation）的理解也许是解释中美数学教学差异的一个关键所在。
而从实践的角度看，中国传统的变式教学，与马登的变异理论有许多相似之处, 对变式教学的经验和理论的反思与讨论, 将有助于对“中国学习者悖论”的解读。事实上，变式教学作为一种传统和典型的中国数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且也经过了实践的检验。本文以“青浦实验”有关变式教学的研究为基础，从一个特定的角度对中国数学变式教学进行经验反思与理论分析，进而从深层次上去解释悖论。与此同时，也希望通过对变式教学的研究，揭示中国数学教学的本质特征，并进一步探索和构建变式教学的理论框架。
2 经验与实验
变式教学在中国由来已久，被广大教师自觉或不自觉的运用，其中也不乏经验性的教学研究。正是在这个基础上，顾泠沅（1981）对变式教学进行了系统而深入的实验研究与理论分析。这项研究主要涉及两个方面的工作：一是对传统教学中的“概念变式”进行系统的恢复与整理；二是将“概念性变式”推广到“过程性变式”，从而使变式教学既适用于数学概念的掌握，也适用于数学活动经验的增长。
2.1 概念性变式——对概念的多角度理解
传统的变式教学主要用于概念的掌握，如《教育大辞典》（顾明远主编，1999）对“教学变式”词条的解释是：
“在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一。即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。”
传统意义上的教学变式主要包括两类：一类是属于概念的外延集合的变式，称为概念变式，其中又可以根据其在教学中的作用分为概念的标准变式和非标准变式；另一类是不属于概念的外延集合、但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，称为非概念变式，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式。所有这些概念变式和非概念变式，我们统称为概念性变式。概念性变式在教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解。
（1）通过直观或具体的变式引入概念
数学概念的一个基本特征是抽象性，但许多数学概念又直接来自具体的感性经验，因此，概念引入教学的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。
顾泠沅（1981）的研究表明，影响学生掌握几何概念的主要因素有三个：已具备的图形经验、概念的叙述以及掌握概念所依据的图形变式。
以两条异面直线的概念教学为例。实践表明，异面直线概念的教学主要有两个难点：一是概念的定义（内涵）比较抽象，学生不易理解；二是异面直线属于三维图形，用平面直观图去表示难免会造成视觉上的失真，从而也为概念对象（外延）的鉴别带来困难。针对这两个难点，有经验的教师通常会借助于下面两类变式：一是通过日常生活中的直观材料（如图1左）组织已有的感性经
验，使学生理解概念的具体含义；二是利用不同的图形变式（如图1右），作为直观材料与抽象概念之间的过渡，使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形的水平，进而掌握概念图形的基本特征，准确地把握概念的外延空间。
直观材料
图1 异面直线的直观材料与图形变式
这里必须强调的是，在概念的引入阶段，具体或直观变式的主要作用是建立感性经验与抽象概念之间的联系。由于数学概念的本质是抽象的，因此，在教学的适当阶段还应尽可能地摆脱具体或直观的背景，使概念上升到抽象水平。
此外，许多数学概念都是逐次抽象的结果，因此，数学概念的具体与抽象是相对而言的。例如，在说明“方程”概念的本质属性：“含有未知数的等式”时，可以用下面的概念变式：
1,01,1243,534,213
,12222=+=?=+=?=+=y x x y x x x x 这些变式虽然本身也是抽象的代数符号表达式，但相对于“方程”概念来说，则是直观和具体的。
（2）通过非标准变式突出概念的本质属性
和一般科学概念一样，数学概念是一种外延性概念，也就是说，每个概念都有一个明晰的边界，掌握概念意味着能够通过内涵去确定一个具体的对象是否在这个边界内。因此，教学的一种有效途径就是将概念的外延作为变异空间，将其所包含的对象作为变式，通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。
在概念的对象集合中，尽管从逻辑的角度看，每个对象都是等价的，但实际上，这些对象在学生的概念理解系统中的地位并不相同。特别地，其中一些对象由于其拥有“标准的”形式、或者受到感性经验的影响、或者在引入概念时的“先入为主”等原因而成为所谓的标准变式，如图2：
标准图形
非标准图形
垂直 平行四边形 三角形的高
图2 几何概念的标准与非标准图形变式
在这两种概念变式中，标准变式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延。解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准变式，通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性。
（3）通过非概念变式明确概念的外延
概念的内涵与外延是对立而统一的，内涵明确则外延清晰，反之亦然。因此，概念的教学除了在内涵上下功夫外，还应该使学生对概念所包含的对象集合有一个清晰的边界。
数学概念通常都不是孤立的，而是存在于一个由多种概念组成的概念体系之中，我们可以用下面的示图来表示概念之间的联系：
图3 概念之间的关系
图中显示了概念
A 与其他一些概念之间的关系。其中
B 是A 的上位概念，
C 是A 的下位概念，A 和
D 是相交关系，A 与
E 则是矛盾关系。因此，要明确概念的外延就必须划清概念与其周边概念之间的边界。
这里的一条有效途径就是利用所谓的“非概念变式”，如平面几何中的非概念图形。通过非概念图形与概念图形的比较，可以十分直观地理解概念的本质属性。 概念图形 非概念图形
邻角
对顶角
圆周角
图4 用于概念辨析的非概念图形变式（顾泠沅，1981）
非概念变式的形式多样，其中常用的还有所谓的“反例变式”，如：
图5 作为反例的变式（顾泠沅，1981）
上述这类非概念变式一般有两个来源：一是来自概念之间的逻辑关系；二是基于学生常见的错误。教师运用“非概念变式”进行教学，一方面可以帮助学生建立相关概念之间的联系；另一方面也可以预防或者澄清学生在概念理解时可能出现的混淆，从而确切地把握概念变式的本质特征。
可见，中国数学教师运用概念性变式进行教学的基本特征是：通过各种概念变式之间、以及概念变式与非概念变式之间的差异与联系来把握概念的内涵与外延，实现对概念的多角度的理解。这显然不是一种“被动灌输”。
2.2 过程性变式——数学活动的有层次推进
在数学教学中，除了概念教学外，还包括数学活动经验的教学。由于数学活动经验通常镶嵌在动态的数学过程之中，而静态的概念性变式难以反映这种动态的特征，因此，在上世纪八十年代初，顾泠沅（1981）提出了“过程性变式”的概念，并将教学变式从概念教学推广到活动经验的教学。
数学活动过程的基本特征是层次性。这种层次性既可以表现为一系列的台阶，也可以表现为某种活动策略或经验。因此，过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。具体说来，过程性变式在教学中主要有以下三个方面的作用：
（1）用于概念的形成过程
概念性变式局限于将概念作为一个既成事实（确定对象）进行教学，而实际上，每个概念都有一个形成的过程。让学生体验这个过程，特别是让学生了解引进概念的必要性，将有助于他们对概念本身的掌握。
例如，在“方程”概念的教学中，主要有两个困难：一是“平衡”的思想，二是未知数的含义。如果我们只是让学生记住方程的定义：“含有未知数的等式称为方程”，及给出一些具体的概念性变式让学生鉴别的话，学生通常也能判别哪些是方程，哪些不是方程，但这时候学生对方程概念的理解只是形式的、外延性的，并没有真正理解方程概念的本质属性。中国教师解决这个问题时，常常利用一些“过程性变式”进行多阶段铺垫，逐步地形成概念：
铺垫一：用具体的事物表示未知量。
在这一阶段，可让学生尝试用直观的方法去解决一些具体的问题，如：“小明用两元钱去买三块橡皮，结果找给他两角钱。问：每块橡皮多少钱？”这个问题可以形象地表示如下：
铺垫二：用简写记号表示未知量。 ①“垂直于半径的直线是圆的切线”吗？ ②“对角线互相垂直的四边形是菱形”吗？
2元 -= 2角 或 2元 - =2角 (1)
在（1）式的基础上，可以用“橡皮”拼音的第一个字母“x”代替直观的图形，从而简化为缩写记号的形式：
2元 - 3 x = 2角 （2）
在将“元”统一化成“角”后，可去掉上式中的单位，进一步简化为：
20 - 3 x = 2 （3）
上面的三类式子在某种意义上反映了数学史上形成代数符号系统的三个阶段，即从“象形代数”到“简写代数”再到“符号代数”。通过这个过程，不仅可以让学生体验到“字母”代“数”的简洁性，同时也建立了“方程”概念的具体模型。但这个时候，学生对未知数的理解仍停留在具体的对象上，也就是说，在学生眼里，（2）、（3）两式中的“x”表示的是具体的橡皮的价值，而不是一般化的符号。为了使“x”从“物化符号”蜕变为“抽象符号”，教学中可进一步设置下面的铺垫：
铺垫三：用教学符号“□”代替物化符号“x”。
于是，（3）式变为：
20 - 3 □ = 2 （4）
虽然从形式上看，从（3）到（4）式离“方程式”的写法似乎远了，但实际上，（4）式中的“□”更具有一般的意义。我们可以把它想象成一个可在其中填写数字的方框，让学生进行填数游戏，并考察填入哪个数时，等号的两边相同。待学生找到所需的数值后，让学生明白，这就是我们要求的未知数的值。这样，再回到（3）式时，式中的“x”就已经不是原先那个表示特定对象的物化符号了，而已经成了一个像“方框”那样的可以往里面填数的一般符号。通过这种填数游戏，不仅可以使学生认识到“未知数”的本质属性，而且也使学生初步体验到“平衡”的思想。
用于概念教学的过程性变式，与概念性变式的作用是不一样的。前者的目的是为概念的建构提供一个有层次推进的过程，而后者的主要目的则通常是对一个成形的概念进行多角度的理解。
（2）用于问题解决的教学
数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题化归为已知的问题，将复杂的问题化归为简单的问题”（弗里德曼等，1985）。但由于未知（复杂）问题与已知（简单）问题之间往往没有明显的联系，因此需要设置一些过程性变式在两者之间进行适当的铺垫，作为化归的台阶。如：
图6 数学问题解决的变式铺垫
运用变式为划归作铺垫，成为中国教师引导学生进行问题解决的关键环节。学生的数学活动经验在一定程度上就体现在变式问题的丰富性及化归策略的多样性上。以下是过程性变式在问题解决教学中的作用的一个实例：
如图7，ABCD 是梯形，BC//AD。已知△AOD、△BOC 的面积分别是S 1和S 2，求证：梯形ABCD 的面积22112S S S S S ++=。
要解决这个问题，必须找到梯形面积与两个已知三
角形面积之间的关系；由于梯形可以分割为四个三角形，
因此，问题又转化为寻找△AOB、△COD 的面积与已
知三角形面积S 1和S 2的关系。这样，解题的关键就是
图7 找到有关已知与未知三角形面积的变式问题。在这里，对图形构造作如下的变式分析，可为该问题的解决提供合适的铺垫：
①
②
③ ④
图8 对图形构造的变式分析（顾泠沅，1981）
实验表明，通过对问题的多层次的变式构造，使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，是学生积累活动经验、提高问题解决能力的一条有效途径（顾泠沅，1994）。 （3）用于构建特定的经验系统
设置过程性变式的主要目的，是在数学活动经验的教学中，增加活动途径的多样性和活动过程的层次性。每个数学活动过程通常都涉及一个或一系列的过程性变式，其中既包括作为化归/探究台阶的变式，也包括用于引发化归/探究策略的变式。所有这些变式就形成了一个有层次的经验系统，成为认知结构的一个重要组成部分。
我们的研究表明，知识体系反映的是概念/命题的客观的逻辑结构，而经验系统则更多的表现为学习者主观的问题解决的特定经验，两者合起来便形成了学习者的认知结构。其中，经验系统的丰富性与有效性对于认知结构的完善至关重要。 用于构建特定经验系统的变式，通常来自问题解决的三种拓展：（1）一个问题多种变化，其中既包括用于铺垫的变式，也包括对原问题的各种引申（如改变条A B O C D
A B O C D A B O C D A B
O
C D A B O C
D
A B O C D A B O C D
A B
O C D A B O C D
件、改变结论、一般化等）；（2）一个问题多种解决方法，也即将同一个问题的不同解决过程作为变式，去联结各种不同的解决方法；（3）同一方法解决多种问题，即将某种特定的方法用于一类相似的问题，由此可产生一些用于引发化归/探究策略的变式。
综合上面的分析可以看到：在概念的形成过程中，过程性变式反映了概念形成的逻辑过程、历史过程或者心理过程，从而使学生的学习可以循序渐进地进行；在问题解决的过程中，过程性变式既可以表现为一系列用于铺垫的命题或概念，也可以表现为某种活动策略或经验，从而使学生的问题解决活动具有多个台阶或者多种途径；在形成认知结构的过程中，过程性变式构成一个多层次的经验系统，从而使学生原有的间断的、琐碎的活动经验成为一个有机的整体。
也就是说，“过程性变式”的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生逐步形成概念或者解决问题，从而形成多层次的活动经验系统。可以肯定的是，这种教学方式并不是一种“机械训练”。
2.3 有关过程性变式的一项实证研究
从前面的分析中可以看到，概念性变式与过程性变式的特点和作用均有差异：前者是静态的，侧重于对象之间的比较，通过概念对象和非概念对象的变异突出概念的本质属性及其固有边界；后者是动态的，侧重于过程之间的联系，通过对数学活动过程的析离或分割，在前后知识之间进行适当的变式铺垫。因此，在过程性变式中，一个必须考虑的问题是：如何设置作为教学铺垫的变式，使其与前后知识之间有一个合适的距离。为此，顾泠沅引进了“潜在距离”的概念，以此来衡量所探究问题与知识固着点之间的接近程度，并于1987-1988年期间，在青浦进行了相关的教学实验（顾泠沅，1994）。
在这项实验研究中，分别对青浦县初中三个年级的180名学生进行了两次测试： ?第一次测试：探究由两圆半径及圆心距的数量关系判断两圆的位置关系。
?第二次测试：探究由格点图中的内点数和边点数确定图形的面积。
测试的目的是考察学生在问题解决中，“知识固着点”与所探究问题之间的“潜在距离”。这里，所谓的“知识固着点”是指对学习新知识、解决新问题起支撑作用的原有知识，或者说是能使所获得的新知识被固定在认知结构中某一部位的那些知识。而“潜在距离”则表示新旧知识（问题）之间的接近程度。
两次测试均表明，所探究的问题与“知识固着点”之间存在着不同的“潜在距离”。其中，第一次的结果见下面的示意图：
如图所示，在探究两圆位置关系时，各年级知识固着点与问题的潜在距离差别较大：初一尚未开设几何课，学生仅有线段长短的知识，距离最远；初二学了三角形后，距离有所缩短；初三刚学过直线与圆的位置关系，距离最为接近。这是因为教材安排的内在系统性，各年级学生的知识总是逐步丰富的，所以问题与知识固着点的潜在距离必然逐步缩小。
研究表明：探究问题需要有一定的知识固着点，或者说要有合适的潜在距离。对同一问题来说，知识固着点与所探究问题的潜在距离的大小，能影响探究活动的难易程度和教学水平。当两者的潜在距离较小（短距联结）时，属于近迁移，易于学生的理解和掌握；当两者的潜在距离较大（长距联结）时，属于远迁移，有利于激发学生的探索能力。
“潜在距离”实验有助于我们加深对过程性变式教学的理解，即在有层次推进的过程性变式教学中，可以通过适当铺垫，调整前后知识之间的潜在距离来决定变式教学的取向——探究式还是接受式。这一点，对传统变式教学的革新至关重要。
3 理论反思
上一节中，我们在经验与实验的基础上，对变式教学的概念、分类及其教学含义进行了分析。本节我们将从教育心理学及数学学习理论两个角度对变式教学进行理论上的探讨。
3.1 有意义学习
不同的学习理论从不同的角度，对学习进行了不同的理解和描述。例如，极端建构主义（Radical constructivism）认为，知识不可能由教师传送给学生,只可能是学习者通过自己的亲身体验来建构；而社会建构主义(Social-constructivism)却认为，学习是在教师的帮助下，在最近发展区(Zone of proximal development简称ZPD)内，学生通过亲身体验及与同伴的交流来获得的。
由于中国传统的数学教育偏重学科知识的传授，以学生数学知识体系的建构为教学的基本取向,因此，我们选择奥苏贝尔有意义学习理论(Ausubel, 1968)作为我们理解学习的出发点。奥苏贝尔认为，意义学习的根本要素是新知识与学习者原有知识建立合理和本质的(nonarbitrary and substantive )联系。这种合理和本质的联系指的是新知识与学习者认知结构中的某些特殊相关的方面有关联,例如,一个图象、一个符号、或一个概念和例题。那么，教师如何帮助学生建立和巩固这种联系？教师又如何判断学生是否真正建立了这种联系呢？以上变式教学研究结果可以很好地回答这一问题。
（1）概念性变式与本质联系。通过创设适当的“概念性变式”，让学生多角度地理解概念：由直观到抽象，由具体到一般，排除背景干扰，凸现本质属性和明晰外延等。这样，通过概念性变式教学，有利于学生真正理解概念的本质属性，进而建立新概念与已有概念的本质联系。
（2）过程性变式与合理联系。利用适当的“过程性变式”，可以帮助学生体验新知识是如何从已有知识逐渐演变或发展而来的，从而理解知识的来龙去脉，形成
一个知识网络。将这种有层次推进的变式用于概念的形成、问题解决和构建活动经验系统，可以帮助学生融会贯通、优化知识结构。于是，前后知识之间便建立了合理的本质联系。
（3）有意义学习的判据。如何判断学生是否真正理解新知识？或者说是否真正建立了前后知识的本质联系呢？一种有效的手段是给学生提供一组围绕相关知识的变式问题让学生去解决。如果学生能解决这些问题，说明他们是真正理解了所学的知识，而且这个新知识已经纳入到他们已有的知识结构中去。因此，变式问题作为一种评估工具，可为教师提供对学生数学学习结果的反馈。
这样，通过概念性变式可以促进学生的有意义学习，从而摆脱一味的被动灌输；而通过过程性变式可以帮助学生形成良好知识结构及灵活的问题解决能力，从而避免反复的机械训练。综观上述两个方面，组织合理的变式教学可以促进学生有意义的主动学习，帮助学生构建良好的知识结构，进而发展他们灵活的问题解决能力。
3.2 两种变式的关系
3.2.1 数学学习对象的两重性
这里, 我们将根据数学学习的特点来分析前述两种变式之间的关系。要分析两种变式的关系，首先要讨论数学学习对象的两重性。根据数学教育心理学及认知理论的研究,许多数学概念具有两重性(Sfard, 1991; Sfard & Linchevske, 1994)，它们既表现为一种过程操作,又表现为一种对象结构。事实上，数学学习对象往往兼有这两种不同的角色, 因此, 在数学学习中要兼顾这两方面的特性。数学学习往往要经历由过程开始,然后转化为对象的认知过程。最终结果是这两者在认知结构中共存,在适当时机分别发挥不同作用。下面, 我们用实例来阐明数学学习对象的两重性及相互关系。
（1）数学化与情境化
概念学习的一种方式是通过对实物的操作, 经过形式化成为数学概念。以带余除法概念的学习为例（如图9）。
图9 带余除法概念的形成及应用过程 实物 算式 2 7 6
1 3 7÷ 3 =
2 ……………1 除数 商
余数 除数形式化 寻找意义
? 数学化与寻找意义。教师可以利用儿童生活经验：除法就是分豆子，来导入“余数概念”及“有余除法概念”。如，7颗豆子平均分到3个盘子，每个盘子放几颗？分剩下来有几颗？那么剩余的不够再分的豆子数就是“余数”了；盘子里试着放几颗豆子的做法就是“试商”… , 在这里，从实物到算式是“形式化”的过程，从算式运算回到实物解释是“寻找意义”的过程。数学化就是在具体、半具体、半抽象、抽象中间的铺垫，是穿梭于实物与算式之间所作的形式化过渡。
学生体验了数学化的过程，不仅加深了对“有余数的除法”的理解，而且有利于进一步寻找算式中的规律。譬如说，当老师让学生思考被除数、除数、商和余数之间有什么关系时，学生不仅能说出“除数乘商加上余数等于被除数”，而且还能清楚地解释“余数一定比除数小”是因为“如果余数比除数大，就是分剩的豆子数比盘子数多，那么每个盘子里至少还可以再分一颗豆子”。
? 具体与抽象。实物与算式之间存在着一道鸿沟，如何架起两者之间的桥梁是教学成功与否的关键。优秀的教师会设计如下过程：先是具体地分豆子，然后让学生放掉豆子和盘子，在脑中分豆子，如此多次之后，便会自然而然地越过了上述鸿沟。这种的处理方式符合布鲁纳（Brunner ，1964)思维发展三水平理论（如图10），其中脑中分豆子是一种“表象操作”，它是从“实物操作”到“符号操作”的重要中介。
图10 “分豆子”与数学三水平操作 (2)认知冲突与逻辑发展 另一种概念学习是通过对已有数学概念的操作, 出现矛盾，为解决这一矛盾而引入新概念。以无理数概念的产生为例。
? 问题的引入与尝试。假设学生已有的数系概念仅仅扩充到有理数，要求学生作一个边长为
1的等腰直角三角形,并计算斜边的长度(记为2)。 首先，学生会尝试用已有的数去逐步逼近它，即：
221<<,5.124.1<<,42.1241.1<<,…
如此继续下去，无穷无尽。
? 认知冲突。 上述尝试失败后，使学生怀疑它是否是一个有理数？
假如它是一个有理数，那么它可以表示为两个互素的整数之比，设
实物操作 表象操作 抽象操作 分豆子 （具体）脑中分豆子 （半具体、半抽象）算式运算（抽象） （寻找意义）
n
m =
2(m,n 互素)。 两边平方得:222n m =。 所以m 必为偶数,设m=2k,于是, 222)2(n k =,即, 2
22n k =。
所以n 也为偶数。这与m,n 互素矛盾。 因此，2不是有理数。
? 构造无理数。2是“何物”？于是，有必要定义这类新的对象。这样就产生了无理数的概念。例如，可用戴特金分划或有理数序列的极限等方式定义这类新数。
在上述讨论中，无理数概念是经过操作而形成的，在概念的形成之初，这是一个操作过程。但是，一旦无理数概念引入、数系扩充到实数后，无理数已经成为一个对象而存在。于是，无理数作为各种实数运算的操作对象，又成为形成新的概念（如复数）的操作基础。正如有的学者指出，一个概念实际上是一串概念链中的环节, 一个概念既是下位概念的操作结果——对象结构, 也是其上位概念的操作对象——过程(李士琦, 2001)。 综上所述，数学学习对象（objects ）的两重性往往表现为过程的操作性和概念的结构性。前一个属性体现数学对象的形成方面的特点，而后一个属性体现了数学对象的本质特点。
3.2.2 两种变式的关系
现在让我们来分析一下，两种变式策略与数学学习的关系。首先，通过概念性变式教学，有助于揭示概念的本质属性、界定概念的外延，这样有助于帮助学生理解概念的本质，也就是数学对象的结构性特征。其次，通过过程性变式，有助于帮助学生建立前后知识的内在合理联系，形成良好的知识结构。因此，根据数学学习对象的两重性，这两种变式分别促进学习对象的两个侧面的发展，这两个侧面的相互作用,促进了对学习对象的本质理解及良好的认知结构的构建。
3.3 理论建构
概念性变式和过程性变式是变式教学的两大基本策略。概念性变式的目的在于帮助学形成对学习对象本质属性的多角度理解, 而过程性变式的目的在于建立学习对象与学习者已有知识的内在合理的联系。 因此, 这两方面对学生的学习都是关键的、而且是相辅相成的。
事实上, 基于对中国数学教学实践及实验分析所获得的两种变式观,也可以从西方的教学论中找到相关的理论基础和依据，如马登的变异理论和脚手架 ( Scaffoldings) 理论( Wood et al., 1976; Bruner,1985; Roehler 1997)。 下面对这两种理论进行简单的描述, 并进一步探讨这些理论与两种变式策略的关系。
3.3.1 变异理论与概念性变式
现象图式学认为, 学习是 “一种个体与世界的内在关系” (Marton & Booth, 1997, p.115)。 学校的教学目的是为学生如何面对不断复杂化的未来社会作准备, 这样,学习的最重要形式是使学生能够以不同的方式去看待某个学习对象(Bowden&Marton,
1998)。马登（Marton，1999）进一步指出，学习意味着发现一种看待事物(对象)的方式, 而这种方式的建立是基于对学习对象关键特点的分辨(discernment)及对这些特点的同时(simultaneous)聚焦。正是由于变异, 我们能够体验与分辨学习对象的关键方面。当不同的变异出现在同一时段时, 它们使学习者认识到学习对象的不同方面。通过比较变异与不变的方面, 一种模式出现了,因此某种学习便发生了(Bowden & Marton, 1998)。
根据变异理论, 变异是有效分辨的必要条件, 而分辨是学习的必要条件。如果没有变异, 世界上许多概念就没有意义或不存在。例如,假如世界上只有一种颜色, 那么颜色概念就没有意义。分辨性、同时性及变异性是描述学习的三个基本概念, 根据变异理论,在教学时, 教师与学生如何通过互动建立聚焦于学习对象关键方面的各个变异范畴(dimensions of variation),进而构建一个变异空间(space of variation)让学生体验, 这对学生的学习是至关重要的。Marton(1999) 认为，对学习来说最重要的条件是在教学中构建适当的变异空间让学生去体验, 也就是说, 变异空间或称学习空间构成学习的必要条件。
如果把概念性变式与变异理论作一关联性分析，两者都强调通过提供适当的变式(或变异)揭示学习对象本质属性或关键的方面。变异理论更是从认识论角度阐明了对适当变异的体验是学习的必要前提, 这样, 变异理论为扎根于经验的概念性变式提供了理论依据。也就是说, 提供适当的概念性变式对学习相应对象来说是必要的, 进一步, 教学中所构建成的“变异空间”(由各种聚焦于学习对象关键特性方面的概念性变式所组成)构成了学习的必要条件。例如,数的概念的学习。数的概念有两个关键特征:多少(即基数)和第几个(即序号)。任何一个数都分别代表这两个变异范畴的一个值。但是,这种值对某一个数来说是没有意义的,它反映着数之间的差异。为了理解多少和第几作为两个变异范畴,及某个范畴中的具体值(如”3”和”第3”), 我们不得不同时考虑不同的数。
3.3.2脚手架理论与过程性变式
最近发展区：最近发展区(ZPD)指的是“学习者独立问题解决的实际能力与在成人指导下或与更有能力的伙伴合作下所达到的潜在发展水平之间的距离” (Vygotsky,1978, p.86)。维果斯基（Vygotsky）使用这个概念来描述学习, 特别强调教师的支持和同伴的交流在引发学生最近发展区的形成, 最终实现潜在的发展水平的重要性。正是由于对于教师如何帮助学生实现这个潜在水平的关注及研究, 一种新的理论,即脚手架理论便应运而生。
“脚手架”教学观：基于ZPD理论，伍德等(Wood, et al., 1976)在分析成人与小孩的互动中，曾采用“脚手架”一词来描述小孩如何在成人指导下的学习。通过搭建脚手架,成人控制超过学习者能力的任务成份，使学习者能集中精力于他们力所能及的学习任务成份，这样，学习者可能实现在现有能力下对高认知水平任务的难度跨越，取得在比没有帮助条件下更大的成绩。布卢纳（Bruner，1985）进一步指出,当我们将脚手架应用于教学中，我们指的是这样一个过程：一个有能力的人帮助孩子从他们的现有发展水平向潜在发展水平过渡的过程。
脚手架作为一种教学辅助手段，具有持续性与暂时性。在学习过程中，当孩子在脚手架的功能区中取得了足够的进步时，脚手架可能变得多余，教师应给予
拆除。同时，新的学习过程要求新的脚手架，脚手架移动至最近发展区内新的位置。作为支持学生进行知识建构与发展创造力的脚手架，它一方面可以起支持性的作用，以启发学生获得理解为目标，另一方面，为引导孩子朝向教师寻找的特定解答方向起支持作用。
“脚手架”与过程性变式教学策略：“脚手架”理论强调教师构架适当的、动态的“脚手架”以促进学生最近发展区的教学功能, 而且提供了相应的教学策略。虽然这一理论只提供了一般性的描述及建议, 但对分析变式教学策略也有一定的参考意义。“脚手架”教学功能可分为两大类：一类是情感方面的,另一类是认知方面的。就认知方面而言,它的作用主要是降低难度,明确关键点、目标的距离及示范解题过程。
值得注意的是，在中国传统课堂教学实践中，教师发展了一种与脚手架功能类似的、常用的过程性变式教学策略——铺垫。“铺垫”一词与脚手架一样，来源于对日常生活现象的描述，如用砖块或者石头作“铺垫”以便摘到树上原来够不着的果子。其教学引喻是：通过搭建适当的“台阶”使学习者完成原先完成不了的任务。从这一点上看,西方的脚手架理论与我国的过程性变式（铺垫）有许多相通之处，所不同的是,后者更关注数学学习的过程性及层次性。
3.3.3 数学变式教学的基本内涵
基于上述讨论,我们可以把数学变式教学的主要含义概括如下：
（1）有意义学习与两种变式
我们认为，有意义学习就是建立新旧知识的合理与本质的联系。而通过两种变式教学策略,可以有效地帮助学生理解学习对象的本质属性以及建立学习对象与已有知识的内在合理联系。这样可能避免教师的机械灌输与学生的死记硬背式的机械学习,促进有意义学习。
（2）两种变式的内在关系
两种变式教学策略分别服务于学习对象的不同方面。概念性变式用来构建合适的变异空间让学生体验学习对象的关键方面,形成对学习对象的本质理解，而过程性变式目的在于提供适当的铺垫，帮助学生建立学习对象与已有知识的内在合理的联系。由于数学学习对象具有两重性：过程操作和对象结构，这两种变式策略是共存互补、互相促进的，分别在不同情景、不同阶段发挥作用。
（3）教学含义
实施变式教学有两种策略，一种是概念性变式教学策略，另一种是过程性变式教学策略。概念性变式教学策略，可构建一个聚焦于学习对象关键方面的变异空间，让学生体验和理解概念的本质；过程性变式教学策略，通过铺垫来建立合适的教学脚手架，帮助学生建立新旧知识的内在合理联系，促进学生在“最近发展区”的发展。
这两种变式策略在帮助学生学习时分别起着不同的作用，它们是互为补充和促进的。通过变式教学可以促进学生的有意义学习。因此，有效的教学必须组织合适的潜在距离的过程性变式和构造合适变异空间的概念性变式。
4 结论与建议
4.1 变式是有效教学的中国式经验
中国数学教学的基本特征表现为多角度理解数学概念和原理，以及有层次推进数学活动过程。这些特点，在本质上，可以表现为在数学变式教学中的两种形态：概念性变式和过程性变式。
4.2 从变式教学理论角度对中国数学教学的分析
在以建构系统知识为取向的中国课堂教学中，实施有效变式教学的关键，在于确定合适的潜在距离和合理的变异空间。从表面上看，中国的大班教学、教师控制课堂教学的活动及进程、教师有较多的讲解等现象容易给西方学者一种教师为中心、学生被动机械学习的感觉。然而, 由前所述，透过教学的表象，深入分析课堂教学的组织与学生学习过程, 我们可以发现：在变式教学策略下, 教师主导的大班教学中, 学生仍然可以积极地投入到学习过程中，并获得有意义的学习，通过特定的变式教学策略,中国教学可以避免机械或被动的学习而达到有意义的学习。因此，所谓的“中国学习者悖论”,也许是西方学者从他们的哲学及学习理论出发, 根据中国课堂的表面观察而产生的一种错觉(Biggs & Watkins, 2001)。
4.3 改革新路向
上述我们从变式教学理论视角出发对我国数学教学的特点进行分析,在解读“中国学习者悖论”的同时,对我国数学课堂中可能出现的局限性进行剖析。我们认为在当前数学教育改革中,应该注意如下几个方面的问题:
（1）关注探索：铺设适当的潜在距离
以往我国课堂教学比较注重学科知识的传输以及教师的主导作用,通过一定的变式教学策略可以帮助学生理解和掌握系统的学科知识。国际比较研究一再表明，与西方学生相比，中国学生在基础知识、基础技能和解决常规问题等方面有相当的优势，但是在解应用性问题、开放性问题等方面则不尽人意。因此,对我国教学改革而言,除了要注意总结和保持我国的强处外,更要注意学习西方国家的一些优点,例如,强调对知识形成过程的探究,强调对情境性问题、开放性问题的探索。从变式教学角度来看,这些努力可落实在具体的教学过程中,例如,通过设计较远的潜在距离,及较大的铺垫台阶,可以增加对新知识的探究性和挑战性, 通过提供较为开放性的问题,可以促进创造性的问题解决能力。
（2）关注体验：构建适当的变异空间
聚焦于学习对象关键方面的变异空间,直接给学生提供了可能的学习空间,构成了必要的学习条件。这一空间的丰富程度将决定学生者对学习对象理解的深度和广度。如果这个空间太窄,它将提供不完整的学习条件导致对学习对象理解的偏差；反之，如果这个空间过宽, 虽然可以提供更丰富的探究可能性,但也会分散学习的注意力,从而影响对关键本质属性的理解与掌握。 因此,在变式教学中,师生共同构造一个适当的变异空间,将有助于获得探究性的有意义学习。
从更广义的角度来看，变式教学策略的重要性在于它为未来的变异作准备。由于未来具有更大的变异性和不确定性,因此，我们只有通过体验现在的变异才能为未来的变异作准备。
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