圆锥曲线三
圆锥曲线三
1．（本题满分14分）如图，抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点为F ，椭圆
22222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心
率e =，C 1与C 2在第一象限的交点
为
1).2
P
（1）求抛物线C 1及椭圆C 2的方程；
（2）已知直线:(0,0)l y kx t k t =+≠>与椭圆C 2交于不同两点A 、B ，点M 满足
0AM BM += ，直线FM 的斜率为k 1，试证明1
1
.4
k k -?>
x t y t =+'=-'??
?
24y x 2
4= 3．（本小题满分14分） 椭圆
22
221(0)x y a b a b
+=>>与直线10x y +-=相交于两点,P Q ，且⊥ （O 为原点）. （1）求证：
2211a b +为定值；（2
）若离心率2
e ∈，求椭圆长轴的取值范围。 4．过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A ，B 两点，求AB ．
22322
3
3
1
6．（本小题满分12分）已知21,F F 是椭圆1422
2=+y x 的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足121=?PF PF 过点P 作倾斜角互补的两条直线
PB PA 、分别交椭圆于B A ,两点，
（1）求点P 坐标;
（2）求证:直线AB 的斜率为定值; （3）求PAB ?面积的最大值．
7．双曲线122
22=-b
y a x (a >1,b >0)的焦距为2c,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且点(1,0)
到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥5
4
c.求双曲线的离心率e 的取值范围．
8．设抛物线y 2=4x 截直线y =2x +k 所得弦长|AB |=35.
(1)求k 的值；
(2)以弦AB 为底边，x 轴上的P 点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P 的坐标.
,8)1(:22=++y x C 0,2=?=
λ
λ求,
=
10．（1）已知椭圆的中心为坐标原点，且与双曲线2233y x -=有相同的焦点，椭圆的 离心率e=
1
2
，求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆2213x y m +=
m 的值. 11．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左准线恰为抛物线E ：y 2 = 16x 的准线，直线l ：
x + 2y – 4 = 0与椭圆相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）如果椭圆C 的左顶点为A ，右焦
点为F ，过F 的直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与椭圆C 的右准线分别交于N 、M 两点，求证：四边形MNPQ 的对角线的交点是定点．
12．如图，已知椭圆2
22:1(1)x C y a a +=>的上顶点为A ,右焦点为F ,直线AF 与圆
:M 22
6270x y x y +--+=相切.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0,AP AQ ?=
求证：直
线l 过定点，并求出该定点N 的坐标.
13．（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1（6，1）、P 2（-3，-2），求椭圆的方程.
14．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，点12 F F 、分别
是椭圆的左、右焦点，在直线2
a x c
=( a c 、分别为椭圆的长半轴和半焦距的长)上的
点
(2P ，满足线段1PF 的中垂线过点2F ．过原点O 且斜率均存在的直线1l 、2l 互
相垂直，且截椭圆所得的弦长分别为1d 、2d ． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)求2
221d d +的最小值及取得最小值时直线1l 、2l 的方程.
15．M 为双曲线)0(,122
22>>=-b a b y a x 上异于顶点的任一点,双曲线的焦点为
)0,(),0,(21c F c F -,设βα=∠=∠1221,F MF F MF ,求2
cot
2
tan
β
α
?的值.
16．（13分）已知椭圆C ：
（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2
（1，0），且椭圆C 经过点．
（I ）求椭圆C 的离心率：
（II ）设过点A （0，2）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且
，求点Q 的轨迹方程．
17．已知椭圆C:22x a +2
2y b =1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),
.直线y=k(x-1)
与椭圆C 交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C 的方程; (2)当△AMN
时,求k 的值. 18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
经过点
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
19．已知椭圆2222x y a b +＝1(a ＞b ＞0)
的离心率为2
，短轴的一个端点为M(0，1)，直
线l ：y ＝kx －
1
3
与椭圆相交于不同的两点A 、B. (1)若AB
，求k 的值； (2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M.
20．（14分）已知A （－2，0），B （2，0），动点P 与A 、B 两点连线的斜率分别为PA
k 和PB k ，
且满足PA k ·PB k =t （t≠0且t≠－1）．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）当t ＜0时，曲线C 的两焦点为F 1，F 2，若曲线C 上存在点Q 使得∠F 1QF 2=120O
， 求t 的取值范围．
21．(满分12分)已知点(1,0)F ，直线l ：1x =- 交x 轴于点H ，点M 是l 上的动点，过点M 垂直于l 的直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ．
（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若 A 、B 为轨迹C 上的两个动点，且4,OA OB ?=-
证明直线AB 必过一定点，并求出该定点． 22．在直角坐标系xOy 中,椭圆C 1:
2
22
2b y a x +
=1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,
F 2也是抛物线C 2：y 2
=4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|=3
5. （1）求C 1的方程；
（2）直线l ∥OM ，与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l 的方程.
23．设椭圆22
2:1(0)2
x y C a a +
=>的左右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且212
0AF F F ?= ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为11
3
OF ． （1）求椭圆C 的方程；
（2） 设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点(1,0)F -，交y 轴于点M ，
=，求直线l 的斜率．
24．已知椭圆的一个焦点F 1(0，－22)，对应的准线方程为y ＝－
4
2
9，且离心率e 满足：
32，e ，3
4
成等比数列． (1)求椭圆方程；
(2)是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x ＝－
2
1
平分．若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线 y 2
= – x 与直线 y = k ( x + 1 )相交于A 、B 两点, 点O 是坐标原点.
(1) 求证: OA ⊥OB;
(2) 当△OAB 的面积等于10时, 求k 的值.
26．已知点(1,0)A - ，(1,0)B ，动点M 的轨迹曲线C 满足2A M B θ∠=， 2
c o s 3A M B M θ?= ，过点B 的直线交曲线C 于P 、Q 两点. （Ⅰ）求A M B M +
的值，并写出曲线C 的方程；
（Ⅱ）求△APQ 面积的最大值. 27．本题满分16分）
如图，抛物线
x b bx x y M 与)0(:2
≠+=轴交于O ，A 两点，交直线x y l =:于O ，B 两点，经过三点O ，A ，B 作圆C 。
（I ）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上；
（II ）求证：圆C 经过除原点外的一个定点；
（III ）是否存在这样的抛物线M ，使它的顶点与C 的距离不大于圆C 的半径？
28．（本小题满分12分）
已知2
2y px =(0)p >，过点(2,0)作直线与抛物线交于两点，若两点纵坐标之积为
8-.
(1)求抛物线方程；
(2)斜率为1的直线不经过点(2,2)P 且与抛物线交于,A B (Ⅰ)求直线l 在y 轴上截距b 的取值范围；
(Ⅱ)若,AP BP 分别与抛物线交于另一点,C D ，证明：,AD BC 交于一定点M . 29．
给定抛物线
2
:4C y x =，F 是抛物线C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； （2）若
2FA BF
=，求直线l 的方程.
30．设椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率1
2
e =，右焦点到直线x y a b +=1的距
离d =
O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程;
（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A 、B 两点，证明点O 到直线AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值.
31．如图，椭圆C ：122
22=+y a
x 焦点在x 轴上，左、右顶点分别为A 1、A ，上顶点为B ．抛物线C 1、C ：分别以A 、B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，C 1与C 2相交于直线
x y 2=上一点P ．
⑴求椭圆C 及抛物线C 1、C 2的方程；
⑵若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M 、N ，已知点Q （2-，0），
求?的最小值．
32．设椭圆C: )0(122
22>>=+b a b
y a x 过点（0，4），（5,0）．
（1）求C 的方程；
x
（2）求过点（3，0）且斜率为
5
4
的直线被椭圆C 所截线段的中点坐标 33．（本小题满分12分）已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点1
()2A m ，A 点到抛物线焦点的距离为1.
（1）求该抛物线的方程；（2）设00(,)M x y 为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦MP ,MQ ,求证：PQ 恒过定点00(2,)x y +-
.（3）直线01=++my x 与抛物线交于E ,F 两点，在抛物线上是否存在点N ，使得△NEF 为以EF 为斜边的直角三角形. 34．（本小题满分13分）已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点为F （0,1）．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN|的最小值． 35．在平面内，设到定点F （0，2）和x 轴距离之和为4的点P 轨迹为曲线C ，直线l 过点F ，交曲线C 于M ，N 两点。
（1）说明曲线C 的形状，并画出图形； （2
）求线段MN 长度的范围。
36．（本小题满分12分）在ABC ?中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且
si n cos b A a B
=． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值．
37．如图，F 是抛物线x y 42=的焦点，Q 为准线与x 轴的交点，直线l 经过点Q ． （Ⅰ）直线l 与抛物线有唯一公共点，求l 的方程； （Ⅱ）直线l 与抛物线交于A 、B 两点记FA 、FB 的斜率分别为1k ，2k ．求证：21k k +为定值．
38．已知椭圆C ：
22
1169
x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，求PAB ?面积的最大值。
39．设1F ,2F 分别是椭圆E ：2
2221(0)x y
a b a b
+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线
交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =
，且2||4,AB ABF =?的周长为16 (1)求
2||AF ；
(2)若直线AB 的斜率为1，求椭圆E 的方程.
40．如图，椭圆C 的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =
，又椭圆C 上的任一点到椭圆C 的两焦点的距离之和为8.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若平行于y 轴的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点P 、Q ，过P 、Q 两点作圆心为M 的圆，使椭圆C 上的其余点均在圆M 外.求PQM ?的面积S 的最大值. 41．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135
的直线，被抛
物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
42．已知直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.
（1）若||4AF =，求点A 的坐标；
（2）若直线l 的倾斜角为45?，求线段AB 的长. 43．（本小题共14分） 已知0>p ，动点M 到定点F ??
?
??0,2p 的距离比M 到定直线p x l -=:的距离小2p .
（I ）求动点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设B A ,是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0=?,求AOB ?面积的最小值；
（Ⅲ）在轨迹C 上是否存在两点Q P ,关于直线()02:≠??
?
??-=k p x k y m 对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.
44．已知12F F 、为为双曲线22
221
x y C a b -=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂
直于x 轴的直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ?为等边三角形.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与
,P Q 两点，
求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；
（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ?的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.
45．已知椭圆具有性质：若B A ,是椭圆C ：0(122
22>>=+b a b
y a x 且b a ,为常数)上
关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点，若直线PA 和PB 的斜率都存在，
并分别记为PA k ，PB k ，那么PA k 与PB k 之积是与点P 位置无关的定值22
a b -．
试对双曲线0,0(122
22>>=-b a b y a x 且b a ,为常数)写出类似的性质，并加以证明．
46． （本小题共13分）是焦点，
和上的一点，是椭圆已知点212
2145P F F x y =+
的面积，求且21021PF F 30PF F ?=∠.
47．如图，在椭圆
22
18
x y m +=中，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，B 、D 分别 为椭圆的左、右顶点，A 为椭圆在第一象限内的一点，直线AF 1交椭圆于另 一点C ，交y 轴于点E ，且点F 1、F 2三等分线段BD ． （1）求m 的值；
（2）若四边形EBCF 2为平行四边形，求点C 的坐标； （3）当CEO O AF S S ??=1时，求直线AC 的方程．
48．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上,离心率为
2
1
,椭圆的短轴端点和焦
点所组成的四边形周长等于8。 (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若过点(0,2)-的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点(,A B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求直线l 的方程。
49．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221(0)
x y a b a b
+=>>的离心率1
2
e =，直线:10()l x my m --=∈R 过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，
B 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点5
(,0)2
D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交
于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．
50．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>过点3(1,)2，且椭圆C 的离心率为1
2.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.
51．（本小题满分12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b x a y 经过点)3,2
1
(，一个焦
点是)3,0(-F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆C 与y 轴的两个交点为1A 、2A ，点P 在直线2a y =上，直线1PA 、2PA 分别与椭圆C 交于M 、N 两点．试问：当点P 在直线2a y =上运动时，直线MN 是否恒经过定点Q ？证明你的结论．
52．（本小题满分13分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，过焦点垂直于长轴的
弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点Q （－1，0）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x=－4于点E ，若λ= ，
EB u AE =，求证λ+μ为定值，并计算出该定值．
53．（本小题满分15分）
如图，已知椭圆221
x y m m +-=1（2≤m ≤5），过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及直
线x m =±的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设()f m AB CD =-． （Ⅰ）求()f m 的解析式； （Ⅱ）求()f m 的最值．
54．已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点（4，
（1）求双曲线方程;
（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：120MF MF ?=
（3）求21MF F ?的面积。 55．(本题满分12分）
对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线2
4x y =上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物
线另一点(,)n n n B S t 。 （1）试证：4(1)n n x S n =-≥
（2）取2,n n
x =并n C 为抛物线上分别为n A 与n B 为切点的两条切线的交点，求证
1121||||||221(1)n n FC FC FC n -++++=-+≥
56．已知椭圆)0(1:
2
2
22
>>=+
b a b y a x C 的焦点为1F )0,1(-，2
F )0,1(，且经过点)23
,1(P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，问在椭圆C 上是否存在一点M ，使四边形2AMBF 为平行四边形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由. 57．（12分）（2011?陕西）设椭圆C ：
过点（0，4），离心率
为
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．
58．已知椭圆的顶点与双曲线
112
422=-x y 的焦点重合，它们的离心率之和为513
，若椭圆的焦点在y 轴上．
（1）求双曲线的离心率，并写出其渐近线方程； （2）求椭圆的标准方程．
59． 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.
若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程;若角A 为0
90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 60．（本题满分12分）一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD 和矩形ABCD 的三边组成，拱的顶部O 距离水面m 5，水面上的矩形的高度为m 2，水面宽m 6，如图所示．一艘船运载一个长方体形的集装箱，此箱平放在船上．已知船宽m 5，船面距离水面m 5.1，集装箱的尺寸为长×宽×高=)(334m ??．试问此船能否通过此桥？并说明理由．
D
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1
是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线定义的运用》案例分析 双鸭山31 中郭秀涛 一、教学内容分析 本课选自《全日制普通高级中学教科书（必修）?数学》（人教版）高二（上），第八章（圆锥曲线方程复习课） 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性, 它是无数次实践后的高度抽象. 恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁. 因此, 在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义, 熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材，由于05 年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。 与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象, 难以理解. 如果离开感性认识, 容易使学生陷入困境,降低学习热情. 在教学时, 我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题, 进行点评, 强调“双主作用”的发挥. 借助多媒体动画, 引导学生主动发现问题、解决问题, 主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知, 提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性, 提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申, 精心设问, 引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学, 激发学习数学的兴趣. 在民主、开放的课堂氛围中, 培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点 数学专题复习系列 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0 两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点? f 2(x 0,y 0) =0 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2+y 2=r 2 (2)一般方程 当D 2+E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是2 4F -E D 22+.配方，将方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 圆锥曲线的第三定义及运用 一、 椭圆和双曲线的第三定义 1. 椭圆 在椭圆()22 22C 10x y a b a b +=f f ：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、B 的一点， 若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2=1=PA PB b k k e a ?-- 证明：构造△PAB 的PA 边所对的中位线MO ，PA MO k k =，由点差法结论：2 2 2 =1=MO PB b k k e a ?--知此结论成立。 2. 双曲线 在双曲线22 22C 1x y a b -=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2 =1=PA PB b k k e a ?- 证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2 b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。 二、 与角度有关的问题 例题一：已知椭圆()2222C 10x y a b a b +=f f ：的离心率2e =，A 、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲 线 22178 x y -=的一个交点，令PAB=APB=αβ∠∠，，则()cos =cos 2β αβ+. 解答： 令=PBx γ∠，由椭圆第三定义可知：21 tan tan =1=4 e αγ?-- ()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3=== cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5 γαβ γαγααγαβγαγαγααγ-++?=+++-? 点评： 其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 圆锥曲线定义的应用 一、复习提问：（写成学案的形式由学生填写） 先由学生讨论回答定义中应注意的几个问题及定义的作用 教师总结： （1）注意将定义中的常数a 2与|F 1F 2|进行比较 （2）注意双曲线定义中的绝对值对轨迹的影响 （3）第一定义给出了圆锥曲线上的点与两焦点间距离的和（或差）的关系； 第二定义是圆锥曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之间进 行转化的依据 一、 思维点拨 1、涉及到圆锥曲线上的点与两焦点问题可考虑利用第一定义解决 2、涉及焦点、准线、离心率及圆锥曲线上的点中的三者，常用第二定义解决 二、 基础练习 1、已知21,F F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，A 、B 时过焦点的弦，则2ABF ?的周长为（ ） （A ） 2 a (B) 4 a (C) 8 a (D) 2 a + 2 b 2、已知两定点)0,5(1-F ，)0,5(2F ，动点P 满足-||1PF ,2||2a PF =当3=a 和 5=a 时，点P 的轨迹分别为（ ） （A ）两个双曲线 (B) 两条射线 (C) 双曲线的一支和一条射线 (D) 双曲线的两支 3、P 是双曲线136 642 2=-y x 上一点，21,F F 是它的两个焦点，且,17||1=PF 则=||2PF ____________ 4、椭圆116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到椭圆右准线的距离为_________，点P 到左右准线的距离比为_________。 评注：（1）第3题学生往往忽视||1PF ≥a c -导致得出错误结论 （2） 第4题可利用第二定义将点P 到左右准线的距离比转化为到相应的 两焦点的距离比 三、 典例解析 例1、相距2000m 的两个哨所A 、B 听到远出传来的炮弹爆炸声。已知当时声 速是330m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到的时间相差4s ， 试判断爆炸点P 在什么样的曲线上，并求出曲线方程。 思路分析：（1）什么原因导致在在A 哨所和在B 哨所听到爆炸声的时间不同 ？ （2）应如何理解时间“相差”4s ？ 解答：（略） 学生思考：如何改变条件轨迹变为双曲线的一支？ 评注：1、有关动点与两定点的距离和（或差）为定值的轨迹问题，应利用定 义法求轨迹，并注意将定值与两定点间的距离进行比较 2、求轨迹的题目中若没有建系，则应建系设点，写出对应的轨迹方程， 若轨迹为双曲线则更应注意绝对值对轨迹的影响 练习1、在平面直角坐标系中，已知三角形ABC 中BC 边长为4，且三边AC 、 BC 、AB 长依次成等差数列，求顶点A 的轨迹方程。 思考：若增加条件∣AC ∣>∣BC ∣>∣AB ∣顶点A 的轨迹方程会如何改变 ？ 练习2、已知定圆9)3(:,1)3(:222221=++=+-y x C y x C ，动圆C 与C 1、C 2 都相内切，求动圆圆心C 的轨迹方程。 思考：若将条件改为与C 2相切，动圆圆心C 的轨迹方程回如何改变 ？ 江苏省响水中学高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》椭圆中的最值导学案 苏教版选修1-1 1、点P （x ，y ）为椭圆13422=+y x 上的任意一点，求y x -21的范围 2、求定点A （a ，0）到椭圆12 22 =+y x 上点之间的最短距离 3、设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率23= e ，已知点P )2 3,0(到椭圆 上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程。 4、设A,B 分别是椭圆120 362 2=+y x 长轴的左、右顶点，点F 为右焦点，点P 在椭圆上 且位于x 轴的上方，PF PA ⊥ （1）求P 点的坐标； （2）设点M 是椭圆长轴上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ， 求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值 教师个人研修总结 在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。 所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下： 1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开 展交流研讨，分享提高。 2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。 3.师徒结对：充分挖掘本校优秀教师的示范和带动作用，发挥学校名师工作室的作用，加快新教师、年轻教师向合格教师和骨干教师转化的步伐。 4.实践反思：倡导反思性教学和教育叙事研究，引导教师定期撰写教学反思、教育叙事研究报告，并通过组织论坛、优秀案例评选等活动，分享教育智慧，提升教育境界。 5.课题研究：立足自身发展实际，学校和骨干教师积极申报和参与各级教育科研课题的研究工作，认真落实研究过程，定期总结和交流阶段性研究成果，及时把研究成果转化为教师的教育教学实践，促进教育质量的提高和教师自身的成长。 6.专题讲座：结合教育教学改革的热点问题，针对学校发展中存在的共性问题和方向性问题，进行专题理论讲座。 7.校干引领：从学校领导开始，带头出示公开课、研讨课，参与本校的教学观摩活动，进行教学指导和引领。 8.网络研修：充分发挥现代信息技术，特别是网络技术的独特优势，借助教师教育博客等平台，促进自我反思、同伴互助和专家引领活动的深入、广泛开展。 我们认识到：一个学校的发展，将取决于教师观念的更新，人才的发挥和校本培训功能的提升。多年来，我们学校始终坚持以全体师生的共同发展为本，走“科研兴校”的道路，坚持把校本培训作为推动学校建设和发展的重要力量，进而使整个学校的教育教学全面、持续、健康发展。反思本学期的工作，还存在不少问题。很多工作在程序上、形式上都做到了，但是如何把工作做细、做好，使之的目的性更加明确，是继续努力的方向。另外，我校的研修工作压力较大，各学科缺少领头羊、研修氛围有待加强、师资缺乏等各类问题摆在我们面前。缺乏专业人员的引领，各方面的工作开展得还不够规范。相信随着课程改革的深入开展，在市教育教学研究院的领导和专家的亲临指导下，我校校本研修工作一定能得以规范而全面地展开。“校本研修”这种可持续的、开放式的继续教育模式，一定能使我校的教育教学工作又上一个台阶。 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 时间：2021.03.02 创作：欧阳数 2.如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直 线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C 于E、F两点；另外平面上的点G、H满足： 求点G的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率 ，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆的一条准线方程是 其左、右顶点分别 是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0. A D M B N l2 l1 （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证： 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为 a. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tan; （2）若2 圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用 北京一零一中学数学组 何效员 圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下 具有统一形式的基本保证。利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。 但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x =的距离之比为常数e 的点的轨迹讨论如下： ① 当1e =时，点的轨迹方程为1,(1)y x =≠， 直线去掉一点； ② 当1e >时，点的轨迹方程为211(1),y e x -=±-- (1)x ≠，两条直线去掉一点； ③ 当1e <时，点的轨迹不存在。 下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。 例1 已知椭圆22 143 x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使 ||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。 分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ， 则2222 ||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+， 求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M 点到右准线的距离d ， ||1 2 MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样 ||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线2 4a x c == M P F M x = 4 O y x 的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26 ( ,1)3 -. 例2 已知椭圆方程为22 221(0)y x a b a b +=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得 它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。 分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标， 继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时 的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双 曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。 设所求双曲线方程为 22 2 21(,0)y x m n m n -=>，其中 22222c a b m n =-=+，设两曲线在第一象限内的交点111(,)P x y ，12,l l 分别为椭圆，双曲线的上准线，过1P 作11PQ l ⊥于Q ，1 2PR l ⊥于R ， 22 1211111||||||||||c a c m PF e PQ e PR y y a c m c === -=-， 2211()()a m m y a y c c ∴-=-，解得 1am y c =，代入椭圆方程22221y x a b +=，得 1bn x c = ，利用双曲线与椭圆的对称性知 22 1122 4422abmn m n S x y ab ab c c +==≤?=，等号当且仅当22m n c ==时取得，故所求双曲线方程为22 2 2 2 a b y x --=，相应的四个顶点坐标为22(,)b a ±±. 例3 已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，过点 圆锥曲线的定义及其应用 一、教学目标： 1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题； 2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力； 3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题． 二、教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用． 三、教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合． 四、教学过程： （一）引入： 问题1：平面内到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？ 121286PF PF F F +=>= ∴P 的轨迹是以12(3,0),(3,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22 1167 x y + = 问：（1）若到两定点距离之和为改为6，则点P 的轨迹是什么？ （ 以12,F F 为端点的线段） （2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为焦点的双曲线的一支） （3）若改为到两定点距离之差为6，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为端点的射线） （通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件） 由学生总结椭圆和双曲线的定义 问题2：已知定点F （1，0），定直线:1l x =-，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d =，则P 点的轨迹是什么？ （F l ?，∴P 点的轨迹是以F （1，0）为焦点，以直线:1l x =-为准线的抛物线。） 问：（1）若点F 改为（－1，0），则点P 的轨迹是什么？ （2）当 PF d 为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF d 为何值时，所求轨迹是双曲线？ (通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，。 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 韩哥智慧之窗-精品文档 1 专题16：圆锥曲线全国卷高考真题选择题36道（原卷版） 一、单选题 1，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 2，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过 点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ?最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++= 3，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） A B C D 4，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 5，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04?? ??? B ．1 ,02?? ??? C ．(1,0) D ．(2,0) 6，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 设双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 高中数学复习专题讲座 第讲圆锥曲线综合题 Last revised by LE LE in 2021 题目 高中数学复习专题讲座圆锥曲线综合题 高考要求 圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整 重难点归纳 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的 (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域 (2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值 典型题例示范讲解 例1已知圆k 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心k 在抛物线C y 2 =2ax 上运动，MN 为圆k 在y 轴上截得的弦 (1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化 (2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系 命题意图本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力 知识依托弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识 错解分析在判断d 与R 的关系时，x 0的范围是学生容易忽略的 技巧与方法 对第(2)问，需将目标转化为判断d =x 0+ 2 a 与R =a x +2 0的大小 解 (1)设圆心k (x 0,y 0),且y 02 =2ax 0, 圆k 的半径R =|AK |=22 02020)(a x y a x +=+- ∴|MN |=22 02202022x a x x R -+=-=2a (定值) ∴弦MN 的长不随圆心k 的运动而变化 (2)设M (0,y 1)、N (0,y 2)在圆k (x －x 0)2+(y －y 0)2=x 02+a 2 中， 令x =0，得y 2－2y 0y +y 02－a 2=0，∴y 1y 2=y 02－a 2 ∵|OA |是|OM |与|ON |的等差中项 ∴|OM |+|ON |=|y 1|+|y 2|=2|OA |=2a 又|MN |=|y 1－y 2|=2a ， ∴|y 1|+|y 2|=|y 1－y 2| ∴y 1y 2≤0，因此y 02－a 2≤0,即2ax 0－a 2 ≤0 ∴0≤x 02 a 圆心k 到抛物线准线距离d =x 0+ 2 a ≤a ,而圆k 半径R =22 0a x +≥a 且上两式不能同时取等号，故圆k 必与准线相交 例2如图，已知椭圆1 2 2-+ m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及 圆锥曲线第三定义 令狐采学 在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则 2 2 a b k k PB PA -=?。（反之亦成立） 在双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则 22 a b k k PB PA =?。（反之亦成立） ★焦点在Y 轴上时，椭圆满足2 2 b a k k PB PA -=?，双曲线满足 22b a k k PB PA =? 例、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的长轴长为 4，若点P 是椭圆上 任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为k1、k2。若k1?k2=4 1 -，则椭圆的方程为。 变式： 1、设点 A ， B 的坐标为（-2，0），（2，0），点P 是曲线 C 上任 意一点，且直线PA 与PB 的斜率之积为4 1 -，则曲线C 的方程为。 2、设点 P 是曲线C 上任意一点，坐标原点是O ，曲线C 与X 轴 相交于两点M （-2，0）， N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为4 3 -，则OP 的最小值是。 3、已知ABC ?的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC ，BC 所在直线斜率之积为m （0≠m ），求顶点C 的轨迹。 4、P 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，M ，N 分别是双曲线的 左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为5 1 ，则双曲线离心率为。 5、已知椭圆12 322=+y x 的左右顶点分别是A 、B ，M 是椭圆上异于 A 、 B 的动点，求证：MB MA k k ?为定值。 6、平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系； 第三定义的应用 例、椭圆14 22 =+y x 的左右顶点分别是 A ， B ，点S 是椭圆上位于 X 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线3 10 := x l 分别交于点M 、N ， 4.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 2 6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 20.已知点)2,2(P ，圆C :082 2=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程； （2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积 （10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 （A ）[]1,1- （B ）1122??-????， （C ）?? （D ） ???? 20.设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：122 22=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。 （I ）若直线MN 的斜率为4 3，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0) 的离心率为 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 8.O为坐标原点，F为抛物线C：y2 ＝的焦点，P为C上一点，若|PF| ＝，则△POF 的面积为( )． A．2 B ． ．．4 21．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用 1. 了解圆锥曲线的统一定义,能够运用定义求圆锥曲线的标准方程. 2. 理解圆锥曲线准线的意义,会利用准线进行相关的转化和计算. 1. 阅读：选修11第52～53页(理科阅读选修21相应内容)；阅读之前先独立书写出圆锥曲线的统一定义,并尝试根据圆锥曲线的统一定义推导出椭圆方程. 2. 解悟：①写出圆锥曲线的统一定义,写出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)和双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0,b>0)的准线方程；②椭圆、双曲线、抛物线各有几条准线？有什么特征？ 3. 在教材上的空白处完成选修11第54页练习第2题(理科完成选修21相应任务). 基础诊断 1. 点P 在椭圆x 225＋y 2 9＝1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 到左准线 的距离为 25 3 . 解析：设椭圆的左,右焦点分别为F 1,F 2,由题意知PF 1＋PF 2＝2a ＝10,PF 1＝2PF 2,所以PF 1＝203,PF 2＝103.因为椭圆x 225＋y 29＝1的离心率为e ＝45,所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e ＝20 345＝253. 2. 已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点的横坐标为2,则该点到左焦点的距离是 33 5 . 解析：椭圆x 225＋y 29＝1,则a ＝5,b ＝3,c ＝4,所以离心率e ＝c a ＝4 5.由焦半径公式可得该点到左 焦点的距离为a ＋ex ＝5＋45×2＝33 5. 3. 焦点在x 轴上,且一个焦点到渐近线的距离为3,到相应准线的距离为9 5的双曲线的标准 方程为 x 216－y 2 9＝1 . 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1,焦点为(－c,0),(c,0),渐近线方程为y ＝±b a x,准线方程为x ＝±a 2c ,由题意得焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋ b 2＝bc c ＝ b ＝3,所以b ＝3.因为焦点到相应准线的 1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：直线与圆锥曲线问题的处理 方法(1) 高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解 例1如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4π 的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△ AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积 命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程 的思想 错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件 技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算 解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0 由方程组???=+=x y m x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0,解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2,∴|MN |=4)1(2m - 点A 到直线l 的距离为d ∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128 ∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号 圆锥曲线定义的运用 一、教学内容分析 本课选自《全日制普通高级中学教科书（必修） 数学》(人教版)高二 (上)，第八章（圆锥曲线方程复习课） 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略. 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新课标”下的课程、教材，由于05年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。 与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点: 学术正刊 圆锥曲线 基本定义 高中 1 LeO 著 第一定义 定义1.0（椭圆第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (2a >|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为椭圆。即：|PF 1|+|PF 2|=2a 。 定义1.1（椭圆焦点）：两定点F 1、F 2称作椭圆的左右焦点。 定义1.2（椭圆焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作椭圆的焦距。 解：如图1，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 1(?c,0)、F 2(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有： √(x +c )2+y 2+√(x ?c )2+y 2=2a ??1? ?1?式移项后再平方： (x +c )2+y 2=4a 2?4a√(x ?c )2+y 2+(x ?c )2+y 2 继续化简： (a 2?c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2?c 2) ??2? ?2?式中令b 2=a 2?c 2，化简得： x 2a 2+y 2 b 2 =1 证毕。 图1 图2 定义2.0（双曲线第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的差等于常数2a (2a <|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为双曲线。即：||PF 1|?|PF 2||=2a 。 定义2.1（双曲线焦点）：两定点F 2、F 1称作双曲线的左右焦点。 定义2.2（双曲线焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作双曲线的焦距。 解：如图2，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 2(?c,0)、F 1(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有： √(x +c )2+y 2?√(x ?c )2+y 2=±2a ??1? ?1?式移项后再平方： (x +c )2+y 2=4a 2±4a√(x ?c )2+y 2+(x ?c )2+y 2 继续化简： (c 2?a 2)x 2?a 2y 2=a 2(c 2?a 2) ??2? ?2?式中令b 2=c 2?a 2，化简得： x 2a 2?y 2 b 2 =1 证毕。圆锥曲线定义的运用
专题圆锥曲线(高三数学第二轮复习专题讲座)
圆锥曲线地第三定义
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
圆锥曲线定义的应用
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》椭圆中的最值 精品导学案 苏教版选修1-1
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全之欧阳数创编
圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用(供参考)
圆锥曲线的定义及其应用
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
圆锥曲线全国卷高考真题选择题36道(原卷版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练
高中数学复习专题讲座第讲圆锥曲线综合题
圆锥曲线第三定义及扩展
圆锥曲线近五年高考题(全国卷)
高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用
高三数学第二轮专题讲座复习：直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)
圆锥曲线定义的运用(精)
圆锥曲线-基本定义-第一定义