在数学分析中作辅助函数解题

2006年8月重庆文理学院学报(自然科学版)

Aug ,2006 第5卷 第3期

Journal of Chongqing Univers ity of Arts and Sciences (Nature Sciences Edition)

Vol 5 No 3

在数学分析中作辅助函数解题

江 婧1

,田芯安

2

(1.重庆文理学院 数学与计算机科学系,重庆 永川 402168;2.重庆文理学院 现代教育技术中心,重庆 永川 402168)

[摘 要]以实例论述了辅助函数在数学分析中的应用,以及构作辅助函数的7种方法 [关键词]辅助函数;构造;中值定理;函数性质

[中图分类号]O172.1 [文献标识码]A [文章编号]1671-7538(2006)03-0017-05

数学分析是高等院校数学专业的主干课之一,在数学分析中,无论是理论证明还是运用,通过构建辅助函数,往往能使问题得到简化 下面通过一些典型的题例说明辅助函数在数学分析中的广泛应用,并从如何构建辅助函数等方面进行一些探讨

1 辅助函数在数学分析中的应用

1.1 辅助函数在证明等式中的应用

证明等式是数学分析的重要内容之一,根据等式特征引入辅助函数,将大大简化证明过程 例1 证明

a

1f x 2

+a

2

x 2dx x

=

a

1f x +a 2

x dx x

a >0

分析:观看等式左右两边,发现等式左右两边f 函数的自变量x 和x 2

同形,于是令 t =x 2

,从而使左边化简为积分1

2

a

2

1

f (t +t 2)dt t

再比较这个积分的上限a 2

与右端积分的上限a 是两者惟一的区

别,因此这又提示我们分此积分为两段,得

12

a 2

1f (t +t 2

)dt t =

1

2

a

1f (t +t 2

)dt t +1

2

a 2

a

f (t +t 2

)

dt

t

再由这个积分与原证明等式比较,只需证明1

2

a

2

a f (t +a 2

t )dt t =12

a

1f (t +a 2

t )dt t 再令 t =a

2

u ,则

得

a

2

1

f (t +a 2

t )dt t

=

a

1f (u +a 2

u )dt t

证明:令x 2

=t ,则

a 1f

x 2

+a 2

x 2dx x =

1

2

a

2

1

f t +a 2

t dt

t

又

12

a

2

1f t +a 2t dt t =

12

a

1f t +a

2

t

dt t +1

2

a

2

a f t +a 2t dt t 又令t =a 2u ,即u =a

2

t

, 12

a

2

a f t +a 2

t dt t =1

2

a

1f u +a 2

u du u =1

2

a

1f t +a

2

t

dt

t

a

1f x 2

+a 2

x

2 dx x =1

2

a 2

1

f t +a 2

t dt t

=12

a 1

f t +

a 2

t

dt t

+1

2

a 1

f t +a 2t dt t

=

a

1f t +a 2

t dt t

=

a

1f x +a 2

x dx

x

[收稿日期]2006-06-12

[作者简介]江婧(1979-),女,重庆大足人,助教,主要从事基础数学研究.

1.2 辅助函数在证明不等式中的作用

证明不等式是数学分析的重要内容之一,根据不等式引入辅助函数,再利用函数性质证明不等式.

例2 设函数f x在0,1上连续且单调减少,证明:对任意a 0,1,均有

a0f x dx>a 10f x dx

分析:仔细观察所要证明的不等式,发现不等号主要是由于定积分的上限变化所致,故可以利用变上限积分构造辅助函数,再利用导数确定该辅助函数的单调性的方法加以证明

证明:令F t=1

t

t

f x dx 0 t 1

则F t=f t t- t0f x dx

t2

=

f t t-f t

t2

=

f t-f

t

0<

因为f x在0,1上单调减少,所以当0<

故F t在0,1上单调减少,于是对任意a 0,1,有F a>F1,即1

a

a

f x dx> 10f x dx,

亦即 a0f x dx>a 10f x dx

1.3 利用辅助函数求极限

例3 求lim

n

1

n+1

+

1

n+2

+ +

1

n+n

分析:此题求数列的极限,如果直接用数列极限的有关方法来求比较麻烦,但如果我们利用辅助函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题

解:

1

n+1

+

1

n+2

+ +

1

n+n

= n i=11

1+

i

n

1

n

又 f x=

1

1+x

在0,1上连续,从而可积,于是有:

lim n

1

n+1

+1

n+2

+ +1

n+n

=lim

n

n

i=1

1

1+

i

n

1

n

= 1011+x dx=ln2

1.4 利用辅助函数讨论方程的根

解方程f(x)=0,实质上就是求函数f(x)的零点 关于函数零点的问题一般是利用连续函数的性质及微分中值定理来解决

例4 已知f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)=f(1)=0,求证对任意实数a(0

分析:此题要证f(x0)=f(x0+a),即可证f(x0)-f(x0+a)=0 由此想到可构造一个辅助函数F(x),使得F(x)在点x0处取得的函数值为0,进而得证

证明:作辅助函数F(x)=f(x)-f(x+a),则有F(0)=-f(a) 0,从而有F(1-a)=f(1-a) 0 而F(x)在[0,1-a]连续,由连续函数介值定理:存在x0 [0,1-a],使得F(x0)=0,即f(x0)=f(x0+a)

1.5 利用辅助函数计算积分及求导函数值

有时确定被积函数的原函数是十分困难的,若能引入适当的辅助函数,困难就解决了

例5 计算I= 10ln(1+x)

1+x2

dx

分析:此题如果直接求解比较难,但如果根据定积分的特点,在定积分的被积函数里引入变量,从而构造出辅助函数,再利用积分的相关知识来解决此题,就比较简单

解:作辅助函数I (t )=

1

ln(1+tx )1+x

2

dx ,则I =I (1),I (0)=0

且f (x ,t )=

ln(1+tx )1+x 2和f t (x ,t )=x

(1+x 2

)(1+tx )

在(0 x 1;0 t 1)上连续, I (t )满足积分号下求导数条件 I (t )=

1

x (1+x 2

)(1+tx )dx =11+t

2[-ln(1+t )+12ln2+ t

4]

10

I (t )dt =

10

11+t

2

[-ln(1+t )+12ln2+ 4t ]dt = 4ln2-I (1)

又 10

I (t )dt =I (1)-I (0)=I (1), I =I (1)=

8

ln2 例6 已知f (x )= x 0cos 1

t dt ,求f (0)

分析:因f (x )= x 0

cos 1t dt ,故被积函数cos 1

x

在点x =0不连续,故这导致不能直接用对积分限

求导的公式来求f (0) 用分部积分公式来变换被积函数,使新的被积函数在点x =0连续是解决问题的一个途径

解:当x 0时,f (x )=-

x

0t 2

d (sin 1t )=[-t 2 sin 1t

]x +

0+

x

0sin 1t dt 2=-x 2 sin 1

x +

x

2t sin

1

t

dt 令f 1(x )=

-x 2

sin

1x

,x 0;0,

x =0;

f 2(x )=

2x 2

sin

1x

,x 0;0,

x =0;

f 1(x ),f 2(x )在(- ,+ )上连续,且f 1(0)=0 对一切x 有:f (x )=f 1(x )+ x

f 2

(t )dt

f (0)=f 1(0)+[

x

f

2

(t )dt ] x |x =0=0+f 2(0)=0

1.6 利用辅助函数求函数表达式

例7 已知函数f (x )在(- ,+ )内满足关系式:f (x )=f (x ),且f (0)=1,求f (x ).分析:此题由f (x )=f (x ),f (0)=1,很容易想到有可能f (x )=e x

,故构作辅助函数F (x )=e

x

f (x ),再根据条件证明F (x )=1即可

解:作辅助函数F (x )=e x

f (x ),则F (x )=e x

f (x )-e x

f (x )

f 2

(x )

因为f (x )=f (x ),所以F (x )=0,即F (x )=C 令x =0,得F (0)=e 0

f (0)=11=1=C ,

所以e x

f (x )

=1,从而有f (x )=e x

.

1.7 利用辅助函数近似计算

在近似计算问题中,可以利用辅助函数,借助微分知识来解决此类问题 例8 求e

0 997

的近似值

分析:要求e

0 997

的值,显然该问题即是求指数函数f (x )=e x

在x 取0.997的函数值,故可以构造

辅助函数f (x ),再利用近似计算公式f (x )=f (x 0)+f (x 0) x 就可以求e

0 997

的值

解:作辅助函数f (x )=e x

,设x =x 0+ x ,且x 0=1, x =-0.003.

f (x )=e x

,即f (1)=e

e 0 997=

f (x )=f (x 0+ x )=f (x 0)+f (x 0) x =e +e (-0.003)= 2.7175

2 如何构作辅助函数

通过上面一些命题的证明,我们可以看出解决这些问题的关键是如何构造出一个恰当的辅助函数 构作一个恰当的辅助函数并非易事,下面通过几个实例来分析辅助函数的构造法

2 1 由果索因法

由果索因法要求认真分析问题的条件和结论,由结论倒推出所需要的条件,从而找出构造的辅助函数必须满足的条件及应具备的性质,进而构造出所需要的辅助函数(如本文的例1、例3、例4、例6)

2 2 几何推导法

几何推导法是利用问题的几何意义,再加上解析几何的有关知识(如直线方程等)来构造辅助函数的一种方法[1]

2.3 原函数法

原函数法的基本思想是:在所证明的等式中,先将这个等式变形并且把它看成F ( )=0,如果F ( )=0成立,则可试作辅助函数 (x)=F(x),其中F(x)表示F (x)的一个不含积分常数的原函数

例9 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,0

f(b)-f(a)= (ln b

a

) f ( )

证明:要证f(b)-f(a)= (ln b

a

) f ( ),即可证(f(b)-f(a))

1

=(ln

b

a

) f ( ),

也即是证(f(b)-f(a)) 1

-(ln

b

a) f ( )=0 令F(x)=[f(b)-f(a)] ln x-(ln

b

a)f(x),

易知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(b)=F(a)=f(b) ln a-f(a) ln b 所以由罗尔定理知,存在 (a,b),使得F ( )=0,即

f(b)-f(a)= (m b

a

) f ( )

2.4 解微分方程法

解微分方程法的基本思路是:将求证 存在 使F( )=0 中的 自变量,然后解微分方程F( ) =0,得到C=H( ),其中C是解中的任意常数 因H ( )=0,所以有F( )=0,故H(x)就是所需的辅助函数 在用此方法时,常用到 换元 思想来简化求解的微分方程

例10 设f(x)在[0,

2

]上可导,且f(0)=f(

2

)=

1

2

,

求证:存在 (0,

2),使f ( )+f( )=cos

分析:解f ( )+f( )=cos ,得f( )=e- [1

2

e (cos +sin )+C],

解出C=e [f( )-1

2

(cos +sin )],故可作辅助函数H(x)=e x[f(x)-

1

2

(cos x+sin x)]

2 5 积分构造法

一般情况下,寻求辅助函数运用中值定理解题时,我们可以用微分运算的逆过程 积分运算来构造辅助函数,以解决有关微分中值定理的问题,此方法直接且思维清晰

例11 试证明存在 (1,2),使得(1- )e =2e-e2.

证明:直接利用积分运算来构造辅助函数:

F(x)= [(1-x)e x+e2-2e]dx=(2-x)e x+(e2-2e)x

易知F(1) F(2),但F (1)=e2-2e>0,F (2)=-2e<0,所以有F (1) F (2)<0,则存在 (1,2),使得F ( )=0,即原式得证

2 6 参数变易法

参数变易法是指把要证明的结论中的某个参数 变易 为变量,从而构造出相应的辅助函数(如本文的例2、例5)

2.7 待定系数法

此方法是建立在前面几种方法的基础上,是较复杂的方法,构造辅助函数时,对所构造的辅助函数引入待定系数后,再根据题中所要证明的结论 人为 地构造条件,解出辅助函数中的待定系数,从而确定出要求的辅助函数

例12 设f (x)在[a,b]上存在,且a

f(a)

(a-b)(a-c)+f(b)

(b-a)(b-c)

+f(c)

(c-a)(c-b)

=1

2

f ( )(1)

证明:令(1)式的左边为k,即可证2k=f ( )

令F(x)= [(2k-f (x))dx]dx= (2kx-f (x)+ )dx =kx2-f(x)+ x+ (其中, , 为待定常数)

由F(a)=F(b)=F(c),有ka2-f(a)+ a+ =kb2-f(b)+ b+ , kb2-f(b)+ b+ =kc2-f(c)+ c+ ,

解得 =1

a-b

[k(b2-a2)+f(a)-f(b)]

=1

b-c

[k(c2-b2)+f(b)-f(c)]

(2)

(3)

由(2)式和(3)式解出k为(1)式的左边,由此可见只要选取 满足(2)式或(3)式,而 任意,则有F(x)在[a,c],[c,b]上满足Rolle定理

故 1 (a,c),使得F ( 1)=0; 2 (c,b),使得F ( 2)=0

而F (x)在[ 1, 2]上满足Rolle定理,则 ( 1, 2) (a,b),使得F ( )=0

以上几种构作辅助函数的方法是较普遍的几种方法,在解有关题目时,可以灵活地选择方法构作辅助函数

[参考文献]

[1]欧阳光中,姚允龙,周渊.数学分析[M].上海:复旦大学出版社,2003.

On the Auxiliary Function of Solving Question in Mathematical Analysis

JIANG Jing1,TIAN Xin-an2

(1 Dept.of Mathmatics&C omputer S cience,C hongqing Uni versi ty of Arts a nd Sci ences,Yongchuan Chongqing402168,China;

2 Modern Education Technol ogy Centre,Chongqing University of Arts and S ciences,Yongchuan Chongqing402168,China) Abstract:This paper mainly studies the applications of auxiliary function to eight mathematical problems and the seven methods of aided function construc tion.

Key words:auxiliary function;c onstruction;mid-value theorem;func tion characteristics

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1、烧一根不均匀的绳子要用一个小时，如何用它判断半个小时？烧一根不均匀的绳子，从头到尾总共需要1个小时。现有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢？ 答；用一根绳子2头点燃，同时另取一根绳子点燃 当第一根绳子燃烧完，即为半小时，这时第二根绳子的另一头点燃，并开始计时。则从计时开始到第二根绳子燃烧完用时十五分钟。 再取一根绳子点燃，直至这根绳子燃烧完，计时结束。 则总计时开始的那刻开始到计时结束，用时1小时15分钟，可以此来计时。2、有12个乒乓球，其中有一个不合格，但不知道是轻是重，要求；用天平称三次把这个球找出来 答：先编号 第一次，取1，2，3，4放在天平的左端，5，6，7，8放在天平的另右端。天平有两种情况，平衡或不平衡。 1）先分析天平平衡的情况：若平，则重量不同的球在剩下的4个中。 第二次用天平，任意取3个1到8号中的球放在天平的左端，从9到12号球中任意取3个（例如9，10，11）放在另右端，又有两种情况，平衡或不平衡 若平衡，则12号球为重量不同的球，第三次用天平，把12号球和其他任意一球比较，可以知道是轻还是重。 若不平衡，则可知重量不同的球在9，10，11这3个球中，并且可以知道他比其他球重还是轻，第三次用天平，任意取其中2球（例如9，10）放在天平两端，若平衡，则剩下的球（11号球）为要找的球，若不平衡，根据前面判断的该球是比较轻还是重可以判断天平上的其中一个球为要找的球。 2）下面分析第一次天平不平衡的情况。那么有左端重或者右端重两种情况，不妨假设左端重（如果是右端重也是一样的）。 现在第二次用天平，从左端任意拿下3个球（例如1，2，3），从右端拿3个球（例如5，6，7）放到左端，再从第一次称时剩下的4个球中任意拿3个（例如9，10，11）到右端，这时天平会出现3种情况，a）左端重，b）平衡，c）右端重。我们一个一个来分析。 a）左端重，那么要找的球肯定是4号球或者8号球。第三次用天平，把其中一球（例如4号球）放在天平左端，任意取其余10个球中的一个球放在右端，又有3种情况 一）若平衡，则8号球为要找的球，并且根据第二次用天平的结果，可知比其余球轻。 二）若左端重，则4号球为要找的球，并且比其余球重。 三）若右端重，则4号球为要找的球，并且比其余球轻。 b）平衡，那么要找的球在从左端拿下的三个球（1，2，3）中，由于第一次用天平左端重，所以可知这个球比其余的球重，接下了来的分析和前面的一样，不再重复。 c）右端重，那么要找的球在从右端移到左端的3个球（5，6，7）中，并且由天平第一次左端重，第二次右端重可知，该球比其他球轻，接下来的分析同 3、一个岔路口分别通向诚实国和说谎国。来了两个人，已知一个人是诚实国的，另一个是说谎国的。诚实国永远说实话，说慌国永远说谎话。现在你要去说谎国，但不知道该走哪条路，需要问这两个人。请问应该怎么问？

2019年南开大学逻辑学拟录取经验分享

应舍友的强烈要求，给大家分享一下我的考研经验（大家还需要结合自己的性格、学习特点和学科特点，自行斟酌） 先说一下我的基本情况，本科双非一本，报考南开大学哲学院逻辑学专业，现已被录取。我的初试成绩总分408，专业第一名。政治73，英语一76，马克思主义哲学原理122，形式逻辑137. 一、英语 英语是考研中非常重要的一科，而且随着考研人数的增多，许多学校都加强了英语的要求。所以大家一定要在备考这一年尽自己最大努力学好英语。我报考的南开大学哲学系英语基本分数线是60，而且许多考试都是因为英语没有过线，所以英语很重要！！！ 1、3-5月份，背英语单词，至少背过一遍之后，才可以做真题！！！我自己是拿新东方的单词书背的，没有结合视频。背到10月份，发现单词方面没有什么长进，还是会弄混，所以在背单词方面没有什么好的建议给大家。背单词是整个考研期间一直要重复做的事情。 2、5-12月份一直持续做真题（尽量用铅笔做题，因为真题起码要做三遍。提前把最近2-3年的真题收起来，一眼都不要看，留到12月全真模拟的时候用！！） （1）5-8月底，我是每天做一篇阅读，做的时候完全不查单词。做完之后不要马上对答案。准备一个笔记本，翻译这篇阅读，翻译的时候自己划分句子结构，分析句子。遇到不认识的词语结合上下文猜单词意思，可以在卷子上勾画出不认识的单词。（注意在做题和翻译的过程中不要查单词！！！！）翻译完之后，去查不认识单词的意思，写到笔记本上。翻译完之后再去看题目，改正自己的答案。之后自己用红笔对照答案改正自己的翻译和阅读选项。自己做错的题目一定要看答案解释，回到文中找问题出处。就这样到了8月底，做完了2000年到16年的真题。 （2）9月份--10月底，第二遍开始做真题。这次做的时候不要查单词，做完之后，自己翻译全文，这次不用写下来翻译，而是用笔指着文章，一句一句在心里翻译。翻译完一段之后，对照标准答案的翻译，看看哪里翻译的不好，哪个单词不认识，再次勾画。（这次要换一个笔的颜色勾画）翻译完之后的步骤和之前第一遍的一样的。（3）10月份，我就开始了新题型和翻译的专项训练。（之前集中做阅读，新题型和翻译没有做） 新题型我看的是李玉技老师的新题型，我觉得看完对自己的新题型很有帮助。老师会告诉你做题的方法以及要看哪些重点词语进行排序，这些是自己闷头做题很难总结出来的，所以我建议大家去看下新题型的相关视频。结合视频，自己做笔记，记下重点。然后在看完视频之后，结合真题去运用这些解体方法。开始可以一边做题一边看自己的笔记，到后来做到自己做题不看自己的笔记，而把重点都记在心里。做完题后，对答案，看一下答案的解题思路和自己有没有不同，如果有的话，也可以适当地记在笔记本上。 翻译我看的是唐静的视频，大家可以去微博上搜别人分享的视频以及笔记。看视频做翻译的时候，严格按照老师的要求去做，准备一个翻译本，自己动手翻译，每一个句子限时4分钟，遇到不会的单词不要查单词（我觉得这个真的超级有用，因为在考研的时候翻译最多用时20分钟，一个句子最多4-5分钟）。听完老师的讲解，你会发现做翻译的顺序：划分句子结构-小句子--再连接成大句子--最后检查一下是否通顺。看完视频之后，自己把老师没有涉及到的句子按照步骤自己进行翻译，一天3个左右，不要过量。每天做完新句子之后再把以前讲的句子遮住答案，自己翻译，看看哪些有问题或者自己不理解。一直重复到12月初。

抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 （7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知：对称中心是点,d a c c ??- ???； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++

逻辑学-思考与练习

思考与练习： 1．李娜心中的白马王子是高个子、相貌英俊、博士。她认识王威、吴刚、李强、刘大伟4位男士，其中有一位符合她所要求的全部条件。 （1） 4位男士中，有3个高个子，2名博士，1人长相英俊； （2）王威和吴刚都是博士； （3）刘大伟和李强身高相同； （4）李强和王威并非都是高个子。 请问谁符合李娜要求的全部条件？ A.刘大伟 B.李强 C.吴刚 D.王威 正确答案是C 。吴刚是博士；吴刚不是矮个子，因为李强和王威并非都是高个子；王威是另一位博士，但是矮个子。 2. 某学校有四名外国专家，分别来自美国、加拿大、韩国和日本。他们分别在电子、机械和生物三个系工作，其中： ①日本专家单独在机械系； ②韩国专家不在电子系； ③美国专家和另外某个外国专家同在某个系； ④加拿大专家不和美国专家同在一个系。 以上条件可以推出美国专家所在的系为: （A）电子（B）机械系 （C）生物系 (D）电子系或生物系 3.一个热力站有5个阀门控制对外送蒸汽。使用这些阀门必须遵守以下操作规则： （1）如果开启1号阀，那么必须同时打开2号阀并且关闭5号阀。 （2）如果开启2号阀或者5号阀，则要关闭4号阀。 （3）不能同时关闭3号阀和4号阀。 现在要打开1号阀，同时要打开的阀门是哪两个？ A. 2号阀和4号阀。 B. 2号阀和3号阀。 C. 3号阀和5号阀。 D. 4号阀和5号阀。 B 打开2号阀和3号阀关闭了5号阀和4号阀，因此保证了打开1号阀。 4.“马斯特杯2003年中国机器人大赛”中的足球赛正在进行，有三位教授对决赛结果进行预测： 赵教授说：“冠军不是清华大学队，也不是浙江大学队。” 钱教授说：“冠军不是清华大学队，而是中国科技大学队。” 孙教授说：“冠军不是中国科技大学队，而是清华大学队。” 比赛结果表明，他们中只有一人的两个判断都对，一人的判断一对一错，另外一人全错了。 根据以上情况可以知道，获得冠军的是 A.清华大学队 B.中国科技大学队 C.浙江大学队 D.北京航空航天大学队 正确答案是A。钱教授、孙教授中有一人的两个判断都对，另外一人全错了。 5. 甲、乙和丙在一起，一位是作家，一位是市长，一位教授。丙比教授年龄大，甲和市长不同岁，市长比乙年龄小。 根据上述资料可以推理出的结论是： A. 甲是作家，乙是市长，丙是教授。 B. 甲是市长，乙是作家，丙是教授。

高中数学解题的21个典型方法与技巧

高中数学解题的21个典型方法与技巧 2018-12-26 1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有： ①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。 ④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。 2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。 3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有： ①()2222a ab b a b ±+=± ②()2 222222a b c ab bc ca a b c +++++=++ ③()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ??+++++=+++++? ? ④222222224224244b b b b b b ac ax bx c a x x c a x x c a x a a a a a a ??-????++=++=+??++-=++ ? ? ??????? 4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。 5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其步骤是：①设②列③解④写 6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。 ①因式分解型：()()0---?---=，两种情况为或型。 ②配成平方型：()()22 0---+---=，两种情况为且型。 7、数学中两个最伟大的解题思路： ①求值的思路 ?????→方程思想与方法列欲求值字母的方程或方程组 ②求取值范围的思路??????→不等式思想与方法欲求范围字母的不等式或不等式组

抽 象 函 数 的 解 题 方 法

解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。 我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考. 一、 利用线性函数模型 在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有： 例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2， f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。 0a a ≠且

解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得 k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。 例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时， f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。 分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果 这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则 ， 即，∴f （x ）为单调增函数。 ∵， 又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。∴2(22) (1)f a a f --，∴2221a a --， 解得不等式的解为－1 < a < 3。 例3、定义在Ｒ上的函数()y f x =，对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠，且有 ()()()f x y f x f y +=成立。求： （1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数()(01)x f x a a a =≠且的抽象函数， 从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。 解：（1）令y ＝0代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =， ∴[]()1(0)0f x f -=。若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==，

逻辑学案例分析

从概念特征的角度分析《白马论》的逻辑意旨 摘要：任何属概念与它的种概念都是“有异的”，这种差别不应该被抹煞。合乎逻辑的另外的命题可以是“黄马非马”、“黑马非马”等等，公孙龙不可能穷其所有类似的命题，但就“白马非马”这一个例子而言，它足以让我们窥探其中的逻辑奥妙了。我们这样推测《白马论》的意旨并不过分。如果不从逻辑的角度来理解这篇文章，那也就真的不可思议了；只有把它看成讨论概念内涵外延区别的逻辑篇章，才能展现它的价值。 关键词：概念特征内涵外延白马非马 （一） 客曰：“白马非马，可乎？” 主曰：“可。” 客曰：“何哉？” 主曰：“马者，所以命形也；白者，所以命色也。命色者非命形也。故曰：…白马非马?。” （二） 客曰：“有白马不可谓无马也。不可谓无马者，非马也？有白马为有马，白之，非马何也？” 主曰：“求马，黄、黑马皆可致；求白马，黄、黑马不可致。使白马乃马也，是所求一也。所求一者，白者不异马也。所求不异，如黄、黑马有可有不可，何也？可与不可，其相非明。故黄、黑马一也，而可以应有马，而不可以应有白马，是白马之非马，审矣！” （三） 客曰：“以马之有色为非马，天下非有无色之马也。天下无马，可乎？” 主曰：“马固有色，故有白马。使马无色，有马如已耳，安取白马？故白者非马也。白马者，马与白也。马与白，马也？故曰白马非马也。” （四） 客曰：“马未与白为马，白未与马为白。合马与白，复名…白马?，是相与以不相与为名，未可。故曰：…白马非马?，未可。” 主曰：“以…有白马为有马?，谓有白马为有黄马，可乎？” 客曰：“未可。” 主曰：“以…有马为异有黄马?，是异黄马于马也；异黄马于马，是以黄马为非马。以黄马为非马，而以白马为有马，此飞者入池而棺异处，此天下之悖言乱辞也。”

高中数学经典解题技巧和方法平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ）

抽象函数的解题方法与技巧窍门

抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract:: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords: abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1.提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的

高中数学50个解题小技巧

高中数学50个解题小技巧 XX：__________ 指导：__________ 日期：__________

1 . 适用条件 [直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。 注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。 注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下 (1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a， b)中心对称 4 . 函数奇偶性 (1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5 . 数列爆强定律 (1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中：

S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。 二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2、复合函数单调性：同增异减 3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8 . 常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法 前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式 k椭=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo 注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了

抽象函数常见解法及意义总结

含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0 x x f x x x +≥?=?--

逻辑推理类题型分析及解题技巧总结

逻辑推理类题型分析及解题技巧总结 此种题型是在每道题中给出一段陈述，这段陈述被假设是正确的，不容置疑的。请你根据这段陈述从四个备选答案中选出一个能够从陈述中直接推出的结论。 逻辑判断主要考察的是应试者逻辑推理判断的能力。从作题的要求也可以看出，做逻辑判断题目必须紧扣题干内容，以题目中的陈述为依据，根据形式逻辑的推论法则推出正确结论。题中的陈述是被假设为正确的，不要对其作出怀疑或否定，给自己解题带来不必要的干扰。对于逻辑判断题目中比较难的，多种条件相互制约或是数理逻辑的题目，可以忽略其具体情境，在草纸上抽象出其数理模型，加以逻辑运算这样比较容易得出结论。下面举几个比较典型的例题来分析一下如何做这种题目。 解题技巧 1、紧扣题干内容，不要对题中陈述的事实提出任何怀疑，不要被与题中陈述不一致的常理所干扰； 2、紧紧依靠形式逻辑有关推论法则严格推理，注意大前提、小前提、结论三者之间的关系； 3、必要时，可以在草稿纸上用你自己设计的符号来表示推论过程，帮助你记住一些重要信息和推出正确结论。 逻辑推理类解题规律总结 A判断：全称判断，所有s都是p例如“一切鲸都是水栖哺乳动物”。 E判断：全称否定，所有s都不是p例如“所有被子植物不是裸子植物”。 I判断：特称肯定，有些s是p例如“有的水生动物是用肺呼吸的”。 O判断：特称否定，有些s不是p例如“有的鸟不是会飞的”。 1．A命题（所有S是P）与E命题（所有S不是P）之间的关系，例如： 我班所有同学都是共青团员。 我班所有同学都不是共青团员。 二者决不能同真，即一个真，另一个必假；但二者可以同假，即当一个假时，另一个可真可假。这种不能同真、可以同假的关系，逻辑上叫做“反对关系”。 2．I命题（有的S是P）与O命题（有的S不是P）之间的关系，例如： 我班有的同学是共青团员。 我班有的同学不是共青团员。 二者不能同假，即一个假时，另一个必真；但二者可以同真，即当一个真时，另一个可真可假。这种不能同假、可以同真的关系， 逻辑上叫做“下反对关系”。 3ASPOSPSPISP ．命题（所有是）与命题（有的不是），正命题（所有不是）与命题（有的是）之间的关系，例如：

初中数学(中考数学)常见解题模型及思路(初中数学自有定理)

初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理） A ． 代数篇： 1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。 例.把0.108108108???化为分数。 设S=0.108108108??? （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108???（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S= 108 999 余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ； 22x y + 中，知二求二。 222222()2()2x y x y x y x y x y x y +=++?+= +- 2222()2()4x y x y x y x y x y -=+-=+- 加减配合，灵活变型。 3．特殊公式 22 1 1 2x x x x ±=+±2 （）的变型几应用。 4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+m （）（） 5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。 例.求：1+2+3+222+2017的和。三种方法举例：略 6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。 例.求1+2+4+8+16+32+2222n 令S=1+2+4+8+16+32+222+2n （1） 两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+222+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。 7． 11n m m n --=mn 的灵活应用：如：1111 62323 ==-?等。 8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。 9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：

高中数学函数解题技巧与方法

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

抽象函数的解题方法与技巧

抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式 ；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。 2. 抽象函数的知识点 （1）定义域：函数的定义域指自变量x 的取值范围。所以对抽象函数()x f ，()[]x g f 而言，其定义域均指的是x 的取值范围。对于()[]x g f 和()[]x h f ，其中()x g 和()x h 的地位是等价的，故取值范围是一样的。 （2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数 ()[]x g f 和()[]x h f ，它们的值域是相同的。