高二数学上学期期末考试试题文

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“x R ?∈，3

0x ≤”的否定是（ ）

A ．x R ?∈，3

0x > B ．x R ?∈，3

0x < C ．x R ?∈，3

0x > D ．x R ?∈，3

0x ≤ 2.抛物线24y x =的准线方程是（ ）

A ．1x =

B ．1x =-

C ．1y =

D ．1y =- 3.设m R ∈，则“3，m ，27”为等比数列是“9m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.若a b >，则下列不等式中正确的是（ ） A ．2

2

a b < B ．

11

a b

< C ．222a b ab +> D ．22ac bc > 5.在等差数列{}n a 中，23412a a a ++=，78a =，则1a =（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2

6.已知函数cos ()1x f x x =

+，()f x 的导函数为'()f x ，则'()2

f π

=（ ） A ．2π- B ．1

π

- C ．π D ．2π

7.ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

若c o s c o s s i n a B b A c C +=，则ABC

?的形状为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

8.曲线()x

f x e =在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）

A ．0ex y -=

B ．0ex y +=

C ．10ex y --=

D ．20ex y e --=

9.不等式2

0ax bx c ++>的解集为(2,3)-，则不等式2

0cx bx a ++<的解集是（ ） A ．11(,)

(,)23-∞-+∞ B ．11(,)32

-

C ．11(,)23-

D ．11

(,)(,)32

-∞-+∞ 10.在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有（ ）盏灯.

A ．8

B ．12

C ．16

D ．24

11.已知1F ，2F 是椭圆

E ：22

195

x y +=与双曲线2E 的公共焦点，P 是1E ，2E 在第一象限内的交点，若112PF F F =，则2E 的离心率是（ ）

A ．3

B ．2 C

12.若函数32()91f x x ax x =+-+在区间(1,2)-上是单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．3a ≤或34a ≥-

B ．3a <或3

4a >- C ．334a -≤≤- D ．3

34

a -<<-

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.双曲线

22149

x y -=的渐近线方程是 ． 14.若x ，y 满足约束条件3320x x y x y ≤??

+≥??-≥?

，则2z x y =+的最大值为

．

15.一轮船向正北方向航行，某时刻在A 处测得灯塔M 在正西方向且相距海里，另一灯塔N 在北偏东30方向，继续航行20海里至B 处时，测得灯塔N 在南偏东60方向，则两灯塔MN 之间的距离是 海里．

16.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，M 为抛物线上的点，设7

(

,0)2

A p ，若2AF MF =，AMF ?

的面积为

2

，则p 的值为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin 0b C c B +=. （1）求C ；

（2

）若c =ABC ?

的面积为a b +.

18.已知p

：函数()f x =R ，q ：方程

22123x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的双曲线.

（1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；

（2）若“()p q ?∧”是真命题，求实数m 的取值范围.

19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足22n n S a =-，等差数列{}n b 中，233b b a +=，

454b b a +=.

（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若1

1

n n n b c a ++=

，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20.已知函数2

1()2ln 32

f x x x x =+

-. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若函数()f x m ≤在1

[,]x e e

∈上恒成立，求实数m 的取值范围.

21.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，

通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x （百辆），需另投入成本()C x 万

元，且210100,040

()10000

5014500,40x x x C x x x x ?+<

=?+-≥??

.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2018年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）

（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

22.已知O 为坐标原点，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点是1

F

，且C 上任意一点P 到1F

的最短距离为2（1）求C 的方程；

（2）过点(0,2)A 的直线l （不过原点）与C 交于两点E 、F ，M 为线段EF 的中点. （i ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值； （ii ）求OEF ?面积的最大值及此时l 的斜率.

参考答案

一、选择题

1-5: CBBCD 6-10: ABACD 11、12：BC 二、填空题

13. 320x y ±= 14. 12

15. 3 三、解答题

17.解：（1）由sin 2sin 0b C c B +=， 得2sin cos sin b C C c B ?=-，

由正弦定理得2sin sin cos sin sin B C C C B ??=-?， ∵sin 0B ≠，sinC 0≠， ∴1

cos 2

C =-

， ∵角C 为ABC ?的内角，∴23

C π=. （2）∵23

C π

=，ABC ?

的面积为

∴

12sin 23

ab π=，即8ab =，①

∵c =2

2

22cos 283

a b ab π

+-=， 即2

()28a b ab +=+，② 将①代入②得2

()36a b +=， ∴6a b +=.

18.解：（1

）∵函数()f x =R ， ∴2

1

(2)04mx m x --+

≥对x R ?∈恒成立. 当0m =时，1

204

x -+≥，不合题意；

当0m ≠时，则2

01[(2)]404

m m m >??

?---?≤??， 解得14m ≤≤，

∴p 是真命题时，实数m 的取值范围是[1,4]. （2）由（1）知p 为真时14m ≤≤， ∴p ?：1m <或4m >，

∵方程

22

123

x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的双曲线， ∴20

30

m m +>??

-

解得23m -<<， ∴q ：23m -<<. ∵“()p q ?∧”是真命题，

∴14

23

m m m <>??

-<

解得21m -<<，

∴()p q ?∧是真命题时，实数m 的取值范围是(2,1)-. 19.解：（1）由数列{}n a 满足22n n S a =-， ∴当2n ≥时，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=-，

∴12(2)n n a a n -=≥，∴{}n a 是等比数列. 当1n =时，11122a S a ==-，∴12a =， ∴数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -=?=. ∵2338b b a +==，45416b b a +==，

设公差为d ，则11

2382716b d b d +=??+=?，

∴11b =，2d =，数列{}n b 的通项公式为12(1)21n b n n =+-=-.

（2）由（1）得1

1n n n b c a ++=

121()22n n n

n +==?， ∴12n n T c c c =++???+

1231111()2()3()222=?+?+?1

()2n n +???+?，①

12n T =23111()2()22?+?+???111

(1)()()22

n n n n ++-?+?，② ①-②得12n T =2341111[()()()2222++++1

11()]()22n n n +???+-?

111[1()12

2()1212

n

n n +-=-?-， ∴2

22

n n n T +=-.

20.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

2'()3f x x x =+-232(1)(2)x x x x x x

-+--==，

当x 变化时，()f x ，'()f x 变化情况如下表：

综上所述：()f x 在(0,1)和(2,)+∞上是增函数，在(1,2)上是减函数. （2）∵函数()f x m ≤在1

[,]x e e

∈上恒成立， ∴max ()m f x ≥.

由（1）知()f x 在1(,1)e

和(2,)e 上是增函数，在(1,2)上是减函数， ∴函数()f x 在1x =或x e =处取得最大值，

15(1)(21)22f =-+=-，2

()232

e f e e =+-，

∵25()(1)2322e f e f e -=+-+21

(3)02

e =->， ∴max

()()f x f e =2

232

e e =+-，

∴2

232

e m e ≥+-. 21.解：（1）当040x <<时，

2()5100101002500L x x x x =?---2104002500x x =-+-；

当40x ≥时，

10000()5100501L x x x x =?--

10000

450025002000()x x

+-=-+； ∴2104002500,040

()10000

2000(),40x x x L x x x x ?-+-<

=?-+≥??

. （2）当040x <<时，2()10(20)1500L x x =--+， ∴当20x =时，max ()(20)1500L x L ==； 当40x ≥时，10000()2000()L x x x =-

+2000≤-20002001800=-=， 当且仅当10000

x x

=

，即100x =时，max ()(100)18001500L x L ==>； ∴当100x =时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.

22.解：（1

）由题意得2a c c a ?-=-?

?=

??，

解得2

a c =???=??

∴2

4a =，2

2

2

1b a c =-=，

∴椭圆C 的方程为2

214

x y +=.

（2）（i ）设直线l 为：2y kx =+，11(,)E x y ，22(,)F x y ，(,)M M M x y ，

由题意得22

2

14

y kx x y =+??

?+=??， ∴22(14)16120k x kx +++=， ∴216(43)0k ?=->，即2

34

k >， 由韦达定理得：1221614k x x k +=-

+，122

12

14x x k

?=+， ∴2814M k x k =-+，2

2

214M M

y kx k =+=+， ∴14M OM M y k x k

=

=-， ∴1

4

OM k k ?=-

， ∴直线OM 与l 的斜率乘积为定值

.

（ii ）由（i ）可知：

12EF x x =

-=

=

=， 又点O 到直线l

的距离d =

，

∴OEF ?的面积1

2

OEF S d EF ?=

??

142=

=，

t =，则0t >，

∴244

OEF t S t ?=

+44

144t t

=≤=+，当且仅当2t =时等号成立，

此时2

k =±

，且满足0?>， ∴OEF ?面积的最大值是1，此时l

的斜率为±