反比例函数求面积问题

摘要：初中阶段共学习了三种函数，而其中反比例函数是初中函数部分的重要教学内容,反比例函数题目里很多题型就是有关面积问题的:有已知,求面积;有面积,求未知;探索型面积问题等.这种题型难度相对较大,需要综合运用知识,并且主要以中高档题型出现，所以在课堂教学中,教师要注重方法的传授,提高学生解答有关面积问题题目的能力.

关键词：反比例函数、面积、转化、初中数学

中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型。下面笔者就有关反比例函数与图形面积的题型略加以说明。

结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|

对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：

结论2：在直角

三角形ABO中，面积

S=

结论3：在直角三角形ACB中，面积为

S=2|k|

结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|

一. 反比例函数与矩形面积

例1. （01年山东荷泽）如图（1），P是反比例函数y

k

x

k

=≠

()0的图象上一点，过P

点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（）

图1

A. y x =-

6 B. y x =

6 C. y x

=-3

D. y x

=3

解：设点P 的坐标为（x ，y ），则||||x y =6 又 点P 在第四象限，∴-=∴=-xy y x

66

， 评析：如图（2），若A 点是反比例函数y k

x

k =

≠()0图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 的垂直于y 轴，垂足为C ，则矩形面积S k ABOC =||。

图2

例2. （01年福建福州）如图（3），已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y k

x

k x =>>()00，的图象上，点P （m ，n ）是函数y k

x

k x =

>>()00，的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 （1）求B 点坐标和k 的值； （2）当S =9

2

时，求点P 的坐标； （3）略

图3

解：（1）依题意，得||||OA OB ==3，∴B 点的坐标为（3，3） 依题意易得||k =9，又 点P 在第一象限 ∴>∴=k k 09，

（2）由题意易得S S OABC OEPF ==9 ∴=mn 9 ①

S S m n =

=-9

2

3，() ∴-=()m n 39

2

②

联立①②解，得m n ==632， ∴点P 的坐标为（6，32）或（3

2

，6）（此种情况的求法与上述方法一样，在此不再详

解）

二. 反比例函数与三角形面积

1. 反比例函数与直角三角形面积

例3. （04年辽宁锦州）如图（4），点A 在反比例函数y k

x

k =

≠()0的图象上，AB 垂直于x 轴，若S AOB ?=4，那么这个反比例函数的解析式为_____________。

图4

解：设A 点坐标为（x ，y ），则S OB AB x y AOB ?=?==121

2

4|||| 点A 在第二象限，∴<>x y 00， ∴-=xy 8 ∴=-

y x

8

评析：如图（5），由上述例题可知，若点A 是反比例函数y k

x

=图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴（或y 轴），垂足为B ，则S k AOB ?=

1

2

||

图5

例4. （02年青海）如图（6），过反比例函数y x

x =

>1

0()的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB 。设AC 与OB 的交点为E ，?AOE

与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） A. S S 12> B. S S 12=

C. S S 12<

D. 大小关系不能确定

图6

解：依题意，得S S AOC BOD ??==

1

2

∴-=-S S S S A O C C O E B O D C O E ???? 即S S 12=，∴选B

例5. 如图（7），A 、B 是函数y x

=

1

的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，?ABC 的面积为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 12<

D. S >2

图7

解：设AC 交x 轴于D 点，易得S AOD ?=1

2

，又??ABC AOD ~，且AO BO = 所以S S AOD ==42? 故选取C

2. 反比例函数与斜三角形面积

例6. （03年重庆市）如图（8），函数y kx k =-≠()0与y x

=-

4

的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则?BOC 的面积为__________。

图8

解：由题意易知S k AOC ?==1

2

2||，而?AOC 与?BOC 以OC 为底时等高 ∴==S S B O C A O C ??2

例7. （00年天津市）如图（9），正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x

=

1

的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若?ABC 面积为S ，则（ ） A. S ＝1 B. S ＝2 C. S ＝3 D. S 的值不能确定

图9

解：此题的解法与例6类似，S S k AOB ==?=221

2

1?|| ∴选A

例8. （03年四川）如图（10），已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数y x

=-8的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2，求：

（1）一次函数的解析式 （2）?AOB 的面积

图10

略解：（1）易得A 、B 的坐标分别为（－2，4），（4，－2） ∴-+=+=-??

?

24

42k b k b

解得k b =-=12，

∴所求一次函数的解析式为y x =-+2

（2）易得直线y x =-+2与x 轴的交点C 的坐标为（2，0） ∴=+=

??+??=S S S AOB AOC BOC ???12241

2

226 评析：反比例函数与斜三角形面积问题和反比例函数与直角三角形面积类似，解题

时要注意将斜三角形转化为直角三角形来思考。 三. 反比例函数与平行四边形面积

例9. 如图（11），正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x

=

2

的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，交x 轴于B ，过C 作x 轴的垂线，交x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为____________。

图11

解：由题意易得，四边形ABCD 为平行四边形，而S AOB ?=1，所以四边形ABCD 的面积==44S AOB ?

例10. 如图（12），A 、C 是双曲线上关于原点O 对称的任意两点，AB 垂直y 轴于B ，CD 垂直y 轴于D ，且四边形ABCD 的面积为6，则这个函数的解析式为________。

图12

解：略

评析：此类题的思路是要将平行四边形的问题转化为三角形来做。1．已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）

例1（1）(2008广东省深圳市)如图，直线OA与

反比例函数的图象在第一象限交

于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，

则k＝．

分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得

∴ k=4

（2）（2008甘肃省兰州市）如图，已知

双曲线（）经过矩形

的边的中点，且四边形

的面积为2，则．

分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点

∴

而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2

评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。

1 勇继红;;反比例函数的基本知识[J];数学大世界(初中版);2011年Z2期

2 刘志波;;坐诊反比例函数[J];数学大世界(初中版);2011年Z2期

3 周福奎;;浅谈初中数学常见的几种数学思想[J];学周刊;2011年22期

4 刘四伟;;对于一道初中数学竞赛题的理解和运用[J];中学生数理化(高中版·学研版);2011

年01期

5 吴坤雄;;2011年中考考点复习策略(13)——“函数的考法分析”[J];数学学习;2011年03期

6 骆迎生;;认识反比例函数y=k/x(k≠0)中k的意义[J];中小学数学(初中版);2011年Z1期

7 李中清;;《9.1反比例函数》教学设计[J];学生之友(初中版);2011年07期

8 陈亮;;反比例函数解析式的几种求法[J];初中生辅导;2011年11期

9 吴丹宇;;利用反比例函数的对称性解题[J];初中数学教与学;2011年07期

10 吴丹宇;;利用反比例函数的对称性解题[J];中学数学;2011年08期