22.2.4根的判别式教学设计

22.2.4一元二次方程的根的判别式教学设计

一、教材分析：

1、本节教材的地位及作用：

“一元二次方程的根的判别式”一节，是在学生已经学过一元二次方程的解法，并对b2-4ac的作用有所了解的基础上，来进一步研究它的作用的一个重要理论内容，它是前面知识的深化与总结。它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且可以解决许多其它问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透转化和分类的数学思想，渗透数学的简洁美。

2、教学内容的确定：

本节课的主要内容是：一元二次方程根的判别式的意义，定理、逆定理及其应用，对定理的引出我改变了教材中直接推证的方法，而是通过设置悬念让学生解三种不同的方程的亲身感受来发现定理，这样使学生感到自然、易于授受，对教材中的例题则有所增加，例题的设置由浅入深，这样安排符合学生的认知规律，同时，使学习内容充实，不单调。

3、教学目的；

依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目的是：

（1）使学生理解一元二次方程的根的判别式概念；

（2）能运用根的判别式在不解方程的前提下，判别方程根的情况，和进行有关的推理证明；

（3）会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

（4）培养学生的探索精神和逻辑思维能力以及推理论证能力；

4、教学重点、难点及关键：

重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用；

难点：根的判别式定理及逆定理的运用。

二、教法与学法：

本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，教法与学法设计了以下八个层次；

1.设置悬念，引发兴趣；

2.学生动手，寻根究底；

3.师生合作，验证结论；

4.揭示定理，加深认识；

5.学以致用，展示风采；

6.归纳总结，整体把握。

三、教学过程 <一>、设置悬念，引发兴趣： 教师：同学们，上节课做练习的时候有三道题，说的是判断方程有无实数根，因为没有学习过，所以跳过了，但是我们班张蕾同学都会做，而且在不解出方程的情况下作对了，不相信大家可以任意说出一道一元二次方程，张蕾可以在不解方程的情况下可以判断方程到底有没有实数根，有的话两个根相等不相等！ 说明：这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。 <二>、学生动手，寻根究底 教师：张慧同学真的是非常厉害，大家一定很想知道这到底是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解以下三个一无二次方程；你们会很快发现我的奥秘。 用公式法解一元二次方程：

说明：这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。 <三>、师生合作，验证结论：

教师：请大家观察这三个方程的根的情况，可以发现什么不同呢？这些不同之处又是什么原因造成的呢？

教师：同学们真的很善于学习和观察，一元二次方程的根有三种情况，有两个不相同的实数根；两个相同的实数根、无实数根三种情况。也发现根的情况和b 2-4ac 有关系。这是三道特殊的题，我们得出的结论，是不是所有的题都是这种情况呢？我们大家一起验证一下好不好？

那我们来解一下一元二次方程的一般形式：

教师：由此可见：在解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)时，代数式b 2-4ac 起着重要的作用，显然我们可以根据b 2-4ac 的值符号来判断一元二次方程aX 2+bx+c=0的根的情况，因此，我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△=b 2-4ac 。

说明：这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。

<四>、揭示定理，加深认识：

【教师】（1）由此我们就得出了：关于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式定理：

在一元二次方程aX 2+bx+c=0(a ≠0)中，△=b 2-4ac

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根

当△ =0时，方程有两个相等的实数根 0222=--x x 013232=+-x x 0

12=++x x )0(02≠=++a c bx ax

当△＜0时，方程没有实数根

说明：这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理正确运用做好铺垫。

<五>、学以致用，展示风采；

例：不解方程，判断关于X 的方程的根的情况.

教师：通过做这一道题，大家能总结出做题的步骤吗？

①把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；

②计算△，并判断大小；

③根据根的判别式定理，写出结论。

教师：大家学的非常好，现在挑同学在黑板上展示我们今天学的知识：

做课本P33练习第1题。

说明：学以致用，随学随练，使学生加深理解。

小结（1）运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：

①把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值，计算△；

②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。

③根据根的判别式定理，写出结论。

思考题：不解方程，判断关于X 的方程

的根的情况. 注意：本思考题是让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。

说明：学以致用，随学随练，使学生加深理解。

教师：我们一起看一下P33的试一试，这道题和我们今天学的内容有什么不同之处，你认为做题的关键的什么？

归纳出根的判别式的逆定理：

在一元二次方程aX 2+bx+c=0(a ≠0)中，△=b 2-4ac

方程有两个不相等的实数根，则△＞0，

方程有两个相等的实数根，则△ =0，

方程没有实数根，则△＜0时，

完成试一试。

说明：逆定理在学过定理的基础上，内容会比较简单，可以让学生自己总结。 <六>、归纳总结，整体把握

教师：这节课你学到了什么？

说明：教师引导，学生回忆总结本节课学习的内容，形成框架，加入已有知识结构，形成知识链，从整体把握所学过的内容。

2

532-=x x 220x k ++=

一元二次方程根的判别式教学设计

一元二次方程根的判别式 一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”一节，它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 教学重点：根的判别式的正确理解和运用 教学难点：根的判别式的运用。 教学关键：对根的判别使用条件的透彻理解。 二、学情分析 学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对根的判别式的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究根的判别式的作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。 三、教学目标

依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法： 1、培养学生的探索、创新精神； 2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。 情感态度价值观： 1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美； 2、加深师生间的交流，增进师生的情感； 3、培养学生的协作精神。 四、教学策略： 本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、

(完整版)一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值 是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－ 1)(x 2+1)=0也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和 q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。

求根公式及根的判别式

加强班求根公式及根的判别式 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特点：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下几个方面有着广泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数，根的特点； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 例题1 （1）设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则a+b 的值是 （2）满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。（全国初中数学竞赛题） 例题2 已知0132=+-a a ，那么=++ --2219294a a a （ ） A 、3； B 、5； C 、35； D 、65 例题3 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 例题4 设方程04|12|2=---x x ，求满足该方程的所有根之和。 例题 5 设关于x 的二次方程0)2()2()1(222=+++--a a x a x a ○1及 0)2()2()1(222=+++--b b x b x b ○ 2（其中a,b 皆为正整数，且a ≠b ）有一个公共根。求

a b a b b a b a --++的值。 例题6（1）关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ， （2）关于x 的方程0122 23=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是 例题7 把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□2x +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （ ） A 、不存在； B 、有一组； C 、有两组； D 、多于两组； 例题8 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b,c 恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长。（湖北省荆门市中考题） 例题9 设方程4||2=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根。（重庆市竞赛题）

判别式的八种应用

判别式的八种应用 一、求方程(组)的解及解的取值范围 例1若x2＋2x＋y2－6y＋10＝0，x，y为实数．求x，y． 解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x，y为实数． ∴ Δ＝22－4(y2－6y＋10)＝－4(y－3)2≥0． 即(y－3)2≤0，于是y＝3，进而得x＝－1． 例2已知a，b，c为实数，满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．(第一届“希望杯”全国数学竞赛题) 解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8， 例3已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9，求x，y的值． 证明：∵x+y＝6，xy=z2+9则x，y是一元二次方程a2－6a＋z2＋9＝0的两个实数根， 则有Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，即z2≤0． 因z为实数，∴z＝0，从而Δ＝0， 故上述关于a的方程有相等实根，即x＝y＝3． 二、判断三角形形状 例4若三角形的三边a，b，c满足a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－a)＝0．试判断三角形形状． 证明：将原式变形为b2－(a＋c)b＋a2＋c3－ac＝0，由于a，b，c为实数，关于b的一元二次方程有实根， ∴Δ＝(a＋c)2－4(a2＋c2－ac)≥0． 整理得－3(a－c)2≥0，

即(a－c)2≤0，故a＝c， 把a＝c代入原式，得b＝c，从而有a＝b＝c， 所以三角形为等边三角形． 三、求某些字母的值． 例5 k为何值时，(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋k是一完全平方式． 解：原式＝(x2＋8x＋7)(x2＋8x＋7＋8)＋k ＝(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k 令(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k＝0，因原式是完全平方式，则其根的判别式， Δ＝82－4k＝0，即k＝16． 例6如果x2－y2＋mx＋5y－6能分解成两个一次因式的积，试求m的值．解：令x2＋mx－(y2－5y＋6)＝0，则关于x的方程的根的判别式Δ＝4y2－20y ＋m2＋24． 欲使原式能分解成两个一次因式乘积，必须“Δ”是一完全平方式， 从而有4y2－20y＋m2＋24＝0的根的判别式 ∴m2＝1，即m＝±1． 例7a为有理数，问：b为何值时，方程x2－4ax＋4x＋3a2－2a＋4b＝0的根是有理数． 解：方程整理为x2＋4(1－a)x＋(3a2－2a＋4b)＝0． 它的判别式Δ＝4(a2－6a－4b＋4)，由于4(a2－6a－4b＋4)是有理数a的二次三项式． 即4(a2－6a－4b＋4)＝0的根的判别式 四、证明不等式

九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版

九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教 版 (教材P17习题21.2第13题) 无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0， Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0， 所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根． 【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数． 一判断一元二次方程根的情况 方程x2＋7＝8x的根的情况为(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．方程没有实数根 对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4. ∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根． 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长． 【解析】(1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论； (2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算． 解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根； (2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，

人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221 6 k k k -+-的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】 解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? ＝＝＝ ， 由条件，知12 1212 11x x x x x x ++==3， 即 33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17 8 k ≤ ， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221 6k k k -+-无意义. 综上，代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC= ，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，

根的判别式练习(答案版)

一元二次方程根的判别式练习题 （一）填空 1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____． 2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数． 3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根． 5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____． 6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____． 7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2 8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____． 10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____． 11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____． 12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___． 14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____． 15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解． 16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根． （二）选择 那么α= [ ]． 18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]． 19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]． A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]． 则该方程 [ ]． A．无实数根； B．有相等的两实数根； C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根． 22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]． A．2； B．0； C．1； D．3． 23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]． A．1； B．2； C．-1； D．0． 24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]． A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数． [ ]． A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根； C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根． 26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]． A．-1； B．0； C．1； D．2． 29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]． A．4； B．1； C．-2； D．-6． 30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]． A．1； B．2； C．3； D． 4．

第02讲 判别式及其应用

第2讲判别式及其应用 当数学家导出方程式和公式，如同看到 雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一 样而得到充分的快乐。 —— 柯普宁 知识方法扫描 在一元二次方程ax2+bx+c=0中，△=b2-4ac称为根的判别式。当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根。 我们利用判别式主要解决以下两个方面的问题：一是根据方程或题目所给的条件，确定方程根的性质；二是根据给定的方程的条件，确定字母的取值或取值范围。 此外，要注意判别式在以下几个方面的应用： ①在解答关于整系数的一元二次方程方程有整数根一类问题时，要注意它的判别式应该为完全平方数； ②当出现了形如一个平方式与两个代数式的积之差形式的问题时，可以考虑利用这种结构构造一个一元二次方程，再用一元二次方程的理论去解答问题； ③在一些求某个字母（参数）的取值范围的问题中，常可先利用根的定义或根与系数的关系构造二次方程，再用判别式求出其中参数的范围。 经典例题解析 例1（1987年全国初中数学联赛试题）当a、b为何值时，方程x2+2 (1+a)x+ (3a2+4ab+4b2+2)=0有实根？ 解因为方程有实数根，所以判别式 △= 4[(1+a)2-(3a2+4ab+4b2+2) = 4( -1+2a-2a2-4ab-4b2) = -4[(1-2a+a2)+(a2+4ab+4b2)] = -4[(1-a)2+(a+2b)2] ≥0 ∵-4[(1-a)2+(a+2b)2] ≤0,∴-4[(1-a)2+(a+2b)2] =0. ∴ 1-a=0, 且a+2b=0; 即a=1,b=. ∴当a=1, b=时，方程有实数根。 例2 （1987年武汉，广州，福州，重庆，西安五市初中数学联赛试题）已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二

“根的判别式”的种种应用

“根的判别式”的种种应用 学习了一元二次方程的求根公式以后，为了研究问题的方便，我们把一元二 次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式x＝ a ac b b 2 4 2- ± - 中的b2－4ac称做为根的判别式，用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.至此，我们一般只知道：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根.反之也成立.至此，我们可以不解方程，利用根的判别式来判别根的情况.而事实上，一元二次方程根的判别式还许多其它的应用，为方便同学们的学习，现举例说明. 一、不解方程，判断根的情况 例1已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.…① （1）若x＝－1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由. 解（1）因为x＝－1是方程①的一个根，所以1+m－2＝0，解得m＝1. 所以原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.所以方程的另一根为x＝2. （2）Δ＝b2－4ac＝m2+8，因为对于任意实数m，m2≥0，所以m2+8＞0， 所以对于任意的实数m，方程①有两个不相等的实数根. 说明运用根的判别式时，必须注意化方程为一元二次方程的一般形式，明确a，b，c的值. 二、确定字母系数的范围 例2已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是＿＿＿. 解因为于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，所以满足Δ＝22－4×(k+1)×(－1)＞0，且k+1≠0，解得k＞－2，且k≠－1. 说明利用根的判别式解题时，若原一元二次方程的二次项含有字母系数，则必须保证二次项系数不等于0这一隐含条件的限制. 三、字母系数的值 例3当m为何值时，关于x的一元二次方程x2－4x+m－1 2 ＝0有两个相等的 实数根？此时这两个实数根是多少？

《一元二次方程的根的判别式》word版 公开课一等奖教案 (2)

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 《17.3 一元二次方程根的判别式》 教学目标： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围． 教学重点： 根的判别式定理． 教学难点： 根的判别式定理及逆定理的运用． 教学过程： 你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘． 用公式法解一元二次方程： ()()()2221320296103230x x x x x x ++=-+=-+= （注：找三名学生板演，其余学生在位上做） 请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a 、b 、c 的值，然后求出它的值——2 4b ac -，为什么要这样做呢？ （1）由此可见：在解()22004ax bx c a b ac ++=≠-一元二次方程时，代数式起着重要的作用，显然我们可以根据2 4b ac -的值的符号来判断方程的根的情况，因此，我们把24b ac -叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta ，它是希腊字母）”来表示，即△=2 4b ac -．我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美． 224b ac ≠-（）注意：△而应为：△＝

一元二次方程根的判别式练习题Word版

2.3 一元二次方程根的判别式 要点感知 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△= . （1）△>0?原方程有 的实数根，其根为x 1= ，x 2= . (2)△=0?原方程有 的实数根，这两个根为x 1=x 2=2b a -. (3)△<0?原方程 实数根. 注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数a 的条件. 预习练习1-1 (2013·昆明)一元二次方程2x 2-5x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 1-2 (2013·大连)若关于x 的方程x 2-2x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜-1 B.m ＞-1 C.m ＜1 D.m ＞1 1-3 (2012·梧州)关于x 的一元二次方程(a+1)x 2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是(B) A.a ＞-5 B.a ＞-5且a ≠-1 C.a ＜-5 D.a ≥-5且a ≠-1 知识点1 不解方程，判断根的情况 1.(2013·泰州)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是( ) A.x 2-3x+1=0 B.x 2+1=0 C.x 2-2x+1=0 D.x 2+2x+3=0 2.一元二次方程ax 2+bx+c=0中a ，c 异号，则方程的根的情况是( ) A.b 为任意实数，方程有两个不等的实数根 B.b 为任意实数，方程有两个相等的实数根 C.b 为任意实数，方程没有实数根 D.无法确定 3.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)3x 2-2x-1=0； (2)2x2-x+1=0； (3)4x-x 2=x 2+2. 知识点2 根据根的情况，确定字母系数的取值范围 4.(2013·钦州)关于x 的一元二次方程3x 2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A.m ＜3 B.m ≤3 C.m ＞3 D.m ≥3 5.已知(m-1)x 2+2mx+(m-1)=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A.m>12 B.m<12且m ≠1 C.m>12且m ≠1 D.12 ＜m ＜1 6.(2013·张家界)若关于x 的一元二次方程kx 2+4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是 . 7.已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0，问当k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根. 8.(2013·成都)一元二次方程x 2+x-2=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 9.(2013·西宁)已知函数y=kx+b 的图象如图所示，则一元二次方程x 2+x+k-1=0根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定

中考专题：根的判别式

中考专题：根的判别式及相关运算 1.已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+m﹣3=0，其中m＞0．求证：方程总有两个不相等的实数根 2. 已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x=3，求k的值及方程的另一根． 3. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0． （1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根； （2）若两个实数根平方和等于5，求k的值． 4. 已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1=0． （1）求证：此一元二次方程恒有实数根． （2）无论k为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根． 5. 已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+m﹣3=0，其中m≠0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．

6. 已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）． 7. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+（2k﹣1）=0． （1）求证：该方程由两个不相等的实数根． （2）若此方程有一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的等腰三角形的周长． 8. 已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣3）=m2，求证：无论m取何值时方程总有两个不相等的实数根；a，b是此方程的两根且a2+b2=12，求m的值． 9.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根． （1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 10. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．

一元二次方程根的判别式的综合应用

一元二次方程根的判别式的综合应 用 一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。 定理1 ax2+bx+c=0(a0)中，＞0方程有两个不等实数根. 定理2 ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有两个相等实数根. 定理3 ax2+bx+c=0(a0)中，＜0方程没有实数根. 2、根的判别式逆用（注意：根据课本反过来也成立）得到三个定理。 定理4 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根＞0. 定理5 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个相等实数根＝0.

定理6 ax2+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根＜0. 注意：（1）再次强调：根的判别式是指=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 (3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0. 二.根的判别式有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况。 例1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a0) 解：(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4,

∵=b2-4ac=32-42(-4)=41 方程有两个不相等的实数根。 (2)∵a0,方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ∵=(-b)2-4a0=b2, ∵无论b取任何关数，b2均为非负数， 0，故方程有两个实数根。 ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 分析：由判别式定理的逆定理可知（1）＞0；（2）=0；（3）＜0；

根的判别式教案

一元二次方程根的判别式 教学目标： 1?了解用配方法求一元二次方程一般式的解的过程； 2.了解一元二次方程根的情况由b2—4ac决定； 3?会利用根的判别式判别一元二次方程根的情况； 4?能利用根的判别式解决相关问题。 教学重难点： 教学重点是会利用根的判别式判别一元二次方程根的情况；教学难点是利用根的判别式解决问题 教学过程： 一、复习一元二次方程求根公式的推导，引入新课： 1 ?回忆用配方法求一元二次方程一般式的解的过程 2?为什么要讨论b2—4ac大于0，等于0，小于0? 3?一元二次方程根的情况由什么决定？ 二、师生归纳总结展示成果 当厶＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当厶=0时，一元二次方程有两个相等的实数根； 当厶＜0时，一元二次方程没有实数根。 反之成立。 三、例题1： 不解方程，判别下列方程的根的情况： (1) 2x2—7x—1=0；(2) 3x(x+2)= —5；( 3) 3 —4x2=0. 生先独立思考，后小组交流：在( 2)、(3)两题中，应注意什么？在(1)、(3)两题中，发 现若a、c异号，则b2—4ac 一定大于0吗？同学们自己还能发现什么规律吗？ 反馈：独立完成课本P42第4题。 例题2：求证：关于x的方程2x2+3(m —1)x+m2—4m—7=0有两个不相等的实数根. 例题3：若关于x的方程x2—2 . ax —仁0有两个不相等的实数根，求a的取值范围. 例题4：若关于x的二次方程kx2+1 = x—x2有实数根，求k的取值范围. 例题5: m取什么数时，关于x的方程(m —2) x2—2mx+m+1=0有实数根？ 分析：题目只说“关于x的方程”，并没说关于x的二次方程，而m—2是否为零确定此方程的次数，因此应分类讨论.

公式法与根的判别式

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论 因为2 040a a ≠>所以

九年级数学上册专题突破讲练根的判别式的深化应用试题新版青岛版

根的判别式的深化应用 一、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），它的解的情况由b 2－4ac 的取值决定，我们 通常用“?2-，即ac b 42 -=?。 方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况 =?b 2－4ac ＞0 两个不相等的实数根 =?b 2－4ac ＝0 两个相等的实数根 =?b 2－4ac ＜0 没有实数根 方法归纳：用b －4ac 可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可确定b 2－4ac 的取值。 二、根的判别式的应用 1. 判断一元二次方程根的情况。 2. 确定一元二次方程中字母系数的取值范围。 3. 确定一元二次方程根的某些特性，如是不是有理根。 方法归纳：（1）计算=?b 2－4ac 时注意a 、b 、c 表示各项系数，包括它们前面的符号； （2）关于根的判别式=?b 2－4ac 的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地，将表 示=?b 2－4ac 的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定=?b 2－4ac 的正、负号。 总结： 1. 会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。 2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。 例题1 关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋（m －2）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 解析：这是含字母系数的一元二次方程，将字母视为数字即可。这里a ＝1，b ＝－m ，c ＝m －2。因为b 2－4ac ＝（－m ）2－4×1×（m －2）＝m 2－4m ＋8＝m 2－4m ＋4＋4＝（m －2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根。 答案：A 点拨：判断b 2－4ac 的正、负情况时，通常有两种情形，（1）已知判别式中某些字母的 取值范围，依此确定判别式?的取值范围；（2）一般要将表示b 2－4ac 的代数式进行配方， 利用偶次幂的非负性确定b 2－4ac 的正、负号。 例题2 定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们 称这个方程为“凤凰”方程，已知ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等 的实数根，则下列结论正确的是

判别式与韦达定理的应用

【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理 【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系 【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习过程】 学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论： （1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根； （2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ； （3） 有一个根为—1 ? a —b+c=0； （4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞ （10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞ （12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞ （13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0 ))(021＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。 思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不 等式组即可求出k 的值。

一元二次方程的根的判别式教学案(一)

一元二次方程的根的判别式教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 1．了解根的判别式的概念． 2．能用判别式判别根的情况． （二）能力训练点： 1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力． 2．进一步考察学生思维的全面性． （三）德育渗透点： 1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神． 2．进一步渗透转化和分类的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：会用判别式判定根的情况． 2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．” 3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac ＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根． 三、教学步骤 （一）明确目标 在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？

这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况． （二）整体感知 在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题． 在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用． （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）平方根的性质是什么？ （2）解下列方程： ①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0． 问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用． 2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将 （1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok

一元二次方程专项练习60题 1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当时，求m的值． 2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0， （1）若方程的一根为0，求实数a的值； （2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值． 3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？ 4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0． （1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根； （2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况． 5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值． （1）方程有两个相等的实数根； （2）方程有两个相反的实数根； （3）方程的一个根为0． 6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．

7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值． 8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0． （1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x12+12m+x22=10，求m的值． 11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）若x12=11﹣x22，求k的值． 12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根 （1）求m的取值范围； （2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．