第四章20071129

第4章根轨迹法

自动控制原理

东北大学

王建辉顾树生主编

杨自厚主审

第4章根轨迹法

主要内容

根轨迹的基本概念

根轨迹的绘制法则

用根轨迹法分析系统的暂态特性 小结

第4章根轨迹法

学习重点

了解根轨迹的基本特性和相关概念； 了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根

轨迹的分类原则；

掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中；

学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能；

了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系。

第4章根轨迹法

根轨迹法

一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。

1948年，由伊文思（W. R. Evans）提出。

根轨迹法的任务

由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。

4.1 根轨迹法的基本概念

根轨迹

系统开环传递函数的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S 平面上的变化轨迹。

4.1

4.1 根轨迹法的基本概念

K由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。

根轨迹直观地表示了参数

K变化时，闭环特征根的

变化，并且还给出了参数

K对闭环特征根在S平面

上分布的影响。

()

()(s N K z s K s N m

i g

+∏4.1

4.1 式中：z?

4.1

4.1

4.1

4.1 根轨迹法的基本概念因为在0→∞范围内连续变化，总有一

个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。

利用幅值条件计算值比较方便，它可

以作为计算值的依据。

g K g K g K

绘制根轨迹的一般步骤

（1）出=0和=∞时的特征根

（2）根据绘制法则大致画出0< <∞时的根轨迹

草图

（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确

绘制

g K 4.2 根轨迹的绘制法则g K g K

4.2 根轨迹的绘制法则

4.2.1 绘制根轨迹的一般法则

1．起点（= 0）

= 0时，闭环系统的特征方程式等效为

上式即为开环系统的特征方程式。所以，当= 0时，闭环极点也就是开环极点。

g K g K g K ∏==+=n

j j p s s D 1

)()(

4.2 根轨迹的绘制法则

2. 终点（=∞）

当=∞时，闭环系统的特征方程式等效为

上式表明，当=∞时，闭环极点也就是开环有限零

点。

今设N(s)为m 阶方程，故有m 个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有n-m 个闭环极点，随着=∞，它们都趋向无限远（无限零点）。

g K g K g K g K ∏==+=m

i i z s s N 1

)()(

4.2 根轨迹的绘制法则

3. 根轨迹分支数和它的对称性

根轨迹分支数取决于闭环系统的特征方程式中s的最高次项，即为max(n,m)条。

闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴。

4.2 根轨迹的绘制法则

4．实轴上的根轨迹

根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角总为零；复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为180°。

结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数。

4.2 根轨迹的绘制法则证明：设为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目，

为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，由辐角条件

整理得

所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足

11

(12)

m n

i j z p i j N N αβπππμ==?=?=±+∑∑()2()(12)z z z p z z p N N N N N N N πππππμ+??=?+=±+),2,1,0(21 =+=+μμp z N N z N p N