§2-3 微分法
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分
求函数的微分或导数的方法称为微分法。要是每次求一个函数的微分或导数时，都按照定义去做一遍，这不仅麻烦，而且有时根本行不通。莱布尼茨为如何求初等函数的微分和导数，设计出了一个切实可行的方案：先列出一些求微分和导数的一般规则；再列出一些简单初等函数的微分和导数的公式。求初等函数的微分或导数时，按照给出的规则和公式，一步一步往下做就行了。
1.四则运算规则 若函数)(x f 和)(x g 在点x 都可微分，则
⑴[]d ()d ()cf x c f x =, []()()c f x c f x ''=（c 为常数）; ⑵[]d ()()d ()d ()f x g x f x g x ±=±, []()()()()f x g x f x g x '''±=±; ⑶[]d ()()()d ()()d ()f x g x g x f x f x g x =+, []()()()()()()f x g x g x f x f x g x '''=+;
⑷2
()()d ()()d ()d ()()f x g x f x f x g x g x g x ??-=????
, 2
()()()()()
()()f x g x f x f x g x g x g x '''??-=????
。 证 读者已经知道，可微与可导是等价的。因此，先证明可微或先证明可导是一样的。 规则⑴和⑵的证明是简单的，譬如证⑵。因为函数)(x f 和)(x g 在点x 都可微分，根据式（2-1）,则
)()();
()(x o x x g g x o x x f f ?+?'=??+?'=?
因此，
[()()]()()[()()]()f x g x f x g x f x g x x o x ''?±=?±?=±?+?
注意，其中()()()o x o x o x ?±?=?。根据式(2-1)，函数)]()([x g x f ±在点x 也可微分，而
（微分）d[()()][()()]()()f x g x f x g x x f x x g x x ''''±=±?=?±?d ()d ()f x g x =±， （导数）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±。
规则⑴和⑵说明，微分运算和导数运算都是线性运算，即
[][][]d ()()d ()d ()f x g x f x g x αβαβ±=±
[]()()()()f x g x f x g x αβαβ'''±=±
其中α和β都是常数。
规则⑶和⑷的证明要麻烦一点。据说，莱布尼茨花了一周时间才得出规则⑶[当然，他用的不是我们现在用的方法]。注意，下面又换了一种证法，即先证明可导（当然也可先证明可微）。为证规则⑶，首先注意，根据函数)(x g 在点x 的可微性，且可微分必定连续，则得
lim ()()x g x x g x ?→+?=
其次，因为
[]()()()()()()f x g x f x x g x x f x g x ??=+??+?-?
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 43
[]()()()()=+??+?-?+?f x x g x x f x g x x []()()()()+?+?-?f x g x x f x g x
[][]()()()()()()f x x f x g x x f x g x x g x =+?-+?++?-
()()()()f x g x x f x g x =??+?+??
所以
[]
()()()()()()
???=
+?+???f x g x f x g x g x x f x x
x
x
因此，函数乘积的导数为
[]
[]
d ()()()()lim
d x f x g x f x g x x
x ?→?=?
000()()
lim lim ()()lim
?→?→?→??=?+?+???x x x f x g x g x x f x x x
d ()d ()()()
d d =
+f x g x g x f x x
x
[注意，0
lim ()()x g x x g x ?→+?=]
在两端同乘d x ，则函数乘积的微分为
[]d ()()d ()()()d ()=?+?f x g x f x g x f x g x
为证规则⑷，下面分成两步。我们首先证明函数
1()
g x 在点x 可导。事实上，因为
111()()()()()
()()??-+??=-=??
+?+???g x g x x g x g x x g x g x x g x ()
()()g x g x x g x ?=-+? 所以函数
1()
g x 的导数为
0001()1()1lim lim lim ()()()?→?→?→????
?'
?????==-?????+???
x x x g x g x g x x x g x x g x 2
()()
g x g x '=- 其次，根据规则⑶，函数
)
(1)()
()(x g x f x g x f ?
=在点x 也可导，且导数为
()11
1()()()()()()()'''??????'=?=+????????????
f x f x f x f x
g x g x g x g x
2
2
()()()()()()
()
()
()
()
''''-=
-=
f x
g x f x g x f x g x f x g x g x g x
而微分为
2
()()()()()()d d d ()()()'''????-==????????
f x f x f x
g x f x g x x x g x g x g x
2()d ()()()d ()
f x x
g x f x g x x
g x ''?-?=
2d ()()()d ()
()
f x
g x f x g x g x ?-?=
例9 证明：111
1d()d m
m
x x
x m
--
-=-
；111
1()m
m x
x
m -
--'=-
。
证 根据商的微分规则和例7
（§2-1），
1
1
2d()d d -??===- ??
?m
m m x x x 1
11
121d 1d m m m
x x m x x m x ---=-=- 从而，导数为
1
1
1
1d()1d m m
m
x x x x m ----'??==- ?
?
?
例10 ()2sin (sin )cos sin (cos )tan cos cos '''-??'== ???
x x x x x x x x 222cos sin cos x x
x
+=
221sec cos =
=x x
同理，
()2
cos (cos )sin cos (sin )cot sin sin '''-??'== ???
x x x x x x x x 222sin cos sin x x
x
--=
221csc sin =-
=-x x
请你计算：()1(i)sec cos x x '??'== ???
()1(ii)csc sin x x '??'== ???
答案：(i)sec tan x x ； (ii)csc cot x x -。
习题一
1.根据微分规则，求下列函数在指定点的微分或导数：
⑴504,2y x x ==； ⑵201,102
s gt t =
=； ⑶02
31
,2y
x x
=
=
；
⑷01u x ==； ⑸0log ,10a y x x ==； ⑹0tan ,4
y x x π
==。
答案：⑴d 320d ,320y x y '==；⑵d 10d ,10s g t s g '==；⑶d 48d ,48y x y '=-=-；
⑷11d d ,5
5
u x u '=
=
；⑸d 1d ,10ln 10ln x y
y a
a
'=
=
；⑹d ,y x y '==
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 45
2.填空：
⑴5d _______x ??
= ???； ⑵13d 4________x -??= ? ???
；
⑶(d _________-=； ⑷d(log 2)_________x =； ⑸2d(sin )_______________x x =； ⑹d(e tan )______________x x =； ⑺d _______________
cot x x ?
?=
???； ⑻d _____________=。
答案：⑴
2
5d x x -
；⑵x -
；⑶x -
；⑷2ln 2d ln x x x
-
；
⑸2
(2sin cos )d x x x x x +；⑹2
(e tan e sec )d x
x
x x x +；⑺22
cot csc d cot x x x
x x
+；
⑻
x 。
3.求下列函数的微分或导数（根据你的习惯，先求微分或先求导数都可以）：
⑴43237y x x -=-+
； ⑵23(1)(241)y x x x =+-+；
⑶1
1x y x -=+； ⑷1y x =-+；
⑸2e (329)x y x x =-+； ⑹e cos sin ln x y x x x =+。
答案：⑴34
d 49d y x x x -?
?
=++
?
；⑵422(5324)y x x x '=-+-； ⑶
22d d (1)y x x =+；⑷2
1y x '=-+；⑸2d e (347)d x y x x x =++； ⑹sin e cos e sin cos ln x x x
y x x x x x
'=-++。
4.设函数()u x 、()v x 、()w x 都可微分。证明：
[]()()()()()()()()()()()()u x v x w x u x v x w x u x v x w x u x v x w x ''''=++
提示：[()()()][()()]()[()()]()u x v x w x u x v x w x u x v x w x '''=+。
5.设有球形薄壳，外半径为2m ，厚度为0.1cm 。 求薄壳体积的近似值。
答案：30.050(m )≈
2.链式规则 函数12+=
x y 虽然简单，但用上面的规则求不出它的微分或导数。因
此，我们还需要一个求微分和导数的规则，即链式规则。函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算（见§1-3）。例如，上面那个函数是由函数
u y =
和 12+=x u
复合而成的复合函数，其中u y =
为外函数，12+=x u 为内函数或中间变数。
链式规则 若内函数)(x u u =在点),(b a x ∈可微分，且外函数)(u f 在点
),()(B A x u u ∈=可微分，则复合函数)]([x u f y =在点x 也可微分，且微分为
()()d [()()]d ()d ()u u x u u x y f u u x x f u u x =='''=?= (2-4)
而导数为
)()(d )
(d d )(d d d )
(x u u f x
x u u u f x
y x u u '?'=?=
= (2-5)
证 设自变量x 有增量x ?，则中间变量u 就有增量
)()(x u x x u u -?+=?
[于是()()u x x u x u u u ???+=+=+]
而复合函数[()]y f u x =的增量
[()][()]()()y f u x x f u x f u u f u ???=+-=+- ()()()[()()]()f u u o u f u u x x o x o u ?????'''=+=++
[因为()f u 可微分] [因为()u x 可微分]
[()()]()()()f u u x x f u o x o u '''=??+??+?
[注意，()()()f u o x o x '??=?；()()o u o x ?=?（见下注）]
[()()]()()f u u x x o x o x ''=??+?+?)()]()([x o x x u u f ?+?'?'=
因此，复合函数)]([x u f y =在点x 可微分，而且
(微分)()d [()()]d ()d ()u u x y f u u x x f u u x ='''=?= (导数)
()d d ()d ()()()d d d u u x y f u u x f u u x x u x
=''=
?=? 【注】因为
0,0()()
(1)[()()],0u o u o u u o u x x o x u u
?=??
?=??'?=?+??≠???
， 所以()()o u o x
?=?。 现在，我们可以很容易地求出函数y =
1,2+==
x u u y
所以微分和导数依次为
221221
1
1d d(1)(2d )2
u x u x y x u
x x -
=+=+
'
=?+=
?x
=
d d y y x '=
=
链式规则就像“锁链”一样，通过中间变量u 求出了复合函数)]([x u f y =的微分和导数。正确地运用这个规则是能够求出复合函数微分和导数的关键．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。读者只有多做习题，才能够熟练地掌握它。
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分
47
例11 证明：1
1
)(;d )(d --=
'=
m
k
m
k
m
k
m
k
x
m
k x x x
m
k x (其中k 为整数，m 为正整数)。
证 令m
x u 1=，则k m
k u x
=。 根据链式规则，
1111
1
d()1d()d d()d d k k k k m
m
m
u x u ku
x ku
x
x u
m
---=
?=?=?
1d k m k x x
m
-=
，
1
d )(d )(-=
=
'm
k
m k
m k
x
m
k x
x x 。
【注】 对于有理指数的幂函数，我们已经得到上述微分和导数的公式。它实际上对于一般幂函数x μ
也成立，因为根据链式规则和对数函数的微分公式，
ln ln 1d()d(e )e d(ln )d d x x x x x x x x x
μμμμμμ
μμ-===?
=
于是又有导数公式
1d()()d x x x x
μμμμ-'=
=
同理，还有一般指数函数的微分公式和导数公式：
ln ln d()d(e
)e d(ln )ln d x x a
x a
x a x a a a x ===， d()()ln d x x
x a a a a x
'=
=。
例12 求函数42100(2)y x a =+的微分和导数。
解 若不用链式规则，就要先把它按牛顿二项式公式展开成101项之和，再用四则运算规则求它的微分和导数。这显然太麻烦了! 若用链式规则的话，就能够很容易地求出它的微分和导数。令422u x a =+，则100
u
y =,于是，
1009942993d ()d 100d(2)100(8d 0)y u u u x a u x x '==+=+34299800(2)d x x a x =+，
d d y
y x
'==34299800(2)x x a +。
例13 设函数22a
x x
y +=(0>a 为常数)。求它在点0=x 的微分和导数。
解 先求微分或先求导数都可以。譬如先求微分，根据商的微分规则，
d y =
其中
2211
()
2
22
21d()d()2
u x a u u
x a x =+-
======
=
+=
所以
2
d y x x =
=
d d y y x
'
=
2
=
于是，微分0
1d d x y
x a
==
，而导数0
d 1(0)d x y y x
a
='=
=
。
习题二 1.填空：
⑴()d e ________-=x ； ⑵()2d e ________=x ； ⑶2
d(e )________x =； ⑷[]d ln(3)________x =；
⑸d(sin 2)________x =； ⑹()2d sin ________=x ； ⑺()2d sin _________=x ； ⑻d cos
________3??
= ?
??
x ； ⑼d
________=； ⑽(d ________=；
⑾()d tan 4________=x ； ⑿()4d
tan _________=x ；
⒀(
d tan
________=； ⒁d cot ________?
= ?
。 答案：⑴e d x x --；⑵22e d x x ；⑶22e d x x x ；⑷1
d x x
；⑸2cos 2d x x ；
⑹sin 2d x x ；⑺22cos d x x x ；⑻1sin d 3
3
x
x -；⑼
x -
；
⑽x ；⑾24sec (4)d x x ；⑿324tan sec d
x x x ；
2
x
2x
。
2.求下列函数的微分或导数（根据你的习惯，先求微分或先求导数都可以）： ⑴y
x =；
⑵(1)y x =+； ⑶2
3
2(3)x
a y a x +=++； ⑷2
3
2(3)x
a y a x +=+；
⑸ln ln ln y x =； ⑹3ln y x =； ⑺sin cos m y x mx =； ⑻sin sin sin y x = ⑼22sin cos x
y x =
； ⑽sin cos cos sin x x x
y x x x
-=
+；
⑾2
tan cot 2x y x
=-； ⑿22tan tan tan 2y x x x =++；
⒀23sin cos (tan )y x ??
=??
； ⒁2
y =
答案：⑴32y '=；
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 49
⑵2
y '=；
⑶2
3212ln 2(3)x a y xa a ax x +-'=++； ⑷2
2
3
23
212ln (3)2(3)x a x
a y xa a x a ax x ++-'=?++?+；
⑸1
ln ln ln y x x x
'=
；⑹23ln x
y x '=
；⑺1sin cos(1)m y m x m x -'=+；
⑻cos sin sin cos sin cos y x x x '=??；
⑼2222
2
sin 2cos 2sin sin cos x x x x x
y x +'=；
⑽2
2
(cos sin )x y x x x '=
+；`⑾2
2
2
122sec csc 2
2
x y x x
'=
-
；
⑿22222tan sec 2sec 2sec (2)y x x x x x '=++；
⒀23322
3cos cos (tan )sin(2tan )tan sec y x x x x '??=-??
；
⒁2
2ln 2sec
y '=?。
3.若圆半径以2cm s 等速度增加，求圆半径为10cm 时圆面积增加的速度。
答案：240cm s π。
3.隐函数和用参数方程表示的函数的微分和导数 函数x y =
可以看成“函数方程”
)0,0(02≥≥=-x y x y
的解。所谓函数方程，就是未知函数)(x y y =满足的恒等式
0)](,[≡x y x F 或简写成0),(=y x F
由函数方程0),(=y x F 确定的函数)(x y y =称为隐函数（顾名思义，隐藏在方程中的函数）。一个方程(在实数范围内)可能无解(如2210x y ++=)，所以有的方程不能够确定隐函数。由方程确定的隐函数常常是多值的，例如方程12
2
=+y x 至少确定有两个函数
|1)y x =≤
在这种情形下，要把它们分开来研究，因为微积分研究的是单值函数。在高等多元函数微积分中（在本书下册中），专门有这样的定理，它指出在什么条件下，一个方程(组)能够确定出可微分的隐函数(组)。这里假定方程确定有可微分的隐函数，你可按照下面的方法（口诀）求它的微分和导数：
在方程两端同时求微分或同时关于自变量求导数，然后解出隐函数的微分或导数。 例14 设方程252
2
=+y x 。 求隐函数)(x y y =分别在点)4,3(与在点)4,3(-的微分和导数。并求圆周252
2
=+y x 在点)4,3(的切线方程和法线方程(图2-12)。
解 在方程两端同时求微分，即0d 2d 2=+y y x x ，则得
x y
x y d d -
=；y
x x
y y -
==
'd d 。
或者在方程两端关于自变量x 同时求导数，即
022='+y y x (注意y 是x 的函数)，
则
x y
x x y y y
x y d d d ;-
='=-='。
于是，
3,43,433
d d ,44x y x y y x y ===='=-=-；
3,43,433
d d ,44
x y x y y x y ==-==-'==。
根据直线的点斜式方程，圆周252
2=+y x 在点)4,3(的切线方程为
3
3(4)4
y x -=--
而法线方程为
43(4)3
y x -=
-
例15 求幂指函数x y x =的微分和导数（底数和指数上都含有自变量的函数称为幂指函数）。
解一 根据对数恒等式ln e y y =，则ln e x x y =。 因此，
ln ln ln 1d d(e )e d(ln )e ln d d x x x x x x y x x x x x x x ?
?===+? ???(ln 1)d x x x x =+,
(ln 1)x y x x '=+。
解二 在x y x =两端取对数，则得方程ln ln y x x =。 把其中的()y y x =看作由方程
ln ln y x x =确定的隐函数，并在两端同时求微分，则得
11
d d ln d(ln )ln d d (ln 1)d y x x x x x x x x x x y x
=?+=+?=+ 即得
d (ln 1)d (ln 1)d x y y x x x x x =+=+， (ln 1)x y x x '=+
或在ln ln y x x =两端同时关于自变量x 求导数，即
1ln 1y x y
'=+
因此，(ln 1)(ln 1)x y y x x x '=+=+，d (ln 1)d x y x x x =+。
在几何、物理或其他应用科学中，有时用参数方程
()()()
x x t t y y t αβ=?≤≤?
=?
图2-12
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 51
表示曲线或质点运动的轨道。为了求曲线切线的斜率或质点运动的速度，就需要y 关于x 的
导数。若()0x
t ≠ ，则有 d ()d ()d ()d ()y y
t t y t x
x
t t x t =
=
（其中d t 为有限量） 例如，圆周cos (02)sin x R t
t y R t π=?≤≤?
=?
，则
d cos cot d sin y y R t
t x
x
R t =
==-- (0,,2)t ππ≠ 例16(旋轮线) 设有半径为a 的圆在一直线上(无滑动地)向前滚动，P 为圆周上一固定点，则点P 的运动轨迹是一条曲线(称为旋轮线或摆线)。为求它的方程，需要建立坐标系；又为了使方程简化，像图2-13那样，把圆开始滚动时的点P 放在坐标原点上。
设圆向Ox 轴正方向滚动，圆半径O P '转过的角为t (弧度)，点P 的坐标为),(y x ，则点P 的运动方程为
?
?
?-=-==-=-==)cos 1(cos )()
sin (sin )(t a t a a t y y t t a t a at t x x 图中的曲线是旋轮线的第一拱(02t ≤≤π)。
⑴ 对于0(0,2)t ∈π，记)(),(0000t y y t x x ==，求旋轮线上点),(00y x 处的切线方程和法线方程；
⑵ 验证旋轮线的切线通过滚动圆的最高点，而法线通过滚动圆的最低点(由此得到画切线和法线的方法)。
解 ⑴t a t y t a t x sin )(),cos 1()(='-='，所以
d sin (02)d 1cos y t t x t
=
<<π-
因此，旋轮线上点),(00y x 处的切线方程为
)(cos 1sin 00
0x x t t y y --=-
其中)cos 1(),sin (00000t a y t t a x -=-=；而法线方程为
)(sin cos 100
0x x t t y y ---=-0()t ≠π或πa x = 0()t =π
图2-13
.
⑵滚动圆的最高点的坐标为)2,(a at ，而最低点的坐标为)0,(at 。把它们分别代入切线方程与法线方程，就可以验证所说结论⑵。
习题三
1.设由方程2222x xy y x +-=确定隐函数()y y x =，分别在点(2,4)和(2,0)求导数
y '
答案：2,452
x y y =='=
；2,012
x y y =='=-
。
2.求下列由方程确定的隐函数()y y x =的微分或导数：
⑴sin cos 0xy y x x y --=； ⑵cos()2x y x -=；
⑶)sin(e y x y
+=，在点,02
π??
??
?
； ⑷1ln e =+y y x
，在点)1,0(；
⑸0)cos(sin =--y x x y ，分别在点0,2??π ??
?
与30,
2?
?π ??
?
。 答案：⑴c o s c o s s i n s i
n y x y y y x x x y
+-'=
-+；⑵21s i n (
)y x y
'=+
-；⑶0；⑷2
1-
；⑸31,122ππ
-+
。 3.求下列幂指函数的导数：
⑴11x
y x ?
?=+ ??
?； ⑵sin x y x =； ⑶223(1)x y x +=+。
答案：⑴1111ln 11x
y x x x ??????'=++- ? ???+??????；⑵sin sin cos ln x x y x x x x ??'=+ ??
?； ⑶22322(23)2(1)ln(1)1x x x y x x x ++?
?'=+++??+?
?。 4.设2
323e sin 10
y x t t t y ?=++??-+=??。求0d d t y x =。
提示：分别求出0d 2d t x t ==和0d ed t y t ==【注意，0t =时，1y =】。
答案：
d e d 2
t y x
==
。
4.简单反三角函数的可微性 若函数)(x f y =在某区间,a b 上可微分且有反函数1()x f y -=，则当()0f x '≠(*)
时，反函数)(1
y f
x -=也可微分，其导数为
[]
)
(1
1
)
(1
)(y f
x x f y f
-=-'=
'
事实上，因为()()y f x x f x ?=+?-，即()y y f x x +?=+?，所以1()f y y x x -+?=+?。
注意到00y x ?→???→，因此
(*)
在§2-4的习题19中指出，()0f x '≠能够保证函数()y f x =有反函数1()x f y -=。
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 53
111
00()()()()lim lim ()()y x f y y f y x x x f
y y
f x x f x ---?→?→+?-+?-'==?????+?- 1
()
011
lim
()()()()
()lim x x f
y x x f x x f x f x x f x f x x
-?→=?→?==
=
+?-'+?-?
⑴ 函数sin y x =可微分且(sin )cos 02
2x x x π
π??'=≠-<< ???，所以它的反函数
arcsin (11)x y y =-<<
有导数
()(
)1
1arcsin cos sin y x
x '=
=
=
=
'
⑵ 函数cos y x =可微分且()cos sin 0(0)x x x '=-≠<<π，所以它的反函数
)11(arccos <<-=y y x
也有导数
()(
)1
1arccos sin cos y x
x '=
=
==-
-'
⑶ 函数tan y x =可微分且()0sec tan 2
≠='x x 2
2x ππ??-<< ???，所以它的反函数
)(arctan +∞<<-∞=y y x
也有导数
()()2
2
2
1
111arctan sec 1tan 1tan y x
x
y
x '=
=
=
=
++'
⑷ 函数cot (0)y x x =<<π可微分且()0csc cot 2
≠-='x x (0)x <<π，所以它的反函
数
)(cot arc +∞<<-∞=y y x
也有导数
()()222
1
111arc cot csc 1cot 1cot y x
x
y x '=
=
=-
=-
-++'
因为习惯上用x 表示自变量，所以常常把上面的反函数及其导数公式中的y 和x 对调位置。
习题四
⑴arcsin
y =
⑵y =； ⑶arctan e x y =；
⑷2(arc cot )y x =； ⑸22arcsin y x x =； ⑹arccos x y x
=
。
答案：⑴
y '=；⑵y '=
2e 1e x x
y =
+；
⑷
2
2arc cot 1x y x
'=-
+；⑸32
2arcsin y x x '=+
；⑹y '=。
5.简单初等函数的微分公式 下面汇集了简单初等函数的微分公式，你根据函数微分和导数之间的关系，当然可以把它们都转换成导数公式。
⑴=d 0c
⑵-=1d()d x x x μμμ，特别，??
=-
?
??
2
11d d x x x ，=x ⑶=d()ln d x x a a a x ， 特别，=d(e )e d x x x ⑷=
1d(log )d ln a x x x a
，特别，=
1d(ln )d x x x
⑸=d(sin )cos d x x x ⑹=-d(cos )sin d x x x ⑺==
22
1
d(tan )sec d d cos x x x x x
⑻=-=-22
1
d(cot )csc d d sin x x x x x
⑼()=<
d arcsin (||1)x x x ⑽()=<
d arccos (||1)x x x
⑾()=
-∞<<+∞+2
1
d arctan d ()1x x x x
⑿()=--∞<<+∞+2
1d arccot d ()1x x x x
总结：
⑴微分运算和导数运算都是线性运算。
⑵求初等函数的微分或导数都是套用规则或公式。第一步运算是：若函数式的最后一次运算为代数运算（和、差、积、商），就按四则运算规则求微分或导数；若函数式的最后一次运算为复合运算，就按链式规则求微分或导数。如此方法反复进行，直到求出微分或导数。
6.二阶导数和二阶微分 若函数)(x y y =在某区间),(b a 内处处可微分，则导数
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 55
)(x y y '='又是自变量x 的函数(函数值是导数)。例如，n x y =，则1-='n nx y 。有时称
)(x y y '='为导函数，或仍简称它为导数。导函数)(x y y '='的导数，即
0()()
()lim
x y x x y x y y x
?→''+?-''''==? 就称为函数)(x y y =的二阶导数 (即“导函数的导数”)。例如，当2n ≥时，
12
()()(1)n n n n x x nx n n x --'''''===-????????
例17 sin y x =，则cos ,sin y x y x ''==-；或者根据三角恒等式（奇变偶不变，符号看象限）做成：
cos sin 2y x x π??
'==+ ???
，
sin cos cos sin 222222y x x x x x ''??πππππ??????????
''=+=++=+=?+ ? ? ??? ? ????????????
?。
同理，(cos )sin x x '=-，(cos )(sin )cos x x x '''=-=-；或者 (cos )sin cos 2x x x π??
'=-=+ ???，(cos )cos sin cos 2222
x x x x '??πππ
??????
''=+=-+
=?+ ? ? ?????????
?
?。 【二阶导数的物理意义】 若质点沿直线的运动方程为)(t s s =，则
(加速度)[]0
()()
()()lim
t s t t s t s t s t t
?→''+?-''''==?0
()()
lim
()()t v t t v t v t a t t
?→+?-'===?
设函数)(x y y =在某区间),(b a 内处处可微分，则微分为d ()y y x x '=?。 若导(函)数
)(x y '在点x 又可微分，则有
[][][]2d d(d )d ()d ()()y y y x x y x x y x x x ''''==?=?=??22()()()(d )y x x y x x ''''=?=
(这里把x ?看成与x 无关的有限量)
称它为函数)(x y y =在点x 的二阶微分。于是，则当0)(≠''x y 时，二阶微分y 2d 2()(d )y x x ''=是关于基本无穷小量d x x ?=的二阶无穷小量。因为习惯上常把2
)d (x 写
成2d x [注意,不是)d(2
x ]，所以函数)(x y y =的二阶导数，按照莱布尼茨的记法，则为 2
2d d x y
[注意分子与分母上“2”的位置] 由此看出，同一阶导数和一阶微分的关系一样，
二阶导数与二阶微分之间的转换也可用“乘或除”运算来完成，
即
2
2d d )(x y x y =
''， 22d )(d x x y y ''=
注意，其中2d x =2
)d (x 。
需要指出，函数)(x y y =的一阶微分x x y y d )(d '=中，不管其中的x 是自变量还是函数
)(t x x =，微分x x y y d )(d '=的这种形式不改变(称为一阶微分形式不变性)。事实上，若函
数)(x y y =中的)(t x x =是函数，即)]([t x y y =，则微分为
d d d d d d ()d d d d y x y y t x y x x x t x
'===
但是在二阶微分中，例如函数x y e =的二阶微分中，若x 是自变量，则二阶微分为
222d e d d x x y y x =''=
而若其中的)(t x x =是函数，则
22d d(d )d(d )d(e d )d(e )d e d x x x y y y x x x x '====?+?22e d e d x x x x =+?
即多出一项x x 2
d e 。因此，二阶微分不具有形式不变性！
习题五
1.求下列函数的二阶导数和二阶微分： ⑴22
1gt s =
； ⑵x
y 1=
； ⑶x y =； ⑷12+=
x y 。
答案：⑴22d d s g t =；⑵223
2d
d y x x
=；⑶22d y x
=；
⑷22d y x =
。
请你再写出它们的二阶导数。
2.设一质点沿直线运动的规律为2
52010t t s -+=。求它运动的速度)(t v 和加速度
)(t a 。
答案：10)(;1020)(-=-=t a t t v 。
3.求下面由方程确定的隐函数)(x y y =的二阶导数y ''：
⑴12
2
=+-y xy x ； ⑵4
2
ln 2x
y y =+； arctan
e (0)y
x
a a =>。
答案：⑴223
6()(2)
x y xy y x y +-''=
-；⑵2226
223
6(1)4(1)
(1)
x y y x y y y y ++-''=
+；⑶223
2()()
x y y x y +''=
-。
4.设函数)(x y y =满足方程)sin(e y x y +=。 在点,02π??
???
处，求二阶导数y ''和二阶微
分y 2d 。 答案：22d d ;1x y y -=-=''。 5.对于用参数方程)()
()
(βα≤≤???==t t y y t x x 表示的曲线弧，其中)(t x 和)(t y 有二阶导数且
()0x
t ≠ 。 证明： 22
3
d ()()()()
d [()]y y t x t y t x t x x
t -=
6.设2
323e sin 10
y
x t t t y ?=++??-+=??。求22
d d t y x =
分析：分别求出(0),(0)x x 和(0),(0)y y ，然后代入题5中的公式。
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 57
解 因为()62()6x t t x t =+??=? ，所以(0)2(0)6x
x =??=?
。又
2e sin e cos 0[e ()sin e sin e cos ]e cos e sin 0y y y
y y y y y
t t y y
t y t y t y t t y ?+-=??+++--=?? 注意0
1t y
==，则2
(0)e (0)2e y
y =??=?
。根据题5中的公式，则 2223
3
d (0)(0)(0)(0)
2e 2e 6
(2e 3)e
4
d [(0)]2
t y y x y x x
x
=-?-?-=
=
=
总复习(微分法)
读者已经知道函数的微分和导数之间的关系。因为微分运算和导数运算是平行的，所以你可根据自己的习惯，先求微分或先求导数都可以。
1.求微分d y 或导数y '：
⑴29y =
+；
⑵y =
；
⑶22e (23)x y x x =-+；
⑷ln y x =+； ⑸[]sin(ln )cos(ln )y x x x =-； ⑹arcsin (0)x
y a a
=>；
⑺1arctan
(0)x y a a a
=
>；
⑻arctan y =
⑼arccos y x x =+； ⑽arctan e arctan e x x y -=+；
⑾2arcsin
(0)2
a x y a a
=
>；
⑿y =
⒀x
x
a
x a x y a x
x
=++； ⒁2
1
tan =x
y a 。
答案：
⑴y '=
；⑵2
y '=
；
⑶2222e (23)e (22)x x y x x x '=-++-
；⑷y '=；⑸2sin(ln )y x '=；
⑹y '=
；⑺22
1y a x '=
+
；⑻2(1)
y x '=
+
；⑼y x '=；
⑽0y '=
；⑾y '=
；⑿()2
1ln y x x '=
-；
⒀()()()x
x
a
x
a
x
y a x x '''
'=++,其中
()()()()()ln ln ln e e ln ln ln e x x x x
x
x x a x a
x
x x x x x a x a a
a x a a '''''====
()()ln ln e ln ln ln 1x x
x x x x x a a x x a a x x '=?=?+
()(
)()ln ln 1e e ln ln ln x
x
x
x a
a
x
a
x
x
a x x x a x x a a x a x '
'
??'===?+? ?
?? ()1ln ln x
a x x a a x x -=+
()(
)
()ln ln 11e e ln ln a a
a
a x
x
x
x
x
a
x a a x x x x ax x x x -'
'
??'===+ ?
?
? ()111ln (ln 1)a
a
x
a a x a x ax x x x x a x ---=+=+
因此，()ln ln 1x
x x y a a x x '=?++()1ln ln x
a x x a a x x -+1(ln 1)a
x a x x a x -++。
⒁2
21
1tan tan 2221111ln tan ln 2tan sec x
x y a
a a a x x x x '-??
'=?=??? ??
?
2
1tan 2
2
2ln 11tan
sec x
a a
x x
x
=-
。
2.求d d x y
y x
'=
，其中(
)y y x =满足方程arctan
ln y x
=+'=
-x x y y x y
。
3.设函数()f u 可微分。求d d x y y x
'=
，其中：
⑴2()y f x =； ⑵22(sin )(cos )y f x f x =+； ⑶()(e )e x f x y f =； ⑷[]{}()y f
f f x =。
答案：⑴22()y x f x ''=；⑵22sin 2(sin )(cos )y x f x f x '''=-????；
⑶()e e (e )(e )()f x x x x y f f f x '''??=+??；⑷[]{}[]()()()y f f f x f f x f x ''''
=??。
4.sin 29;cos151;
arctan1.05 。
1.007≈；sin 290.485≈ ；cos1510.874;≈- arctan1.050.810≈。 5.研究函数
2e ,
0()1
sin ,0x x x f x x x x -≤??=?>??
在点0的可微性。
提示：分别研究()f x 在点0的左、右导数。 答案：不可微分。
6.应用题
⑴ 设曲线(y x =+ 在下列点处求它的切线方程和法线方程：
(1,0);(2,3);(3,0)A B C -。
答案：在点(1,0)A -处，曲线的切线方程和法线方程分别是
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 59
(1),1)=
+=+y x y x 。
在点(2,3)B 处，切线方程为3y =；法线方程为2x =。
在点(3,0)C 处，切线方程为3x =；法线方程为0y =(即Ox 轴)。 ⑵ 证明：圆周222R y x =+上任意一点),(b a 处的切线方程和法线方程依次为
2R by ax =+ 和 0=-bx ay 。
⑶ 证明：双曲线1=xy 上任意点),(00y x 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于常数。
⑷ 证明：曲线)0(>=
+a a y x 上任意点),(00y x 处的切线，在两坐标轴上的截距
之和等于常数a 。
⑸ 求曲线x y 42
=与2=xy 在交点处的夹角θ。 答案：交角arctan 3θ=(或arctan 3π-)。
⑹ 已知曲线ax x y +=3
与曲线c bx y +=2
在点)0,1(-相切，求c b a ,,与公切线的方程。 答案：1,1a b c ==-=；公切线的方程是02(1)y x -=+。
⑺ 设一质点沿Ox 轴运动的方程为2
61t t x +-=(长度单位为m ，时间单位为s )。
(i)求质点运动的速度)(t v 和加速度()a t ；
(ii)求质点运动的初速度)0(v 与4=t 时的速度)4(v 和加速度(4)a ； (iii)质点在何时何处改变运动方向。
答案：(i)()()62==-+ v t x
t t ，()2=a t ； (ii)(0)6=-v ，(4)2=v ，(4)2=a ； (iii)3,8==-t x 。
第四版 微分几何 第二章课后习题答案
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
微分几何的教学地位与方法
第14卷第1期2011年1月高等数学研究 ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS V ol.14,No.1Jan.,2011 Solving Linear Differential Equations by Reduction of Order LIN Wang 1, H ONG Ji ping 2 (1.Scho ol of M athematics and Infor mation Science,Wenzhou U niv ersity ,W enzho u 325035,PRC; (2.City Co llege,Wenzhou U niver sity ,Wenzho u 325035,PRC) Abstract: T his paper presents the method o f reduction of order for linear differential equations.It show s that the appr oach has the potential of shor tening the m athem atical tex tboo ks for engineering students,reducing the teaching time,and m aking lear ning easy.Mor eo ver,using mathematical softw are in solving linear differ ential equations pro motes textbook refo rm to m eet the challenge o f the m odern computing technolog y. Keywords: linear differential equation,reduction of o rder,tex tboo k refo rm 微分几何的教学地位与方法 孙和军1,赵培标1,陈大广2 (1.南京理工大学理学院应用数学系,江苏南京210094; 2.清华大学数学科学系,北京100084)收稿日期:2008-09-24;修改日期:2010-10-19. 基金项目:江苏省研究生教育教学改革研究课题(AD20309);南京理 工大学自主科研专项计划基金项目(2010ZYTS 064). 作者简介:孙和军(1976-),男,江苏连云港人,博士,讲师,主要从事 流形上的几何与分析研究.Email:hejuns un@https://www.wendangku.net/doc/682986551.html,;赵培标(1964-),男,安徽怀远人,博士,教授,主要从事微分几何和金融数学研究.Email:pbz hao@nju https://www.wendangku.net/doc/682986551.html,. 摘 要 结合教学实践,阐述微分几何在本科教学中的重要作用,提出改进微分几何教学方式的几点想法.指 出数与形应相结合,从而可实现学生逻辑思维能力与直觉思维能力的全面发展. 关键词 微分几何;教学方法;数形结合中图分类号 O186.1;G 642.4 文献标识码 A 文章编号 1008 1399(2011)01 0101 03 从广义相对论的证明,到陈省身给出的Gauss Bonnet 定理的内蕴证明,再到Yang Mills 场论与联络论的奇妙对应,直到最近佩雷尔曼(Pelerm an , 1966-)给出的世纪难题Po incare 猜想的证明,微分几何无不在向人们展示着其巨大的魅力.而作为微分几何学入门的本科 微分几何 课程,充分展示了 数 与 形 的奇妙结合,是学生了解近代数学发展的一个有效途径,是他们学习高级知识的桥梁,其在学生的数学能力的培养、思维品质的提高、后续高级课程的学习等方面都具有重要作用. 但由于种种原因,现在许多学校的相关院系在学生的培养计划中取消了这门课程的教学安排,或者压缩其教学时数.针对这种教学的现状,考虑到 微分几何 在学生能力培养方面的重要作用,我们 认为在以后的教学改革中应该加强而不是削弱其在本科教学中的地位,主要原因有以下几条: 原因1 微分几何 是帮助学生由初等几何 通往现代微分几何的桥梁.为了说明微分几何课程的重要性,我们有必要搞清楚古典微分几何与现代微分几何的关系. 几何学的发展开始于欧几里得(Euclide ,约公元前330-前275)的 几何原本 .在这本发行量仅次于 圣经 的经典著作里,欧几里得研究的是平面上的规则几何图形,如:点、直线、多边形等.在长达二千年的时间里,几何学的研究都是围绕着这些几何对象展开的,这一时期属于初等几何研究阶段.笛卡尔(Descarts ,1596-1650)引入的直角坐标系,使得代数的方法应用于几何研究,开创了空间解析几何研究的新阶段.微分几何是伴随着微积分的创立而发展起来的.十七世纪初,牛顿和莱布尼兹创立的微积分给数学带来了巨大的变革,也给几何带来了新的思想和工具来处理新的对象.几何学家开始把关注的目光投向曲线、曲面,开始了古典微分几何的研究,高斯(Gauss ,1777-1855)等数学家做出了重要贡献.
微分几何与伴随着微分几何的发展
微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。 从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean 空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854 年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了Gauss在2维曲面的内蕴几何，从而发展出n 维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展。在这里，微分几何与多复变函数论、Lie群理论、代数几何以及PDE 都彼此产生深刻的互相影响。数学在不断的分化，又不断交融。 多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉，单位圆和上半平面（两者可以建立共形映射）上定义Poi ncare度规后，单复变函数论与微分几何的联系就历历可见。Poincare度规是共形不变量。著名的Schwarz定理在引入Poincare度规后就可以解释为：单位圆上Poincare度规在解析映射下不增加，当且仅当此映射是分式线性变换时Poincare度规不变。应用Poincare度规下的双曲几何可以轻松证明著名的Picard小定理。而Picard大定理的证明需要用到艰深的模函数理论，如果用微分几何观点，也可以以极其简明的方式证明。这里，微分几何深深渗透到复变函数论之中。在多复变函数论中，分析复仿射空间的区域定义度规后，接下来就实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。在单复变情形，所有奇点离散分布，而在多复变情形，由于著名的Hartogs开拓现象，所有孤立奇点都被吞没，甚至于奇点形成的连续区域也经常被吞没，只有形成实余维数为1的流形才可以避免这个厄运。但是，即使这种情形也需要其他限制条件才可以“确保安全”。多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。1922年Bergman引进著名的Bergman核函数，那个时代的多复变函数还是Weyl所说的草创时代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几位前辈的著名研究外几乎没有任何实质性进展，Bergman 的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。在多复变函数中的域上的Bergman度量，在一维情形就是单位圆和Poincare上半平面上的Poincare 度量，这注定了Bergman工作的重要性。 代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点（代数簇）的性质，代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域，线性空间维数就是扩张次数。从这个观点出发，代数几何可以看成是对有限扩域的研究。代数簇的性质和其基域关系极其密切。对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇，研究的过程中不仅有大量概念和微分几何及多复变函数论重合，而且在研究过程中运用到大量有关的相似工具。复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。许多相关领域的大师，虽然看上去只研究某一领域，但是其结果却影响到其他领域。例如：Lerey研究代数拓扑得出得层论，在代数拓扑中影响不大，单却由于Serre，Weil和H? Cartan（E?Cartan长子）的引进，深刻影响了代数几何和多复变函数论。C hern研究Hermite空间的示性类，但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。H
凑微分法解不定积分(个人用讲义)
凑微分法 一，凑微分法原理 回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x) dy/dx df(x)/dx 等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)= df(x)/dx 再加以变形可得f′(x) dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义） 为了说明这个式子，我们来看几个例子： 例题一：d(2x+1)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)= 2 d(x) 例题二：d(e^x)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)= e^x dx 因为做题目的时候，往往是告诉你们e^x dx要你们求d(e^x)。 我再举一个凑微分法的事例: 例题三： 1 2 dx x = - ? 解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d 后面去。所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将 这题变为 d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你们 会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。 具体的实例就不举了，多操作。 下面我要重点说说，讨厌，这个问题 二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌 什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分 我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。 根据已知的不定积分公式我们可以知道： 1三角函数求导仍为三角函数 2反三角函数求导为有理函数 3幂函数求导认为幂函数 4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数 5幂函数求导仍为幂函数 所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。 最后给你们一个提醒：最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数，1/根号x。而最不能扔的，就是把对数函数，反三角函数想方法扔到d后面去，因为你们想想，什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。
§8.5复合函数微分法
§8.5多元复合函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设)]([x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，则)()(x u f dx du du dy dx dy ?'?'=?=。 8.5.1全导数 定理1 若函数)(x u ?=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψ?=在点x 可导，且 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ?，则u 、v 得相应的增量u ?、v ?， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -?+?+=?， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微， ∴)(ρ+???+???= ?o v v z u u z z ，其中22)()(v u ?+?=ρ。 ∵)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 必连续， 即当0→?x 时，0→?u ，0→?v ，从而0lim 0 =ρ→?x 。 ∵ x o x v v z x u u z x z ?ρ+????+????=??)(， 而x o o x x ?ρ?ρρ=ρρ→?→?)(lim )(lim 00])()([lim )(lim 220 0x v x u o x x ??+??±?ρρ=→?→? 0])()([022=+±?=dx dv dx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ?ρ+????+????=??→?→?→?→?) (lim )(lim )(lim lim 0000， 即 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=。
最新微分几何答案
微分几何答案
第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
微分几何的产生与基本内容
微分几何的产生与基本内容 微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。 微分几何的产生 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。 18世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。 1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。 微分几何学的基本内容 微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条
微分几何期终试题
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k [论文]微分几何简介 微分几何学历史简介 清华大学周坚 我们借用杨振宁先生的以下诗句来开始对几何学的一个简介: 天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。最后一句诗提到了五位伟大的几何学家: Euclid, Gauss, Riemann, Cartan, 和陈省身。其中，Euclid为古希腊人，Gauss和Riemann为十九世纪德国人，Cartan为二十世纪法国人。陈省身先生二十世纪三十年代在清华大学数学系读硕士，抗日战争中在西南联大任教授，现定居于南开大学。下文参考了他写的“九十初度说数学”。 几何是geometry的音译。其词头geo是“土地”的意思,词尾metry是“测量学”的意思, 合起来是“土地测量学”的意思。这反映了几何学起源于实际问题。 Euclid写了一本书“Elements”,中文译名为“几何原本”，内容包含平面几何学、空间几何学和数论，总结了古希腊的很多数学知识，可能是从古至今影响最大的科学著作。 中学课本中的平面几何学内容大都来源于“Elements”, 从中可以学到古希腊人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法。Einstein认为一个人如果在年轻时对平面几何从没产生过兴趣的话，恐怕很难在科学上做出重要发现。几何学的下一个进展由哲学家 Descarte取得，据说他身体不好，经常需要卧床休息，有一次看到在墙角织网的蜘蛛，受启发引进了坐标的概念。由此产生了解析几何学，使得代数方法可以在几何问题中应用。例如，圆周、椭圆、双曲线、抛物线等古希腊人即开始研究的几何对象有很简单的代数描述。 解析几何学促进了微积分的诞生。由Newton和Leibnitz创立的这门学问在现代科学中的重要性是不用赘述的。将微积分应用于几何问题的研究就是所谓微分几何。最初研究的是三维空间中的曲线、曲面。Gauss于1827年写了一本50页左右的小书，研究曲面的微分几何，包括大学学的微分几何的主要内容。这本书标志着微分几何学的诞生。Gauss当时主持一项土地测量的的项目，他写这本是为了给这项工作一个理论基础。Gauss也是非欧几何学(non-Euclidean geometry) 的创始人之一。需要指出的是Gauss工作的主要领域是数论。 同Gauss一样，Riemann工作的主要领域也不是几何学，而是单复变函数，但他是现代微分几何与解析数论的创始人。在他为取得大学教授资格的公开讲演中，Riemann提出了微分几何学发展的新思想，其 中包括流形、Riemann度量、Riemann曲率等重要概念。简单的说，就是用局部坐标和坐标变换来描述一个空间，用Riemann度量做最基本的几何量，空间的几何性质如弯曲程度由度量用特定方式决定。 Riemann的工作由Christoffel、Ricci、Levi-Civita等人发展，后来成为Einstein创立的广义相对论的数学基础。简单的说，广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述:不同的参照系给出不同的局部坐标;不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说:时空的物理量(能量动量张量)等于时空的几何量(Ricci曲率张量)。 Einstein的工作激发了数学家对微分几何的兴趣，从而极大地促进了这门学科的发展。数学家和物理学家当时关心的自然的问题是Maxwell的电磁理论的几何化和引力理论与电磁理论的统一。Einstein后期致力于大统一理论的研究没有取得有意义的进展，一个重要的原因可能是他没有利用广义相对论出现以后发展的几何学。数学家Hilbert、Weyl和Cartan都对以上问题做过研究。他们的工作突出了流形上联络 《微分几何》课程教学大纲 课程名称：《微分几何》 课程编码：074112303 适用专业及层次：数学与应用数学（本科） 课程总学时：72学时 课程总学分：4 一、课程的性质、目的与任务等。 1、微分几何简介及性质 微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。 2、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。 3、教学内容与任务： 本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。 二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求 第一章曲线论 教学要点： 本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对 空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 教学时数：22学时。 教学内容： 第一节向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商 1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式 1.5 向量函数的积分 第二节曲线的概念 2.1 曲线的概念 2.2 光滑曲线、曲线的正常点 2.3 曲线的切线和法面 2.4 曲线的弧长、自然参数 第三节空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线 考核要求： 1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能 第二讲 Ⅰ 授课题目（不定积分）： §5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求： 熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：凑微分法，变量代换法。 难点：凑微分法, 变量代换法。 Ⅳ 讲授内容： 一、 凑微分法 利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。 例1 求dx x ?2cos 这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。 解 因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 21 (='， 所以c x xdx +=?2sin 2 12cos 。 例2 求dx x ?)4sin(3 解 ) 4sin(3))4cos(4 3() 4sin())4cos(4 1()4sin(4])4[cos(x x x x x x =- ?='-?-=' 按照等价命题 c x dx x +-=?)4cos(4 3)4sin(3 例3 求dt t ?+12 这样想：) (12+=' t ，联想到 )(u = ' ，再想到 u u u u u u = '?= = '=')3 2( 2 32 3)()(3 23 23 3 如果12+=t u 1 2))12(3 1( 1 22)12(12))12(3 2( 3 3 += '+?+='+?+='+t t t t t t 最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到 c t dt t ++= +? 3 )12(3 112。 在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ） 例4 求dx x x ?+212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2 x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作? ?'=+dx x g x g f dx x x )())((122 如果F 是f 的反导数，根据链法则 )())(())((x g x g f x g F dx d '= 所以，将u 看作是 2 1x +， 由于 c u du u du u f += =?? 23 3 2)( 就可以得到 c x dx x x ++= +?32 2 2 )1(3 212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。 把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则 或者 ?? = +=du u f c u F dx dx du u f )()()(， 例5 求? +dx x x 2 32 dx du u f dx du u F u F dx d )()()(='= 微分几何的基本概念： 一、一些重要的基本概念： 1. 平面上的测地线是： 曲线上的测地曲率恒等于零的曲线称为测地线。这样，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以，平面上的测地线就是直线。实际上，测地线的概念是平面上的直线的概念的推广。我们可以从以下几个定理来理解这个推广： 定理1 曲面上的一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量失曲面的法向量。 定理2 对于曲面上的任意一点P 以及在店P 的任意一个单位切向量V ，在曲面上必存在唯一的一条测地线通过点P ，并且以V 为它在点P 的切向量。 平面上的直线具有这个性质。 2. 确定一个直纹面的要素有： 所谓的直纹面是指单参数直线族所构成的曲面。 正螺旋面就是一个直纹面，圆柱面也是一个直纹面。 确定一个直纹面要有两个要素：一条曲面r=a(u)，以及沿这条曲线定义的一个非零向量场l(u). 经过每一点a(u)、沿方向l(u)可以做唯一的一条直线，它们所构成的曲面是 r=r(u,v)=a(u)+vl(u) 曲线a(u)称为直纹面的准线，而v_曲线称为直纹面的直母线。 3. 曲线的曲率公式为||r , 空间曲线的基本公式是 . ?? ???-=+-==βτγγτακββ κα )()()()(s s s s ；这是著名的伏雷内公式 如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是 一一的 、双方连续的和在上映射，则称三维欧氏空间中的象为简单曲面． 平面上的点满足的条件为v u r r ?在),(00v u 点不等于零． 4、 切平面方程为0)),(),,(),,((000000=-v u r v u r v u r R v u ． 坐标曲线正交的条件为0=?=y x r r F ． du ：dv=1：2和（-1）：（-2）表示的两切方向之间关系为平行． 球面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 旋转面的坐标曲线网正交． 5. 两个曲面之间的一个变换是等距的，则对应的面积关系为相等, 如果n r c n q b n p a ?=?=?=,,，那么c b a ,,位置关系是共面, )(s r 具有固定方向与 r r ?=0 的关系是充分条件 。 6. 一次函数b t a t r +=)(（t 为参数 ,a 《微分几何》教学大纲 课程名称：微分几何 课程编号：0641010 课程类别：专业必修课程 适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科） 总学时数：54 学分：3 一、课程性质和教学目标 1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课程； 2．教学目标：学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本知识、培养学生直观能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状；掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算；理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法；了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论。 二、教学要求和教学内容 第一章曲线论（12学时） 【教学要求】 1. 掌握向量的运算法则及其性质：加法、减法、数乘、数量积、向量积； 2. 理解向量分析的基本内容； 3. 掌握曲线的概念及其参数表示、曲线的切线、法面和密切平面、弧长公式和弧长参数。 4. 掌握曲线的曲率、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、Frenet标架和曲线的挠率。 5. 能计算 Frenet公式、一般参数下的曲率、挠率和Frenet公式。 6. 掌握曲线论的基本定理。 7. 了解曲线在一点邻近的结构。 【教学内容】 ●讲授内容 1. 向量分析的基本内容； 2. 曲线的概念及其参数表示、曲线的切线和法面、弧长公式和弧长参数； ※3. 曲线的曲率、单位切向量、主法向量，副法向量、Frenet标架、挠率、Frenet公式；※4. 曲线论的基本定理； 5．曲线在一点邻近的结构。 第二章曲面的第一基本形式 (10学时) 【教学要求】 1．掌握曲面的参数表示、曲纹坐标网、曲面在一点的切方向、曲面的切平面和法线； 2. 理解曲面上的曲线族和曲线网； 3．能计算曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积； 4．掌握曲面间的保长变换和保角变换； 5. 了解可展曲面的例子、直纹面可展的条件、可展曲面的分类、可展曲面和平面间的保长变换。 【教学内容】 ●讲授内容 1. 曲面的概念和参数表示、曲面的切平面和法线； ※2. 曲面的第一基本形式、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积； ※3. 曲面间的保长变换和保角变换； 4．直纹面可展的条件、可展曲面和平面间的保长变换。 5．直纹面、可展曲面、可展曲面的分类。 第三章曲面的第二基本形式 (12学时) 【教学要求】 1. 能计算曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率； 2. 掌握曲面上沿切方向的法曲率、Dupin指标线； 3. 理解曲面的渐近方向和共轭方向； 4. 理解曲面的主方向和曲率线、主方向的判别定理； 5. 能计算曲面的主曲率、平均曲率和Guass曲率； 6. 了解曲面在一点邻近的结构； 7. 了解Gauss曲率的几何意义。 【教学内容】 ●讲授内容 第二讲 Ⅰ 授课题目（不定积分）： §5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求： 熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原 则。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：凑微分法，变量代换法。 难点：凑微分法, 变量代换法。 Ⅳ 讲授内容： 一、 凑微分法 利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。 例1 求dx x ?2cos 这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。 解 因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 2 1 (='， 所以c x xdx += ? 2sin 2 12cos 。 例2 求dx x ?)4sin(3 解 )4sin(3))4cos(4 3()4sin())4cos(41()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-?='-?-=' 按照等价命题 c x dx x +-=?)4cos(43)4sin(3 例3 求dt t ?+12 这样想：)( 12+='t ，联想到 )(u =' ，再想到 u u u u u u ='?=='=')3 2(2323)()(32323 3 如果12+=t u 12))12(3 1(122)12(12))12(32(33+='+?+='+?+='+t t t t t t 最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到 c t dt t ++=+? 3)12(3 112。 在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ） 例4 求dx x x ? +212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作??'=+dx x g x g f dx x x )())((122 如果F 是f 的反导数，根据链法则 )())(())((x g x g f x g F dx d '= 所以，将u 看作是 21x +， 由于 c u du u du u f +==??23 32)( 就可以得到 c x dx x x ++=+?3222)1(3 212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。 把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则 或者 ??=+=du u f c u F dx dx du u f )()() (， 例5 求?+dx x x 2 32 dx du u f dx du u F u F dx d )()()(='= 微分几何学，数学的一个分支学科，主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的几何性质。 微分几何的产生 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。 十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。 1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。 微分几何学的基本内容 微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一[论文]微分几何简介
《微分几何》教学大纲
2凑微分法
微分几何的基本概念
微分几何大纲
2凑微分法
微分几何