离散数学 自测题(1-6章)
一、选择题
1.设P：我将去镇上，Q：我有时间。命题“我将去镇上，
仅当我有时间时”符号化为（A）
A.P→Q
B.Q→P
C.P ?Q
D.?Q∨?P
2.设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能即划
船又跑步”符号化为（B）
A. ?p∧?Q
B. ?P∨?Q
C. ?(P?Q)
D.P??Q
3.下列语句中哪个是真命题？（D）
A.我正在说谎。
B.严禁吸烟。
C.如果1+2=3，那么雪是黑的。
D.如果1+2=5，那么雪
是黑的。
4.下面哪个联结词运算不可交换？（B）
A.∧
B.→
C.∨
D.?
5.命题公式(P∧ (P→Q)) →Q是（C）。
A.矛盾式
B.蕴含式
C.重言式
D.等值
式
6.下列命题联结词集合中，哪一个是最小联结词组？（C）
A.{?,?}
B.{?,∨,∧}
C.{↑}
D.{∧,→}
7.已知A是B的充分条件，B是C的必要条件，D是B
的必要条件，则A是D的（A）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.A、B、C都不
对重言式的否定式是（）
A.重言式
B.矛盾式
C.可满足式
D.蕴含
式
8.下面哪一个命题是假命题？（A）
A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一
B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一
C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一
D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一
9.下面哪一组命题公式不是等值的？（C）
A.?(A→B),A∧?B
B.?(A?B),(A∧?B)∨(?A∧B)
C.A→(B∨C),?A∧(B∨C)
D. A→(B∨C),(A∧?B)→C
A.8
B.3
C.5
D.0
10.命题公式?(P∧Q)→R的主析取范式中含极大项的个数为（A）
A.0
B.3
C.5
D.8
11.命题公式?(P∧Q)→R的成真赋值为（）
A.000,001,110
B.001,011,101,110,111
C.全体赋值
D.无
二、填空题
1.设P：我生病，Q：我去学校
(1).命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化
为。
(2).命题“只有在生病的时候，我才不去学校”符号化
为。
2.设P：我有钱，Q：我去看电影。
命题“当且仅当我有钱时，我才去看电影”符号化为。
3.(P∧(P∨Q)) →R?。
4.P→(P→Q) 。
5.对于下列各式
(1).(?P∧Q)∨(?P∧?Q)可化简为。
(2).Q→(P∨(P∧Q)) 可化简为。
(3).(?P∨Q)?(?Q→?P)∧P可化简为。
6.命题公式P∨(Q∧?R)的成真赋值为，成假赋
值为。
9. 若且则称X是公式A的子公式。
10.写出表中各列所定义的命题联结词。
P Q P ①Q P ②Q
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
11.命题公式?(P→Q)的主析取范式为①，主
合取范式的编码表示为②。
12.已知公式A(P,Q,R)的主合取范式为M0∧M3∧M5，它的
主析取范式为（写成编码形式）。
13.命题公式?(P?Q)的主析取范式为①，其编
码表示为②，主合取范式的编码表示为
③。
三、综合题
1.给命题变元P、Q、R、S分别指派真值为1、1、0、0，
求下列命题公式的真值：
(1).(?(P∧Q)∨?R)∨(((?P∧Q)∨?R)∧S)
(2).(P∨(Q→(R∧?P)))?(Q∨?S)
2.命题联结词“↓”定义为P↓Q??(P∨Q)
(1).构造P↓Q的真值表；
(2).证明∨、∧、?可以用仅含联结词↓的等值公式表示。
3.化简下列命题公式：
(1).A∨(?A∨(B∧?B))
(2).((A→B)?(?B→?A)∨C
4.用真值表判断下列各式是否为重言式：
(1).((?P∨Q)∧(Q→R))→?(P∧?R)
5.设命题公式A的真值表如表所示，试求出A的主析取
范式和主合取范式（用编码表示和公式表示）：
P Q A
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1
6.用等值演算法证明P∧(P→Q) →Q是重言式。
7.证明下列命题的等值关系：
(1).(P→Q)∧(R→Q)?(P∨R)→Q
(2).(P∨Q)∧?(P∧Q)??(P?Q)
8.设计一种简单的表决器，表决者每人座位旁边有一按
钮，若同意则按下按钮，否则不按按钮，当表决结果
超过半数时，会场电铃就会响，否则铃不响。试以表
决人数为3人的情况设计表决器电路的逻辑关系。
9.观察下列推理过程，是否正确，结论是否有效，说明
理由。
(1).①P∧Q→R P
(2).②P→R T①I
(3).③P P
(4).④R T②③I
所以P∧Q→R，P?R。
10.用推理规则证明下列推理的正确性：如果A努力工作，
那么B或C感到愉快；如果B愉快，那么A不努力工
作；如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工
作，则D不愉快。
谓词逻辑
一、选择题
1.若个体域为整体域，下列公式中哪个值为真？（）
A.?x?y(x+y=0)
B.?y?x(x+y=0)
C.?x?y(x+y=0)
D.??x?y(x+y=0)
2.设A(x)：x是人，B(x)：x犯错误，命题“没有不犯错
误的人”符号化为（）
A.?x(A(x)∧B(x))
B.??x(A(x)→?B(x))
C.??x(A(x)∧B(x))
D.??x(A(x)∧?B(x))
3.设个体域A={a,b}，公式?xP(x)∧?xS(x)在A中消去量
词后应为（）
A.P(x)∧S(x)
B.P(a)∧P(b)∧(S(a)∨S(b))
C.P(a)∧S(b)
D.P(a)∧P(b)∧S(a)∧S(b)
4.下列各式哪个不正确？（）
A.?x(P(x)∨Q(x))??xP(x)∨?xQ(x)
B.?x(P(x)∧Q(x))??xP(x)∧?xQ(x)
C.?x(P(x)∨Q(x))??xP(x)∨?xQ(x)
D.?xP(x)∧Q)??xP(x)∧Q
二、填空题
1.令R(x)：x是实数，Q(x)：x是有理数。
(1)命题“虽然有些实数是有理数，但并非一切实数都
是有理数”。则其符号化可表示为。
2.设C(x)：x是计算机，P(x,y)：x能做y，I(x)：x是智
能工作，则命题“并非所有智能工作都能由计算机来
做”符号化为。
3.取个体域为整数集，给定下列公式：
(1).?x?y(x·y=0) (2).?x?y(x·y=1)
(3)?x?y(x·y=2) (4)?x?y?z(x-y=z)
(5).x-y=-y+x (5).?x?y(x·y=y)
(7)?x(x·y=x) (8).?x?y(x+y=2y)
上面公式中，真命题的有①，假命题的有
②。
4.?x(P(x)∨Q(x))，其中P(x):x=1，Q(x):x=2，当论域为{1,2}
时，其真值为
①，当论域为{0,1,2}时，其真值为②。
5.谓词公式?x(P(x)→Q(x,y)∨?zR(y,z))→S(x)的前束范
式为。
三、综合题
1.令S(x,y,z)表示“x+y=z”，G(x,y)表示“x=y”，L(x,y)表
示“x (1).没有x<0，且若x>0当且仅当有这样的y，使得x ≥y。 (2).并非对一切x，都存在y，使得x≤y。 (3).对任意的x，若x+y=x，当且仅当y=0。 2. 假设论域为自然数集N={1,2,3,……}，a为2，P为命 题“2>1”；A(x)表示“x>1”；B(x)表示“x是某个自然数的平方”。请在此基础上，求下面公式的真值： ?x(A(x)→(A(a)→B(x))→((P→?xA(x))→B(a)) 3.求下面谓词公式 ?x(X(x)∧?y(X(y)→((Y(x,z)∧Y(y,z)∧p)→?t(X(t)→(Y(x,t )→Y(y,t)))))) 在赋值(z;p;X(x);Y(x,y))=(2;1;x是自然数;x 4.改正下面证明中的错误： 前提：?x(?y(S(x,y)∧M(y))→?z(P(z)∧R(x,z)))； 结论：??zP(z)→?x?y(S(x,y)→?M(y))。 证明过程： ①?x(?y(S(x,y)∧M(y))→?z(P(z)∧R(x,z)))；P ②?y(S(b,y)∧M(y))→?z(P(z)∧R(b,z)) ①US ③??zP(z) P(附加前提) ④?z(?P(z)) ③T,E ⑤?P(a) ④US ⑥?P(a)∨?R(b,a) T,⑤I ⑦?z(?P(z)∨?R(b,z)) ⑥UG ⑧??z(P(z)∧R(b,z)) ⑦T,E ⑨??y(S(b,y)∧M(y)) ②,⑧T,L ⑩?y(?S(b,y)∨?M(y)) ⑨T,E ⑾?y(S(b,y)→?M(y)) ⑩T,E ⑿?x?y(S(x,y)→?M(y)) ⑾UG ⒀??zP(z)→?x ?y(S(x,y)→?M(y)) CP 集合论 1设A={?}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ ） A ．{?,{?}}∈ B B ．{{?,?}}∈B C ．{{?},{{?}}}∈B D ．{?,{{?}}}∈B 2．设X ，Y ，Z 是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ ） A ．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z) B ．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y C ．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z) D ．(X-Y)-Z=X-(Y ∪Z) 3.某集合A={1，2，3，4}上的二元关系R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,4>,<4,3>}则R 具哪些性质，其关系矩阵是什么？。 4.用列元素法表示以下集合。 （1）}7|{2≤∧∈=x N x x A 。 （2）}33||{<-∧∈=x N x x A 。 （3）}0)1(|{2≤+∧∈=x R x x A 。 5. 计算B A B A B A B A ⊕-,,, 。 （1）},{},},,{{d c B c b a A ==。 （2）}2|{},3|{≥∧∈=<∧∈=x N x x B x N x x A （3）}2|{},0|{≥∧∈=<∧∈=x Z x x B x Z x x A 。 6. 设}4,3,2,1{=S ，R 为S 上的关系，其关系矩阵是： ????? ???????0001100000011001， 则求（1）R 的关系表达式。 （2）= ranR； domR；= （3）R R （4）1-R的关系图 7.设}6, S，下面各式定义的R都是S上的关系， ,2,1{ = 分别列出R的元素。 （1）}. R∈ x y - ∈ = < > Λ x , ( y , ) S x y {2S （2）}. RΛ y ∈ x < x = > , , / {是素数 y S x y 习题参考解答 习题 1、（3）P：银行利率降低 Q：股价没有上升 P∧Q （5）P：他今天乘火车去了北京 Q：他随旅行团去了九寨沟 Q P? （7）P：不识庐山真面目 Q：身在此山中 Q→P，或～P→～Q （9）P：一个整数能被6整除 Q：一个整数能被3整除 R：一个整数能被2整除 T：一个整数的各位数字之和能被3整除 P→Q∧R ，Q→T 2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F （6）T （7）F （8）悖论 习题 1（3） ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R P Q P R P Q P R Q P R Q P → ∨ → ? ∨ ? ∨ ∨ ? ? ∨ ∨ ? ? ∨ → （4） ()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右 2、不， 不， 能 习题 1(3) (())~((~)) (~)()~(~(~))(~~)(~) P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、 主合取范式 ) ()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(()) ()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∨?∧∧∨∨?∧?∧∨∨?∧∨?∧?=∧∨?∧∨?=∨?∧∨?=→∧→ ————主析取范式 (2) ()()(~)(~) (~(~))(~(~))(~~)(~)(~~) P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨Q 2、 ()~() (~)(~) (~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价 3、解：根据给定的条件有下述命题公式： （A →（CD ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ） （～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ） （（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨ （～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ） 第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 x F:) (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F ?. G x→ ) ( )) ( (x (2)令x x (为人. F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 x F x→ G ?? )) ( ) ( (x 或者 F x? x ∧ ? ) )) ( ( (x G (3)令x x (为人. F:) G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ?. G x∧ (x ( )) ( ) (4) x (为人. x F:) (爱看电视. G:) x x 命题符号化为 F x? ∧ ??. x G ( ) ( )) (x 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的) F都是特性谓词。 (x 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 F x ? G x∧ ( )) ( ) (x 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ? 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ? 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xH ? 其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。 2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 )(x xF ? 这里，x x F :)(呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ))()((x G x F x →? 这里，x x F :)(为人，且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 离散数学练习题 第一章 一?填空 1?公式(p q) ( p q)的成真赋值为01; 10 2?设p, r为真命题，q, s为假命题，则复合命题(p q) ( r s)的真值为0 3?公式(p q)与(p q) ( p q)共同的成真赋值为01 ；10 4?设A为任意的公式，B为重言式，则A B的类型为重言式 5. 设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二.将下列命题符合化 1. ■ 7不是无理数是不对的。 解：(p)，其中p：. 7是无理数；或p,其中p: . 7是无理数。 2?小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：p q,其中p:小刘怕吃苦，q :小刘很爱钻研 3?只有不怕困难，才能战胜困难。 解：q p，其中p:怕困难，q:战胜困难 或p q，其中p:怕困难，q:战胜困难 4?只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：r (p q)，其中p:别人有困难，q:老王帮助别人，r:困难解决了 或：(r p) q，其中p：别人有困难，q:老王帮助别人，r:困难解决了 5?整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：p q，其中p:整数n是偶数，q:整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5, q：旧金山是美国的首都，r：在中国一年分四季 1. ((p q) r) (r (p q)) 2?((q p) (r p)) (( p q) r 解：p, q为假命题，r为真命题 1. (( p q) r) (r (p q))的真值为0 2. (( q p) (r p)) (( p q) r 的真值为1 四、判断推理是否正确 设y 2x为实数，推理如下： 若y在x=0可导，则y在x=0连续。y在x=0连续，所以y在x=0可导。 解：y 2x，x为实数，令p: y在x =0可导，q: y在x=0连续。P为假命题，q为真命题，推理符号化为：(p q) q p，由p, q得真值可知，推理的真值为0,所以推理不正确。 五、判断公式的类型 1，( (q p) ((p q) ( p q))) r 2. (p (q p)) (r q) 3. (p r) (q r) 2016注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的总结把重点内容再做复习。另外，把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．令p : 今天下雪了，q :路滑，r :他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（ A ）。 A. p q r ∧→ B. p q r ∨→ C. p q r ∧∧ D. p q r ∨? 2.设()P x :x 是整数，()f x :x 的绝对值，(,)L x y ：x 大于等于y ；命题“所有整数的绝对值大于等于0”可符号化为（ B ）。 A. (()((),0))x P x L f x ?∧ B. (()((),0))x P x L f x ?→ C. ()((),0)xP x L f x ?∧ D. ()((),0)xP x L f x ?→ 3.设()F x :x 是人，()G x :x 犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（D ）。 A ．(()())x F x G x ?∧ B ． (()())x F x G x ??→? C ．(()())x F x G x ??∧ D ． (()())x F x G x ??∧? *4.下列命题公式不是永真式的是（ A ）。 A . ()p q p →→ B . ()p q p →→ C . ()p q p ?∨→ D . ()p q p →∨ 5．设p ：我们划船，q ：我们跳舞，命题“我们不能既划船又跳舞”符号化正确的是（ B ）。 A. p q ∧ B. ()p q ?∧ C. p q ?∧? D. p q ?∧ 6．设()R x :x 为有理数；()Q x :x 为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（ A ） A ．()(()())?→x R x Q x B ．()(()())?∧x R x Q x C ．()(()())x R x Q x ?∧ D ．(()())x R x Q x ?→ 7. 设个体域{,}D a b =，与公式()xA x ?等价的命题公式是( C ) A ．()()A a A b ∧ B ．()()A a A b → C ．()()A a A b ∨ D ．()()A b A a → 8．无向图G 有20条边，4个6度顶点，2个5度顶点，其余均为2度顶点， 则G 一共有（ C ）个顶点。 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式//最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q∨p) 离散数学测试题 一．选择题（10*2） 1.设L (x )：x 是演员，J (y )：y 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老 师”符号化为( ) (A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧?? 2.令F(x):x 是有理数，G(x):x 是实数。将命题“所有的有理数都是实数，但有的有实数不是有理数”符号化为 （ ） A.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) B.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) C.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) D.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) 3．设R 是集合A={a,b,c,d}上的二元关系， R={ 习题 2.1 1．将下列命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：4。 “4不是奇数。”符号化为：?A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。 “2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a) (4) 2与3都是偶数。 解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。 “2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。 “5大于3。”符号化为：G(a,b) (6) 若m是奇数，则2m不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。 “若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)??D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。 解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。 “小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧?C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。 “除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→?A(a) 2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为：(?x)(R(x)∧Q(x)) 离散数学试题 第一部分选择题 一、单项选择题 1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ） A．p∧┐p∧q B．┐p∨q C．┐p∧q D．┐p∨p∨q 2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ） A．p→┐q B．p∨┐q C．p∧q D．p∧┐q 3．下列语句中是命题的只有（ A ） A．1+1=10 B．x+y=10 C．sinx+siny<0 D．x mod 3=2 4．下列等值式不正确的是（ C ） A．┐(?x)A?(?x)┐A B．(?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x) C．(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x) D．(?x)(?y)(A(x)→B(y))?(?x)A(x)→(?y)B(y) 5．谓词公式(?x)P(x,y)∧(?x)(Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)中量词?x的辖域是（ C ） A．(?x)Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)) B．Q(x,z)→(?y)R(x,y,z) C．Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z) D．Q(x,z) 6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={ 7．设A={?}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{?,{?}}∈B B．{{?,?}}∈B C．{{?},{{?}}}∈B D．{?,{{?}}}∈B 8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ） A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z) B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z) D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z) 9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b) B．a*b=a+b C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数) D．a*b=a(mod b) 离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（） 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 x x P :)(是素数，)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=?=???∧=?。 《离散数学》测试题答 案 https://www.wendangku.net/doc/686413373.html,work Information Technology Company.2020YEAR 测试题 ——离散数学 一、选择题 1、G是一棵根树，则（）。 A、G一定是连通的 B、G一定是强连通的 C、G只有一个顶点的出度为0 D、G只有一个顶点的入度为1 2、下面哪个语句不是命题（）。 A、中国将成功举办2008年奥运会 B、一亿年前地球发生了大灾难 C、我说的不是真话 D、哈密顿图是连通的 3、设R是实数集合，在上定义二元运算*：a，b∈R，a*b=a+b-ab，则下面的论断中正确的是（）。 A、0是*的零元 B、1是*的幺元 C、0是*的幺元 D、*没有等幂元 4、下面说法中正确的是（）。 A、所有可数集合都是等势的 B、任何集合都有与其等势的真子集 C、有些无限集合没有可数子集 D、有理数集合是不可数集合 5、无向完全图K3的不同构的生成子图有（）个。 A. 6 B.5 C. 4 D. 3 6、下面哪一种图不一定是无向树? A、无回路的连通图 B、有n个顶点n-1条边的连通图 C、每对顶点间都有通路的图 D、连通但删去一条边则不连通的图 7、设集合A＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是( )。 A.1 A B.{{4,5}} A C. {1,2,3} A D.A 8、在有界格中，若一个元素有补元，则补元( )。 A、必惟一 B、不惟一 C、不一定惟一 D、可能惟一 9、设集合A={1,2,3,…,10}，下面定义的哪种运算关于集合A是不封闭的（） A、 x*y=max{x,y} B、 x*y=min{x,y} C、 x*y=GCD(x,y)，即x,y的最大公约数 D、 x*y=LCM(x,y)，即x,y的最小公倍数 《离散数学》题库答案 第2，3章(数理逻辑) 1.答：（2），（3），（4） 2.答：（2），（3），（4），（5），（6） 3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 4.答：（1）P ?（4）Q P→ ? P? Q→ ?（2）Q P? →（3）Q 5.答：（1） 6.答：2不是偶数且-3不是负数。 7.答：（2） 8.答：?P ，Q→P 9.答：P(x)∨?yR(y) 10.答：??x(R(x)→Q(x)) 11、 a、(P→Q)∧R 解：(P→Q)∧R?(?P∨Q )∧R ?(?P∧R)∨(Q∧R) （析取范式） ?(?P∧(Q∨?Q)∧R)∨((?P∨P)∧Q∧R) ?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) ?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R) ?m3∨ m1∨m7 （主析取范式） ?m1∨ m3∨m7 ?M0∧M2∧M4∧M5∧M6 （主合取范式） b、Q→(P∨?R) 解：Q→(P∨?R) ??Q∨P∨?R ?M5（主合取范式） ? m0∨ m1∨ m2∨m3∨ m4∨m6 ∨m7 （主析取范式）c、P→(P∧(Q→P)) 解：P→(P∧(Q→P)) ??P∨(P∧(?Q∨P)) ??P∨P ? 1 (主合取范式) ? m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式） d、P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) 解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) ? P∨(P∨(Q∨(Q∨R))) ? P∨Q∨R ? M0 (主合取范式) ? m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 12、 a、P→Q，?Q∨R，?R，?S∨P=>?S 证明： (1) ?R 前提 (2) ?Q∨R 前提 (3)?Q （1），（2）析取三段论 (4) P→Q 前提 (5)?P （3），（4）拒取式 (6)?S∨P 前提 离散数学第四版课后答案 第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9）， （10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→q为假命题。 （7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命 题，q为真命题，因而p→q为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。 （13）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q 为假命题。 （14）p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15）p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 1．3 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为 （1）p→q （2）p→?q （3）?p→q （4）?p→?q 第二章 谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 离散数学练习题 1、图中度为零的结点称为孤立结点。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 2、域是整环。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 3、有限格都是有界格。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 4、连通且不含圈的图称为树。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 5、“如果1+1≠3，则2+2≠4”是真命题。 A. 正确 B. 错误 正确：【B】 6、无向图G为欧拉图，则G是连通的。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 7、若A和B都是谓词公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(A<->B)都是谓词公式。 A. 正确 B. 错误 8、设A, B, C是命题公式，则AVBV﹁C 也是命题公式。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 9、设〈L，≤〉是格，则格的交∧和并∨运算满足等幂律。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 10、“x+3>1。”是命题。 A. 正确 B. 错误 正确：【B】 11、半群满足交换律。 A. 正确 B. 错误 正确：【B】 12、在任何图中，奇数度的结点数必是偶数。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 13、在格〈L，∨，∧〉中，如果交运算对并运算是可分配的，则并运算对交运算也是可分配的。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 14、完全图Kn没有割集，它的连通性能是最好的。 A. 正确 B. 错误 15、对任意集合A，都有??A。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 17、强连通图一定是单向连通图。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 18、代数系统〈G，°〉为群的条件是存在零元素。 A. 正确 B. 错误 正确：【B】 19、对应日常生活中的“任意的”，“所有的”，“一切的”等词，用符号“任意”表示。 A. 正确 B. 错误 正确：【A】 20、如果a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a?A。 A. 正确 B. 错误 正确：【B】 21、A,B是集合,P（A），P（B）为其幂集,且,则P(A)∩P(B)为（） A. B. C. D. 正确：【B】 22、设M={x|f1(x)=0},N={x|f2(x)=0}，则方程f1(x)?f2(x)=0的解 离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分) 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨,我去瞧电影,否则就在家里读书或瞧报。 设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去瞧电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家瞧报”,命题符号化为:(?P?Q)∧(P?R∨S) b)我今天进城,除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:?Q→P或?P→Q c)仅当您走,我将留下。 设P表示命题“您走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为: Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不就是有理数 设R(x)表示“x就是实数”,Q(x)表示“x就是有理数”,命题符号化为: ?x(R(x) ∧?Q(x)) 或??x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x就是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为: ?x(R(x) ∧?E(x,0) →?y(R(y) ∧E(f(x,y),1)))) c) f 就是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b、 设F(f)表示“f就是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f)??a(A(a)→?b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧?c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题(共6道题,共32分) 1.求命题公式(P→(Q→R))?(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋 值。(5分) (P→(Q→R))?(R→(Q→P))?(?P∨?Q∨R)?(P∨?Q∨?R) ?((?P∨?Q∨R)→(P∨?Q∨?R)) ∧ ((P∨?Q∨?R) →(?P∨?Q∨R))、 ?((P∧Q∧?R)∨ (P∨?Q∨?R)) ∧ ((?P∧Q∧R) ∨(?P∨?Q∨R)) ?(P∨?Q∨?R) ∧(?P∨?Q∨R) 这就是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 (?P∧?Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R) 2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分) a)?x?y(x+y=4) b)?y?x (x+y=4) a) T b) F 3.求?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))的前束范式。(4分) ?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x)) ??x(F(x)→G(x))→(?yF(y)→?zG(z))??x(F(x)→G(x))→?y?z(F(y)→G(z)) ??x?y?z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假,并说明原因。(每小题2分,共4分) a)(A?B)－C=(A-B) ?(A-C) b)若f就是从集合A到集合B的入射函数,则|A|≤|B| a) 真命题。因为(A?B)－C=(A?B)?~C=(A?~C)?(B?~C)=(A-C)?(B-C) b) 真命题。因为如果f就是从集合A到集合B的入射函数,则|ranf|=|A|,且ranf?B,故命题 成立。 1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨) ()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q) P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)() ()(R P Q P ∨∧∧? ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。 答案： 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧??离散数学课后习题答案
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