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用奇偶性解竞赛题

浅谈用奇偶性解数学竞赛题

洪小衫

定义：凡是2的倍数称为偶数，不是2的倍数称为奇数。因此，整数集可以分为奇数集和偶数集。任一偶数都可以写成

m m为整数，任一奇数都可以写成21

2()

m+的形式。

关于奇数和偶数的运算有下述结论：

1.两个偶数的和、差、积仍为偶数；两个奇数的和、差为偶数

而积为奇数；一个奇数和一个偶数的和、差为奇数而积为偶数。

±为偶数，则,a b的奇偶性相同；若a b±2.,a b皆为整数，若a b

为奇数，则,a b的奇偶性相反。

3.奇数个奇数之和（或差）是奇数，偶数个奇数之和（或差）

为偶数。

4.任意n个奇数的积仍是奇数，奇数的n次幂是奇数；反之，若n个数的积是奇数，则这n个数均为奇数。

5.若任意有限个整数中至少有一个偶数，那么它们的积是偶数；

反之，任意有限个整数之积是偶数，则这些因数中至少有一个是偶数。

6.整数的任何次幂与底数同奇偶。

m+的形式，偶数的平方都可以写7.奇数的平方都可以写成81

m+的形式（m是整数）。

成8m或者84

许多数学竞赛试题，常常涉及到用数的奇偶性来分析并解题。下面我就近十几年的几类数学竞赛中选出几道可以运用数的奇偶性思想来进行求解的题目加以说明。

典型例子：

例1：（第一届全国中学生数学冬令营试题）能否把1,1,2,2,3,31986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，，两个1986之间夹着1986个数？证明你的结论。

解：这是不可能的。证明如下：

如果有一种合乎要求的排法，那么把这些数排好之后，共占?=个位置，依从左到右的顺序把这些位置称为第了219863972

1号位，第2号位，第3972号位。显然奇数标号的位置和偶数标号的位置各占一半，都是1986个。

如果某奇数i左边的一个排在奇数号位上，由于两个i之间恰好相隔i个号位，所以，右边的那个i也必定排在奇数号位上。这表明，排在奇号位上的奇数必为偶数个，设为2t。

如果某偶数j左边的一个排在奇数号位上，由于两个j之间恰好相隔j个号位，j为偶数，故右边的一个j必排在偶号位上。换句话说，在1986个奇号位上，恰有一半为偶数所占。

于是1986个奇号位中，993个为偶数所占，2t个为奇数所占，=+，这是不可能的。这个矛盾证明了我们的结也就是19869932t

论。

例2：（2004年数学奥林匹克决赛题）有一台计算器，只有两个运算键，红键将给的数乘以2，黄键将给的数的最后一个数字去掉，比如，给出234，按红键得468，按黄键得23。如果开始给的数是8，为了得到数17，那么除了若干次的红键外，至少要按几次黄键？

分析和解：

这是一道富有思考性和探索性的操作题。操作前要对所给的数据从逆向和正向进行可行性分析，以求操作目标的明朗化。

由题意知：按红键的结果是偶数，按黄键的结果是奇数或者偶数。因此，要得到17，必须按黄键。由此可以推知，按黄键前的运算结果有可能是170,172,174,176,178。进而可推知，这些数据分别是在85或者8643→，87，88442211→→→，89的基础上按红键得到的。这时，可按键操作了。

8163264612244896918367271428561121122448817617???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→???→红键红键红键黄键红键红键

红键红键黄键红键红键红键黄键红键红键红键红键黄键红键红键红键红键黄键（方法不唯一）

例3:(第33届俄罗斯数学奥林匹克)在黑板上写有100个分数。在它们的分子中，自然数1100恰好各出现一次；在它们的分母中，自然数1100也恰好各出现一次。如果这100个分数的和可以化

为分母为2的最简分数，求证：可以交换某两个分数的分子，使所得的100个分数的和可以化为分母为奇数的最简分数。分析与解：假设一开始在参与求和的分数中有一个为2

a 。接下来证明，在这些参与求和的分数中，一定可以找到一个分数

b c

，其中，c 为奇数，而b 与a 的奇偶性不同。事实上，在这些参与求和的分数中，分母为奇数的分数刚好有50个，而a 不是它们之中任何一个的分子。因此，在这些分数的分子中，至少有49个与a 的奇偶性相同。

现在交换a 与b 的位置。分两步进行：先改变分母为2的分

数的分子（此时，该分数则增加了奇数a b -个12

，即使其变为整数）；再改变分母为c 的分数的分子（该分数的增加量是一个分母为奇数的分数）。因此，总和变为分母为奇数的最简分数。例4：（2006女子数学奥林匹克）平面上整点集

{(,)1,5(,)}S a b a b a b Z =≤≤∈,T 为平面上一整点集，对S 中任一点P ，总存在T 中不同于P 的一点Q ,使得线段PQ 上除点P ，Q 外无其他的整点。问T 的元素个数最少为多少？

分析与解：

最少个数为2。

先证明T 不可能只包含一个点。若不然，设()00{,}T Q x y =。

在S 中取点11(,)P x y 满足1100(,)(,)x y x y ≠，且

10x x 与同奇偶，

10y y 与同奇偶。则线段PQ 的中点为以整点。矛盾。

T 含两个点的情形如下图所示：

例5：若整系数方程

20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，则,,a b c 中至少有一偶数。

证明：此方程有有理根的充要条件是其判别式24b ac ?=-为完全平方数。反设,,a b c 均为奇数。为了方便，令21b m =+，则4[(1)]1m m ac ?=+-+。因为,1m m +中必有一个是偶数，所以 4[(1)]1m m ac ?=+-+中括号内为奇数，设为21n +，则有85n ?=+，即?为以8除余5的奇数。而任一个奇数21k +的平方为81k +，这是以8除余1的数。故不为完全平方数。证毕。

函数的单调性及奇偶性(含答案)

函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.，答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1

C.0 D.±1 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【解析】由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那么 f(x) 的周期是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],

函数奇偶性与单调性的综合应用专题

函数奇偶性与单调性的综合应用专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围.

二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设；（2）比较大小；（3）下结论 . 函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域；例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】因为log 2 3

函数的奇偶性的经典总结

函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=，（3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。（5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。（6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为

函数的奇偶性(讲义).docx

函数的奇偶性【知识要点】 1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的任意一个x，都有 f (x) f (x)，那么函数f ( x)f (x) f ( x) 叫偶函数（，那么函数 even function）.如果对于函数定义域内的任意一个 f ( x) 叫奇函数（ odd function）. x，都有 2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象. 3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (x)与 f ( x) 的关系；（1）奇函数 f (x) 1( f (x) 0) ； f ( x)f (x)f ( x) f (x) 0 f (x) （2）偶函数 f x f x f xf x f x 0 1 f x 0 . f x 4．函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；（3）若奇函数 f x在原点有意义，则 f 00 ；（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；（6）函数 f x与函数 1 有相同的奇偶性 . f x

5．奇偶性与单调性：（1）奇函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相同的单调性；（2）偶函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相反的单调性 . 【典例精讲】类型一函数奇偶性的判断例 1 判断下列函数的奇偶性：（1） f x x 2 2 x ；（2） f x 1 x 2 x 2 1 ；（3） f x ax b ax b a b 0 ； 1 1 （4） f x x ； 2 x 1 2 x 2 x 1, x x 2 2x 3, x 0，（5） f ( x) 0， x 0， 2 x 1, x （ 6） f ( x)0, x 0； 2x 3, x 0. x 2 变式判断下列函数的奇偶性： 4 5 1 1 (1) f ( x )= x ； (2) f ( x )= x ； (3)f ( x )= x + x 2 ；(4) f ( x )= x 2 . （ 5） f ( x ) x 3 2 x （ 6） f ( x) 2 x 4 4 x 2 （） y ax b ( a 0, b 0) （ 8） y x ( k 0) 7 x k x 2

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一判断函数的奇偶性

函数的奇偶性

函数的奇偶性【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法

函数的奇偶性练习题[(附答案)

函数的奇偶性 1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（） A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数 C ．奇函数且偶函数 D ．非奇非偶函数 2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ） A .奇函数 B .偶函数 C .既奇又偶函数 D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B. (2,+∞) C. (-∞,-2)?(2,+∞) D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数. 当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2 (3) f （x ）=? ? ?>+<-). 0() 1(),0()1(x x x x x x 6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。 7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2 )<0,求a 的取值范围 8.已知函数21 ()(,,)ax f x a b c N bx c += ∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数, (1)求a,b,c 的值; (2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性. 9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有 f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

函数单调性和奇偶性综合

函数单调性和奇偶性综合 ? 教学重点、难点：函数奇偶性、单调性的综合应用． ? 教学过程：一、复习提问 1．奇偶函数的定义及奇偶函数的图象特征． 2．练习：已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题：（1）()0f x =；（2）若 ()f x 在 [0, )∞+上有最小值 -1，则()f x 在)(0,∞-上有最大值1；（3）若 ()f x 在 [1, )∞+上为增函数，则()f x 在](1,-∞-上为减函数．其中正确的序号是： ① ② 二、新课讲解例1．已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数，证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数．证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数． ∴12()()f x f x ->-,又()f x 在R 上是奇函数． ∴12()()f x f x ->-,即12()()f x f x < 所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数．说明：函数的奇偶性和单调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！

例2．()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2 ()231f x x x =-++，求()f x 的解析式．解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--，又0x ->，由已知有22()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+ 从而解析式为222310()0 02310x x x f x x x x x ?-++>?==??+--?-<-?解之得112m -≤<．例4：（1）已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x +=，试判断()f x 的奇偶性；（2）函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性．解：（1）∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x += ① 令①式中x 为1x 得：112()()f f x x x += ②

必修一函数奇偶性及综合题型大全

函数奇偶性 1 [规律方法] 1 (1)定义法 (2)图象法 2．分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． 3、函数奇偶性的操作： 1．乘以任何系数k ，不改变奇偶性，不管是()kf x 还是()f kx ； 2．()f x a ±，偶函数不变（相当于图象上下平移，不改变偶函数的对称性），奇函数不行； 3．奇函数±奇函数=奇函数，奇函数?奇函数=偶函数，偶函数?偶函数=偶函数；题型一_判定函数的奇偶性例题1、判断下列函数的奇偶性． (1) f (x )＝x 3 －1x ； (2) f (x )＝x 2－1＋1－x 2 ； (3) f (x )＝???x 2＋2（x ＞0） 0（x ＝0）－x 2－2（x ＜0）变式1、判断下列函数的奇偶性 x x x x f -+-=11)1()( ②2 9)(x x f -=, ③22 (0)()(0) x x x f x x x x ?+??

. 题型二判断抽象函数奇偶性例题1、定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,，有)()(2)()(y f x f y x f y x f ?=-++，且0)0(≠f ，则)0(f =_________；)(x f y =的奇偶性为_________ 变式、定义在(1,1)-上的函数()f x ，对任意,(1,1)x y ∈-都有()()( )1x y f x f y f xy ++=-，则 ()f x 的奇偶性为____________ 例2、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( ) (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数变式、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（） A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数考点二、_函数奇偶性的应用(高频考点)________ 函数的奇偶性是函数的重要性质，常与函数的单调性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．高考对函数奇偶性考查主要有以下四个命题角度： (1)求函数值； (2)求函数解析式； (3)已知单调性求参数的值； (4)作函数图象或判断单调性．题型一求函数值例题、已知53()2013f x x ax bx =++-，且(3)10f =，则(3)f -=____．变式1、设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（）变式2、设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（）

函数单调性和奇偶性练习题

函数单调性和奇偶性一、选择题(每小题5分，一共12道小题，总分60分) 1．命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数 2．下列函数是偶函数的是（） A ．sin y x = B ．sin y x x = C ．21x y = D ．x x y 212- = 3．下列函数中，在其定义域是增函数而且又是奇函数的是（） A ．2x y = B ．2x y = C ．22x x y -=- D ．22x x y -=+ 4．下列函数中，不是偶函数的是（） A ．24y x =+ B ．tan y x = C ．cos 2y x = D ．33x x y -=- 5．（2015秋?校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（） A ．y=﹣ B ．y=sinx C ．y=x D ．y=ln|x| 6．如图，给出了偶函数()y f x =的局部图象，那么()1f 与()3f 的大小关系正确的是 ( ) A wxc.833200./.()()13f f ≥ B wxc.833200./.()()13f f ≤ C wxc.833200./.()()13f f > D wxc.833200./.()()13f f < 7．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（） A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数

函数的奇偶性教案

《函数的奇偶性》一、教材分析 1．教材所处的地位和作用 “奇偶性”是人教A版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的及入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性。从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。 2．学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． 3．教学目标基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标：【知识与技能】 1．能判断一些简单函数的奇偶性。 2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。从课堂反应看，基本上达到了预期效果。 4、教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和几何意义。几年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验x f x f= - -或 = - f ) ( ) ( ) ( f x (x ) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。由于，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。二、教法与学法分析 1、教法根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题

函数的奇偶性题型解析(含答案)

函数的奇偶性一、单选题(共10道，每道10分) 1.设函数的定义域为，且是奇函数，则实数a的值是( ) 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 2.已知函数是偶函数，那么是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断 3.已知是定义在上的奇函数，则下列函数：①； ②；③；④．其中为奇函数的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断 4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的函数是( ) . . 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合 5.已知在上是奇函数，且，当时，，则的值为( ) 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 6.已知函数是偶函数，且，则的值为( ) 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质

7.定义在R上的偶函数在区间[0，+∞)单调递增，则( ) . . 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合 8.若奇函数在[2，5]上是增函数，且最小值是1，则在[-5，-2]上是( ) A.增函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1 C.减函数且最小值是-1 D.减函数且最大值是-1 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合 9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为( )

. . 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 10.当x≥0时，为偶函数，则的解析式是( ) . . 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质

函数奇偶性与单调性的综合应用专题

函数奇偶性与单调性的综合应用专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121)()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；

3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设；（2）比较大小；（3）下结论. 函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域；（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系；（3）下结论. 【典型例题】例1设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)31(log 2f ，b ＝)2 1(log 3f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】因为log)

函数的单调性、奇偶性的综合问题

函数的单调性、奇偶性综合运用【学习目标】 1.进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题； 2.利用单调性、奇偶性来解决相关问题。【学习过程】一．复习回顾： 1．函数单调性、奇偶性的定义 2．设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是二．例题精讲：题型一：知单调性求参数的范围 1．若()x f 是偶函数,其定义域为(),-∞+∞,且在 [)+∞,0上是减函数则)43(-f ，)1(2+-a a f 的大小关系是。 2．已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,且在定义域上为增函数,若2(2)(4)0f a f a -+-<,求 a 的取值范围. 【变式】已知()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在()1,0上为增函数,若 )4()2(2a f a f -<-,求 a 的取值范围。

题型二：单调性的判断与证明： 3．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则f (x ) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论 4．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，并且f (x )<0对一切R x ∈成立，试判断) (1x f -在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论. 【课堂巩固】 1.设()x f 是偶函数，且当[)+∞∈,0x 时， 1)(-=x x f ，则0)1(<-x f 的解是 . 2. 定义R 在的偶函数()x f 在()0,∞-上是单调递增的,若()122++a a f < ()1232+-a a f ,求a 的取值范围. 3.若奇函数)(x f 是定义域()1,1-上的减函数，且0)1()1(2<-+-m f m f 求实数 m 的取值范围 4．已知f (x )是R 上的奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递减，则f (x) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论

函数单调性和奇偶性的综合应用

[课题]函数基本性质 [ 函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设（2）比较大小；(3) 下结论 . （1）考察函数的定义域；（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系(3)下结论 . [例题解析] 例1：设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数，则 (2),(),(3)f f f π--的大小顺序变形1：()y f x =在(0,2)上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则157(),(),()222 f f f 的大小关系变形2：若函数2 ()f x x mx n =++，对任意实数x ，都有(1)(3)f x f x -=+成立，试比较(1),(2),(4)f f f - 的大小关系 3、已知函数2 1 ()4f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b 4、若2 ()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是。例2：已知()y f x =在定义域(1,1)-上是增函数且为奇函数，(1)(21)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围.

例3：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-, 求()f x 的解析式. (3)函数()y f x =是[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，解不等式 (1)()f x f x -<。1 [1,)2 - 练习：已知()f x 是定义在(1,1)-的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若 (2)(3)f a f a -<-，求a 的取值范围。5(2,)2 (4)已知函数()f x 是R 上的奇函数且是增函数，解不等式(45)0f x -+>。54 x < (5)()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()x f f x f y y =-。(1)求(1)f 的值；(2) 若(6)1f =，解不等式1 (3)()23 f x f +-<。(3,9)- 练习：R + 上的增函数满足()()()f xy f x f y =+，且(8)3 f =，解不等式(2)(2)f f x +- ≥ 6 x ≥34 思考题：已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x f y f x y +=+，且当 0x >时，()0f x <，又2 (1)3 f =-。 (1)求(0)f ；(2)求证()f x 为奇函数；(3)求证()f x 为R 上的减函数；(4)求()f x 在 [3,6]-上的最小值与最大值；(5)解关于x 的不等式11 (2)()()()22 f bx f x f bx f b ->-，(2)b >。(1)0(4)min 4y =-，max 2y =(5)22 b x b -< -。

函数奇偶性归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

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