(数学分析习题内容答案)第二章
第二章 数列极限
习题
2．按N -ε定义证明：
（1）1
1lim
=+∞→n n
n
证明 因为 n n n n 11111
<+=-+，所以0>?ε，取ε1=
N ，N n >?，必有ε<<-+n n n 111. 故1
1lim =+∞→n n n
（2）
23
123lim 22=-+∞→n n n n 证明 因为 n n n n n n n n n n n n n 3
2525)1(232)12(232231232
22222<=<-++<-+=--+
)1(>n ，于是0>?ε，取}3,1max{ε=N ，N n >?，有 ε<<--+n n n n 3231232
2. 所以
23123lim 22=-+∞→n n n n
（3）0!lim =∞→n n n n
证明 因为
n n n n n n n n n n n n n n n
n 11211)1(!0!≤???-=???-==-ΛΛΛ，于是0>?ε，取ε1
=
N ，N n >?，必有ε<≤-n n n n
10!. 所以0!lim =∞→n n n n
（4）
sin
lim =∞
→n
n π
证明 因为
n n
n
π
π
π
≤
=-sin
0sin
，于是0>?ε，取
επ
=
N ，N n >?，必有
ε
π
π
<≤
-n
n
0sin
. 所以
sin
lim =∞
→n
n π
（5）)1(0lim
>=∞→a a n
n
n
证明 因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是
2
22)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-+
+=+=Λ，从而
2
2)1(2
2)1(0h n h
n n n a n a n n n -=
-≤=-，所以0>?ε，取122+=h N ε，N n >?，
有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n
3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：
（1）
n n 1
lim
∞
→；（2）n n 3
lim ∞
→；（3）3
1
lim
n n ∞→
（4）n n 31lim ∞→；（5）n n 21lim ∞→；（6）n n 10lim ∞→；（7）
n n 21lim ∞→ 解 （1）01lim 1lim 21==∞→∞→n n
n n （用例2的结果，21=a ），无穷小数列.
（2）13lim =∞
→n n ，（用例5的结果，3=a ）
（3）01
lim
3
=∞→n n ，（用例2的结果，3=a ），无穷小数列.
（4）031lim 31lim =??? ??=∞→∞→n
n n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列.
（5）021lim 21
lim =??? ??=∞→∞
→n
n n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞→n n ，（用例5的结果，10=a ）.
（7）
121lim 21
lim
==∞→∞→n
n n
n ,（用例5的结果，21=
a ）. 4．证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞→lim
证明 因为a
a n n =∞
→lim ，所以
εε<->?>?>?||,,0,0a a N n N n ，
于是，当N
k >时，必有N k n >+，从而有ε<-+||a a k n ，因此a a k n k =+∞→lim .
5．试用定义1证明：
（1）数列??
?
???n 1不以1为极限；（2）数列
}{)1(n n -发散.
证明（用定义1证明） 数列}{n a 不以 a 为极限（即a a n n ≠∞→lim ）的定义是：00>?ε，0>?N ，N n >?0，0||0ε≥-a a n
（1）取
21
0=
ε，0>?N ，取N N n >+=20，有
002
1)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ，故数列??
????n 1不以1为极限.
另证（用定义1’证明） 取21
0=
ε，则数列??????n 1中满足2>n 的项（有无穷多个）
显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外，故数列??????n 1不以1为极限.
（2）数列
}{)1(n
n
-=},6,51
,4,31,2,1{Λ，对任何R a ∈，取10=ε，则数列
}{)1(n n -
中所有满足“n 为偶数，且1+>a n ”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域
)1,1();(0+-=a a a U ε之外，故数列
}{)1(n
n -不以任何数 a 为极限，即数列
}{)1(n
n -发
散.
6．证明定理，并应用它证明数列??
?
?
??-+n n )1(1的极限是1. 定理 数列}{n a 收敛于 a 充要条件是：}{a a n -为无穷小数列. （即a a n n =∞→lim 的充
要条件是0
)(lim =-∞
→a a n n ）
证明 （必要性）设a
a n n =∞
→lim ，由数列极限的定义，,0,0>?>?N εN n >?，有
ε<--=-|0)(|||a a a a n n ，所以 0)(lim =-∞→a a n n .
（充分性）设0
)(lim =-∞
→a a n n ，由数列极限的定义，,0,0>?>?N εN n >?，有
ε<-=--|||0)(|a a a a n n ，所以a a n n =∞→lim .
下面证明：数列????
??-+n n )1(1的极限是1. 因为??
?
???-=??????--+n n n n )1(1)1(1是无穷小数列，所以数列
??
?
???-+n n )1(1的极限是1. 7．证明：若a a n n =∞→lim ，则|
|||lim a a n n =∞
→. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？
证明 设
a
a n n =∞
→lim ，由数列极限的定义，,0,0>?>?N εN n >?，
ε
<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有|
|||lim a a n n =∞
→. 但此结论反之不一定成立，例如数列
})1{(n -.
当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0
||lim =∞
→n n a ，于是,0,0>?>?N εN n >?，
ε
<=||||n n a a ，所以a
a n n =∞
→lim .
8．按N -ε定义证明：
（1）0)1(lim =-+∞→n n n ； （2）0321lim
3=++++∞→n n
n Λ
（3）1lim =∞→n n a ，其中???????+-=为奇数
为偶数n n n n n n
n a n 2
,1
证明 （1）因为
n n
n n n 1
11|1|<
++=
-+. 于是0>?ε，取
21
ε=
N ，
N n >?，必有
ε
<<
-+n
n n 1|1|，从而0
)1(lim =-+∞
→n n n .
（2）因为
n n n n n n n n n n n 1
2212)1(3212
233=+<+=+=++++Λ，于是0>?ε，取ε1=N ，N n >?，必有ε<<-++++n n n 103213Λ，所以0321lim 3=++++∞→n n n Λ
（3）因为当 n 为偶数时，
n n n a n 1
11|1|=--=
-
当 n 为奇数时，n
n
n n n
n
n n n n
n a n 111|1|222<
++=
-+=-+=
-，故不
管n 为偶数还是奇数，都有
n a n 1|1|<
-. 于是0>?ε，取ε1
=
N ，N n >?，必有
ε<<
-n a n 1
|1|，所以 1lim =∞→n n a .
习题
1．求下列极限：
⑴ 根据例2 01lim
=∞→a
n n ，0>a ，可得
4
131241131lim 32413lim 3
2332
3=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n
⑵ 0)21(lim 21lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n
⑶根据例4 0
lim =∞
→n n q ，1|| 3 13 )32(31 )32( lim 3)2(3)2(lim 111=+-?+-=+-+-+∞→++∞→n n n n n n n n ⑷ 21 1111lim lim )(lim 22=++=++=-+∞ →∞→∞→n n n n n n n n n n n 这是因为由例1若 a a n n =∞ →lim ，则 a a n n =∞ →lim . 于是由1 )1 1(lim =+∞→n n ，得 111 1lim ==+ ∞ →n n . ⑸ 10)1021(lim =+++∞ →n n n n Λ，因为1 lim =∞ →n n a （0>a ） ⑹ 231131 13 121121121lim 313131212 121lim 22=--? - - ? =++++++∞→∞→n n n n n n ΛΛ 2．设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正数N ，使得当N n >时，有n n b a <. 证明 由b a <，有b b a a <+< 2. 因为2lim b a a a n n +<=∞ →，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<. 又因为2lim b a b b n n +> =∞→，所以，又存在 02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +> . 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有 n n b b a a <+<2. 3．设}{n a 为无穷小数列，}{n b 为有界数列，证明：}{n n b a 为无穷小数列. 证明 因为 }{n b 为有界数列， 所以存在0>M ，使得Λ,2,1,||=≤n M b n . 由}{n a 为无穷小数列，知,0,0>?>?N εN n >?， M a n ε < ||. 从而当N n >时，有ε ε =?< ?=M M b a b a n n n n ||||||，所以0 lim =∞ →n n n b a ，即 }{n n b a 为无穷小数列. 4．求下列极限 （1）1111lim 11131 212111lim )1(1321211lim =??? ?? +-=??? ??+-++-+-=???? ? ?+++?+?∞→∞→∞→n n n n n n n n ΛΛ （2）因为 n n n n 21 2112 18141212 8422 2 2 2222= ==- +++ΛΛ ，而 )(1222 11 21 ∞→→=< n n ，于是1 2lim 21 =∞ →n n ，从而 2 22 lim 222 2 lim 2 1 28 4 ==∞ →∞ →n n n n Λ （3） 32323lim 23221229272725253lim 21223 21lim 13222=??? ?? +-=??? ??+-+++-+-+-=??? ? ?-+++∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ （4）当2>n 时，11121<- 1 1lim =- ∞→n n n . （5）因为)(,0111)2(1)1(11022 222∞→→+=+≤++++ ??++++∞→n n n n Λ （6）因为1 1 1 21112 2 2 222=≤ +≤++++++≤+n n n n n n n n n n n Λ， 且 1 111lim lim 2 =+=+∞ →∞ →n n n n n n ，所以 11211 1lim 222=???? ??++++++∞ →n n n n n Λ 5．设}{n a 与}{n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明}{n n b a ±是发散数列. 又问}{n n b a 和)0(≠??? ???n n n b b a 是否必为发散数列. 证明 （用反证法证明）不妨设}{n a 是收敛数列，}{n b 是发散数列. 假设数列} {n n b a +收敛，则 n n n n a b a b -+=)(收敛，这与}{n b 是发散数列矛盾，所以，数列}{n n b a +发散. 同理可得数列 }{n n b a -发散. }{n n b a 和) 0(≠??? ???n n n b b a 不一定是发散数列. 例如，若}{n a 是无穷小数列，}{n b 是有界的发散数列. 则}{n n b a 和)0(≠??? ???n n n b b a 是无穷小数列，当然收敛. 但是，有下列结果：如果0lim ≠=∞→a a n n ，}{n b 是发散数列，则}{n n b a 和)0(≠? ?? ???n n n a a b 一定是发散数列. 6．证明以下数列发散： （1） ?? ????+-1)1(n n n 证明 设 1)1(+-=n n a n n ，则)(,11222∞→→+=n n n a n ，而1 21 212-→--=-n n a n ， 由，定理 知 ?? ????+-1)1(n n n 发散. （2） {}n n )1(- 证明 {} n n )1(- 的偶数项组成的数列n a n 22=，发散，所以{ } n n )1(-发散. （3）?? ?? ?? 4cos πn 证明 设 4cos π n a n =，则子列 )(,118∞→→=n a n ，子列 )(,1148∞→-→-=+n a n ，故 ??????4cos πn 发散. 7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若 }{12-k a 和}{2k a 都收敛，则}{n a 收敛. 解 结论不一定成立. 例如，设n n a )1(-=，则12=k a ，112-=-k a 都收敛，但n n a )1(-=发散. 注 若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，且极限相等（即k k k k a a 212lim lim ∞→-∞→=），则}{n a 收敛. （2）若 }{23-k a ，}{13-k a 和}{3k a 都收敛，且有相同的极限，则}{n a 收敛. 证明 设a a a a k k k k k k ===∞ →-∞ →-∞ →31323lim lim lim ，则由数列极限的定义，知0>?ε， 01>?K ，1K k >?，ε<--||23a a k ；同样也有02>?K ，2K k >?，ε<--||13a a k ； 03>?K ，3K k >?，ε<-||3a a k . 取}3,3,3m ax {321K K K N =，当N n >时，对任 意的自然数 n ，若23-=k n ，则必有1K k >，从而ε<-||a a n ；同样若13-=k n ，则 必有2K k >，从而也有ε<-||a a n ；若k n 3=，则必有3K k >，从而ε<-||a a n . 所 以a a n k =∞→lim ，即} {n a 收敛. 8．求下列极限： （1）n n k 21 24 321lim -∞→Λ 解 因为 n n 2126543210-<Λ 121)12)(12(12)12)(32(32755533311+=+-----??? 而0121lim =+∞→n k ，所以 02124321lim =-∞→n n k Λ 另解 因为12254322124 321+<-n n n n ΛΛ，设n n S n 21 24321-=Λ ， 1225432+=n n T n Λ，则n n T S <. 于是121+=? 121+ （2） 答案见教材提示. （3）1 0],)1[(lim <<-+∞ →αααn n k 解 ] 1)1 1[(]1)11[()1(0-+<-+=-+ )(,01 1∞→→==-n n n n αα 所以，0 ])1[(lim =-+∞ →α αn n k 另解 因为01<-α，所以11 )1(--<+ααn n ，于是 11)1()1(--+=+<+ααααn n n n n ， 从而)(,0)1(01 ∞→→<-+<-n n n n αα α . （4） 答案见教材提示. 9．设 m a a a Λ,,21为 m 个正数，证明： } ,,max {lim 2121m n n n n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞ → 证明 因为 } ,,max{},,max{212121m n n n n n n m a a a n a a a a a a ΛΛΛ≤+++≤ 而1 lim =∞ →n n n ，所以} ,,max {lim 2121m n n n n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞→ 10．设a a n n =∞ →lim ，证明： （1）a n na n n =∞→][lim ； （2）若0,0>>n a a ，则1lim =∞→n n n a . 证明 （1）因为1][][+<≤n n n na na na ，所以n n n a n na n na ≤<-] [1. 由于 a n a n na n n n n =??? ??-=-∞→∞→1lim 1lim ，且a a n n =∞→lim ，从而a n na n n =∞→][lim . （2）因为 0lim >=∞→a a n n ，由 定理，存在0>N ，使得当N n >时，有a a a n 232 <<. 于是 n n n n a a a 232<<，并且123 lim 2lim ==∞→∞→n n n n a a ，所以1lim =∞→n n n a . 习题 1．利用e n n n =??? ??+∞ →11lim 求下列极限： （1）e n n n n n n n n n n n 11111111lim 1lim 11lim 1=? ?? ??-+??? ?? -+=??? ??-=??? ??--∞ →∞→∞→ （2） e n n n n n n n =??? ??+?? ? ??+=??? ??+∞ →+∞ →1111lim 11lim 1 （3）e n n n n n n n =? ?? ??++??? ??++=?? ? ??+++∞→∞→111111lim 111lim 1 （4） e n n n n n n n n n =? ? ? ?? +=??? ?? +=??? ??+∞ →?∞ →∞→22 1 2211lim 211lim 211lim 注：此题的求解用到事实（例1）：若 a a n n =∞ →lim ，且 Λ,2,1,0=≥n a n ，则 a a n n =∞ →lim . （5） n n n ??? ?? +∞ →211lim 解 因为数列??????? ?????? ??+n n 11单调增加，且有上界 3，于是 ) (,13111112 22∞→→ ? ?? +=??? ??+ ，所以 111lim 2=??? ?? +∞ →n n n 2．试问下面的解题方法是否正确：求n n 2lim ∞→ 解 不正确. 因为极限n n 2lim ∞ →是否存在还不知道（事实上极限n n 2lim ∞ →不存在），所以设 a n n =∞ →2lim 是错误的. 3．证明下列数列极限存在并求其值： （1）设 Λ ,2,1,2,211===+n a a a n n 证明 先证数列 }{n a 的有界性，用数学归纳法证明：2是}{n a 的一个上界. 221<=a ，假设2 其次证明}{n a 单调增加. 0 2) 2(21>+-=-=-+n n n n n n n n a a a a a a a a ，所以n n a a >+1 ， 即}{n a 单调增加. 从而}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a a 221 =+的两端取极限，得a a 22=，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以2 lim =∞→n n a . 注： }{n a 的单调增加也可以如下证明： 12 2 221=>==+n n n n n a a a a a ，所以 n n a a >+1. 还可以如下得到：121214 12121 4 1211 22++ ++++ ++=< = +n n a a n n n ΛΛ （2）设Λ ,2,1,),0(11=+=>=+n a c a c c a n n 证明 先证数列 }{n a 的有界性，用数学归纳法证明：}{n a 的一个上界是 1 + c . c c a +<=11，假设c a n +<1，则c c c c a c a n n +=++<+<+=+112122 1， 所以 }{n a 有上界1 + c . 其次证明 }{n a 单调增加（用数学归纳法证明）. 21a c c c a =+<=，假设 n n a a <-1，于是n n a c a c +<+-1，从而n n a c a c +<+-1，即1+ 增加. 所以}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a c a +=+21的两端取极限，得a c a +=2， 解之得 2411c a +±= . 由于a n > 0 ，所以 a > 0 . 故 2 lim =∞→n n a . （3）Λ ,2,1),0(!=>=n c n c a n n 证明 先证 }{n a 从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N > c ，于是当N n >时， n n n n n n a a N c a n c n c n c n c a <+<+=+=+=++11!1)!1(11 ，即从第N 项开始}{n a 单调减少. 由于 }{n a 的各项都大于零，所以}{n a 有下界0. 从而}{n a 极限存在. 设a a n n =∞→lim ， 在 n n a n c a 11 +=+的两端取极限，得a a ?=0，故0=a ，即0lim =∞→n n a . 4．利用??????? ?????? ??+n n 11为递增数列的结论，证明??? ?????????? ??++ n n 111为递增数列. 证明 设 n n n n n n a ? ?? ??++=??? ??++=12111，要证：Λ,3,2,1=≤-n a a n n ，即 因为????????????? ??+n n 11为递增数列，所以有111111+??? ??++ ?+n n n n ， 即1 121+??? ??++ n n n n n n a n n n n n n n n n n n n n n a =??? ??++<+?++???? ??++=+?? ? ??++ ? ? ??+=+--121121211211 1 1 . 其中用到事实：1)1()2(1122 ≤++=+?++? n n n n n n n . 5．应用柯西收敛准则，证明以下数列 }{n a 收敛： （1） n n n a 2sin 22sin 21sin 2+++= Λ 证明 不妨设m n >，则有 n m m m n n m m a a 2sin 2)2sin(2)1sin(||21+ ++++= -++Λ n m m n m m n m m 2121212sin 2)2sin(2)1sin(2121+ ++≤+++++≤++++ΛΛ ??? ??+++++ 12211< =?=+ 所以，0>?ε，取 ε1= N ，N m n >?,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛. （2） 222131211n a n ++++ =Λ 证明 不妨设m n >，则有 2221 )2(1)1(1||n m m a a m n + ++++= -Λ n n m m m m )1(1)2)(1(1)1(1-++++++≤Λ m n m n n m m m m 1111112111111<-=--+++-+++-=Λ 所以，0>?ε，取ε1= N ，N m n >?,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛. 6．证明：若单调数列}{n a 含有一个收敛子列，则}{n a 收敛. 证明 不妨设 }{n a 是单调增加数列，}{k n a 是其收敛子列. 于是}{k n a 有界，即存在 0>M ，使得Λ,2,1,=≤k M a k n . 对单调增加数列}{n a 中的任一项m a 必有 M a a k m m ≤≤，即}{n a 单调增加有上界，从而收敛. 7．证明：若0>n a ，且1lim 1>=+∞→l a a n n n ，则0lim =∞→n n a 证明 因为1lim 1>=+∞→l a a n n n ，所以存在 r 使得1lim 1>>=+∞→r l a a n n n . 于是由数列极限 的保号性定理（），存在0>N ，当N n >时，r a a n n >+1，1+>n n ra a . 从而有n N n N N N a r a r ra a 13221--+++>>>>Λ， 因此， )(,001 1 ∞→→< <--+n r a a N n N n ， 故 lim =∞ →n n a . 8．证明：若}{n a 为递增有界数列，则}sup{lim n n n a a =∞→；若}{n a 为递减有界数列， 则} inf{lim n n n a a =∞→. 又问逆命题成立否？ 证明 证明过程参考教材，定理（单调有界定理）. 逆命题不一定成立. 例如数列 ?????-=为偶数为奇数 n n n a n 1 11， 1 }sup{lim ==∞→n n n a a ，但 } {n a 不单调. 9．利用不等式 0),()1(11 >>-+>-++a b a b a n a b n n n ，证明： ????????????? ??++111n n 为递减数列，并由此推出????????????? ??+n n 11为有界数列. 证明 设 1 11+??? ??+=n n n a ，由不等式 )()1(1 1a b a n a b n n n -+>-++，有 1111++++-+->-n n n n n n a b a na b na a b ，于是b a na b na b n n n n +->++11， b na a na b n n n n 1+-+>. 在上式中令 1111,111-= -+=+=+=n n n b n n n a ，a b >，得 n n n n n n a ? ? ? ??-=??? ??-+=-11111 n n n n n n n n n n n n n n n ? ?? ??++?? ? ??+-??? ??++??? ??+>11111 n n n n a n n n n n n n =? ? ? ??+=??? ??++??? ??+=+1 1111 即 n n a a >-1 ，故??? ???????? ? ? ??++1 11n n 为递减数列. 而411111111 1 =??? ??+≤? ?? ??+ ?++n n n n ，所以??????? ?????? ??+n n 11为有界数列. 10．证明： n n e n 3 )11(< +- 证 由上题知??????? ?????? ??++1 11n n 为递减数列，于是对任何n m >有， 1 1 1111++?? ? ??+>?? ? ??+m n n n ，令∞→m ，取极限得， e n n >?? ? ??++1 11 ① 又因为n n n n n n n n n n ??? ??++? ?? ? ?++113111111111 ② 由①、②得 n n n n n e ? ?? ??++ ，从而 n n e n e n n 3 )11()11(< +-=+- 11．给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 > b 1 )，作出其等差中项 2 1 12b a a += 与等比中项 112b a b =，一般地令 21n n n b a a += +，Λ,2,1,1==+n b a b n n n 证明：n n a ∞ →lim 与n n b ∞ →lim 皆存在且相等. 证明 因为 11b a >，所以有 n n n n n n a a a b a a =+<+= +221，即}{n a 单调减少. 同样 可得}{n b 单调增加. 于是有 1 11 12b b b a b a a a n n n n n n ≥=≥+=≥++，即}{n a 单调减少有 下界，}{n b 单调增加有上界，故n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在. 在 n n n b a a +=+12的两端取极限，可得n n n n b a ∞→∞→=lim lim 12．设}{n a 为有界数列，记},,sup{1Λ+=n n n a a a ，},,inf{1Λ+=n n n a a a 证明：⑴ 对任何正整数n ，n n a a ≥； ⑵ }{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有m n a a ≥； ⑶ 设a 和a 分别是}{n a 和}{n a 的极限，则a a ≥； ⑷ }{n a 收敛的充要条件是a a = 证 ⑴ 对任何正整数n ，n n n n n n n a a a a a a a =≥≥=++},,inf{},,sup{11ΛΛ ⑵ 因为1211},,sup{},,sup{++++=≥=n n n n n n a a a a a a ΛΛ，Λ,2,1=n ，所以}{n a 为递减有界数列. 由 1211},,inf{},,inf{++++=≤=n n n n n n a a a a a a ΛΛ，知}{n a 为递增有界数列. 对任何正整数n ，m ，因为 }{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，所以有 m m n m n n a a a a ≥≥≥++. ⑶ 因为对任何正整数n ，m 有m n a a ≥，令∞→n 得，m n n a a a ≥=∞→lim ，即 m a a ≥，令∞→m 得 a a a m m =≥∞ →lim ，故a a ≥. ⑷ 设 }{n a 收敛，a a n n =∞→lim . 则0>?ε，0>?N ，N n >?，ε<-||a a n ，εε+<<-a a a n . 于是有εε+≤<-a a a n ，从而a a a n n ==∞→lim . 同理可得 a a a n n ==∞ →lim ，所以a a = 反之，设a a =. 由a a n n =∞→lim ， a a a n n ==∞→lim ，得0>?ε，0>?N ，N n >?， 有 εε+<<-a a a n 及εε+<<-a a a n ，从而 εε+<≤≤<-a a a a a n n n 总练习题 1．求下列数列的极限： （1）n n n n 3lim 3+∞ → 解 当3>n 时，有n n 33 <，于是 )(,323323333∞→→?=?<+<=n n n n n n n n n ，所以 3 3lim 3=+∞ →n n n n （2）n n e n 5 lim ∞→ 解 设h e +=1，则当6>n 时， 6 2!6)5()1(!2)1(1)1(h n n n h h n n nh h e n n n --≥++-++=+=ΛΛ，于是 )(,0)5)(4)(3)(2)(1(!606 55∞→→-----?< 解法2 用 习题7的结论. 设n n e n a 5=，1)1(lim lim 5 1 51>=+=+∞→+∞→e n e e n a a n n n n n n ，从而 0lim lim 5 ==∞ →∞→n n n n a e n . 解法3 用 习题2⑸的结果0)) ((lim lim 5515==∞→∞→n n n n e n e n 解法4 用单调有界定理. 令n n e n a 5 =，则51)11(1n e a a n n +=+. 因为 e n n <=+∞→1)11(lim 5，所以存在0>N ，当N n >时，e n <+5)1 1(，从而当N n >时，1 )1 1(151<+=+n e a a n n . 于是从N n >起数列}{n a 递减，且有下界0，因此}{n a 收敛. 设a a n n =∞→lim ，在等式n n a n e a ?+=+51)11(1的两端取极限，得a e a ?=1 ，所以0=a . （3）) 122(lim n n n n ++-+∞→ 解 )] 1()12[(lim )122(lim +-++-+=++-+∞ →∞ →n n n n n n n n n 011121lim =??????++-++++=∞ →n n n n n 2．证明： （1）) 1|(|0lim 2<=∞ →q q n n n 证明 当0=q 时，结论成立. 当1||0< >+=h h q ，于是有n n h q )1(1+=，而由牛顿 二项式定理，当3>n 时有3 !3)2)(1()1(h n n n h n --≥+，从而 )(0!3)2)(1() 1(03 2 22 ∞→→--≤+= n ，所以 lim 2=∞ →n n q n 另解 用 习题2⑸的结果 )(sgn ))| |1(( lim lim 22==∞ →∞ →n n n n n q q n q n （2）) 1(,0lg lim ≥=∞→αα n n n 证明 因为0,lg > )(,02 2lg 2lg 021 ∞→→=<=< -n n n n n n n n αα αα，所以0lg lim =∞→αn n n . （3）0!1 lim =∞→n n n 证明 先证明不等式： n n n ? ?? ??>3!. 用数学归纳法证明，当1=n 时，显然不等式成立；假设 n n n ? ?? ??>3!成立，当 n + 1 时 n n n n n n n n n n n n ? ? ? ??+??? ??+?+=??? ???+>?+=+131)1(3)1(!)1()!1( 1 1 31113 31++??? ??+>?? ? ??+?? ? ??+=n n n n n n 故不等式n n n ? ?? ??>3!成立. 由此可得)(,03!10∞→→< 另解 用数学归纳法证明不等式：n n n ≥! 3．设a a n n =∞ →lim ，证明： （1）a n a a a n n =+++∞→Λ21lim （又问由此等式能否反过来推出a a n n =∞→lim ） 证明 因为a a n n =∞ →lim ，于是有11,0,0N n N >?>?>?ε， 2||ε < -a a n . 从而当 1N n >时，有 n na a a a a n a a a n n -+++=-+++ΛΛ21 21 22||||||||||||12121111εε+≤?-+≤-++-+-+ -++-+-≤++n A n N n n A n a a a a a a n a a a a a a n N N N ΛΛ 其中||||||121a a a a a a A N -++-+-=Λ是一个定数. 再由0lim =∞→n A n ，知存在 02>N ，使得当2N n >时，2ε< n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有 ε ε εε=+<+≤-+++22221n A a n a a a n Λ. 反过来不一定成立. 例如n n a )1(-=不收敛，但0lim 21=+++∞→n a a a n n Λ. 练习：设+∞=∞→n n a lim ，证明：+∞=+++∞→n a a a n n Λ21lim (2) 若),2,1(0Λ=>n a n ，则a a a a n n n =∞→Λ21lim 证明 先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式： n a a a a a a a a a n n n n n +++≤ ≤+++ΛΛΛ2121211 11 算术平均值—几何平均值不等式： n a a a a a a n n n +++≤ ΛΛ2121 对任何非负实数1a ，2a 有 2)(2 12 121a a a a +≤ ，其中等号当且仅当21a a =时成立. 由此推出，对4个非负实数1a ，2a ，3a ，4a 有 2 1 43212 12 1432 1214 14321) 22(])()[()(a a a a a a a a a a a a +?+≤= 42224321 4 321a a a a a a a a +++=++ +≤ 按此方法继续下去，可推出不等式n a a a a a a n n n +++≤ΛΛ21 21对一切k n 2=（ Λ,2,1,0=k ）都成立，为证其对一切正整数n 都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即 证明：若不等式对某个)2(≥n 成立，则它对1-n 也成立. 设非负实数 121,,,-n a a a Λ，令 )(11 121-+++-= n n a a a n a Λ，则有 ) 1(1)1()(1 211211 1211121-+++++++≤-+++?----n a a a a a a n n a a a a a a n n n n n n ΛΛΛΛ 整理后得 )(11 ) (1211 1121---+++-≤ n n n a a a n a a a ΛΛ，即不等式对1-n 成立，从而 对一切正整数n 都成立. 几何平均值—调和平均值不等式n n n a a a a a a n ΛΛ21211 11≤+++的证明，可令 i i x y 1= ，再对i y （n i ,,2,1Λ=）应用平均值不等式. 由),2,1(0Λ=>n a n ，知0lim ≥=∞→a a n n . 若0≠a ，则 a a n n 11lim =∞→. 由上一小题的结论，有 ) (,1 11212121∞→→+++≤ ≤+++n a n a a a a a a a a a n n n n n ΛΛΛ 而a a n a a a a a a n n n n n ==+++=+++∞→∞→1 1 1111lim 111lim 2121ΛΛ，所以 a a a a n n n =∞ →Λ21lim . 若0=a ，即0 lim =∞→n n a ，则11,0,0N n N >?>?>?ε，ε a . 从而当1N n >时， 有 n N n n N n n N N n n a a a a a a a a a a a 1 1112112121-+?≤?=εΛΛΛΛ ε εεε ?=?=?=--n n N N n N n n N A a a a a a a 11112121ΛΛ 其中 1 121N N a a a A -=εΛ，是定数，故2 1lim <=∞ →n n A ，于是存在02>N ，使得当 2N n >时，2 ε ε221 n A a a a Λ，故0 lim 21=∞ →n n n a a a Λ 4．应用上题的结论证明下列各题： （1）0 131211lim =++++ ∞ →n n n Λ 证明 令n a n 1= ，则01 lim lim ==∞→∞→n a n n n ，所以0 1 31211lim =++++ ∞ →n n n Λ. （2）) 0(1lim >=∞ →a a n n 证明 令a a =1，Λ,3,2,1==n a n ，则1lim =∞→n n a ，从而 1 lim lim lim 21===∞ →∞ →∞ →n n n n n n n a a a a a Λ （3）1 lim =∞ →n n n 证明 令11=a ，Λ,3,2,1=-= n n n a n ，则1lim =∞→n n a ，于是 1lim lim 13423121lim lim 21===-?????=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n a a a a n n n ΛΛ. （4） ! 1lim =∞→n n n 证明 令 Λ,2,1,1 == n n a n ，则0lim =∞→n n a ，所以 1lim 1211lim 3211lim !1lim ==???=????=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ （5）e n n n n =∞→!lim 证明 令 Λ ,3,2,11111 1 =?? ? ?? -+=? ?? ??-=--n n n n a n n n ，则e a n n =∞ →lim ，所以 e n n n n n n n n n n n n n n n n n n =?? ? ??-=?? ? ??-???? ?????? ?????? ???==-∞→-∞→∞→∞→1 1 4 3 2 1lim 14534232lim !lim !lim 另证 令Λ,2,1,!==n n n a n n ，则e n a a n n n n n =??? ??-+=-∞ →-∞→1 1111lim lim . 于是 e a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n ==???==-∞→-∞→∞→∞→112312lim lim lim !lim Λ. （6）1321lim 3=++++∞→n n n n Λ 证明 因为1lim =∞→n n n ，所以1lim 321lim 3==++++∞→∞→n n n n n n n Λ （7）若)0(lim 1>=+∞→n n n n b a b b ，则a b n n n =∞→lim 证明 n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b 1 12312112312lim lim lim lim ∞ →+∞→+∞ →∞ →????=????=ΛΛ a b b n n n =?=+∞→1lim 1 （8）若d a a n n n =--∞→)(lim 1，则d n a n n =∞→lim 证明 设10 =a ??????-++-+-+=-∞→∞→n a a a a a a n a n a n n n n n )()()(lim lim 11201 0Λ d a a n a a a a a a n a n n n n n n n =-+=-++-+-+=-∞→-∞→∞→)(lim 0)()()(lim lim 1112010Λ 5．证明：若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且 0)(lim =-∞→n n n b a ，则n n a ∞→lim 与n n b ∞ →lim 都存在且相等. 证明 因为 )(lim =-∞ →n n n b a ，所以 }{n n b a -有界，于是存在0>M ，使得 M b a M n n ≤-≤-. 从而有1b M b M a n n +≤+≤， M a M a b n n -≥-≥1，因此} {n a 为递增有上界数列，}{n b 为递减有下界数列，故n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 都存在. 又因为 0)(lim lim lim =-=-∞ →∞ →∞ →n n n n n n n b a b a ，所以 n n n n b a ∞ →∞ →=lim lim . 6．设数列 }{n a 满足：存在正数M ，对一切 n 有 M a a a a a a A n n n ≤-+-+-=-||||||12312 证明：数列}{n a 与}{n A 都收敛. 证明 数列 }{n A 单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则，0,0>?>?N ε，当 N n m >>时，ε<-||n m A A . 于是 ε<-=-++-+-≤-+---n m n n m m m m n m A A a a a a a a a a ||||||||1211Λ 所以由柯西收敛准则，知数列}{n a 收敛. 7．设??? ??+=>>a a a a σσ21,0,01， ???? ??+=+n n n a a a σ211, Λ,2,1=n ， 证明：数列}{n a 收敛，且其极限为σ 证明 因为 σσ σ=?≥???? ??+= +n n n n n a a a a a 211，故数列}{n a 有下界σ. 1 12112121=??? ??+≤???? ??+=+σ σ σn n n a a a ，于是n n a a ≤+1，即数列}{n a 单调减少，从而数列} {n a 收敛. 设A a n n =∞→lim ，由???? ??+=+n n n a a a σ211，得σ+=+212n n n a a a ，两端取极限得，σ+=222A A ，解得σ=A ，所以σ =∞→n n a lim . 8．设011>>b a ，记211--+= n n n b a a ， 111 12----+?=n n n n n b a b a b ，Λ,3,2=n . 证明：数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a . 证 因为 1111211112 1 2111112)(2--------------+?-+= ++≤+?=n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b n n n n n n n n n b b a b a b a b a -+=+?-+=--------111111112，所以n n n n a b a b =+≤--21 1，Λ,3,2=n 数列}{n a 是递减的：n n n n n n a a a b a a =+≤+=+221，Λ,2,1=n 数列}{n a 有下界：021 1≥+= --n n n b a a ，Λ,2,1=n ，所以}{n a 收敛，设a a n n =∞→lim . 数列}{n b 是递增的：1 1 111111122---------=+?≥+?=n n n n n n n n n n b a a b a b a b a b ，Λ,3,2=n 数列}{n b 有上界：1a a b n n ≤≤，Λ,2,1=n ，所以}{n b 收敛，设b b n n =∞→lim . 令∞→n 在21 1 --+=n n n b a a 的两端取极限，得b a =. 211--+= n n n b a a 与 111 12----+?=n n n n n b a b a b 两端分别相乘，得11--=n n n n b a b a ，Λ,3,2=n 所以有11b a b a n n =，Λ,3,2=n ，令∞→n 取极限得11b a ab =，从而11b a a = q ，令0,1||1