八年级数学上册6.4.1数据的离散程度教案2(新版)北师大版

课题：6.4.1. 数据的离散程度
教学目标： 1、掌握刻画数据离散程度的“极差”“方差”“标准差”三个量度，会计算“方差” 与“标准差”。 2、经历对数据处理的过程，发展初步的统计意识和数据处理能力，根据极差、方差、 标准差的大小解决问题，培养学生解决问题的能力。 3、通过解决生活中的数学问题，逐步培养认真细致的学习态度和用数据说话的求实精 神，培养与数据打交道的情感，并体验数学与生活的联系。 教学重点与难点： 重点：会用公式计算方差，并在具体问题情境中加以应用。 难点：理解极差、方差的含义及方差的计算公式，并准确运用解决实际问题。 教法与学法： 教法： 采用引导发现,比较,巩固练习,通过一个实际问题情境的导入和比较， 抓住重点， 突破难点。 学法：采用引导观察分析,比较鉴别,练习巩固,以及引导自学的方法，注重调动学生积 极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与活动的时间和空间。 课前准备：多媒体课件． 教学过程: 一、创设情境，导入新课 学习内容：播放习近平主席访问俄罗斯时检阅俄罗斯仪仗队的视频： 我们知道接受检阅的仪仗队必须精挑细选， 整齐划一， 特别注重队员的身高，下面有两 组仪仗队，准备抽取其中一组参与检阅。已知这两组仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
甲队
乙队
甲队 乙队
178 178
177 177
179 179
178 176
178 178
177 180
178 180
178 178
177 176
179 178
你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？ 【处理方式】：学生观看视频和实际问题，热情高涨，积极进行计算，通过计算两个仪 仗队队员的身高的平均数、中位数、众数都是 178 cm，无法利用这些数据做决定，引发思 考和提升解决问题的兴趣。

师： 由此可知， 用数据的平均水平来解决这个问题是不适合的，你还能从哪些方面分析， 来比较他们的身高呢？由此引出本课课题——数据的离散程度。 【设计意图】:通过生活中的一个实例提出问题，吸引学生的注意力，更容易激发学生的 兴趣，引起学生的思考。这个问题学生很自然想到利用平均数做出选择，结果却发现两个队 队员的平均身高一样， 这样学生原有的知识与遇到问题情境产生知识碰撞， 从而引发进一步 学习新知识的欲望。 二、探究学习，感悟新知 学习内容 1：刻画数据离散程度的统计量：极差 2001 年 7 月 3 日，我国加入“WTO”．当我们正欢庆的时候，出口加工行业协会已经做 好了提高农副产品的国际竞争能力的准备，对农副产品的规格进行了划分。 某外贸公司要出口一批规格为 75 g 的鸡腿，现有 2 个厂家提供资源，它们的价 格相同，鸡腿的品质也相近。质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了 20 只鸡 腿，它们的质量（单位：g）如下： 甲厂：75 74 74 76 73 74 76 75 77 77 74
75 75 76 73 76 73 78 77 72 75 73 79 72 75
乙厂：75 78 72 77 74 80 71
76 77 73 78 71 76 73 75
把这些数据表示成下图：
（1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量是多少？ （2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线。 （3）从甲厂抽取的这 20 只鸡腿质量的最大值是多少？最小值是多少？它们相差 几克？从乙厂抽取的这 20 只鸡腿质量的最大值是多少？最小值呢？它们相差几克？ （4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪家公司的鸡腿？说明理由！ 【处理方式】 ： 此环节通过放手让学生在小组内进行交流发现的问题， 并进行讨论解决， 教师可关注有问题冲突小组的讨论过程，并适时予以指导和点拨。 【参考答案】:

1：（1）根据 20 只鸡腿在图中的分布情况，可知甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量 分别为 75 g. 2：（2）设甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量 x 甲, x 乙,根据给出的数据，得
x 甲=75+ x 乙=75+
1 1 ［0－1－1+1－2+1+0+2+2－1－1+0+0+1－2+1－2+3+2－3］=75+ ×0=75（g） 20 20 1 1 ［0+3－3+2－1+0－2+4－3+0+5－4+1+2－2+3－4+1－2+0］=75+ ×0=75（g） 20 20
3：（3）从甲厂抽取的这 20 只鸡腿质量的最大值是 78 g,最小值是 72 g，它们相差 78－72=6 g；从乙厂抽取的这 20 只鸡腿质量的最大值是 80 g，最小值是 71 g，它们相差 80－71=9（g）。 4：（4）如果只考虑鸡腿的规格，我认为外贸公司应购买甲厂的鸡腿,因为甲厂鸡腿 规格比较稳定，在 75 g 左右摆动幅度较小。 【总结提炼】:在我们的实际生活中，会出现上面的情况，平均值一样，这里我们也关 心数据与平均值的离散程度。 也就是说， 这种情况下， 人们除了关心数据的“平均值”即“平 均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即相对于“平均水平”的偏离情况。 我们把一组数据中最大数据与最小数据的差叫极差。而极差是刻画数据离散程度的一 个统计量。 【设计意图】: 通过对问题串的解决，使学生直观地估计从甲、乙两厂抽取的 20 只鸡 腿的平均质量，同时让学生初步体会“平均水平”相近时，两者的离散程度未必相同，从而 顺理成章地引入刻画数据离散程度的一个量度——极差。 学习内容 2：：刻画数据离散程度的统计量：方差、标准差 如果丙厂也参与了上面的竞争，从该厂 抽样调查了 20 只鸡腿，数据如下图所示： （1）丙厂这 20 只鸡腿质量的平均数和极 差分别是多少？ （2）如何刻画丙厂这 20 只鸡腿的质量与 其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的 20 只鸡腿质量与相应平均数的差距。 （3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？ 【处理方式】：分小组进行讨论，小组之间交流，教师巡视、指导学生，等学生完成后， 请各小组学生分别独立作答，师生共同补充完善。 【参考答案】:

（1）丙厂这 20 只鸡腿质量的平均数：
1 x 丙= 20 ［75×2+74×4+73×2+72×3+76×3+77×3+78×2+79］=75.1（g）
极差为：79－72=7（g） （2）我认为可以用丙厂这 20 只鸡腿的质量与其平均数的差的和来刻画这 20 只鸡腿 的质量与其平均数的差距。 甲厂 20 只鸡腿的质量与相应的平均数的差距为： （75－75）+（74－75）+（74－75）+（76－75）+（73－75）+（76－75）+（75－75）+ （77－75）+（77－75）+（74－75）+（74－75）+（75－75）+（75－75）+（76－75）+ （73－75）+（76－75）+（73－75）+（78－75）+（77－75）+（72－75） =0－1－1+1－2+1+0+2+2－1－1+0+0+1－2+1－2+3+2－3=0； 丙厂 20 只鸡腿的质量与相应的平均数的差距为： （75－75.1）+（75－75.1）+（74－75.1）+（74－75.1）+（74－75.1）+（74－75.1）+ （73－75.1）+（73－75.1）+（72－75.1）+（72－75.1）+（72－75.1）+（76－75.1）+ （76－75.1）+（76－75.1）+（77－75.1）+（77－75.1）+（77－75.1）+（78－75.1）+ （78－75.1）+（79－75.1）=0 （3）甲、丙两厂中的鸡腿质量平均数和极差相近时，用极差不能较好衡量这组数据 的波动大小。可求各数据与其平均数的差距的绝对值的和： 甲厂： 26； 丙厂： 36
甲厂的偏离平均数的距离较小，波动较小，质量较稳定，所以甲厂的产品更符合要求。 【总结提炼】:数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画。其中方差是各 个数据与平均数之差的平方的平均数，即：
1 s 2 ? [( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ......? ( x n ? x ) 2 ] ， 其中 x 是 x1,x2,?,xn 的平均数， s2 是方差， n
而标准差就是方差的算术平方根。即： s ?
1 ?x1 ? x ?2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ......? ( xn ? x ) 2 n
?
?
【设计意图】:在上面的情境中，学生很容易比较甲、乙两厂被抽取鸡腿质量的极差， 即可得出结论。这里增加一个丙厂，其平均质量和极差与甲厂相近，此时导致学生思想认识 上的矛盾，为引出另两个刻画数据离散程度的量度——标准差和方差作铺垫。 学习内容 3：探索计算器的使用： 由学生自主探索用计算器求下列一组数据的标准差： 98 99 101 102 100 96 104 99 101 100
请你在自己使用的计算器探索求一组数据的标准差的具体操作步骤。

具体操作步骤是（以 CZ1206 为例）： 1、进入统计计算状态，按 2ndf STAT 2、输入数据 然后按 DATA ，显示的结果是输入数据的累计个数。 3、按 σ 即可直接得出结果。 三、例题解析，升华新知 1、例题解析： 例 1、（1）分别计算出从甲、丙两厂抽取的 20 只鸡腿质量的方差？ （2）根据计算的结果，你认为哪家的产品更符合规格？ 【处理方式】：学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流，师生互动共同解析。 【参考答案】: 解：s 甲 =
2
1 1 5 2 ［0 +1+1+1+4+1+0+4+4+1+1+1+4+1+4+9+4+9］= ×50= =2.5； 2 20 20
s 丙 2=
=
1 2 2 2 2 2 2 2 2 ［0.1 +0.1 +1.1 ×4+2.1 ×2+3.1 ×3+0.9 ×3+1.9 ×3+2.9 ×2+3.9］ 20
1 ×76.49=3.82。 20
2 2
因为 s 甲 ＜s 丙 。 所以根据计算的结果，我认为甲厂的产品更符合要求。 【设计意图】: 通过例题解析，一是巩固“方差”的计算方法；二是用方差来刻画引例 中的数据离散程度，加深对方差意义的理解。三是会运用“方差”来解决实际问题。 2、学以致用：解决本节开始提出的问题： 请用上面学到的方法，你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？ 【处理方式】：学生分别独立作答，分小组进行讨论，小组之间交流，教师巡视、指导 学生,待学生完成后,让学生说出自己的答案,并解说解题过程。 解：甲、乙仪仗队的平均数为：178cm 甲仪仗队的方差为：
1 2 0 ? (?1) 2 ? 12 ? 12 ? 0 2 ? 0 2 ? (?1) 2 ? 0 2 ? (?1) 2 ? 12 10
?
?
?
1 ? 6 ? 0 .6 ； 10 1 2 0 ? (?1) 2 ? 12 ? (?2) 2 ? 0 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 2 ? (?2) 2 ? 0 2 10
乙仪仗队的方差为：
?
?
??
2 2
1 ? 18 ? 1.8 ； 10
因为 s甲 ? s乙 ，所以甲仪仗队的队员比较整齐。

【设计意图】 : 通过实际问题的解决， 在有趣的问题情境中感知数学与生活的紧密联系， 巩固课堂上所学的知识，基本都能运用所学的知识解决实际问题，收到了较好的教学效果。 四、回顾反思,提炼升华 师：通过这节课的学习，你有哪些收获？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家． 生：畅所欲言，谈收获与感受。 【设计意图】:通过提问方式引导学生小结本节知识及学习活动，养成学习—总结—学 习的良好学习习惯， 发挥自我评价的作用， 理清课堂思路， 进一步培养学生的语言表达能力。 五、达标测试，反馈矫正 师：同学们总结发言都挺积极的，是否达到了本课的学习目标呢？请完成达标检测。 A 组：基础过关 1、人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试，班级平均分和方
2 2 差如下： x甲 ? x乙 ? 80 ， s甲 ? 180 ，则成绩较为稳定的班级是（ ? 240 ， s乙
）
A、甲班
B、乙班
C、两班成绩一样稳定
D、无法确定
2、在样本方差的计算公式 2 ? 1 ?( x ? 20) 2 ? ( x ? 20) 2 ... ? ( x ? 20) 2? 中， 数字 10 表 s 10 ? n 2 ? ? 1 ? 示 ，数字 20 表示 。
3、数据－2，－1，0，1，2 的方差是_________，标准差是_____ 。 4、五个数 1，3，a，5，8，的平均数是 4，则 a =________，这五个数的方差________。 B 组：能力提升
(第 17 题图)
(第 18 题图) 1、某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测
试中，他俩的成绩分别如下表： 1 小王 小李 60 70 2 75 90 3 100 80 4 90 80 5 75 80
根据上表解答下列问题： （1） 完成下表： 姓名 小王 小李 （2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将 80 分以上（含 80 分）的成绩 视为优秀，则小王．小李在这五次测试中的优秀率各是多少？ （3）历届比赛表明，成绩达到 80 分以上（含 80 分）就很可能获奖，成绩达到 90 分以 上（含 90 分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由． 2、一次期中考试中，A、B、C、D、E 五位同学的数学、英语成绩等信息如下表所示： 极差（分） 40 平均成绩（分） 80 中位数（分） 75 众数（分） 75 方差 190

A 数学 英语 71 88
B 72 82
C 69 94
D 68 85
E 70 76
平均分
标准差
2
85
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分与英语成绩的标准差； （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的 计算公式是：标准分=（个人成绩–平均成绩）÷成绩标准差。 从标准分看，标准分大的考试成绩更好。请问 A 同学在本次考试中，数学与英语哪个学 科考得更好？ 【设计意图】: 针对本节课的重点，有目的的设计习题，以检测教学目标达成情况、纠 正错误、 熟练知识， 发现与弥补遗漏， 以达到深化理解所学内容， 同时充分让学生暴露问题， 以便教师能及时地进行查缺补漏。 六、布置作业，落实目标 必做题：课本 P151 选做题：课本 P152 板书设计： §6.4.1 数据的离散程度 一、刻画数据离散 程度的统计量: 1、极差： 2、方差：
1 s 2 ? [( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ......? ( x n ? x ) 2 ] n
习题 6.5 习题 6.5
第 1、2 题 第3 题
三、课堂练习： 四、课堂小结：
3、标准差： 二、例题解析：