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微分几何期末1

1、等距变换一定是保角变换（×）

2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√）

3、二阶微分方程

A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （×）

4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的（×）

5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量（√）

6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ )

7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × )

8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ )

9、LN-M 2不是内蕴量。 ( × )

10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ )

11、曲线→

r =→

r (s)为一般螺线的充要条件为(r ,r ,....r )=0 （√）

12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。（√）

13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。（×） 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。（× ） 15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ( √ )

18、球面曲线的主法线必过球心（×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 20、曲面上的渐进网一定存在. （×）

21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 ( √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 ( × ) 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ )

24、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ( × ) 26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( ╳ )

29、LN-M 2是内蕴量。（ √ ） 30、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网 ( ╳ )

31、保角变换一定是等距变换（?） 32、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. （?） 33、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. （√ ） 34、测地曲率是内蕴量（√ ）

35、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 36、曲面上曲率线网一定存在. ( √ )

37、存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面 ( × ) 38、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 39、曲面上的直线一定是测地线。 ( √ )

1、半径为R 的圆的曲率为1R .

2、曲面的坐标曲线网正交的充要条件是F=0 ,

3、坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是0F M ==.

4、在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足E F G L M N ==

5、使法曲率达到最大值和最小值的方向是主方向方向.

6、向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是

,0r r ?= 。 7、曲线r=r(t)的挠率是,,,,,,,,,2(,,)

()r r r r r τ=? 。

8、曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件L=N=0。 9、直纹曲面的高斯曲率值满足0K ≤。 10、球面上的测地线是大圆。

11、曲线r =r (s)的曲率定义是

..||r 。

12、空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_与一固定方向成定角__。 13、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是M=0。 14、坐标网是渐近线网的充要条件是 L=N=0 。 15、平面上的测地线一定是__直线__。

16、当曲线参数是自然参数时，它的一阶导向量的长度是_1_。

17、螺旋线{}t t t X ,sin ,cos = 在点（1,0,0）处的单位切向量是__

}

220{，，__，法平面方程是__

0=+z y __。

18、设Γ为曲面∑上曲线，点P 在Γ上，Γ在P 点的测地曲率为1，又∑在P 点沿Γ切方向的法曲率为2，则Γ在P 点的曲率为

5 。

19、曲面的第一、二、三基本形式的关系是 20III HII KI -+= 。 20、向量函数()r t 平行于固定平面的充要条件是 21、曲率是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度.

22、以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,抛物点,平点.

23、曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值. 24、曲面的第三基本形式是它的球面表示的第一基本形式.

25、若曲面∑和曲面}2,,{:1y x X =∑

等距，则∑的高斯曲率K= 0 。

26、柱面X }),(),({v u G u F =的第一基本形式为

22,2,2))()((dv du u G u F ++。

27、设Γ若曲面∑上的曲线，若Γ既是渐近线又是测地线，则Γ是直线。

又若曲面上的曲线Γ既是渐近线又是曲率线，则Γ是平面曲线。

28、曲面

{

}v u u uv u u v u X 2

323,2,),(--= 在点A （1，3，4）的切平面方

程是

07236=--+z y x 。

29、曲面上曲线的弧长是____等距___不变量。

30、球极投影给出（除北极外）到平面的一个变换是___保角____变换。 31、圆的曲率和挠率特征为k=大于零的常数__，τ=0_。 32、曲率恒等于0的曲线是____直线_____。

,,,,,,((),(),())0r t r t r t =

33、在曲面上的任意点，主方向的数目总为__2___。

34、已知33

{cos ,sin ,cos2}r x x x = ，

02x π<<，则α=

{3cos ,3sin ,4}5x x -- ，β=

{s i n ,c o s ,x x ，

γ=

1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ，κ= 6

25s i n 2x

35、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v = ，0u >，

02v π≤<，则它的第一基本形式为

222

(36)du u dv

++ ，第二基本形式为

du dv

u -+ ，高

斯曲率K = 22

36(36)u -+ ，平均曲率 H =

0 ，点(1,0,0)

处沿方向

:2du dv =的法曲率 24

1517- ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为

66,

3737-

1、已知空间正则参数曲线

(){cos ,sin ,cos 2}r t t t t = ①求基本向量,,αβγ. ②求()r t 的曲率和挠率

(0)

2t π

答：

,22

{3sin cos ,3sin cos ,2sin 2}r t t t t t =-- ,,2223,,,2332,,

{3cos 6sin cos ,6sin cos 3sin ,4cos 2}{21sin cos 6sin ,6cos 21sin cos ,8sin 2}5sin cos 3

sin 2{cos ,sin ,}

r t t t t t t t r t t t t t t t r t t

r r t t t =-+--=--=?=--,,,

215sin 24r r t

25sin cos k t t

25s i n c o s

t t τ=

sin cos {3cos ,3sin ,4}5sin cos t t t t t t α=--

{c o s ,s i n ,

}

555t t γ=--

sin cos {sin ,cos ,0}

sin cos t t

t t t t

βγα=?=

2、求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0,y =

0y 的交角.

解；曲面的向量表示为r

={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为

={ x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r

={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向

量表示为r ={x , 0y ,ax 0y }，其切向量x r ={1，0，a 0y

}，设两曲线

x = x 0与y =0y 的夹角为?，则有cos ? =

220200211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=?

3.求抛物面

()z a x y =+在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.

解；曲面方程即，

{,,()}r x y a x y =+ ，

{1,0,2}x r ax =

{0,1,2}y r ay = ，{0,0,2}xx r a = ，

{0,0,0},xy r =

{0,0,2}

yy r a = 。

在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .

21EG F -= ，

{0,0,1}n =所以2

κ-4a N

κ+42a =0 ，

两主曲率分别为

1κ = 2 a , 2κ= 2 a

2,0,2L a M N a === ，12

2,2k a k a

所以，高斯曲率2

4K a =平均曲率H=(1/2)*(k1+k2)=2a

4、求曲线 ()(){}

3233,3,3r a t t at a t t =-+

的曲率和挠率：()0a > 解：因为

(

)(

){}3233,3,3r a t t at a t t =-+ ，(

)(

){}22

31,6,31r a t at a t '=-+ ，

{}6,6,6r a t a a t

''=-

，()(){}

22222

181,36,181r r a t a t a t '''?=--+ ，

()

2321r a t

'=+

，

()

221821r r a t ''?=+

，

{}

6,0,6r a a '''=-

，

(

)

3,,216r r r a

''''''= ，

所以

()

2131k a t

+，

()

2131a t

τ=

5.确定螺旋面

{}

cos ,sin ,r u v u v cv =

上的曲率线。

解对于正螺面

{}

cos ,sin ,r u v u v cv =

，

222

1,0,,0,,0.

E F G u c c L M N u c

===+-==

曲率线的方程为22222

0dv dudv du u c c u c

- 1 0 +=-0

+ ，

化简得

()22220

du u c dv -++=，

即

u c

=±+。积分得

22ln u u c v c

++=±+。

所求曲率线为

221ln u u c v c +++=，

222

ln u u c v c ++-=。

6.已知曲面的第一基本形式为

()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的

测地曲率.

解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E = u-线的测地曲率

22u v g E E G v v κ=-=-

v-线的测地曲率

u g G G E

κ=

7、求曲面33

z x y =-的渐近曲线.

{,,}r u v u v =- 2{1,0,3}u

r u = 2{0,1,3}v r v =- 22441{3,3,1}||991u v

u v r r n u v r r u v ?==-?++

{0,0,6}uu r u = 0uv r =

{0,0,6}

vv r v =-

446991uu u

L n r u v =?=

++ 0uv M n r =?=

446991vv v N n r u v -=?=

又

20Ldu Mdu dv Ndv ++=

∴22

udu vdv =

0u d u

v d v ±=

∴3

1u v C =+ 332

2()u v C -=+

8、求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t

e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、

切线、主法线、副法线。解；原点对应t=0 ,

'r (0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t

t e 0}=t ={0,1,1}， =)0(''r {2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t

t e 0}=t ={2,0,2} ，所以切线方程是 110

z y x =

= ，法面方程是 y + z = 0 ；密切平面方程是

110

z y x =0 ，即x+y-z=0 ，

主法线的方程是???=+=-+00z y z y x 即112

z y x =-= ；

从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111

-==z

y x

9、求曲面2

xy z =的渐近线.

解：曲面的向量表示为

},,{2

xy y x r = ,

},,0,1{2

y r x + }

0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r ,

222

4241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===?=++===

224

22412,412,0y y x x N y y x y M L ++=

++=

渐近线的微分方程为2

22Ndy Mdxdy Ldx ++,即

,0242=+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即

1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy , 即

.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==.

10、求曲面

}

2),(2),(2{uv

v u b v u a r +-= 上的曲率线的方程. 解 ,

0,4,4,422222222=++=++-=++=L u b a G uv b a F v b a E

F E

G ab

-,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: 积分得,)()(22222222du v b a dv u b a ++=++:

c v b a v u b a u ++++±=+++)ln()ln(222222 .

11、将圆柱螺线r

={acost ，asint ，bt}化为自然参数表示。

解 'r = { -a,asintcost,b }，s =

b a dt r t

220

|'|+=?

，

所以22b a s

t +=

，代入原方程

得

={a cos

2b a s +, a

sin

22b a s

22b a bs +}

12、求双曲面z=axy 上的曲率线.

解：

1,0,1,,12

222222y

a x a a M L x a G y x a F y a E ++=

=+==+=，

N=0 . 由

112

222

2222

y a x a a x a y x a x a dx dxdy dy ++++-=0

得2

22222)1()1(dy x a dx y a +=+,

积分得两族曲率线为

y a ay x a ax +++±=++)1ln()1ln(2222.

13、求第一基本形式为2222

()du dv

ds u v c +=++的曲面高斯曲率。

证：因为222

,0()E G F u v c ===++ ，所以

()()1

[()()]

u v u v G E K EG E G =-+=

-()2222

2222222()2()[]()()v c u u c v u v c u v c u v c -+--+-+++++++=4c

14、求曲线x=1+3t+22

t ,y=2-2t+52t ,z=1-2

t 的挠率，并求出它所

在的平面方程。

证 'r ={3+4t, -２+10t,-2t}， ''r

={4，10，-２}，

'''r

＝｛０，0，0｝

曲线的挠率是0

)'''()''','','(2=?=r r r r r τ，所以曲线为平面曲线。曲线所在平

面是曲线在任一点的密切平面。对于ｔ=0,有

=｛１,２,１｝，'r ={3, -２,0}，

''r

={4，10，-２}， '''r ＝｛０，0，0｝。

所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是0

104

023

121=-----z y x

即2x+3y+19z –27＝0．

15、求三次曲线

},,{32ct bt at r = 在点0t 的切线和法平面。解 }3,2,{)('2000ct bt a t r = ，切线为203

020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-，

法平面为 0

)(3)(2)(3

0202000=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。

16、计算抛物面在原点的2

221213

2452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式. 解曲面的向量表示为}

225,,{22212121x x x x x x r ++= ,

}

0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x

}

0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x

}5,0,0{1

1=x x r ,}2,0,0{21=x x r ,

}

2,0,0{2

2=x x r

E = 1,

F = 0 ,

G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,

I=2221

dx dx +, II=222121245dx dx dx dx ++ 17、求出抛物面)

(21

22by ax z +=在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.

}0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}

0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y

},0,0{a r xx =

}0,0,0{=xy r ，

}

,0,0{b r yy = ,

E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b ,沿方向dx:dy 的法曲率

222dy dx bdy adx k n

++=

18、求正交网的坐标曲线的测地曲率。解：因为坐标网是正交的，所以F=0，故

1ln 1ln cos sin 22g d E G k ds v u G E θθθ

??=-+??，

而对u-曲线来说，θ

=0，故

1ln 2gu E

k v G ?=-

?，

对v-曲线来说，θ=

222

n g κκκ=+2π ，所以1ln 2gv G k u E ?=?

19、在xoz 平面上去圆周y = 0,

)()(2

22a b a z b x =+-,并令其绕轴旋转的圆环面,参数方程为 r

={(b+acos ?)cos ?, (b+acos ?)sin ?,

asin ?},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。

解：E =2a , F= 0 , G=2

)cos (?a b +,

L = a, M = 0, N = cos ?(b+acos ?),

LN -2M =a cos ?(b+acos ?) , 由于b > a > 0 , b+acos ? > 0,

所以LN -2

M 的符号与cos ?的符号一致,当0≤?<2π

和 23π

时, LN -2

M >0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；

当-2π

3π，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当

?=2π

或 23π

时，LN -2M =0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点

为抛物点。

20、求球面r =}

sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线

方程。

解：

{sin cos ,sin sin ,cos }

r a a a ??φ?φ?=--

，

=}0,cos cos ,sin cos {????a a -

任意点的切平面方程为

cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------?

???????????a a a a a a z a y a x

即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为

????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=

-=-

21、设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u +

v = 0 ,u –v = 0的交角。

解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E

，0=v F ，

22a u G +=，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,

交点处的第一类基本量为1=E ，0

=v F ，2

a G =。曲线u + v = 0的方向

为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为?，则有

cos ?=

22222

211a a v G u E Gdv Edu u

Gdv u Edu +-=

+++δδδδ 。

22、求曲线

2,3a

xz y a x ==在平面3a y = 与y = 9a 之间的弧长。

解：曲线的向量表示为r ＝}

2,3,{2

23x a a x x ，曲面与两平面

y = 与y = 9a

的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝

}

2,,1{22

22x a a x -，｜'r

｜＝4

4441x a a x +

+＝

222x a a x +，所求弧长为

a dx x a a x s a a

9)2(22

322=+=?

23、求正螺面r

={ucosv,usinv,av}上的测地线。

解：易计算出E=1，F=0，G=22a u +，所以测地线的微分方程化为

222

1,d u dv tg tg du a u du

a u

θθθ

=-=++，

对第一式积分得22

sin a u h θ+=（常数）。于是

222

h tg a u h θ=

+-，将

此式代入第二式并积分，则得所求测地线为

22222()()

v h a u u a h =++-?

24、在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α

的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

解： 'r

= {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r

={ -cos αcost,- cos αsint , 0 }

??=|'''|'''r r r r

γ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }

新曲线的方程为 r

={ cos cost + sin αsint α ，cos αsint- sin αcost ，

tsin α + cos α } 对于新曲线 'r

={-cos αsint+sin αcost ，cos αcost+ sin αsint ，sin α }={sin(α-t),cos(α-t),sin α} , ''r

={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是

)

sin()

cos(sin )cos()sin(sin sin cos cos cos =--------t a t a a t a t a a t z t a y t a x

25、求曲线

????=3231,21,t t t X 的曲率k 和挠率τ。

解：因为

???

???=3231,21,t t t X ，{

,,,1t t X = ，

{}

t X 2,1,0,

,= ，{}

2,0,0,,,=X ，

3,,,,||||X X X k ?==23242

124)1()14(++++t t t t 12)

(),,(2

42,,,,,,,,,++=?=t t X X X X X τ

26、求曲线)(s Y Y

=的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。

解：设曲线

)(s Y Y

=（s 为弧长参数）的切线曲面为

)()(s v s Y X α

+=，

则有

βα

vk X s +=，α

=v X

γτβα vk vk k vk X ss +++-=)(.

2，

β k X st =，

=vv X

E=1+2

2k v ，F=1，G=1，L=,τvk -M=0 ，N=0

vk k k τ

==21,0 , H =vk 2τ

曲率线方程为

1112

2τ

vk k v ds dsdv dv -+-=0，即s=常数，或v=-s+c

27、求曲面

????+++=v u u uv u v u X 24

3232,2,31 高斯曲率。解：

{}

233

4122,6,4,,,433

342,12,12340,1,430,0,0u v uu uv vv X u u v u u v X u u u X u u v X u u X ????=++=+????

????????=+??

???

???=+??

可得K=0

28、求曲面

33z x y =-的渐近曲线.

解设

33{,,}r u v u v =- 则 2

{1,0,3}u r u = ，2{0,1,3}v r v =- ，

22441{3,3,1}||991

u v

u v r r n u v r r u v ?==-?++

{0,0,6}uu r u =

，0uv r = ，{0,0,6}vv r v =-

446991

uu u L n r u v =?=

++ ，0uv M n r =?=

，

6991

vv v N n r u v -=?=

因渐近曲线的微分方程为

2220Ldu Mdu dv Ndv ++=

即22udu vdv =或0udu vdv ±=

∴

渐近曲线为3

322

1u v C =+或 3322

2()u v C -=+

1、证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.

证：由H=

1κκ+=0有1κ=2κ=0或1κ=-2κ≠0 .

若1κ=2κ=0,则沿任意方向?,?κ?κ?κ2

221sin cos )(+=n

=0 , 即对于任意的du:dv , 0222

2=++++==Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n ,

所以有L=M=N=0,对应的点为平点. 若

1κ=-2κ≠0,则K=1κ2κ<0 ,即LN-M

<0,对应的点为双曲点.

2、证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。

证：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝

)(t r

，则曲线在任意点

的切线方程是)(')(t r t r

λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以

)(')(t r t r λ=，可见r ∥'r ，所以r 具有固定方向，故r ＝

)(t r 是直线 3、证明曲面r =}

32,2,31{24

v u u uv u v u +++是可展曲面.

证：已知曲面方程可改写为r =}

,2,{432u u u +v }32,,31{2

u u ，

令()a u r =},2,{432u u u ，()b u r =}32,,31{2

u u ，则r =

()a u r + v ()b u r ，

且

()b u r

≠0，这是直纹面的方程，它满足 (',,')a b b r r

r =23

264123

340

3u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面。

4、证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.

证；若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的G —C —M 公式，但

()()1[()()]01

u v u v G E LN M EG EG E G --+=≠=-，

所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面。

5、证明曲面r

={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展

曲面。

证：曲面的方程可改写为 r =

()a v r + u ()b v r ，其中

()a v r

={cosv-vsinv,sinv+vcosv,2v}，

()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r

≠0，所以曲面为直纹面，

又因为

(',,')a b b r r r =

2sin cos 2cos sin 2

sin cos 1cos sin 0

v v v v v v v v v

------=0，

所以所给曲面为可展曲面

6、证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证；曲面上的给定点处两主曲率分别为1κ 、2κ，任给一方向?及与其正交的

方向?+

2π

，则这两方向的法曲率分别为?κ?κ?κ2

221sin cos )(+=n

， ?

κ?κπ?κπ?κπ?κ22212221cos sin )2(sin )2(cos )2(+=+++=+n

即+)(?κn 21)2(κκπ?κ+=+n 为常数。

7、证明挠曲线(

0τ≠的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.

(,)()()s v r s v s ρβ=+ ,,(,,)(,,)r k ββαβατγτ=-+=

0τ≠

,,(,,)0r ββ≠

8、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e ，那么这曲线是直线或平面曲

线.

证：设所给的常向量为0e ≠ ，则e α⊥

。所以0e α=

，两边对s 求微商得0e α=

，即0k e β= 。若0k =，则曲线是直线。

若

0e β= ，则e β⊥ ，于是0e β=

， (

)

0,0

k e k e e ατγατγ-+=-+= ，

由于0e α=

，所以有0e τγ= 。由

,e e αβ⊥⊥

可知e γ ，从而0e γ≠ ，所以0τ=，即曲线为平面直线 9、设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线

平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。

证设曲线Γ：r =

)(s r

与Γ：)(s r r =点s 与s 一一对应，且对应点的切线平行，则)(s α

=)(s α ±, 两端对s 求微商得

ds s d αα ±=, 即ds s

d s k s k )()(ββ ±= ，(这里k ≠0，若k=||α =0，则

β 无定义)，所以β ∥

，

即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。

10、设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一对应，

且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.

解；设

:()r r s Γ= :()r r s **

Γ= 则由//ββ* 知 ββ*=±

从而0αβ*?= 0αβ*?= ，()

0d ds ds ds αακβακαβ*

****?=?+?=

∴

constant

αα*?=

即

cos ,C αα*

这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则

微分几何试题库

微分几何一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率

微分几何期末复习题

微分几何复习题一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量为。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为。 8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面是曲线在P 点的。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方程是。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方程是。 11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线方程是。 14. 曲线的主法向量的正向总是指向。 15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是。 19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是。 20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为。

微分几何期终试题

《微分几何》期终考试题（A）班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(<

二、单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的【】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是【】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的【】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是【】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是【】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是【】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是【】 k g k n k

微分几何课程大纲

《微分几何》课程大纲一、课程简介教学目标：经典曲线曲面论、少量的整体微分几何与二维内蕴几何学主要内容：（见教学内容）二、教学内容第一章曲线的局部理论主要内容：平面曲线与空间曲线的曲率、空间曲线的绕率、Frenet标架、曲线论基本定理、n维空间的推广重点与难点：空间曲线的绕率、曲线论基本定理第二章曲线的整体几何主要内容：旋转数，旋转指标定理、凸曲线重点与难点：旋转指标定理及其应用第三章曲面的局部理论（外在形式）主要内容：第一基本形式、第二基本形式、主曲率、高斯曲率、平均曲率、结构方程重点与难点：结构方程与曲面论基本定理第四章曲面的局部理论（内在形式）主要内容：向量场、共变导数、平行移动、测地线重点与难点：共变导数和平行移动第五章二维黎曼几何主要内容：局部黎曼几何、切丛、指数映射、测地极坐标、Jacobi场、流形重点与难点：指数映射和Jacobi场第六章曲面的整体几何主要内容：Gauss-Bonnet定理、完备性、共轭点和曲率、闭测地线和基本群重点与难点：Gauss-Bonnet定理和共轭点三、教学进度安排（抱歉这个目前还安排不了）可以参照以下表格形式教学内容教学形式作业第一周第二周

四、课程考核及说明平时成绩与口试相结合的方式。平时20%，口试80%。五、教材与参考书 Wilhelm Klingenberg， A Course in Differential Geometry Manfredo P.Do Carmo，Differential Geometry of Curves and Surfaces 陈维桓，微分几何

微分几何试题库

二.单项选择题 1.0()P t 就是曲线r r =()r t r 上一点,1P 就是曲线上P 点附近的一点,S ?为弧?1PP 的长,??为曲线在P 点与1P 点的切向量的夹角,k(s) 就是曲线在P 点的曲率。则下面不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2.曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率 k(s),挠率为()s τ,则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则γr &= 、 ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4、曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则下式不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ α r &βr ④ γr &βr 6.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。则下式不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr

伟人简介：数学家高斯

高斯卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月 30日—1855年2月 23日），生于布伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在哥廷根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。生平事迹少年时期高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁、工头、商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和为（1＋100，2＋99，3＋98……），同时得到结果：5050。这一年，高斯9岁。但是根据更为精细的数学史书记载，高斯所解的并不止1加到100那么简单，而是81297+81495+......+100899（公差198，项数100）的一个等差数列。当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学。他导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题本科第一部分:练习题库及答案一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (－1,－1,-1)、 3、过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z ＝０ 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5、计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k 、 6、设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9、已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 1０.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11、已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12、已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13、曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 1４、曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15、曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

12-13(二)微分几何期末复习题

一，填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是圆柱螺线。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。

福师《微分几何》期末复习题

(单选题)1.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项正确答案: C (单选题)2.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项正确答案: B (单选题)3.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项正确答案: C (单选题)4.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项正确答案: D (单选题)5.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项正确答案: D (单选题)6.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项

D: 选择图中D选项正确答案: D (单选题)7.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项正确答案: C (单选题)8.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项正确答案: C (单选题)9.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项正确答案: D (单选题)10.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项正确答案: A (单选题)11.高斯曲率为零的曲面称为（）A: 极小曲面 B: 球面 C: 常高斯曲率曲面 D: 平面正确答案: A

(单选题)12.对于空间曲线C，挠率为零是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件 B: 必要不充分条件 C: 既不充分又不必要条件 D: 充要条件正确答案: B (单选题)13.对于曲线，曲率恒等于0是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件 B: 必要不充分条件 C: 既不充分又不必要条件 D: 充要条件正确答案: D (单选题)14.球面上的大圆不可能是球面上的（） A: 测地线 B: 曲率线 C: 法截线 D: 渐近线正确答案: D (单选题)15.曲线在每一点的主方向（） A: 至少两个 B: 只有一个 C: 只有两个 D: 可能没有正确答案: A (单选题)16.曲线C是一般螺线，以下命题不正确的是（）A: 切线与固定方向成固定角 B: 副法线与固定方向成固定角 C: 主法线与固定方向垂直 D: 副法线与固定方向垂直正确答案: D (单选题)17.题面见图片： A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明：设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数），其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ，其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。证明易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -，而1sin cos dv ds a u θθ ==，故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-，并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。证明设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

(整理)大学数学专业微分几何复习题

一、填空题：（每小题2分） ⒈ 向量{}(),3,r t t t a =v 具有固定方向，则a =_______________。 ⒉ 非零向量()r t v 满足(),,0r r r '''=v v v 的充要条件是__________________。 ⒊ 设曲线在P 点的切向量为αu r ，主法向量为βu r ，则过P 由,αβu r u r 确定的平面是曲线在P 点的_______________________。 ⒋ 曲线()r r t =v v 在点0()r t v 的单位切向量是αu r ，则曲线在0()r t v 点的法平面方程是__________________________。 ⒌ 曲线()r r t =v v 在t = 1点处有2γβ=r v &，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ=___________________。 ⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ?θ?θψ=v 中，____________________ 是旋转曲面的经线。 ⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。 ⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =v ______________________。 11、向量函数()r r t =r r 使(,,)0r r r '''=r r r 的充要条件是()r r t =r r 。 12、若0()r t r 是曲线()r r t =r r 的正则点，则曲线()r r t =r r 在0()r t r 的密切平面方程是。 13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。 15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是 16、已知曲面(,)r r u v =r r 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂直的充要条件是。 17、对曲面(,)r r u v =r r 有22243dr du dv =+r ，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0 t 到t （t >0t ）的弧长s = 。 18、若曲面(,)r r u v =r r 在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在（0，1）点处，u u r n ?=r r 。其中n r 为曲面的单位法向量。 19、已知曲面(,)r r u v =r r 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分方程是。 20、若曲面(,)r r u v =r r 的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

《微分几何》教学大纲

《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303 适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4 一、课程的性质、目的与任务等。 1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。 2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。 3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对

空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。教学内容：第一节向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商 1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式 1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念 2.1 曲线的概念 2.2 光滑曲线、曲线的正常点 2.3 曲线的切线和法面 2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线考核要求： 1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题本科第一部分:练习题库及答案一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

[论文]微分几何简介

[论文]微分几何简介微分几何学历史简介清华大学周坚我们借用杨振宁先生的以下诗句来开始对几何学的一个简介: 天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。最后一句诗提到了五位伟大的几何学家: Euclid, Gauss, Riemann, Cartan, 和陈省身。其中，Euclid为古希腊人，Gauss和Riemann为十九世纪德国人，Cartan为二十世纪法国人。陈省身先生二十世纪三十年代在清华大学数学系读硕士，抗日战争中在西南联大任教授，现定居于南开大学。下文参考了他写的“九十初度说数学”。几何是geometry的音译。其词头geo是“土地”的意思,词尾metry是“测量学”的意思, 合起来是“土地测量学”的意思。这反映了几何学起源于实际问题。 Euclid写了一本书“Elements”,中文译名为“几何原本”，内容包含平面几何学、空间几何学和数论，总结了古希腊的很多数学知识，可能是从古至今影响最大的科学著作。中学课本中的平面几何学内容大都来源于“Elements”, 从中可以学到古希腊人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法。Einstein认为一个人如果在年轻时对平面几何从没产生过兴趣的话，恐怕很难在科学上做出重要发现。几何学的下一个进展由哲学家 Descarte取得，据说他身体不好，经常需要卧床休息，有一次看到在墙角织网的蜘蛛，受启发引进了坐标的概念。由此产生了解析几何学，使得代数方法可以在几何问题中应用。例如，圆周、椭圆、双曲线、抛物线等古希腊人即开始研究的几何对象有很简单的代数描述。

解析几何学促进了微积分的诞生。由Newton和Leibnitz创立的这门学问在现代科学中的重要性是不用赘述的。将微积分应用于几何问题的研究就是所谓微分几何。最初研究的是三维空间中的曲线、曲面。Gauss于1827年写了一本50页左右的小书，研究曲面的微分几何，包括大学学的微分几何的主要内容。这本书标志着微分几何学的诞生。Gauss当时主持一项土地测量的的项目，他写这本是为了给这项工作一个理论基础。Gauss也是非欧几何学(non-Euclidean geometry) 的创始人之一。需要指出的是Gauss工作的主要领域是数论。同Gauss一样，Riemann工作的主要领域也不是几何学，而是单复变函数，但他是现代微分几何与解析数论的创始人。在他为取得大学教授资格的公开讲演中，Riemann提出了微分几何学发展的新思想，其中包括流形、Riemann度量、Riemann曲率等重要概念。简单的说，就是用局部坐标和坐标变换来描述一个空间，用Riemann度量做最基本的几何量，空间的几何性质如弯曲程度由度量用特定方式决定。 Riemann的工作由Christoffel、Ricci、Levi-Civita等人发展，后来成为Einstein创立的广义相对论的数学基础。简单的说，广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述:不同的参照系给出不同的局部坐标;不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说:时空的物理量(能量动量张量)等于时空的几何量(Ricci曲率张量)。 Einstein的工作激发了数学家对微分几何的兴趣，从而极大地促进了这门学科的发展。数学家和物理学家当时关心的自然的问题是Maxwell的电磁理论的几何化和引力理论与电磁理论的统一。Einstein后期致力于大统一理论的研究没有取得有意义的进展，一个重要的原因可能是他没有利用广义相对论出现以后发展的几何学。数学家Hilbert、Weyl和Cartan都对以上问题做过研究。他们的工作突出了流形上联络

整体微分几何 - 浙江大学数学系

整体微分几何简介课程号：06191440 课程名称：整体微分几何英文名称：Global Differential Geometry 周学时：3-0 学分：3 预修要求：微分几何（局部理论）内容简介：《整体微分几何》主要介绍曲线与曲面的大范围整体几何性质，包括某些拓扑性质。内容分四章：第一章介绍活动标架法，它是研究整体微分几何和几何分析的有力工具。第二章介绍3维欧氏空间中闭曲线的整体微分几何性质。第三章介绍3维欧氏空间中曲面的整体微分几何性质。第四章介绍曲面的内蕴几何。通过本课程学习，使学生掌握整体微分几何的基本概念和重要思想方法，了解数学各方向之间相互交织、相互渗透的现代数学概貌。选用教材或参考书：《整体微分几何初步》沈一兵编着浙江大学（原杭州大学）出版社 1998

《整体微分几何》教学大纲一、课程的教学目的和基本要求随着现代数学的发展，整体微分几何已成为核心数学的一个重要组成部分。为了使数学专业的大学生具备较高的数学素质，有必要让他们了解这方面的基本内容和思想方法。通过对《整体微分几何》的学习，使学生初步掌握整体微分几何的基本概念和重要思想方法，学会简单的外微分计算和活动标架法，了解有关整体曲线和整体曲面的著名定理和重要公式，以及它们的证明主要思路。要求学生通过本课程学习，了解数学各方向之间相互交织、相互渗透的现代数学概貌，为今后进一步深造打下扎实基础。二、相关教学环节安排 1．采用课堂讲授和课外作业，强调启发式教学。 2．每周讲课3学时。每周布置作业，作业量1-2学时。主要针对基本概念和解问题的思路。三、课程主要内容及学时分配（打▲号为重点讲授部分）每周3学时，共17周。主要内容：（一）外微分与活动标架法10学时1．幺正标架3学时 2．外微分形式▲3学时 3．可积系统2学时 4．曲面论的活动标架法2学时（二）曲线的整体微分几何 14 学时1．平面曲线的某些整体性质▲ 7学时 2．空间曲线的某些整体性质▲ 7学时

微分几何期末1

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

微分几何试题库

微分几何期末复习题

微分几何期终试题

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伟人简介：数学家高斯

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12-13(二)微分几何期末复习题

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