∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln (2a ))上单调递减，在(ln (2a )，＋∞)上单调递增，
∴f (x )有2个极值点．
综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点； 当a >0且a ≠1
2时，f (x )有2个极值点；
当a ＝1
2
时，f (x )没有极值点．
(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2
－x ≥0. 当x >0时，e x －x 2
－ax －1≥0， 即a ≤e x
－x 2
－1x
对任意的x >0恒成立．
设g (x )＝e x －x 2－1x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x
－x －1)x
2
. 设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x
－1.
∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x
>x ＋1，
∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e－2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．
高难拉分攻坚特训(二)
1．已知数列{a n }满足a 1>0，a 11＝4，a n ＋1＝a n ＋12
a 2
n ，数列{b n }满足b n >0，b 1＝a 12，b n ＝b n ＋1
＋12b 2n ＋1，n ∈N *
.若存在正整数m ，n (m ≤n )，使得b m ＋b n ＝14，则( ) A ．m ＝10，n ＝12 B ．m ＝9，n ＝11 C ．m ＝4，n ＝6 D ．m ＝1，n ＝3
答案 D
解析 因为a n ＋1＝a n ＋12a 2n ，b n ＝b n ＋1＋12
b 2
n ＋1，则有a n ＋1>a n >…>a 1>0，b 1>b 2>…>b n >0，且函数
y ＝12x 2＋x 在(0，＋∞)上单调递增，故有b 1＝a 12＝b 2＋12b 22＝a 11＋12
a 2
11，得b 2＝a 11＝4，同理有
b 3＝a 10＝2，…，b m ＝a 13－m ，又因为a 12＝a 11＋1
2
a 211＝12，故
b m ＋b n ＝a 10＋a 12，所以m ＝1，n ＝3.
故选D.
2．已知f (x )＝
ax x 2
＋c
＋b ，g (x )＝[f (x )]2
－1，其中a ≠0，c >0，则下列判断正确的是
________．(写出所有正确结论的序号)
①f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称； ②f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③存在M >0，使|f (x )|≤M ； ④若g (x )有零点，则b ＝0；
⑤g (x )＝0的解集可能为{1，－1,2，－2}． 答案 ①③⑤ 解析 令y ＝
ax
x 2
＋c
(a ≠0)，则该函数的定义域为R ，且函数为奇函数，故其图象关于原点
(0,0)对称．又函数y ＝f (x )的图象是由y ＝
ax
x 2
＋c
(a ≠0)的图象向上或向下平移|b |个单位而得
到的，所以函数y ＝f (x )图象的对称中心为(0，b )，故①正确．
当x >0时，y ＝
ax
x 2
＋c
＝
a
x ＋c
x
，若a >0，c >0，则函数y ＝x ＋c x
在(0，c )上单调递减，所以
函数y ＝f (x )单调递增；函数y ＝x ＋c x
在(c ，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝f (x )单调递减，故②不正确．
令y ＝
ax
x 2
＋c
(a ≠0)，则当x ＝0时，y ＝0，f (x )＝b ，|f (x )|＝|b |，令M ＝|b |＋1>0，则
|f (x )|≤M 成立；当x ≠0时，y ＝
ax
x 2
＋c ＝
a
x ＋c x
，则|y |＝|a ||x |＋????
?
?c x ≤|a |2|c |＝|a |
2c .所以|f (x )|
＝??
????ax x 2＋c ＋b ≤?????
?ax x 2＋c ＋|b |≤|a |2c ＋|b |，令M ＝|a |2c
＋|b |，则|f (x )|≤M 成立，故③正确．
若g (x )有零点，则g (x )＝[f (x )]2
－1＝0，得f (x )＝±1，从而得
ax
x 2
＋c
＋b ＝±1，故
ax
x 2
＋c
＝－b ±1，结合③可得当g (x )有零点时，只需|－b ±1|≤|a |2c 即可，而b 不一定为零，故④
不正确．
由g (x )＝[f (x )]2
－1＝0，得f (x )＝
ax
x 2
＋c
＋b ＝±1.取b ＝0，
ax
x 2
＋c
＝1，整理得x 2
－ax ＋
c ＝0.当a ＝3，c ＝2时，方程x 2
－3x ＋2＝0的两根为x ＝1或x ＝2.又函数y ＝
ax
x 2
＋c
为奇函数，
故方程的解集为{1，－1,2，－2}，故⑤正确．
综上可得①③⑤正确．
3．在直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆O 1：x 2
＋2x ＋y 2
＝0外切，同时与圆O 2：x 2
＋y 2
－2x －24＝0内切．
(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；
(2)设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设A ，P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为
B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交x 轴于点S ，T ，证明：|OS |·|OT |为定值．
解 (1)∵圆O 1：x 2
＋2x ＋y 2
＝0，∴圆心O 1(－1,0)，半径为1. ∵圆O 2：x 2
＋y 2
－2x －24＝0，∴圆心O 2(1,0)，半径为5. 设动圆圆心M (x ，y )，半径为R ， ∵圆M 与圆O 1外切，∴|MO 1|＝R ＋1， ∵圆M 与圆O 2内切，∴|MO 2|＝5－R ， 两式相加得：|MO 1|＋|MO 2|＝6>|O 1O 2|， 由椭圆定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝6，∴a ＝3，∵c ＝1，∴b ＝2 2. ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 29＋y 2
8
＝1.
(2)证明：设P (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，S (x S,0)，T (x T,0) ∴B (x 2，－y 2)且x 1≠±x 2. ∵k AP ＝
y 1－y 2
x 1－x 2
，∴l AP ：y －y 1＝k AP (x －x 1)， y －y 1＝y 1－y 2
x 1－x 2
(x －x 1)，
令y ＝0得x S ＝x 1y 2－x 2y 1
y 2－y 1
；
同理得，x T ＝
x 1y 2＋x 2y 1
y 2＋y 1
.
∵|OS |·|OT |＝|x S ·x T |＝????
??x 21y 2
2－x 22y 2
1y 22－y 21， 又∵P ，A 在椭圆上，∴y 2
1
＝8? ????1－x 2
19，y 22＝8? ??
??1－x 2
29， ∴y 2
2
－y 21
＝89(x 21－x 22)，∴x 21y 22－x 22y 21＝8x 21? ????1－x 229－8x 22? ??
??1－x 2
19＝8(x 21－x 2
2)，
∴|OS |·|OT |＝??????x 21y 2
2－x 22y 21y 22
－y 21
＝?????
?
??8(x 21－x 2
2)89(x 21－x 2
2)＝9.
4．已知函数f (x )＝x e
x －1
－a (x ＋ln x )，a ∈R .
(1)若f (x )存在极小值，求实数a 的取值范围；
(2)设x 0是f (x )的极小值点，且f (x 0)≥0，证明：f (x 0)≥2(x 2
0－x 3
0)． 解 (1)f ′(x )＝x ＋1x
(x e x －1
－a )(x >0)． 令g (x )＝x e
x －1
－a ，则g ′(x )＝(x ＋1)e x －1
>0，
所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数． 又因为当x →0时，g (x )→－a ； 当x →＋∞时，g (x )→＋∞.
所以，当a ≤0时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，不存在极值点；
当a >0时，g (x )的值域为(－a ，＋∞)，必存在x 0>0使g (x 0)＝0. 所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 所以f (x )存在极小值点．
综上可知，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．
高难拉分攻坚特训(三)
1．若函数f (x )＝ax －x 2
－ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln 2，则a 的取值范围为( )
A ．[2，＋∞)
B ．[22，＋∞)
C ．[23，＋∞)
D ．[4，＋∞)
答案 C
解析 f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2
－ax ＋1
x
，因为f (x )存在极值，所以f ′(x )＝0在(0，
＋∞)上有根，即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a 2
－8≥0，显然当Δ＝0时，
f (x )无极值，不符合题意，所以Δ＝a 2－8>0，即a >22或a <－2 2.记方程2x 2－ax ＋1＝0
的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝12，x 1＋x 2＝a
2，易知a >0，则f (x 1)，f (x 2)为f (x )
的极值，所以f (x 1)＋f (x 2)＝(ax 1－x 2
1－ln x 1)＋(ax 2－x 2
2－ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 2
1＋x 2
2)－(ln x 1
＋ln x 2)＝a 22
－? ??
??a 2
4
－1＋ln 2≥4＋ln 2，所以a ≥2 3.综上，a 的取值范围为[23，＋∞)，
选C.
2．A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为
3
2
，C 是劣弧AB ︵
(包含端点)上一动点，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围为________．
答案 ?
?????1，233
解析 如图，以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，∵A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为
32，∴点A ? ??
??－1
2，32，点B ? ????12，32，∴OA →＝? ????－12，32，OB →＝? ????12，32，即λOA →＝? ????－λ2，3λ2，μOB →＝? ????μ
2，3μ2，
∴OC →＝λOA →＋μOB →＝? ????μ－λ
2，3(λ＋μ)2，又∵C 是劣弧AB ︵
(包含端点)上一动点，设点C
坐标为(x ，y )，则???
??
－12≤x ≤1
2
，32≤y ≤1，∵OC →＝? ??
??μ－λ
2，3(λ＋μ)2＝(x ，y )，∴32≤y ＝
3(λ＋μ)
2
≤1，
解得1≤λ＋μ≤233，故λ＋μ的取值范围为?
?????
1，233.
3．已知圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＝0，圆P 在y 轴的右侧且与y 轴相切，与圆C 外切． (1)求圆心P 的轨迹Γ的方程；
(2)过点M (2,0)，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与Γ交于A ，B 两点，点N 与点M 关于y 轴对称，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数m ，使得1k 21＋1k 22－m
k
2为定值？若存在，
求出该常数m 与定值；若不存在，请说明理由．
解 (1)圆C 的方程可化为(x －1)2
＋y 2
＝1， 则圆心C (1,0)，半径r ＝1.
设圆心P 的坐标为(x ，y )(x >0)，圆P 的半径为R ，
由题意可得???
??
R ＝x ，
R ＋1＝|PC |，
所以|PC |＝x ＋1，即(x －1)2
＋y 2
＝x ＋1，整理得y 2
＝4x . 所以圆心P 的轨迹Γ的方程为y 2
＝4x (x >0)．
(2)由已知，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，不妨设t ＝1
k
，
则直线l 的方程为y ＝1
t
(x －2)，即x ＝ty ＋2.
联立，得???
?
?
y 2
＝4x ，x ＝ty ＋2，
消去x ，得y 2
－4ty －8＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则?
??
??
y 1＋y 2＝4t ，
y 1y 2＝－8.
因为点M (2,0)与点N 关于y 轴对称，所以N (－2,0)， 故k 1＝
y 1
x 1＋2，所以1k 1＝x 1＋2y 1＝ty 1＋2＋2y 1＝t ＋4
y 1
， 同理，得1k 2＝t ＋4
y 2
，
所以1k 21＋1k 22－m k
2＝? ?
???t ＋4y 12＋? ??
??t ＋4y 22－m k
2
＝2t 2＋8t ×? ??
??1y 1＋1y 2＋16×? ??
??1y 21＋1y 22－mt 2
＝2t 2
＋8t ×y 1＋y 2y 1y 2＋16×(y 1＋y 2)2
－2y 1y 2(y 1y 2)
2
－mt 2
＝2t 2
＋8t ×4t －8＋16×(4t )2
－2×(－8)(－8)
2
－mt 2
＝2t 2＋4－mt 2＝(2－m )t 2
＋4，
要使该式为定值，则需2－m ＝0，即m ＝2，此时定值为4. 所以存在常数m ＝2，使得1k 21＋1k 22－m
k
2为定值，且定值为4.
4．已知函数f (x )＝x －a (ln x )2
，a ∈R .
(1)当a ＝1，x >1时，试比较f (x )与1的大小，并说明理由； (2)若f (x )有极大值，求实数a 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝x 0处有极大值，证明：12.
解 (1)当a ＝1，x >1时，f (x )＝x －(ln x )2
，x >1.
f ′(x )＝1－2(ln x )·1
x
＝
x －2ln x
x
. 令g (x )＝x －2ln x ，x >1，则g ′(x )＝1－2x
＝x －2
x
， 当x ∈(1,2)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．
∴g (x )≥g (2)＝2－2ln 2>0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴f (x )>f (1)＝1.
故当a ＝1，x >1时，f (x )>1.
(2)∵f ′(x )＝1－2a ln x x ＝x －2a ln x
x
(x >0)，
令h (x )＝x －2a ln x (x >0)，则h ′(x )＝1－2a x ＝x －2a x
，
①当a ＝0时，f (x )＝x 无极大值．
∴当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f (x )在x ＝x 1处有极小值，f (x )无极大值．
③当a >0时，h (x )在(0,2a )上单调递减，h (x )在(2a ，＋∞)上单调递增， ∵f (x )有极大值，
∴h (2a )＝2a －2a ln (2a )＝2a [1－ln (2a )]<0，即a >e 2，
又h (1)＝1>0，h (e)＝e －2a <0，
∴?x 0∈(1，e)，使得h (x 0)＝x 0－2a ln x 0＝0，即a ln x 0＝x 0
2.
∴当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(x 0，e)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴f (x )有极大值，综上所述，a >e
2.
(3)证明：由(2)可知a ln x 0＝x 0
2，
∴f (x 0)＝x 0－a (ln x 0)2
＝x 0－x 0ln x 0
2
(1设p (x )＝x －
x ln x
2
(1则p ′(x )＝1－1＋ln x 2＝1－ln x
2>0，
∴p (x )在(1，e)上单调递增，
∴p (1)
2，
故12.
高难拉分攻坚特训(四)
1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，且S n ＝1350.若a 2<2，则n 的最大值为( )
A ．51
B ．52
C ．53
D ．54 答案 A
解析 因为a n ＋1＋a n ＝2n ＋1 ①， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)＋1＝2n ＋3 ②，
②－①得a n ＋2－a n ＝2，且a 2n －1＋a 2n ＝2(2n －1)＋1＝4n －1，所以数列{a n }的奇数项构成以
a 1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以a 2为首项，2为公差的等差数列，
数列{a 2n －1＋a 2n }是以4为公差的等差数列，
所以S n
＝?????
n (n ＋1)
2＋(a 1
－1)，n 为奇数，
n (n ＋1)
2，n 为偶数.
当n 为偶数时，
n (n ＋1)
2
＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不
会有相邻两数之积为2700)．当n 为奇数时，
n (n ＋1)
2＋(a 1－1)＝1350，a 1＝1351－
n (n ＋1)
2
，
因为a 2<2，所以3－a 1<2，所以a 1>1，所以1351－n (n ＋1)
2
>1，所以n (n ＋1)<2700，又n ∈N *,
51×52
＝2652，所以n ≤51，故选A.
2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．
答案
51281
解析 因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥
的高上，如图所示，其中球的球心为E 点，设BC ＝a ，则BO ＝
22
a ，
在Rt △EOB 中，则有EO 2
＋OB 2
＝EB 2
，故EO ＝ 4－a
2
2
，正四棱锥的高为2＋
4－a 2
2
，
正四棱锥的体积为V ＝13×a 2×?
?
?
??
2＋
4－a 22，令x ＝
4－a 2
2，x ∈(0,2)，则V (x )＝1
3
×(8
－2x 2)×(2＋x )，即V (x )＝13×(－2x 3－4x 2＋8x ＋16)，对V (x )求导得，V ′(x )＝13×(－6x 2
－
8x ＋8)，令V ′(x )＝0，即－6x 2
－8x ＋8＝0，解得x ＝23或x ＝－2(舍去)，当x ∈? ??
??0，23时，
V ′(x )>0，V (x )单调递增，当x ∈?
??
??2
3
，2时，V ′(x )<0，V (x )单调递减，故当x ＝23
时，V (x )max
＝51281
. 3．已知函数f (x )＝??
?
e －x
＋1，x ≤0，
2x ，x >0.
函数y ＝f [f (x )＋1]－m (m ∈R )恰有两个零点x 1
和x 2.
(1)求函数f (x )的值域和实数m 的最小值；
(2)若x 1＋1≥2. 当x >0时，f (x )＝2x >0. ∴f (x )的值域为(0，＋∞)． 令f [f (x )＋1]＝m ，
∵f (x )＋1>1，∴f [f (x )＋1]>2，∴m >2.
又f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为(0，＋∞)． 设f (x )＋1＝t 1，f (x )＋1＝t 2，且t 1<0，t 2>1. ∴f (x )＝t 1－1无解．
从而f (x )＝t 2－1要有两个不同的根，应满足t 2－1≥2， ∴t 2≥3.
∴f (t 2)＝f [f (x )＋1]≥2 3.即m ≥2 3.
∴m 的最小值为2 3.
(2)y ＝f [f (x )＋1]－m 有两个零点x 1，x 2且x 14
.
∴－a ln (t －1)＋t 2
4≥1对t ∈[2，＋∞)恒成立，
设h (t )＝－a ln (t －1)＋t 2
4－1，
h ′(t )＝－a t －1＋t 2＝t 2
－t －2a
2(t －1)
.
∵t ∈[2，＋∞)，∴t 2－t ∈[2，＋∞)恒成立． ∴当2a ≤2，即a ≤1时，h ′(t )≥0， ∴h (t )在[2，＋∞)上单调递增． ∴h (t )≥h (2)＝－a ln 1＋1－1＝0成立． 当a >1时，设g (t )＝t 2－t －2a .
由g (2)＝4－2－2a ＝2－2a <0，t →＋∞时，g (t )→＋∞. ∴?t 0∈(2，＋∞)，使得g (t 0)＝0.
且当t ∈(2，t 0)时，g (t )<0，t ∈(t 0，＋∞)时，g (t )>0.
∴当t ∈(2，t 0)时，h (t )单调递减，此时h (t )4．已知F 是抛物线C ：x 2＝2py ，p >0的焦点，G ，H 是抛物线C 上不同的两点，且|GF |＋|HF |＝3，线段GH 的中点到x 轴的距离为54.点P (0,4)，Q (0,8)，曲线D 上的点M 满足MP →·MQ →
＝
0.
(1)求抛物线C 和曲线D 的方程；
(2)是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 分别与抛物线C 相交于点A ，B (A 在B 的左侧)、与曲线D 相交于点S ，T (S 在T 的左侧)，使得△OAT 与△OBS 的面积相等？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．
解 (1)由抛物线定义知54＋p 2＝3
2
，
得p ＝12
，
故抛物线的方程为x 2
＝y .
由MP →·MQ →
＝0得点M 的轨迹D 是以PQ 为直径的圆， 其方程为x 2
＋(y －6)2＝4.
(2)由△OAT 与△OBS 的面积相等得|AT |＝|BS |， 则|AS |＝|BT |，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，S (x 3，y 3)，T (x 4，y 4)， 由AS →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，TB →
＝(x 2－x 4，y 2－y 4)， 且AS →＝TB →
得x 3－x 1＝x 2－x 4，即x 1＋x 2＝x 4＋x 3.
(ⅰ)当直线l 的斜率为0时，l 的方程为y ＝m ，此时只需点(0，m )在圆D 内即可，此时4(ⅱ)当直线l 的斜率不为0时，
由方程组?
????
y ＝kx ＋m ，
x 2
＝y 得x 2
－kx －m ＝0，
因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点， 所以Δ＝k 2
＋4m >0，① 且x 1＋x 2＝k .
由方程组?
????
y ＝kx ＋m ，
x 2＋(y －6)2
＝4
得(1＋k 2
)x 2＋2k (m －6)x ＋(m －6)2
－4＝0，
直线l 与圆D 交于S ，T 两点，所以圆心D (0,6)到直线l 的距离
d ＝
|m －6|1＋k
2
即(m －6)2<4(1＋k 2
)，②
且x 3＋x 4＝－2k (m －6)
1＋k
2.
因为x 1＋x 2＝x 4＋x 3，所以k ＝－2k (m －6)
1＋k 2，k ≠0，
化简得k 2
＝11－2m .
代入①②得?
????
11＋2m >0，
(m －6)2
<8(6－m )，解得－2又k 2
＝11－2m >0，∴－211
2
. 综上所述，实数m 的取值范围为(－2,8)．
高难拉分攻坚特训(五)
1．已知函数f (x )＝sin2x 的图象与直线2kx －2y －k π＝0(k >0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3，则(x 1－x 3)tan(x 2－2x 3)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1 答案 B
解析 记直线2kx －2y －k π＝0为l ，则l 必过点? ????π2，0.又l 与f (x )的图象均关于点? ??
?
?π2，0对称，
所以由题意可知，x 1＋x 3＝2x 2＝π，且l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，(x 3，f (x 3))是其中一个切点．因为f (x )＝sin2x ，所以f ′(x )＝2cos2x ，所以切线l 的斜率k ＝2cos2x 3＝
sin2x 3x 3－
π2
，即(2x 3－π)cos2x 3sin2x 3＝1，所以(x 1－x 3)tan(x 2－2x 3)＝(π－2x 3)tan ? ????π2－2x 3＝
(π－2x 3)cos2x 3
sin2x 3
＝－1.故选B.
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝3，且S n ＋1＋S n －1＝2n
＋2S n (n ≥2)，若λ(S n
－a n )＋λ＋7≥(2－λ)n 对任意n ∈N *
都成立，则实数λ的最小值为________．
答案
332
解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝3，且S n ＋1＋S n －1＝2n
＋2S n (n ≥2)， 所以S n ＋1－S n ＝2n
＋S n －S n －1，
故a n ＋1－a n ＝2n
(n ≥2)，
因为a 2－a 1＝21
，所以a n ＋1－a n ＝2n
(n ≥1)， 所以a n －a n －1＝2
n －1
，a n －1－a n －2＝2
n －2
，…，a 2－a 1＝21
，
则a n －a 1＝21
＋22
＋…＋2n －1，
故a n ＝1＋21
＋…＋2
n －1
＝2n
－12－1
＝2n －1， 所以S n ＝21
＋22
＋23
＋ (2)
－n ＝2(2n
－1)2－1－n ＝2n ＋1
－n －2，
所以S n －a n ＝2n
－n －1，
因为λ(S n －a n )＋λ＋7≥(2－λ)n 对任意n ∈N *
都成立， 所以λ≥?
??
??2n －72n max . 设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1，
当n ≤4时，c n ＋1>c n ，当n ≥5时，c n ＋132
.
3．已知点A 为圆B ：(x ＋2)2
＋y 2
＝32上任意一点，点C (2，0)，线段AC 的中垂线交线段
AB 于点M .
(1)求动点M 的轨迹方程；
(2)若动直线l 与圆O ：x 2＋y 2
＝83相切，且与动点M 的轨迹交于点E ，F ，求△OEF 面积的
最大值(O 为坐标原点)．
解 (1)由题知|MA |＝|MC |，∵|MA |＋|MB |＝42， ∴|MB |＋|MC |＝42>4＝|BC |，
∴M 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，其方程为x 28＋y 2
4＝1.
(2)①当l 的斜率存在时．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，
l 的方程为y ＝kx ＋m . 由?????
y ＝kx ＋m ，x 28＋y
24
＝1得，(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2
－8＝0，
∴?????
x 1
＋x 2
＝－4km
2k 2
＋1，x 1x 2
＝2m 2－8
2k 2
＋1，
可得|EF |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝22·1＋k 2
·8k 2
－m 2＋42k 2
＋1， ∵l 与圆O 相切，∴3m 2
＝8(1＋k 2
)， 从而|EF |＝46
3
·
(1＋k 2
)(4k 2
＋1)
(2k 2＋1)
2
， 令2k 2
＋1＝t ，得k 2
＝t －1
2
(t ≥1)，
∴|EF |＝43
3·
－? ??
??1t 2＋1t
＋2 ＝43
3
·－? ????1t －122＋94≤
433×32
＝2 3. 当且仅当t ＝2，即k ＝±2
2
时取等号． ∴(S △OEF )max ＝1
2
×23×
8
3
＝2 2. ②当l 的斜率不存在时．易得l 的方程为x ＝263或x ＝－26
3.
此时|EF |＝46
3，
∴S △OEF ＝12×46
3
×
83＝8
3
<2 2. 由①②可得，S △OEF 的最大值为2 2. 4．已知函数f (x )＝ln x ＋a
x
＋x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)若a ＝1，f (x )>(x －k )ln x
x －1＋x －1在(1，＋∞)上恒成立，求k 的取值范围．
解 (1)由题可知f ′(x )＝1x －a x 2＋1＝x 2
＋x －a
x
2
(x >0)， ①当a ≤0时，此时f ′(x )≥0恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
②当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >－1＋4a ＋12；令f ′(x )<0，解得02
.
∴f (x )在? ??
??
0，－1＋4a ＋12上单调递减，
在?
??
??
－1＋4a ＋12，＋∞上单调递增．
(2)原不等式等价变形为(k －1)ln x ＋x －1
x
>0恒成立． 令g (x )＝(k －1)ln x ＋x －1
x
(x >1)，
则g ′(x )＝k －1x ＋1＋1x 2＝x 2
＋(k －1)x ＋1
x 2
.
令h (x )＝x 2
＋(k －1)x ＋1，
①当k ≥－1时，此时h (x )的对称轴：x ＝－k －12＝
1－k
2
≤1，
∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．
又∵h (1)＝k ＋1≥0，∴h (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立．
∴g ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )>g (1)＝0. ∴k ≥－1符合要求．
②当k <－1时，此时h (1)＝k ＋1<0， ∴h (x )＝0在(1，＋∞)上有一根，设为x 0， 当x ∈(1，x 0)时，h (x )<0，即g ′(x )<0. ∴g (x )在(1，x 0)上单调递减．
∴g (x )0在(1，＋∞)上恒成立矛盾． 综合①②可得，k 的取值范围为[－1，＋∞)．
高难拉分攻坚特训(六)
1．已知函数f (x )＝x ＋1
e
x
－ax 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C.? ??
??2e ，＋∞
D.? ??
??0，2e
答案 A
解析 f (x )＝x ＋1
e
x
－ax ，令f (x )＝0，可得ax ＝
x ＋1
e
x
，当x ＝0时，上式显然不成立；可
得a ＝
x ＋1x e x (x ≠0)有且只有2个不等实根，等价为函数g (x )＝
x ＋1
x e x
的图象和直线y ＝a 有且只有两个交点．由g ′(x )＝e x
(－x 2
－x －1)
(x e x )2
<0恒成立，可得当x ＞0时，g (x )单调递减；当x ＜0时，g (x )单调递减．且g (x )＝
x ＋1
x e x
>0在x >0或x <－1时恒成立，作出函数g (x )的大致图象，如图，由图象可得a >0时，直线y ＝a 和y ＝g (x )的图象有两个交点．故选A.
2．已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．
答案
25π
4
解析 因为六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P －ABCDEF 为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h ，则
1
3
×? ??
??6×12×1×1×sin60°h ＝3，解得h ＝2.记球O 的半径为R ，根据平面截球面的性质，得(2－R )2＋12＝R 2，解得R ＝54，所以球O 的表面积为4πR 2
＝4π? ??
??542＝
25π4. 3．已知函数f (x )＝x 2
－1＋a ln (1－x )，a ∈R .
(1)若函数f (x )为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1f (x 1)x 2>f (x 2)
x 1
. 解 (1)由题意可知，函数f (x )的定义域为(－∞，1)， ∵f ′(x )＝2x －a
1－x ＝－2x 2
＋2x －a
1－x (x <1)，
对于y ＝－2x 2
＋2x －a ， ∵Δ＝4－8a ，
2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．
B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；
江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)
计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1.
高考数学二轮复习策略
高考数学二轮复习策略 ：六个重在 重在解题思想的分析，即在复习中要及时将四种常见的数学思想渗透到解题中去;重 在知识要点的梳理，即第二轮复习不像第一轮复习，没有必要将每一个知识点都讲到，但 是要将重要的知识点用较多的时间重点讲评，及时梳理;重在解题方法的总结，即在讲评 试题中关联的解题方法要给学生归类、总结，以达触类旁通的效果;重在学科特点的提炼，数学以概念性强，充满思辨性，量化突出，解法多样，应用广泛为特点，在复习中要展 现提炼这些特点;重在规范解法，考生在平时的解题那怕是考试中很少注意书写规范，而 高考是分步给分，书写不规范，逻辑不连贯会让考生把本应该得的分丢了。 ：强化训练 每章一次综合测试;每月一次月考;对每次训练要做到批改、讲评及时、到位，科学统计，及时总结，发现问题，查漏补缺，及时反馈。并同时要求学生去反思错解原因，以达 到巩固知识，提高能力的目的，力争做到让学生练有所得，听有所获。 ：四个转变 1.变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用. 2.变全面覆盖为重点讲练，突出高考热点问题. 3.变以量为主为以质取胜，突出讲练落实. 4.变以补弱为主为扬长补弱并举，突出因材施教 ：强化通法通解 我们可以把数学思想方法分类，更好的指导我们的学习。一是具体操作方法，解题直 接用的，比如说常见的换元法，数列求和的裂项、错位相减法，特殊值法等;二是逻辑推 理法，比如证明题所用的综合法、分析法、反证法等;三是宏观指导意义的数学思想方法，比如数形结合、分类讨论、化归转化等。我们把这些思想方法不断的渗透到平时的学习中 和做题中，能力会在无形中得到提高的。 ：解决混淆点 学习中的“混淆点”就是几个相近或相似的知识点之间互相混淆。“混淆点”的形成 是对知识点理解不深，记忆不准确，表现为概念模糊，做题时混淆使用。我们的策略是对 知识点应该及时复习巩固，做题时要多加思考与细心。
(江苏专用)2021高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练(一)
综合仿真练(一) 1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________. 解析：因为集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∩B ＝{0,3}． 答案：{0,3} 2．已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 解析：因为x ＞0，(x －i)2＝x 2－1－2x i 是纯虚数(其中i 为虚数单位)， 所以x 2－1＝0且－2x ≠0，解得x ＝1. 答案：1 3．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． 解析：由题意知????? x >0，1－2log 6x ≥0，解得02，不符合题意；若x ＋5＝13，则x ＝8>2，符合题意，故x ＝8. 答案：8 6．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2 )分别为： 9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．
高三文科数学二轮复习策略
高三文科数学二轮复习策略 抓《考试说明》与信息研究 第二轮复习中，不可能再面面俱到。要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效率，就必须认真研究《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课程的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。 突出对课本基础知识的再挖掘 近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，引导学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。 抓好专题复习，领会数学思想 高考数学第二轮复习重在知识和方法专题的复习。在知识专题复习中可以进一步巩固第一轮复习的成果，加强各知识板块的综合。尤其注意知识的交叉点和结合点，进行必要的针对性专题复习。例如: 1.函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 2.三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 3.数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 4.立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 5.解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 6.概率与统计、算法初步、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球、射击问题为背景理解概率问题。 7.不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 专题复习对备课的要求很高，通过对例习题的精选、精讲、精练，力求归纳出知识模块形成体系，同时也要能提炼出数学思想层次的东西。
高考数学二轮复习五大技巧
2019年高考数学二轮复习五大技巧 对于高考数学二轮复习，有哪些问题需要注意呢?小编为大家整理了2019年高考数学二轮复习策略，帮助考生制定高考二轮复习计划，提高高考数学成绩。 1、重点知识，落实到位 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。因此，在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位。并将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。如聚集立体几何与其他知识的整合，就包括它与方程、函数、三角、向量、排列组合、概率、解析几何等的整合，善于将已经完成过的题目做一次清理，整理出的解题通法和一般的策略，“在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合，形成有序的网络化知识体系。 2、新增内容，注重辐射 新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的渗透，且占整个高中教学内容的40%左右，而高考这部分内容的分值，远远超出其在教学中所占的比例。试题加大了对新教材中增加的线性规划、向量、概率、导数等知识的考查力度，对新增内容一一作了考查，分值达50多分，并保持了将概率内容作为应用题的格局。因此，复习
中要强化新增知识的学习，特别是新增数学知识与其它知识的结合。向量在解题中的作用明显加强，用导数做工具研究函数的单调性和证明不等式问题，导数亦成为高考解答题目的必考内容之一。 3、思想方法，重在体验 数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”，重点抓方法渗透。 首先，我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是我们认为，遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的，例如，在复习一些重点知识时，可以通过重新揭示其发生过程，适时渗透数学思想方法。 其次，要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，我们不应过分地追求特殊方法和特殊技巧，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次上，另外，在复习中，还应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。 4、综合能力，强化训练 近年来高考数学试题，在加强基础知识考查的同时，突出能力立意。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合
2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”
微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．
1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值．
高三数学二轮复习计划
高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三
2020高考数学二轮专题复习 三角函数
三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;
高考数学二轮复习计划
2019年高考数学二轮复习计划作者：佚名 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习?也就是高考数学复习通常要分三轮完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢?第一轮复习的目的是将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外
训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法!是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间。如何做到有条不紊地复习呢?现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。 第一，构建知识网络，高考试题的设计，重视数学知识的综
高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数的应用(含答案)
第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题． 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
(2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝??? cos πx ，x ∈[0，1 2 ]， 2x －1，x ∈(1 2 ，＋∞)，则不等式 f (x －1)≤1 2 的解集为________． 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0， 所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点． (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示． ∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝1 2.设与曲线交 于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，1 2]， ∴πx ＝π3，∴x ＝1 3 . 令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34 . 根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－1 3. ∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝1 2上及其下方的图象满足， ∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－1 3， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同
江苏省高考数学二轮复习 专题10 数列(Ⅱ)
江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10.
答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．
高考数学二轮专题复习 数学思想方法
高考数学二轮专题复习 数学思想方法 【考纲解读】 1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想. 2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系. 【考点预测】 1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查。 2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n 项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。 3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。 【要点梳理】 1.函数与方程思想：我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n 项和的公式，都可以看成n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数. 3．与分类讨论有关的知识点有：直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比1q =和1q ≠、由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数a 分为1a >和01a <<两种情形等。分类的原则是：不重复、不遗漏、分层次讨论。分类讨论的一般流程是：明确讨论的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。 4．转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法等。 【考点在线】 考点一 函数与方程思想 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f -1 (x)的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐
2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：填空题专练(一)
填空题专练(一) 1.(2018南京高三学情调研)若集合P={-1,0,1,2},Q={0,2,3},则P∩Q= . 2.(2018江苏南京高三期中)若复数z满足z(1-i)=2i,其中i是虚数单位,则复数z= . 3.(2017无锡普通高中高三期末)某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生的人数为. 4.(2017江苏泰州姜堰模拟)甲、乙两名同学下棋,若甲获胜的概率为0.3,甲、乙下成和棋的概率为0.4,则乙获胜的概率为. 5.(2018江苏南京高三上学期期中)下面是一个算法的伪代码.如果输出的y值是30,那么输入的x值是. ,8a6+2a4=a2,则{a n}的前6项和S6的值为________. 6.(2019江苏高三模拟)在等差数列{a n}中,若a5=1 2 7.(2018南京第一学期期末调研)已知角α的终边经过点P(12,5),则sin(π+α)+cos(-α) 的值 是. 8.(2018江苏泰州姜堰高三上学期期中)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程是.
9.(2018江苏溧水中学月考)已知直线l:y=ax+2和A(1,4),B(3,1)两点,当直线l 与线段AB 有公共点时,实数a 的取值范围为 . 10.(2017徐州王杰中学高三月考)在三棱锥S-ABC 中,平面SAB,平面SBC,平面SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC 的表面积是 . 11.(2018江苏南京调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2 a +y 2 b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,直线AF 2与椭圆的另一个交点为C,若AF 2??????? =2F 2C ?????? ,则该椭圆的离心率为 . 12.(2018南京高三学情调研)已知函数f (x)={2x 2,x ≤0,-3|x -1|+3,x >0.若存在唯一的整数x,使得f (x )-a x >0成 立,则实数a 的取值范围为 . 13.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AD=8,BC=20,则AB ????? ·AC ????? 的值为 . 14.(2019江苏高三下学期期初联考)已知实数x,y,z 满足x+y+z=0,xyz=-3,则|x|+|y|+|z|的最小值是 . 答案精解精析 1.答案 {0,2} 解析 本题考查交集.集合P ∩Q={0,2}. 2.答案 -1+i
高考数学第二轮复习策略与重点
2019年高考数学第二轮复习策略与重点 ?数学第二轮复习阶段是考生综合能力与应试技巧提高的阶段。在这一阶段，老师将以“数学思想方法”、解题策略和应试技巧为主线。老师的讲解，不再重视知识结构的先后次序。首先，着重提高考生采用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论、数学模型”等方法解决数学问题的能力。其次，考生要注意用一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高解题速度和应对策略。要在这一阶段得到提高，应做到以下几点： 首先，要加强基础知识的回顾与内化。由于第一轮复习时间比较长，范围也比较广，前面复习过的内容容易遗忘，而临考前的强化训练，对遗忘的基本概念，基本思维方法又不能全部覆盖，加上一模的试题起点不会很高，这就要求同学们课后要抽出时间多看课本，回顾基本概念、性质、法则、公式、公理、定理；回顾基本的数学方法与数学思想；回顾疑点，查漏补缺；回顾老师教学时或自己学习时总结出来的正确结论，联想结论的生成过程与用法；回顾已往做错的题目的正确解法以及典型题目，以达到内化基础知识和基本联系的目的。 其次，要紧跟老师的复习思路与步骤。课堂上要认真听讲，力图当堂课内容当堂课消化；认真完成老师布置的习题，同时要重视课本中的典型习题。做练习时，遇到不会的或拿不准的题目要打上记号。不管对错都要留下自己的思路，等老师讲评时心中就有数了，起码能够知道当时解题时的思维偏差在何处，对偶尔做对的题目也不会轻易放过，还能够检测出在哪些地方复习不到位，哪些地方有疏忽或漏洞。
另外，在做题过程中，还要注意几点：1、不片面追求解题技巧，如果基础不好，则不要过多做难题，而要把常用的解法掌握熟练。2、提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。 第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活，在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性，系统性，初步建立明晰的知识网络。 第二轮复习则是在第一轮的基础上，对高考知识进行巩固和强化，数学能力及学习成绩大幅度提高的阶段。指导思想是巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮学习成果，强化知识系统的记忆；完善是通过专题复习，查漏补缺，进一步完善强化知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；提高是培养、提高思维能力，概括能力以及分析问题解决问题的能力。针对第二轮复习的特点，同学们需注意以下几个方面： 1.加强复习的计划性。由于第二轮复习的前后跨越性比较大，这就要求同学们要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。 2.提高听课的效率。深刻体会老师对问题的分析过程，密切注意老师解决问题时的“突破口，切入点”，及时修正自己的不到之处，在纠正中强化提高。 3.加强基础知识的灵活运用。要做到这一点，至关重要的是加强理论的内化，通过第二轮的复习，进一步有意识地强化对书本上定义、定理、公式、法则的理解，对这些东西理解水平的高低决定了你能否灵
2020高考数学第二轮专题复习：专题二
专题二 万能答题模板——助你解题得高分 数学解答题题型解读 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力． 针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化． 万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分． 模板1 三角函数的性质问题 例1 已知函数f (x )＝cos 2????x ＋π12，g (x )＝1＋1 2 sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间． 审题破题 (1)由x ＝x 0是y ＝f (x )的对称轴可得g (x 0)取到f (x )的最值；(2)将h (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式． 解 (1)f (x )＝12? ???1＋cos ????2x ＋π6， 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π 6＝k π (k ∈Z )， 即2x 0＝k π－π 6 (k ∈Z )． 所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋1 2sin ????k π－π6，k ∈Z . 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ????－π6＝1－14＝34. 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝5 4. (2)h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝12[1＋cos ????2x ＋π6]＋1＋1 2 sin 2x
江苏南通市2018届高三数学第二次调研试卷含答案
江苏南通市2018届高三数学第二次调研 试卷（含答案） 南通市2018届高三第二次调研测试 数学Ⅰ 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，则▲． 2．已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲． 4．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲． 5．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32cm2的概率为▲． 6．在中，已知，则的长为▲． 7．在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的
渐近线，且经过点 ，则双曲线的焦距为▲． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 ，，则的值为▲． 9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为▲． 10．已知均为正数，且，则的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等 式组表示的平面区域 内，则面积最大的圆的标准方程为▲． 12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 的取值范围是▲． 13．在平面四边形中，已知，则的值为▲． 14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值；
