CCERkaoti
中级微观经济学期中考试试卷
（北京大学中国经济研究中心经济学双学位）
2004年春季
（闭卷，限120分钟）
一、判断下列论断是对，错，或不能确定，并说出理由，不写理由不得分1．（7分）以横轴代表劳动供给量，纵轴代表工资率，建立劳动供给曲线图。如果闲暇为劣等品，那么劳动供给曲线向上倾斜；如果闲暇是正常品，那么劳动供给曲线仍向上倾斜。2．（7分）如果对与的需求函数为，1X 2X 111(,)y x p y p α=
222
(,)y
x p y p α=（这里，是收入），由于
，那么与之间不是互替的。121αα+=y 12
21
0x x p p ??==??1X 2X 3．（6分）跨期决策中那条预算线与一期决策中完全确定条件下的预算线一样，也可以看成是一条等支出线，即该线上任一点都代表等量货币。
二、已知效用函数为，{}122112(,)min 3,3u x x x x x x =++120,0p p >>1．（5分）画出代表“”的那条无差异曲线12(,)20u x x =2．（4分）当
满足什么条件时，必有？12
p p 10x *
=3．（4分）当
满足什么条件时，必有？12
p p 20x *
=4．（7分）如和都不可能为零，则在最优点，为何值？
1x *2x *
12
x x *
*这个均衡点（
和都为正）唯一吗？为什么？
1x *2x *三、1956年，希克斯给出下例说明一个满足显示偏好弱公理（WA）的偏好关系可能会不满
足传递性。
考虑三个时期（）的价格和购买组合（）：
0,1,2t
=,t t
p x 第一期，，0112p ?? ?= ? ???05199x ?? ?= ? ???
A-PDF Merger DEMO : Purchase from https://www.wendangku.net/doc/9f14521905.html, to remove the watermark
第二期，，，1111p ?? ?= ? ???1121212x ?? ?= ? ???第三期，，2121p ?? ?= ? ???227111x ?? ?= ? ???
1．（10分）通过计算证实该偏好满足显示偏好弱公理
2．（10分）说明为什么该偏好不满足传递性？
四、（20分）某人只购买两种商品：鸡蛋和葡萄酒。星期一，此人的最优选择为M 点；星期二，鸡蛋价格上涨，葡萄酒价格不变，此人的最优选择为T 点；星期三，鸡蛋的价格回落到星期一的水平，而葡萄酒价格则有了提高，但此人在最优选择点的效用水平仍
保持在星期二的水平。该人的收入在以上三天内保持不变。问：如果此人在星期三购买的鸡蛋少于星期一，那么对他来说，鸡蛋是属于正常品，劣质品但非吉芬（Giffen）品，还是吉芬品？请画图，并说明理由。
五、（20分）证明：个人是风险中立的当且仅当下列三个条件中的每一个都满足：
(a)效用函数对财富水平（）是线性关系；
w (b)，这里“”代表gamble,；()CE E g =g ()E g Ew =(c),这里“”代表风险溢价（风险升水）。
0p =p 并且证明：(a),(b),(c)是等价的（只要满足任一个条件，其余两个条件必满足）。注意：只画图说明最多得10分。
中级微观经济学期中考试试卷
[北京大学中国经济研究中心(ccer)经济学双学位]
（2005年春）（闭卷.限时110分钟）
（共100分）
一(30分)判断下列“结论”是否正确，并给出理由（或作图说明），不给理由不得分（每小题10分）
1.一个人的效用函数形式为，当他面临赢输概率相等，赔率为2)ln()(w w u 的赌局时，若他是理智的，是不会参赌的。
2．一个人的消费品分为两类：房子，其它消费品（以货币代表）。如他（她）已买了房子，则不论房价是涨还是跌，这个人的福利都会改善。
3．由于政府对经济适用房的暗补，使房价从（5000元/m 2）降为（4000元/m 2），结果一户居民（代表性居民）的购房面积从100平米上升为120平米，这位居民从暗补中获得的福利增量至少为10万元，但至多为12万元。
二(20分)在两商品的空间里，求证：
1．若一种商品的需求自价格弹性为单位弹性，则该商品的价格()变动不会1p 对另一种商品需求()产生任何影响；
2x 2．若一种商品的需求是富于弹性的，则另一种商品()是这种商品()的替2x 1x 代品。
3．若一种商品的需求是缺乏弹性的，则另一种商品()是这种商品()的补2x 1x 充品。
三（30分）一个消费者的支出函数为
,这里价格向量
21212
1
),(a a p p u u p e =,效用,2
2,1)(+
+∈=R p p p 1+∈R u 1．你认为对参数与应加什么限制？（5分）1a 2a 2．请构造该消费者的间接效用函数；
（8分）
),(y p v 3．请写出马歇尔需求函数与；（10分）),(1y p x ),(2y p x 4．请写出原效用函数的形式。
（7分）
),(21x x u 四（20分）
李兵是一位追求期望效用最大化的人，其效用函数为。他手w w u =)(头有100元。他或许会继续拥有这100元，或许会遭受两种损失中的一种：以的概率丢掉19元，以的概率丢掉64元。如果保险公司愿意为李兵提316
1
供关于损失的全额保险（丢多少赔多少），但要收取保险金20元。这时李兵会接受该保险服务吗？为什么？
中级微观经济学（2班）北京大学中国经济研究中心
（2008年春季）
期中考试试卷（共100分）
考试条件：1，闭卷；2，可带计算器；3，考试时间120分钟
一，简答题（共20分）
1．（10分）设消费者只消费两种商品，设与为两种商品的数量，记和
1x 2x 10p >为商品1和商品2的价格。假设一个消费者的效用函数为：20p >。请问：这个消费者总是花尽其收入吗？为什么？
221212(,)1(2)(3)u x x x x =----2．（10分）已知间接效用函数，2
1211
(,,)p y v p p y p p =
-
1）请求出马歇尔需求函数和；（5分）112(,,)x p p y 212(,,)x p p y 2）你能写出直接效用函数的形式吗？（5分）12(,)u x x 二，证明题（共35分）
1．（10分）马歇尔（1920年）从经济观察中得出一个直觉：“如果消费者对某种商品的支出在收入中只占极小的比例，则该种商品的需求曲线是不可能向右上伸展的。”现假定消费者的收入全部花完，并且该商品需求的收入弹性有限。请精确证明马歇尔的直觉是正确的。
2．（10分）证明：从同类偏好（Homothetic preference ）中产生的马歇尔需求的收入弹性恒为1；另外，请给出一个偏好的例子，用函数形式（效用函数和需求函数）验证这个定理。
3．（15分）设消费者对某商品的需求函数为线性。该商品的价格原来为，现()D p 0p 由于对该商品征消费税（单位商品的税额为），而使得价格上升至。
t 1p （1）（10分）请作图并证明：开征消费税造成的无谓损失（Dead-weight Loss ）为：
。（这里，为需求函数在处对价格的导数）2
11'()2
t D p 1'()D p 1p （2）（5分）以（1）为基础，请回答：为什么中国的消费税要选择以汽车、高档化妆品、金银首饰、香烟、酒等为对象？
三，判断题（共20分）（若认为正确，务必以作图或别的方式讨论之；若认为错误，请给出
反例；只判断对错不得分）
1．（10分）在公平保费时，保费金额必定等于风险升水（风险溢价）。
2．（10分）一个消费者只消费两种商品。在期，，他（她）的消费0t =00
121p p ==组合为：；在期，，他（她）的消费组合为：00127,3x x ==1t =11122, 0.5p p ==，。从这两期的消费行为可以看出，这位消费者大概是理性的。1
14x =1212
x =四，（25分）张思财拥有一个投资机会（赌局），该赌局以的概率赢5万元与亏2.5
50:50万元。张思财的初始财产，他的效用函数为：
00w =0.0000211()12.58597.4267w
u w e -=-我们已经知道，张思财不愿全部拥有这个投资机会。他在寻找合作者。
（1）（15分）假设张思财遇到一个合作者——万通先生，万通先生的效用函数为：
，万通的初始财产也为零。万通愿意购买张思财赌局的10%。
0.0000211()w u w e -=-请问：万通先生支付的价格会是原赌局的期望货币收入的10%的九五折吗？
（2）（10分）现在，张思财又遇到第二个合作者百惠女士，百惠的初始财产为5万元，
百惠的效用函数为。张思财若按123元的价格出售1%的赌局，百惠
()u w =会接受吗？
中级微观经济学期末试卷（2005春）
北京大学中国经济研究中心经济学双学位
（闭卷，限时150分钟）
一、
简答题（每小题5分，共40分）
1、请给出一个例子，说明“两参与人——两策略”的规范型博弈中可能不存在纯策
略的纳什均衡。2、一个企业可用两个车间各自生产同一种产出Y 。在第一车间生产（产量）的平均
1y 成本为；在第二车间生产（产量）的平均成本为。该企业的总经理认为，1y 2y 22y 既然第二车间的平均成本高于第一车间的平均成本，那就该关闭第二车间，只用第一车间进行生产。他的决策对吗？为什么？
3、已知股票A 的为1.5，股票B 的为0.75。平均股票的期望回报率为15%，无A βB β风险利率为9%。请问：投资者在对股票A 所要求的回报率与对股票B 所要求的回报率之间，哪一个高？应高出多少？
4、下列说法对吗？（请给出理由）
“在长期，垄断竞争厂商的利润不为零，因为生产没有在平均成本最低点进行。”5、上世纪70年代前，河北白洋淀上有许多捕鱼船。假设每只捕鱼船每月的运行成本
为3000元。如有只船捕鱼，则这么多只捕鱼船每月的总收入（revenue ）为
x 。假定对进入无限制，因此，只有当利润为零时才不会有新进入者。
21000(23)x x -后来出现了一个规制者，他的目的是追求在白洋淀上捕鱼的所有船只的利润总和极大化。他主张：以“自由进入行业”的最后那只捕鱼船为基准，把捕鱼船只数削减一半。问：这位规制者的决策正确吗？为什么？6、下列说法对吗？（请给出理由）
“理性必然导致纳什均衡。”7、有人说：“如果一个行业的规模报酬不变（CRS ），则在长期均衡时，该行业的利润
必定为零。”这个说法对吗？为什么？8、在北大百年纪念堂里放电影，周六下午对于电影票的需求反函数为（P
104P Q =-为价格，Q 为票数）；而周六晚上（7：00—9：00pm ）对电影票的需求反函数为
。如果北大百年纪念堂管理处可以实行差别定价（价格歧视），且追求
122P Q =-利润极大化，并且设放映电影的边际成本在周六下午与周六晚上是相同的，都为2。问：电影票价在周六下午与周六晚上应各为多少？
二、（20分）
考虑一家企业的生产函数为：
2
:f R R ++→121212
1212
)0
()(,) 0 )0x x x x x f x x x ?
+>?+=??+=?如(x 如（x 设要素价格向量为，这里。
12(,)w w 120,0w w >>（1）在短期，如为固定，请问该企业的短期成本函数是什么？（10分）20x k =>（2）在长期，也是可变的，请问该企业的长期成本函数是什么？（10分）
2x 三、（20分）
在一个由n 家企业组成的古诺寡头经济中，市场需求反函数为，这里
()P Q a Q =-。且。
12...n Q q q q =+++0,(1,2,...,)i MC c i n ===0a >问：（1）若这n 家企业合谋，市场价格是多少？每家企业的产量是多少？（7分）
（2）为了防止单独企业的背叛，卡特尔在一个子博弈完美纳什均衡中运用“触发策略”（一旦某企业违背了卡特尔定下的产量额度，则另外全体企业都会执行冷酷战略，实行古诺均衡中的个别企业的最优产量）如这样，贴现因子最低应为多少？（8分）
δ（3）值的最低值要求会如何随n 的变化而变化？（5分）δ四、（20分）
考虑下列两人的信息不完美的广延型博弈：
求该博弈的子博弈完美纳什均衡。
2006年中级微观经济学期末试卷
一（14分）已知成本函数为：1212(,,)a b d
c w w y w w y
=（1）对的值与b 的值有什么限定？（4分）
a （2）请求出条件要素需求函数与；（5分）
112(,,)x w w y 212(,,)x w w y （3）从题设中找出：在什么条件下是“CRS ”？在什么条件下是“IRS ”？在什么条件下是“DRS ”？（5分）
二（16分）已知：产出为1时的条件要素需求函数为：
13
11212
(,,1)1a
x w w w w -=+21212(,,1)1b c
x w w dw w =+请求出，b ，c ，d 的值（必须是具体的数值）。
a 三（25分）考虑一个产业，只有三家企业，且每家企业的边际成本为零。市场需求函数为：
()60P Q Q
=-这里，123
Q q q q =++（1）在古诺竞争中，什么是企业1的最优反应函数（给定企业2与企业3的产量）？（5
分）
（2）请计算古诺均衡：；（5分）
123123{,,,,,,}c c
c c c c c q q q P πππ（3）企业2与企业3决定合并为一家企业，并设合并后这家新企业的边际成本仍为零。
请问：企业1的状态是变好了，还是变糟了？企业2与企业3的“合并”决策对吗？（5分）（4）如果3家企业合并为一家企业，求均衡产量与利润水平。请问：从这三家企业的共
同利益来说，合并为一家企业的决策对吗？这里存在“违约冲动”吗？（5分）如果企业1先行，当企业1承诺了产量之后，什么是企业2与企业3的最优产量决策（即1q 企业2与企业3是在观察到后再进行双寡头的古诺博弈）？什么是企业
1q 四（15分）一个垄断企业的单位成本为c ，其面临的市场需求函数为q=1-p 。（1）求该垄断者的产量决策；（5分）
（2）假定市场需求函数不变，但由于生产经验作为一种学习效应可以降低成本，如果垄断者在第一期的产量为，则在第二期的单位成本为：（>0）。如果垄断者考虑两
1q 1c q λ-λ
期利润极大化，并假定期际贴现因子为1，请求出这种条件下的决策。（7分）1(,)q c λ（3）请讨论对的影响。（3分）
λ1q 五（10分）请证明：在2*2（俩人且每人只有两种策略）的策略型博弈中，若只存在一个纳什均衡，则在该纳什均衡中，每个参与人的行动是不可能被弱占优的。
六（10分）假定一个团队由n 个人组成，每个成员都具有K （正整数）单位精力。记成员i 投入于团队项目的精力为。n 个人经营项目成功的机会取决于全体成员中出力最小i e K ≤的那位成员所投入的精力：。如果成员i 的得益（payoff ）函
12min{,,...,}{}min n j
j
e e e e =数为
{}2min j
i
j
e e
-这里，“”为i 的努力成本。
i e 问：行动组合（e ，e ，….，e ）（即每个成员都投入同样多的精力于团队项目）对于任何水平的来说，都会成为一个纳什均衡吗？为什么？
e K ≤七（10分）请看下图所描述的广延型博弈：
（1）请问：上述博弈有几个子博弈？（3分）
（2）请问：上述博弈有几个纳什均衡？写出这些纳什均衡。（7分）
04期中答案
一、
1、解：工资率上升给劳动供给带来两方面的效应：一方面使得闲暇的相对价格提高从而减少
闲暇增加供给（替代效应），另一方面使得总收入增加（收入效应）。对劳动供给来说，如果闲暇是劣等品则工资升高的收入效应与替代效应是同向的，劳动供给曲线一定是向上倾斜的。如果闲暇是正常品，则收入效应和替代效应是反向的，劳动供给曲线的方向不能确定。因此，前一句判断正确，后一句不正确。
2、解：该论断错误。由需求函数可以看出效用函数可以表示为，容易知
1
2
1212
(,)u x x x x αα=道（求希克斯需求函数或简单地用图象判断）与之间是互替的。1x 2x 3、解：该论断正确。跨期决策中的预算线为：，在，及均为221111c w
c w r r
+=+++1w 2w r 固定情形下，可以将看为贴现的总收入，它是不变的。2
11w w r
+
+二、（1）容易将效用函数表示成如下形式
2112
1212213 if (,) 3 if x x x x u x x x x x + +? 上图中的实线表示的就是的无差异曲线12(,)20u x x =（2）由图容易看出，当 时，必有12 3p p >10x * = （3）当时，必有12103 p p < <20x * =（4）当都不能是零的时候，必有 ，这时最优点，12,x x * * 12 133p p <<12(,)(5,5)x x **=。这个均衡点是唯一的。因为只有当或时才可能有多个均衡点，121x x **=123p p =1213 p p =但这时有可能是零，与题意不符。12,x x * * 三、 解： （一）首先计算出消费者在这三个时期的收入与三个消费计划在不同价格条件下的012(,,)y y y 成本。如下图所示： 在不同价格条件下，三个消费计划的对应成本 其中，对角线上的三个元素分别代表。012,,y y y 可以看出： 1.考虑： 000 (,)x p y (1)超过了收入，不予考虑； 010 =48> =42p x y (2)=42但是。 02040p x y =<202 =52> =50p x y 所以满足显示弱偏好公理。000(,)x p y 2. 考虑： 111(,)x p y （1）但是； 1013336p x y =<=010 =48> =42p x y (2) 超过了收入，不予考虑。 1213936p x y =>=所以满足显示弱偏好公理。 111 (,)x p y 0 x 1x 2x 0p 4248401p 3336392 p 52 48 50 3. 考虑： 222(,)x p y (1)超过了收入，不予考虑； 202 5250p x y =>=(2)但是。2124850p x y =<=121=39> =36p x y 所以也满足显示弱偏好公理。 222(,)x p y 综合可知，该偏好满足显示偏好弱公理。（二）由上面1.的计算可看出；2.的计算可看出；3.的计算可看出。形 2x x 10x x 21x x 成了一个循环。所以，该偏好不满足传递性。 四 、 已知星期三的最优点S 的蛋消费少于星期一的，。假设星期四与星期一相比，两种商 S M x x <品的价格同比例上升（相当于收入减少而价格都不变），但最优点K 的效用仍和星期二和星期三的最优点的效用相同，则由净替代效应，。从而，因此鸡蛋是正常品。 K S x x 五、证明： （a ）(1)若个人是风险中立的，则风险规避系数。 ////() ()0()0'()a u w R u w u w ω-==?=。 （其中作为效用函数，要满足）。01'()()u w c u w c w c ∴=?=+00c >所以，效用函数对财富水平是线性关系。 (2)同时，若，显然有且。所以有。 01()u w c w c =+'()0u w c =>// ()0u w =()0a R ω=此时，个人是风险中立的。 因而，由上述证明看出个人是风险中立的。 ()a ?（b ）(1)由(a)可知，风险中立时，效用函数可写成的形式。假设单赌 01()u w c w c =+。那么，； (,,)g p A B =()(1)E g pA p B =+-()010101 ()()(1)()()(1)()(1)u g pu A p u B p c A c p c B c c pA p B c =+-=++-+=+-+而由于。对比上式得到。01()()u CE c CE c u g =+=(1)()CE pA p B E g =+-=(2)若显然有，所以个人是风险中立的。()CE E g =(())()()u E g u CE u g ==因此，可得出关系式：个人是风险中立的。()()a b ??综合（a ）中结论，得出个人是风险中立的。 ()b ?（c ）（1）由定义知。个人风险中立满足时，由（b ）知：。 ()P E g CE ≡-()CE E g =因此，显然有。 0P =（2）而当时，有成立。0P =()CE E g =因此，可得出关系式，()() c b ?综合（b ）中结论：个人是风险中立的。()c ?因此，得到总结论个人是风险中立的。 ()()()a b c ??? 2005春中级微观经济学期中考试答案及评分标准 一、（1）正确。 如果该人的风险效用函数满足VNM 性质，假设他初始财富为且下注0w x ，因赔率为2 ，则他参赌的期望效用为： 0011 ln()ln()22 EU w x w x =++-=如果他不参赌则期望效用为0 ln w 注意到对任意的，有。0x >0ln w <所以该行为人如果是理智的，是不会参赌的。 （评分标准：写出参赌的期望效用给5分，写出不参赌的期望效用给1分，对 两者做出比较得出正确结论给4分）（2 ）正确。 A 1 A 2 2 1 A 2 A 1 2 1图一图二 如上两图。横轴为房子，纵轴为其他商品。消费者一开始的消费点为C.图一：房价上涨。预算线由A 1B 1绕C 点旋转（给定该消费者已经购买了 房子）到A 2B 2。由显示性偏好弱公理可知，消费者在新的约束条件下是不会选择CB 2段的。只会选择A 2C 段，从而效用变好。图二：房价下降。由同样的分析可知他不会选择段而只会选择2A C 2B C 段，从而效用亦变好。 综上所述，两种情况都会使消费者效用得到改善，所以原命题正确。（评分标准：两种情况的讨论各占5分，正确的表述出显示性偏好弱公理的各给3分） （3）正确。 根据写成积分形式有： CV CS EV ?≤?≤?5000 50000 14000 4000 (,)(,)h h x p u dp CS x p u dp ≤?≤? ? 又因为对于任意的，有， [4000,5000]p ∈01100(,),(,)120h h x p u x p u ≤≤因此： 5000 50004000 4000 100120dp CS dp ≤?≤? ? 等价于用货币度量的消费者剩余改变量在10万和12万之间。 （评分标准：正确表示出消费者剩余和EV,CV 的关系给4分，得出消费者剩余的正确取值区间给6分） 二、解：（方法一）：根据古诺加总原理： 1112211 S S S εε+=-（1）当自价格弹性为单位弹性时，，上式可得：，111ε=-2 211 00x p ε?=?=?即商品1的价格对商品2的需求没有影响。 （2）当商品1富于弹性时，即，由上式可得：111ε<-2 21100x p ε?>?>?即商品2为商品1的替代品。 （3）当商品1缺乏弹性时，即，由上式可得：111ε>-2 21100x p ε? （方法二）：根据瓦尔拉斯定律：，1122y x p x p =+211111********* 1[][]]x y p x x x x p p p p p p p ε?-??==--=-+???所以当 （1） 自价格弹性为单位弹性时上式等于零，即商品1的价格对商 品2的需求没有影响。 （2）当商品1是富于弹性时上式为正值，即商品2为商品1的替 代品。 （3）当商品1为缺乏弹性时上式为负值，即商品2为商品1的互 补品。 （评分标准：用任何方法得到等式的给8分，对每一问给出正确推导的各给4分）三、解：（1）由于支出函数满足对的一次齐次性，， p (,)(,),0e u tp te u p t =≥ 我们可以看到应该满足：。 1,2αα121αα+=再由于谢泼特引理，知道支出函数关于的导数为商品i 的希克斯i p 需求函数，故支出函数关于的导数为正，也即有i p 120,0 αα>>纵上所述：应满足的限制条件为。12,αα121,21,01αααα+=<<（2）由引理(,(,))e p v p y y =令，则12 12 1 2 y u p p αα=12 2 2212(,)y v p y u p p αα ==（3）根据罗尔恒等式： 11112222 (,)(,)(,)/,(,)(,)(,)/y v p y v p y x p y p y p y v p y v p y x p y p y p αα??=-=????=- =??（4）由于121,21,01 αααα+=<<根据第3问求得的的具体形式，可得：。12,x x 12 221212 ( )(x x u αααα=（评分标准： 第一问得到和为1的限制给3分，得到在0，1之间的限制给2分第二问写出引理的给2分，求出正确结果的再给6分 第三问写出罗尔恒等式的给6分，求出两个需求函数各给2分，没有过 程的扣2分 第四问得出正确结论给7分）四、如果他不购买保险，根据已知条件，他以 的概率丢掉19元，以的概率316 1 丢掉64元，以的概率得到100，所以他的期望效用可以写成： 111 1362 -- =11(19 36EU =--+= 9 <因此如果他是最大化期望效用，则他不应该购买保险。 （评分标准：正确给出不购买保险的期望效用的表达式给10分，正确计算出不购买保险的期望效用的具体数值给5分，与购买保险的情形做出比较得到正确结论给5分） 中级微观经济学（2班）北京大学中国经济研究中心 （2008年春季） 期中考试试卷（共100分） 考试条件：1，闭卷；2，可带计算器；3，考试时间120分钟 一，简答题（共20分） 1．（10分）设消费者只消费两种商品，设与为两种商品的数量，记和 1x 2x 10p >为商品1和商品2的价格。假设一个消费者的效用函数为：20p >。请问：这个消费者总是花尽其收入吗？为什么？ 221212(,)1(2)(3)u x x x x =----答：这个消费者不会总是花尽其收入。 观察效用函数可看出，当时，效用函221212(,)1(2)(3)u x x x x =----12(,)(2,3)x x =数有最大值1 设该消费者的收入为，当收入时，他就会有收入剩余。因为该消费者y 1223y p p >+的效用是局部餍足的，在处的效用达到最大。12(,)(2,3)x x =具体过程：该消费者解决的问题： 1212(,) 1122max (,) .. x x u x x s t p x p x y +≤当收入，上述问题的最优解为。1223y p p >+12(,)(2,3)x x =收入剩余，从而不会总花尽他的收入。 12(23)0y p p -+>2．（10分）已知间接效用函数，2 1211 (,,)p y v p p y p p = -1）请求出马歇尔需求函数和；（5分）112(,,)x p p y 212(,,)x p p y 2）你能写出直接效用函数的形式吗？（5分） 12(,)u x x 解答：1）根据罗尔恒等式，就能从间接效用函数推导出马歇尔需求函数： 2 212112 1121211(,,)/(,,)1(,,)/y p v p p y p p y p x p p y v p p y y p p -??-=-== ??1221 212121 1 (,,)/(,,)1 1(,,)/v p p y p p x p p y v p p y y p ??=-==??2）根据马歇尔需求函数，可以写出直接效用函数： 12122(,) (1) u x x x x x =≡效用函数形式不唯一 二，证明题（共35分） 1．（10分）马歇尔（1920年）从经济观察中得出一个直觉：“如果消费者对某种商品的支出在收入中只占极小的比例，则该种商品的需求曲线是不可能向右上伸展的。”现假定消费者的收入全部花完，并且该商品需求的收入弹性有限。请精确证明马歇尔的直觉是正确的。 证明：假设这是一个n 维商品空间，其中第i 种商品的支出在收入中只占很小的比例， 根据斯拉茨基公式：(,)(,)(,)(,)h i i i i i i x p y x p u x p y x p y p p y ???=-???两边同时乘以 ，则可得：0i i p x >(,)(,)(,) (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) h i i i i i i i i i i i i h i i i i i i i i p x p y p x p u p x p y x p y x p y p x p y p x p y y p x p u p x p y x p y y x p y p y y x p y ????=?-???????=?-????在消费最优时，有成立，则有： (,)(,)h i i x p y x p u =h ii ii i i s εεη=-式中，为第i 种商品支出在收入中占的比例； (,) i i i p x p y s y ? 为第i 种商品需求收入弹性；为第i (,)(,)i i i x p y y y x p y η??? (,)(,) i i ii i i x p y p p x p y ε??? 种商品的自价格弹性，为第i 种商品的希克斯需求自价格弹 (,)(,) h h i i ii h i i x p u p p x p u ε??? 性。 因为恒成立，是有限的，而极小，从而成立。 0h ii ε≤i η0i s >0ii ε≤说明了 成立，从而需求曲线不会向右上方伸展。 (,) 0i i x p y p ? 证明：在的商品空间中，满足同类偏好的决策人的最优消费的收入消费曲线12(,)x x （ICC ）必定是从原点出发的射线，从而，，（为一常数）21x kx =0k >所以， ，式中也是大于零的一个常数。221112 'p x p k k p x p =='k 因此，，式中为大于零的常数，即。22111'1p x k m p x + =+ m 111 p x y m =所以，（为一常数，因为价格不变）11' y y x mp m ==1'm mp =从而，。同理，可证：11111'' dx y y y dy x m m η= ?==21 η=举例子：为一同类偏好。 1212(,)min{,}u x x x x =最优消费：，则** 1212y x x p p == +11211212 1 1( )dx y y y dy x p p p p ηη==?==++满足题意。