=+1123n n n nx 的和函数以及数项级数∑∞
=-+11
2
1
n n n 的和. 70. 证明幂级数∑∞
=++-0
1
212) 1 (n n n n x 的和函数为arctgx ,并利用该幂级数的和函数求数项级数
∑∞
=+-01
2) 1 (n n
n 的和. 71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又 )(x f 满足
)()(x f x f -=+π.
求证 )(x f 的Fourier 系数 满足,0,0220===n n b a a .,2,1Λ=n
72. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设 )(x f 是偶函数,且满足
()()f x f x =-π.
求证: )(x f 的Fourier 系数,012=-n a .,2,1Λ=n
73.求证函数系{}ΛΛnx x x sin ,,2sin ,sin 是],0[π上的正交函数系. 74.设)(x f 是以2L 为周期的连续的偶函数。又设)(x f 关于2
L
x =对称,试证:)(x f 的傅立叶系数:
?
??==-=?--,3,2,1,0d )12cos()(112n x L x
n x f L a L L n π.
75. 设)(x f 是以π2为周期的可微周期函数,又设)(x f '连续,),2,1(,,0Λ=n b a a n n 是)(x f 的Fourier 系数.求证:
lim ,lim n n n n a b →∞
→∞
==00
.
76. 证明极限
y x y
x y x -+→)0,0(),(lim
不存在。
77. 用极限定义证明:
.0lim
2
2
)
0,0(),(=++→y
x y x y x
78. 证明极限2
222
2)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在.
79. 设),(),(x f y x F =)(x f 在 0x 连续,证明:对,0R y ∈?),(y x F 在),(00y x 连续. 80. 证明:如果),(y x f 在 ),(000y x P 连续,且0),(00>y x f ,则对任意),(00y x f r <,),;(0δP ??对一切),;(),(0δP y x P ?∈有.),(r y x f >
81. 证明:22),(y x y x f +=在点)0,0(处连续且偏导数不存在.
82. 证明;
22
22
221sin 0(,)00y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?
在)0,0(点连续,且0)0,0(,0)0,0(==y x f f 不存在.
83. 证明
22
2222()sin 0(,)00x y x y f x y x y ?++≠?
=??+=?
在 点)0,0(处连续且偏导数存在.
84. 设 函数),(y x f 在),(00y x 的某邻域内存在偏导数,若),(y x 属于该邻域,则存在
)(010x x x -+=θξ和 )(020y y y -+=θη,,10,1021<<<<θθ 使得
00000(,)(,)(,)()(,)()
x y f x y f x y f y x x f x y y ξη-=-+-。
85. 证明:
22220(,)00x y f x y x y +≠=+=?
,
在点)0,0(不可微.
86. 证明: 对任意常数,ρ?, 球面2
2
2
2
x y z ρ++=与锥面2
2
2
2
tan x y z ?+=?是正交的.
87. 证明: 以λ为参数的曲线族
22
1() x y a b a b λλ
+=>-- 是相互正交的(当相交时).
88. 证明: 由方程()z y x z ?=+所确定的隐函数(,)z z x y =满足
222()z z z x y y ???
???=???????
, 其中?二阶可导.
89. 设()20
()ln 12cos F a a x a dx π
=
-+?
, 证明
2
0,10,
()ln , 1. 若且 若a a F a a a π?<≠?=?>??
90. 证明含参量反常积分
?
+∞
sin dy y
xy 在[)+∞,δ上一致收敛()
0>其中δ,但在()0,+∞内不一致收敛。 91. 证明含参量a 的反常积分
cos ,0,0 ax
p
x
e dx a p x +∞
-≥>?
为常数 是一致收敛的.
92. 证明含参量p 的反常积分
2
sin ,01 p
x dx p x +∞
≥+?
是一致收敛的.
93. 若()f x 在(0,)+∞内可积, 证明
lim ()()ax a e f x dx f x dx ++∞+∞
-→=??
.
94.证明dy y x x y dx x y y x ) sin sin 2 () cos cos 2 (2
2-++在整个XY 平面上是某个函数 的全微分, 并找出这样一个原函数.
95.设一力场为 F ) 83 (2
2
xy y x +=i +) 128 (2
3
y
ye y x x ++j . 证明质点在此力场内移 动时, 场力所作的功与路径无关.
96.证明
2 L
ydx zdy xdz a ++=??, 其中L 是球面 2222a z y x =++与平面
0=++z y x 的交线 ( 它是圆周 ) , 从X 轴的正向看去, 此圆周呈逆时针方向.
97.证明
3522 L
zdx xdy ydz π+-=?
?, 其中L 是圆柱面12
2=+y x 与平面 3+=y z 的交线(它是椭圆 ) , 从X 轴的正向看去, 此椭圆周呈逆时针方向. 98.证明
?
-+-+-L
dz y x dy x z dx z y )()()(=π) (2a h a +-,其中L 是圆柱面
222a y x =+与平面
1=+h
z
a x (0 , 0>>h a )的交线( 它是椭圆 ) , 从X 轴的正向看去 , 此椭圆周呈逆时针方向.
99.证明:若),(y x f 为有界闭区域D 上的非负连续函数,且在D 上不恒为零,则
0),(>??D
d y x f σ.
100.证明二重积分
??
D
dxdy xy f )(=?
?
2
1
)(2ln dx x f ,其中}21,41|),{(≤≤≤≤
=xy x
y
y x D . 101.设()f x 是[],a b 上的正值连续,{}0,0D D x a y a =≤≤≤≤,则
()()
()2
D
f x dxdy b a f y ≥-??
. 102.设(),f x y 在(),,y a x b y x a b ===<所围区域D 上连续,则
()() ,,b
x b
b
a
a
a
y
dx f x y dy dy f x y dx =?
???.
103.证明
(
)(22251
25
V
x y z dxdydz R π++=???,其中V 由222z x y =+, ()22220x y z R z ++=≥所围成的有界闭区域.
104.证明3() x y z dS a π∑
++=-??,其中∑是左半球面2222a z y x =++,0≤y 。 105.证明??
∑
+ 22)(dS y x =
) 12 (2
+π
, 其中∑是区域 }
1|),,( {22≤≤+z y x z y x 的边界. 106.
证明
4
()15
xy yz zx dS a ∑
++=
??
, ∑是锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+所截部分.
107.证明
3()()()24 x y dydz y z dzdx z x dxdy h ∑
+++++=??
, 其中∑是中心在原点 , 边
长为h 2的立方体 ] , [h h -] , [h h -?] , [h h -?的边界.
108.证明??∑ yzdzdx =πabc 32
, 其中∑是椭球面1222222=++c
z b y a x 的上半部分 , 积分沿
外侧.
数学分析试卷及答案6套
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
数学分析试题库--证明题
数学分析题库(1-22章) 五.证明题 1.设A ,B 为R 中的非空数集,且满足下述条件: (1)对任何B b A a ∈∈,有b a <; (2)对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,,使得ε<-x Y . 证明:.inf sup B A = 2.设A ,B 是非空数集,记B A S ?=,证明: (1){}B A S sup ,sup max sup =; (2){}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述?并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证: 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6. 用M -ε方法验证: 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?,在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?,又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证:若对任何满足下述条件的数列{}n x , (1))(0x U x n ?∈,0x x n →, (2)0010x x x x n n -<-<+,都有A x f n n =∞ →)(lim , 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x , x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续,但是在00≠x 处不连续.
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1(下) 一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2,则有( ). A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为( ). A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞=?? ? ??02在收敛域内的和函数是( ).
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ,则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 四.应用题(10分?2) 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题(每小题3分,共18分) 1.集合X 中的关系R 同时为反身的,对称的,传递的,则该关系R 为 . 2.设E 是非空数集,若存在实数β,满足1)E x ∈?,有β≥x ;2) ,则称β是数集E 的下确界。 3.函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,若 存在,则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4.若)(x f y =是对数函数,则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5.若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+,则函数)(x f 是 函数。 6.设函数)(x f 定义在区间),(b a 上,对于任意的),(,21b a x x ∈,)1,0(∈?α,有 成 立,则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题(每小题3分,共18分) 1.设f :Y X →,X A ??,则A ( )))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2.已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导,),(b a x ∈?,有1)(0<)(x ?' D. 前三个结论都不对 4.已知???∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ,对于]2,0[∈x ,定义?=x t t f x F 0d )()(,则)(x F 在区 间[0,2]上( )。 A. 连续 B. 不连续 C. 可导 D. 前三个结论都不对 5.已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数,则( )。
数学分析试题库--选择题
数学分析题库(1-22章) 一.选择题 1.函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为( ). (A )[]3,2; (B)[]4,3-; (C)[)4,3-; (D)()4,3-. 2.函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ). (A )偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. 3.点0=x 是函数x e y 1 =的( ). (A )连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. 4.当0→x 时,x 2tan 是( ). (A )比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. 5.x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值( ). (A )e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. 6.函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为( ). (A ) 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . 7.若()() 2 102lim =-→x f x f x ,则()0f '等于( ). (A )4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, 8.过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为( ). (A )()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. 9.若在区间()b a ,内,导数()0>'x f ,二阶导数()0>''x f ,则函数()x f 在区间内 是( ). (A )单调减少,曲线是凹的; (B) 单调减少,曲线是凸的; (C) 单调增加,曲线是凹的; (D) 单调增加,曲线是凸的. 10.函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为( ). (A )4; (B)0; (C)2; (D)3.
大一下学期高等数学考试题
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题(6×3分) 1、设直线,平面,那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的() A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数,则等于() . C. D. 4、二次积分交换次序后为() . . 5、若幂级数在处收敛,则该级数在处() A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解,若,则在 处() A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题(7×3分) 1、设=(4,-3,4),=(2,2,1),则向量在上的投影 = 2、设,,那么 3、D为,时, 4、设是球面,则= 5、函数展开为的幂级数为 6、= 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设,其中具有二阶导数,且其一阶导数不为1,求。 2、求过曲线上一点(1,2,0)的切平面方程。 3、计算二重积分,其中 4、求曲线积分,其中是沿曲线由点(0,1)到点(2,1)的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3,求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛,证明级数绝对收敛。 一、单项选择题(6×3分) 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题(7×3分) 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解:令则,故 2、解:令 则 所以切平面的法向量为: 切平面方程为: 3、解:=== 4、解:令,则 当,即在x轴上方时,线积分与路径无关,选择由(0,1)到(2,1)则
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题(每小题3分,共21分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续,则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ). 2.若()()x g x f ,为连续函数,则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f ( ). 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛,()?+∞a dx x g 条件收敛,则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛( ). 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛,则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛( ) 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛( ). 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同( ). 二. 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.若()x f 在[]b a ,上可积,则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等,则( )
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积; B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ; C. ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ; D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数,则下列说法正确的是( ) A.若0lim =∞→n n u ,则级数∑ n u 一定收敛; B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C. 若1,1<>?+n n u u N n N ,时有当,则级数∑n u 一定收敛; D. 若1,1>>?+n n u u N n N ,时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的; B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数; D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的;
数学分析试题及答案解析
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号(后两位)姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积,则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上() A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等,则() A.()x f 在[]b a ,上一定不可积;
B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ; C.()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ; D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性(每小题5分,共15分) 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113
2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性(每小题5分,共10分) 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八.
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号(后两位)姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解:令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分
数学分析试题集锦
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 01 | n ?1 i =0 f (i n ? 1 f (x )dx |≤ M a n 6.(15 ) θ θ(x )= +∞ n =?∞ e n 2 x x >0 7.(15 ) F (α)= +∞ 1 arctan αx x 2?1 dx ?∞<α>+∞ 8.(21 ) R r r 2004 1.( 6 30 ) (1).lim n →?∞ ( 1 n +2 +...+ 1 f (x ) ) 1 3 sin(y 1+n (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2,则有( ). A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为( ). A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是( ). A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ,则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定,求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题(10分?2)
数学分析试题库--证明题--答案
数学分析题库(1-22章) 五.证明题 1.设A ,B 为R 中的非空数集,且满足下述条件: (1)对任何B b A a ∈∈,有b a <; (2)对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,,使得ε<-x Y . 证明:.inf sup B A = 证 由(1)可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =,用反证法.若B A inf sup π,设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε,使得0ε≥-x y . 2.设A ,B 是非空数集,记B A S ?=,证明: (1){}B A S sup ,sup max sup =; (2){}B A S inf ,inf min inf = 证(1)若A ,B 中有一集合无上界,不妨设A 无上界,则S 也是无上界数集,于是+∞=+∞=S A sup ,sup ,结论成立.若A ,B 都是有上界数集,且A B sup sup ≤,现设法证明:sup sup A S = (ⅰ)S x ∈?,无论A x ∈或B x ∈,有;sup A x ≤ (ⅱ)000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证(2). 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? (n>4) n 32=, 取? ?? ???+??????=4,132max εN ,当n>N 时, 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4,扩大之后的分式
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)YM
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答 案) 一、解答题 1.已知过去几年产量和利润的数据如下: 解:在直角坐标系下描点,从图可以看出,这些点大致接近一条直线,因此可设f (x )=ax +b ,求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值,即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组,得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时,y =100.186(310元). 2.求下列伯努利方程的通解: 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解:令121z y y --==,则有
d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解:令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3.证明:22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数. 证:22x P x y =+,22 y Q x y =+,显然G 是单连通的,P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数,并且. ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ,(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分. 由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+. 4.应用格林公式计算下列积分: (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ, 其中 L 为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界; (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?,其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>;
数学分析习题
《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是( 1 ) A 、8x+10y+7z-12=0; B 、8x+10y+7z+12=0; C 、8x -10y+7z-12=0; D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周,则 L y ds =? ( 4 ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段,则 L zdx xdz +? = ( 3 ) A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =( 2 ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ,改变积分顺序得( 1 ) A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1],则 2()V xy z dv +??? =( 3 ) A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =( 2 ) A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在(1,1,1)的旋度为( 2 ) A 、(1,1,1) B 、(0,0,0) C 、(1,0,1) D 、(0,1,1) 10、下面反常积分收敛的有( 3 )个。 0cos x e xdx -∞ ? ,10 ? ,3cos ln x dx x +∞?,20?,1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题(28分,每空4分) 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域,则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分
数学分析_各校考研试题及答案
2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数,求xy w 解:令u=x+y ,v=x-y ,z=x 则z v u x f f f w ++=; )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ,证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解:因为an 非负单增,故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ;据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值范围,使f(x)分别满足: (1) 极限)(lim 0x f x + →存在 (2) f(x)在x=0连续 (3) f(x)在x=0可导 解:(1)因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α (3)0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续,证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解;令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F (u ) 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 (此题应感谢小毒物提供思路) 五、 设 f(x)在[a,b]上可导, 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 证:因f(x)在[a,b]可导,则由拉格朗日中值定理,存在
高等数学下册试题及答案解析
高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++?? ∑ ds y x )122 ( 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( ) (A )4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ;
2019高数(下)试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑(a >0),当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 ( ) (A )通过y 轴 (B )通过x 轴 (C )垂直于y 轴 (D )平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y ',()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 ( ) (A )充要条件 (B )充分但非必要条件 (C )必要但非充分条件 (D )既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+,则10 x y dz ===( ) (A )e (B )()e dx dy +
(C )1()e dx dy -+ (D )()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛, 则此级数在2x =处( ) (A )敛散性不确定 (B )发散 (C )条件收敛 (D )绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是( ) (A )212 1x y e =- (B )212 1x y e -=- (C )212 x y Ce -= (D )212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-,而且通过直线43521 x y z -+==, 求该平面方程. 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数, 试求z x ??和2z x y ???. 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???, 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤. 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?,
数学分析试题及答案
(二十一)数学分析期终考试题 一 叙述题:(每小题5分,共15分) 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题:(每小题7分,共35分) 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=,l 为从点P 0(2,-1,2)到点(-1,1,2)的方向, 求f l (P 0) 三 讨论与验证题:(每小题10分,共30分) 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ,验证函数的偏导数在原点不连续, 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题:(每小题10分,共20分) 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛,且f (x )在[a ,+∞)上一致连续函数,则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的,对于变量y 满足Lipschitz 条件: ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点,则称集合S 为开集;若集合S 中包含了它的所有的聚点,则称集合S 为闭集。
数学分析试题及答案4
(十四) 《数学分析Ⅱ》考试题 一 填空(共15分,每题5分): 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54; 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导,则0 1 , =b 0 。 二 计算下列极限:(共20分,每题5分) 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于,n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又,1lim =∞→n n n 故 。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→; 解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ;
解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。 解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三 计算导数(共15分,每题5分): 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求 解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。 求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四 (12分)设0>a ,}{n x 满足: ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-=
数学分析试题库--计算题、解答题--答案
数学分析题库(1-22章) 四.计算题、解答题 求下列极限 解:1.∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2) 2)(2(lim 24 lim 2n n n n n n n n n 2. 1 1 1 lim(1)1223(1)n n n →∞++++??+L 3.111 cos lim cos 1 lim 00===-→→x e x e x x x x 4.这是00 型,而 故 原极限=1 20(1)ln(1) lim(1)(1)x x x x x x x x →-++++ 5 6 211 lim(1)n n n n →∞++ 因1) 1(lim 2=+∞→n n n n , ∞=+∞→1lim 2 n n n 故原极限=e e =1. 7. 用洛必达法则 8. 00111lim()lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→---=-- 9. x x x x x sin tan lim 0--→; 解法1: 解法2: 10. 1 0lim(sin 2cos )x x x x →+ 解 因00sin 2cos 1 2cos 2sin lim lim 21x x x x x x x →→+--==, ( 3分) 故 原式1sin 2cos 1 sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x x x x x +-+-→=++-=2 e 求下列函数的导数 解 11x e x e y x x sin cos -='
12 x x x x y ln 11ln 1=?= ' 13)sin ln (cos )(sin ln sin x x x x x e y x x x +='=' 14 . cos sin()2y x x π'==+ 15 x e x e y x x 2cos 22sin +=' 16 )1sin (ln cos 1x x x x y +-?+= ' 17 )tan )ln(cos (cos )(cos ][sin )ln(cos sin x x x x e y x x x +='=' 18 ),2,1(),2)1(sin()(Λ=?++=n n x y n π . 19.1tan 22113sec ln 3x x x x x ++-; 20.求下列函数的高阶微分:设x e x v x x u ==)(,ln )(,求)(),(33v u d uv d 解 因为 所以 3233333 )ln 332()()(dx x x x x e dx dx uv d uv d x ++-== 所以 3233)ln 332( )(dx x x x x e v u d x -++=- 21. ;)(arctan 23x y = 解: 22. ;x x y x = 解: 令1x y x =,1ln ln y x x = 两边对两边对x 求导有 11 ln 1y x y '=+,()ln x x x x x x x '=+ 两边对x 求导有(ln )x y x x y ''= 23. 求由参量方程?????==;sin ,cos t e y t e x t t 所确定的函数的二阶导数:22dx y d