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第63炼立体几何中的建系设点问题

第63炼立体几何解答题的建系设点问题

在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、基础知识：

（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴

1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点

2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：

（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上

（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标

,x y 轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。

6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：

① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直

（2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形

② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直

④ 勾股定理逆定理：若222

AB AC BC +=，则AB AC ⊥

（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点

（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：

x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z

规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了

111,,0,,1,022H I ???? ? ?????

2、空间中在底面投影为特殊位置的点：

如果()'

11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么

1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）

由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的'

B 点，其投影为B ，而()1,1,0B 所以()'

1,1,B z ，而其到底面的距离为1，故坐标为()'

1,1,1B

以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点

① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212

22x x y y z z M +++??

???

，图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算

② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求'

A 点的坐标，如果使用向量计算，则设()',,A x y z ，

可直接写出()()()'

1,0,0,1,1,0,1,1,1A B B ，观察向量''

AB A B = ，而()0,1,0AB = ，

()''1,1,1A B x y z =--- 101110101x x y y z z -==????

∴-=?=????-==??

()'1,0,1A ∴

二、典型例题：

例1：在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=

，,,D E F 分别是棱

,,AB BC CD 的中点，1,2AB AC PA ===，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐

标

解：PA ⊥ 平面ABC ,PA AB PA AC ∴⊥⊥

90BAC ∠= ,,PA AB AC ∴两两垂直

以,,AP AB AC 为轴建立直角坐标系

坐标轴上的点：()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2A B C P 中点：:D AB 中点1,0,02??

???

:E BC 中点11,,022??

???

:F PC 中点10,,12?? ??

综上所述：()()()1

1111,0,0,0,1,0,0,0,2,,0,0,,,0,0,,12

2B C P D E F ?????? ? ? ???

小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程在解答题中可以省略。

例2：在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,BC CC 上的点，2CF AB CE ==，

1::1:2:4AB AD AA =，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标

思路：建系方式显而易见，长方体

AA AB AD两两垂直，

本题所给的是线段的比例，如果设

,2,4

AB a AD a AA a

===等，则点的坐标都含有a，不

便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐

标都为具体的数。

解：因为长方体

1111

ABCD A B C D

AB AD AA

∴两两垂直

∴以

AB AD AA为轴如图建系，设AB为单位长度

2,4,1,

AD AA CF CE

∴====

()()()()()()()

1111

1,0,0,1,2,0,0,2,0,1,0,4,0,0,4,1,2,4,0,2,4

B C D B A C D

()

1,,0,1,2,1

E F

例3：如图，在等腰梯形ABCD中，AB CD

∥，1,60

AD DC CB ABC

===∠= ，CF⊥平面ABCD，且1

CF=，建立适当的直角坐标系并确定各点

坐标。

思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面ABCD找

过C的相互垂直的直线即可。由题意，BCD

∠不是直角。所

以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂

直的条件，进而可以建立坐标系

方案一：（选择BC为轴），连结AC

可知120

ADC

∠= ∴在ADC

中

2222cos3

AC AD DC AD DC ADC

=+-=

∴=

由1,60

AC BC ABC

==∠= 可解得2,90

AB ACB

=∠=

AC BC

∴⊥CF⊥

平面ABCD

,CF AC CF BC ∴⊥⊥

以,,AC CF BC 为坐标轴如图建系：

(

)

()10,1,0,,,0,0,0,122B A

D F ??

- ??

方案二（以CD 为轴）

过C 作CD 的垂线CM CF ⊥ 平面ABCD

,CF CD CF CM ∴⊥⊥

∴以,,CD CF CM 为坐标轴如图建系：

（同方案一）计算可得：2CM AB =

()()31,0,,0,0,1,0,0,0,122A B D F ??∴--??????

小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z 轴），对于,x y 轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足C 的直线为轴建立的坐标系。例4：已知四边形ABCD 满足1

AD BC BA AD DC BC a ===

=∥，E 是BC 中点，将BAE 翻折成1B AE ，使得平面1B AE ⊥平面

A E C D ，F 为1

B D 中点

思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，BAE 是等边三角形，四边形AECD 为60

的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面'

B AE ⊥平面AECD ，结合'

B AE 是等边三角形，可取AE 中点M ，则可证'

B M ⊥平面AECD ，再在四边形AECD 找一组过M 的垂线即可建系

解：取AE 中点M ，连结'

B M

'B AE 是等边三角形 'B M AE ∴⊥

平面'

B AE ⊥平面AECD

'B M ∴⊥平面AECD ，连结DM '',B M ME B M

∴⊥⊥ 四边形AECD 为60

的菱形 ADE ∴ 为等边三角形

DM AE ∴⊥

',,B M MD ME ∴两两垂直

如图建系，设AB 为单位长度

'11,0,0,,0,0,,,22A E D C B ?

????????- ? ? ? ???????????

F 为'

B D 中点 F ?∴ ??

例5：如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点

,4,3,4O OA OB OP ===，且OP ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的三等分点（靠近P ），

建立适当的直角坐标系并求各点坐标

思路：由OP ⊥平面ABCD ，可得OP 作为z 轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取,OB OC 作为,x y 轴。在所有点中只有M 的坐标相对麻烦，对于三等分点可得

PM PC =，从而转化为向量关系即可求出M 坐标

解：OP ⊥ 平面ABCD

,OP OB OP OC ∴⊥⊥

菱形ABCD OB OC ∴⊥

,,OP OB OC ∴两两垂直

以,,OP OB OC 为坐标轴如图建系

可得：()()()()()0,0,4,3,0,0,0,4,0,0,4,0,3,0,0P B C A D --

设(),,M x y z 由1

3PM PC =可得：13

PM PC =

()(),,4,0,4,4PM x y z PC =-=-

00443348433x x y y z z ????==??

??∴=?=????

-=-=????

480,,33M ??

∴ ???

小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质

（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来例6：如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 与直角梯形BDEF 所在的平面互相垂直，

EF BD ∥，,ED BD

⊥1AD EF ED ===，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点

坐标

思路：题目已知面面垂直，从而可以找到DE 与底面垂直，再由底面是正方形，可选,AD DC 为,x y 轴，图中F 点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到解：平面EFBD ⊥平面ABCD 又因为直角梯形BDEF ED DB ∴⊥

ED ∴⊥平面ABCD

正方形ABCD AD BD ∴⊥

,,ED DA DC ∴两两垂直

以,,DE DA DC 为轴建立直角坐标系

坐标轴上的点：

)(

)

(

,,A C E 底面上的点：)B

F 点两种确定方式：

① 可看其投影，落在BD 中点处????，且高度为1，所以F ?

???

② 设(),,F x y z ())

,,1,EF x y z DB ∴=-=

EF DB

y F

∴=?

综上所述：)()())

,,0,0,1,,

A C E

B F

例7：如图，在三棱柱

111

ABC A B C

-中，H是正方形

AA B B的中心，

AA C H

=⊥

平面

AA B B，

C H=

定各点坐标

思路：

C H⊥平面

AA B B，从而

C H可作z轴，只

需在平面

AA B B找到过H的两条垂线即可建系（两

种方案），对于坐标只有C坐标相对麻烦，但由

C C A A

可以利用向量进行计算。

解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系）

如图建系：则

))()

A A B

()(1,

B C

设()

C x y z，则(

C C x y z

()

A A=-

由

C C A A

可得：

x x

y y

z z

=-?=-

-==

(0,

∴-

综上所述：

))()()

,,,,

A A

B B

((

,0,

C C-

方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）

如图建系：由

AA=计算可得

A H

B H

()()()112,0,0,0,2,0,0,2,0A A B -

(

)(12,0,0,B C -

设(),,C x y z

，则(1,,C C x y z = ()12,2,0A A =--

由11

C C A A =

可得：22

220x x y y z z ??=-=-??=-?=-????

-==??

(2,C ∴-- 综上所述：

()()()()112,0,0,0,2,0,0,2,0,2,0,0,A A B B -

(1,2,C C --

小炼有话说：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。

（相信所给的1AA =目的也倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础

例8：如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,

1AB =

, 12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点。建立合适的空间

直角坐标系并写出各点坐标

思路：由1A A ABCD ⊥底面，AB AC ⊥可得1,,AA AB AC 两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中1111,,,A B C D 均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中D 点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。解：侧棱1A A ABCD ⊥底面

∴ 11,A A AB A A AC ⊥⊥

AB AC ⊥ 1,,AB AC AA ∴两两垂直

以1,,AB AC AA 为轴建立直角坐标系底面上的点：()()0,1,0,2,0,0B C

由AD CD =可得ADC 为等腰三角形，若P 为

AC 中点，则DP AC ⊥

2DP ==

()1,2,0D ∴-

可投影到底面上的点：()()()()11110,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,2A B C D - 因为M 和N 分别为11C D B D 和的中点

()11,,1,1,2,12M N ??

∴- ???

综上所述：()()()()()()()11110,1,0,2,0,0,1,2,0,0,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,2B C D A B C D -- ()11,,1,1,2,12M N ??

- ???

例9：如图：已知PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，且EA PO ∥，四边形ABCD 为直角梯形，1

,,2,2

AD BC BC AB BC CD BO PO EA AO CD ⊥======∥，建立适当的坐标系并求出各点坐标

思路：由条件可得A B A D ⊥，而PO ⊥平面

A B C D ，EA PO ∥可得到EA ⊥平面ABCD ，从而

以,,EA AB AD 为轴建系。难点在于求底面梯形中

,AB OD 的长度。可作出平面图利用平面几何知识处

理。

解：PO ⊥ 平面ABCD ，EA PO ∥

∴ EA ⊥平面ABCD

,EA AB EA AD ∴⊥⊥

,AD BC BC AB ⊥ ∥ AD AB ∴⊥

,,AE AD AB ∴两两垂直，如图建系：

12EA CD == ()0,0,1E ∴

Rt AOB

中：AB ==

D O

cos 602

AO AOB AOB BO =

=?∠= AD BC ∥ 60BOC AOB ∴∠=∠= BC BO = BOC ∴ 为等边三角形 OC BC CD ∴== 60OCB ∠=

60DOC ∴∠= COD ∴ 为等边三角形 2OD CD ∴==

)()(

))

,0,1,0,0,3,0,B

O D C

∴

P 在底面ABCD 投影为O 且2PO = ()0,1,2P ∴

综上所述：)()(

))

()(),0,1,0,0,3,0,,0,1,2,0,0,1B

O D C

P E

例10：已知斜三棱柱1111,90,2,ABC A B C BCA AC BC A -∠===

在底面

ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：本题建系方案比较简单，1A D ⊥平面ABC ，进而1A D 作z 轴，再过D 引AC 垂线即可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是1B 的投影不易在图中作出（需要扩展平面ABC ）

11BA AC ⊥求解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。

解：过D 作AC 的垂线DM

，1A D ⊥ 平面ABC

11,A D DC A D DM ∴⊥⊥，而DM DC ⊥

∴以1,,A D DC DM 为轴建立直角坐标系

()()()0,1,0,0,1,0,2,1,0A C B -，设高为h

则()10,0,A h ，设()1,,C x y z

则()()110,2,0,,,AC AC x y z h ==-

由11

AC AC = 可得：00

220x x y y z h z h ==????

=?=????-==??

()10,2,C h ∴

()()112,1,,0,3,BA h AC h =--=

21111030BA AC BA AC h ∴⊥??=?-+=

，解得h =

(

(11,A C ∴

设(1

,B x y ()11

,,0A B x y ∴=

而()2,2,0AB = 且11

A B AB = 2

x y =?∴?=?

(1B ∴

综上所述：()()(

)(

(

(1110,1,0,0,1,0,2,1,0,,,A C B A C B -

空间立体几何建系教学设计

教学设计《向量法解决几何问题的综合应用》教材分析: 向量法的好处在于克服传统立体几何以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性.向量法可操作性强.运算过程程序化,公式化,有效地突破了立体几何教学和学习中的难点,是解决立体几何问题的重要工具,充分体现出向量法的优越性.本节课的主要内容是在已给的条件下准确建系，之后正确求角。学情分析：本节课之前,学生已经掌握了利用向量法求空间中各种角的基本方法,但在没有已知的三垂直下建系会存在一定的困难教学重点:准确建系教学难点: 建系前的证明教学过程：引入：前面几节课我们以向量作为工具研究了空间中各种角的求法。其基本步骤可分为哪几步? (生: 分为三步: 一建系,写坐标二.进行向量运算. 三将向量运算的结果翻译成几何意义)如果我们认为向量法的前提是“向量运算”，那前提就是“建系”而建系的条件是三垂直。之前，我们给的题目都有明显的三垂直，目的是让大家掌握求角的方法，所以容易建系。现在我们可以再上一个台阶。请看练习：例一：如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面 ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，F 是AD 的中点. 提问1 ：如果给出线段长，之后让求角。那需要我们作什么工作？建系提问2：有现成的三垂直吗？引导：如果我们完成这两个证明之后，能否建系呢？求证：（1）BF ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD,求证: 平面PF ⊥平面ABCD 补充（3）若PA=AB=2，在（2）的条件下建系，写出P 、A 、B 、D 四点的坐标变式：如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面 ABCD ，若PA=PD ，FC BF ⊥， F 是AD 的中点，试建立恰当的坐标系。（不用写坐标）设计意图： 1.若题目给出面面垂，必然由此得到线面垂，强化面面垂直的性质定理，并明确书写的规范程

立体几何—建系难

例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥中,,, 为的中点,. (1)求的长; (2)求二面角的正弦值. 【答案】解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP → 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π 3＝ 3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)．因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ? ????0，－1，z 2，又AF →＝ ? ????0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2 2＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|PA → |＝2 3. (2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF → ＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)．由1·AD →＝0，1·AF → ＝0，得 ?? ?－3x 1＋3y 1＝0， 2y 1＋3z 1＝0，因此可取1＝(3，3，－2)．由2·AB →＝0，2·AF → ＝0，得 ?? ?3x 2＋3y 2＝0， 2y 2＋3z 2＝0，故可取2＝(3，－3，2)．从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1 8 . 故二面角B －AF －D 的正弦值为3 7 8 . 例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?o ，与PAD ?都是等边

高考数学专题立体几何中的建系设点问题

O y x z F E G H I J O y x z A'C'B B'C D' A 第63炼立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若2 2 2 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下： x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

立体几何建系方法

立体几何建系方法熟悉几个补形建系的技巧基本模型：长方体；下面几个多面体可考虑补成长方体建系：（1）三棱锥P ABC -,其中,2 PA ABC ABC π⊥∠=. 特点：BC PAB ⊥面；四个面均为直角三角形。建系方法：（2）四棱锥P-ABCD,其中,PA ABCD ⊥面ABCD 为矩形。建系方法： P A B C A C D P

（3）正四面体A-BCD 建系方法：（4）两个面互相垂直建系方法 1、（2011年高考重庆卷文科20)如题（20）图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面，,2,1 ⊥==== AB BC AC AD BC CD （Ⅰ）求四面体 ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角 C-AB-D的平面角的正切值。

2、（06山东），已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=2,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

3、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ， D 、 E 分别为BB 1、AC 1的中点．（Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线；（Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小． A B C D E A 1 B 1 C 1

4．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60 ABC ∠=o，E F，分别是BC PC ，的中点．（Ⅰ）证明：AE PD ⊥；（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 2E AF C --的余弦值． P B E C D F A

高三一轮：立体几何中的建系设点

立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本节要介绍的内容。一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直

③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若，则（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：轴：轴：轴：规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0 （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点

空间立体几何建系练习题

空间立体几何建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一?所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算1、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB_AD，CD _ AD，PA_底面ABCD， PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。 (1) 求证：BM //平面PAD; (2) 在侧面PAD内找一点N，使MN _平面PBD; (3) 求直线PC与平面PBD所成角的正弦。 19.(本題满分直分) 正方形曲与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2t 点E%AB的中点. (1 )求证：轲"平面A^DEt (H)求二面角DSE①的大卜 (III)求多面体AyDyDBE的休积*

3. 已知多面体 ABCDE 中，AB 丄平面 ACD , DE 丄平面ACD, AC = AD = CD = DE =2a , AB = a , F 为 CD 的中点. 4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，PB 丄平面ABCD , MA//PB , PB=AB=2MA , (I) 证明：AC//平面PMD ; (U)求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； (川)求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角(锐角)的大小。所成二面角的大小 (I)求证：AF 丄平面CDE ; (U)求异面直线AC , BE 所成角余弦值; (

5. 已知斜三棱柱ABC - AB。, . BCA =90“ , AC 二BC =2, A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA _ AC i (I) 求证：AC i _平面ABC ; (II) 求CC i到平面AAB的距离； (III )求二面角A-AB-C的大小。 6. (湖南卷理科第18题)已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD 的高都为2, AB= 4. (1)证明：PQ丄平面ABCD; (2)求异面直线AQ与PB所成的角；

立体几何向量法建系难

立体几何（向量法）—建系难例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP → 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π 3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)．因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ????0，－1，z 2，又AF → ＝????0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2 2 ＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|P A → |＝2 3. (2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF → ＝(0，2，3)．设平面F AD 的法

向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)．由1·AD →＝0，1·AF →＝0，得 ?? ?－3x 1＋3y 1＝0， 2y 1＋3z 1＝0，因此可取1＝(3，3，－2)．由2·AB →＝0，2·AF →＝0，得 ?? ?3x 2＋3y 2＝0， 2y 2＋3z 2＝0，故可取2＝(3，－3，2)．从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1 8 . 故二面角B －AF －D 的正弦值为3 7 8 . 例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?o ，与PAD ?都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小. 【答案】解：(1)取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 联结OA ，OB ，OD ，OE . 由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE . 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .

立体几何的(向量法)—建系讲义

立体几何（向量法）—建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系” ，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系例1（2012 高考真题重庆理19 ）（本小题满分12 分如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB=4，AC=BC=，3 D 为AB的中点 Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离; （Ⅱ）若AB1 A1C 求二面角的平面角的余弦值. 【答案】解：（1）由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又 CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点 C 到平面A1ABB1 的距离为CD＝BC2－BD2＝ 5. （2）解法一：如图，取D1 为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由（1）知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠ A1DD 1为所求的二面角A1－CD－C1 的平面角．因A1D 为A1C 在面A1ABB1 上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠ A1AB1、∠A1DA 都与∠ B1AB互余，因此∠ A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此A A A D1＝A A1A B1，即AA21＝AD·A1B1＝8，得AA1＝2 2.

从而 A 1D ＝ AA 12＋ AD 2＝2 3. 所以，在 Rt △A 1DD 1 中， DD 1 ＝ AA1 ＝ 6. A 1D ＝A 1D ＝ 3 . 解法二：如图，过 D 作 DD 1∥AA 1交A 1B 1于点 D 1，在直三棱柱中，易知 DB ， DC ，DD 1两两垂直．以 D 为原点，射线 DB ，DC ，DD 1分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D －xyz. 设直三棱柱的高为 h ，则 A （－2,0,0），A 1（－2,0，h ），B 1（2,0，h ）， C （0， 5， 0），C 1（0， 5，h ），从而 A →B 1＝（4,0，h ），A → 1C ＝（2， 5，－ h ）．由 A → B 1⊥ A →1 C ，有 8－ h 2＝0，h ＝2 2. 故 D →A 1＝（－2,0,2 2），C →C 1＝（0,0,2 2），D → C ＝（0， 5，0）．设平面 A 1C D 的法向量为 m ＝（x 1， y 1，z 1），则 m ⊥D →C ，m ⊥D →A 1，即 5y 1＝0，－2x 1＋ 2 2z 1＝ 0，取 z 1＝ 1，得 m ＝（ 2，0,1），设平面 C 1CD 的法向量为 n ＝（x 2，y 2， z 2），则 n ⊥D →C ，n ⊥C → C 1，即 5y 2＝0， 2 2z 2＝ 0，取 x 2＝1，得 n ＝（1,0,0），所以 m ·n 2 6 cos 〈 m ， n 〉＝＝＝ . |m ||n | 2＋ 1·1 3 所以二面角 A 1－CD －C 1 的平面角的余弦值为 6. 、利用线面垂直关系构建直角坐标系 cos ∠A 1DD 1

高中数学立体几何建系设点专题

2009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例1（卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角；（3）求点P 到平面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线 CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1 cos 3 AQ PB AQ PB AQ PB <>= = ，．所求异面直线所成的角是1arccos 3 ．（3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，．设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ?=??=??，，n n 得200x z x y ?+=??+=??，，取x ＝1，得 (112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d = =n n ．途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设12AA AC AB ==，求二面角1 1A AD C --的大小．解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为 AC 的中点，设(00)A a ，，则，1(00)(02)B b B b c ，，，，，，则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===，，，，，，，即1ED BB ⊥．

立体几何(向量法)—建系讲义

立体几何（向量法）—建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系例1（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点（Ⅰ）求点C 到平面11ABB A 的距离; （Ⅱ）若11AB A C ⊥求二面角的平面角的余弦值. 【答案】解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故 CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为 CD ＝BC 2－BD 2＝ 5. (2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连结DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角．因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1 AA 1 ，即AA 21＝AD · A 1 B 1＝8，得AA 1＝2 2.

重点高中数学立体几何建系设点专题

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2009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角；（3）求点P 到平面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得 (2202)(0222)AQ PB =--=-u u u r u u u r ，，，，，，1 cos 3 AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，．所求异面直线所成的角是1arccos 3 ．（3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r ，，，，，，，，．设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ?=??=??u u u r g u u u r g ，，n n 得200x z x y ?+=??+=??，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==u u u r g n n ．途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为 11BB AC ，的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设12AA AC AB ==，求二面角1 1A AD C --的大小．解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为 AC 的中点，设(00)A a ，，则，1(00)(02)B b B b c ，，，，，，

(完整版)立体几何解答题的建系设点问题

立体几何解答题的建系设点问题一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。 3、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若2 2 2 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0 （2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考 2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()' 11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐

2016届高三一轮复习---立体几何如何建系找坐标求法向量

1、如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD, AB//CD,∠DAB=90°,PA=AD=DC=1,AB=2,M 为PB 的中点. 建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。并求平面ACM 法向量。解;以A 为坐标原点.以AD ，AB ，AP 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 2.多面体EDABC 中,AD ⊥平面ABC , AC ⊥ＢＣ，,ＡＤ＝2 1 ＣＥ＝１，ＡＣ＝１.BC=2，M 为BE 中点.，建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。求平面DCM 法向量。解;以C 为坐标原点.以ＣＡ，ＣＢ，ＣＥ所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 3、在直三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，ＡＢＡＣ且Ａ１Ａ＝ＡＢ＝ＡＣ＝２，建立适当的坐标系，表示图中所有点坐标。求出平面A 1BC 法向量解;以Ａ为坐标原点.以ＡＢ，ＡＣ，ＡＡ１所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 . １.在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝ 2AD ＝２＝PA, Q 是线段PB 的中点．PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥CD 建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。求出平面A 1QC 法向量

2．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，侧面SAB是等边三角形， DC//AB，AB=2AD=2DC＝２，O，E分别为AB、 SD中点. DA 面SAB，建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DB=3，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。并求平面PBC与平面PBD的法向量。 . 4.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q是AD的中点，⊿ABD为正三角形，PQ⊥平面AＢＣＤ。建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。并求平面PBD法向量。５. 三棱柱ABC——A1B1C1中侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D为CC1中点．建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。求出平面A1BD法向量解;因为所有棱长都为4，所以⊿ABＣ为正三角形，取ＢＣ中点Ｏ，连ＡＯ，则AO⊥平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ，又由已知四边形ＢＢ１Ｃ１Ｃ为矩形，所以取B1C1中点，O1，以O为坐标原点.以ＯＢ，ＯＯ１，ＯＡ，１所在直线为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，则

立体几何建系方法总结计划.doc

精心整理立体几何建系方法熟悉几个补形建系的技巧基本模型：长方体；下面几个多面体可考虑补成长方体建系：（1）三棱锥P ABC ,其中PA ABC , ABC. 2 特点： BC面PAB；四个面均为直角三角形。建系方法：（2）四棱锥 P-ABCD, 其中PA面ABCD , ABCD 为矩形。建系方法：（3）正四面体 A-BCD 建系方法：（4）两个面互相垂直建系方法 1、（2011 年高考重庆卷文科20) 如题（ 20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面 ACD ，AB BC , AC AD 2, BC CD 1 （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角 C-AB-D 的平面角的正2、（06 山东），已知四棱锥 P-ABCD 的切值。底面 ABCD 为等腰梯形，AB ∥ DC,AC ⊥BD,AC 与BD 相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为 O 点，又 BO=2,PO= 2 ,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值； (Ⅱ)求二面角 P－AB －C 的大小； 3、在直三棱柱 ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E 分别为 BB1、AC1的中点．（Ⅰ）证明： ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线；C1 B1 （Ⅱ）设 AA1＝AC＝AB，求二面角 A1－AD－C1的大小．A1 4．如图，已知四棱锥P ABCD ，底面 ABCD 为菱形， PA E D 60 ，E，F 平面 ABCD ，ABC 分别是 BC，PC 的中点． C B 精心整理 A

精心整理（Ⅰ）证明： AE PD ； P （Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6 ，求二面角 E AF C 的余弦值． F 2 5、（08 安徽）如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四 B A D 边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面 ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中 E C 点. 4 O （1）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；（2）求点 B 到平面 OCD 的距离 . M A D B C 精心整理

空间向量与立体几何(建系途径)

空间向量与立体几何建立空间直角坐标系的途径途径一：利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．垂直线线垂直线面垂直面面垂直 1、如图，在长方体ABCD -1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB 上移动。建立如图所示的空间直角坐标系。（1）证明：11D E A D ⊥；（2）求平面1ACD 的一个法向量及单位法向量。解：设AE a =，则1(1,0,1)A ，1(0,0,1)D ，(1,,0)E a ， (1,0,0)A ，(0,2,0)C 。（Ⅰ）证明：由1(1 ,0,1)DA =，1(1,1,1)D E a =--， 11(1,0,1)(1,1,1)110DA D E a ?=?--=-=，有11DA D E ⊥，于是11D E A D ⊥。（Ⅱ）(1,2,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-。设平面1ACD 的法向量为(,,1)n x y =，单位法向量为0n ，由 10 0n AC n AD ??=???=???(,,1)(1,2,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ?-=???-=??2010x y x -+=?? -+=?，解得112 x y =???=??。于是1(1,,1)2n =。 2、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ， E ， F 分别CD 、PB 的中点。（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设，求AC 与平面AEF 所成角的正弦值。设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则 l ⊥α?a ∥u a ku ?=； l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=； α⊥β?u ⊥v .0=??v u

空间立体几何建系练习题 2

空间立体几何建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算 1、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

3. 已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F为CD的中点. （Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小. 4. 如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA，（Ⅰ）证明：AC//平面PMD；（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小。

5. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠= ，2AC BC ==，1A 在底面A B C 上的射影恰为A C 的中点D ，又知11BA AC ⊥。（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（II ）求1C C 到平面1A AB 的距离；（III ）求二面角1A A B C --的大小。 6. （湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角；（3）求点P 到平面QAD 的距离．

高中数学优秀讲义微专题63 立体几何中的建系设点问题

微专题63 立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若2 2 2 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下： x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

高考数学立体几何建系困难问大题精做理科

2019高考数学立体几何建系困难问大题精做理科 1.已知三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 的正方形，ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P BC M --的余弦值．图一图二 2．矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 为AD 中点，沿BE 将ABE △折起至PBE △，如图所示，点P 在面BCDE 的射影O 落在BE 上．

（1）求证：面PCE ⊥面PBE ；（2）求平面PCD 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值． 3．如图1，在矩形ABCD 中，AB =BC =点E 在线段DC 上，且DE ，现将AED △沿AE 折到AED '△的位置，连结CD '，BD '，如图2．（1）若点P 在线段BC 上，且BP = ，证明：AE D P ⊥'；（2）记平面AD E '与平面BCD '的交线为l ．若二面角B AE D --'为 2π 3 ，求l 与平面D CE '所成角的

正弦值． 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD， =，PA与平面PBC． PA PD （1）求侧棱PA的长；（2）设E为AB中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值．

【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．由题意，得PA PB PC ==1PO =， 1AO BO CO ===． ∵在PAC △中，PA PC =，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥， ∵在POB △中，1PO =，1OB =，PB =，222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥． ∵AC OB O =，AC ，OB ?平面，∴PO ⊥平面ABC ， ∵PO ?平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）由（1）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ， ∴BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，且1 tan BO BMO OM OM ∠== ， ∴当OM 最短时，即M 是PA 的中点时，BMO ∠最大．由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，∴PO OB ⊥，PO OC ⊥，于是以OC ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P ，11,0,22M ?? - ???， ()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-，3 1,0,2 2MC ??=- ???．设平面MBC 的法向量为()111,,x y z =m ，

2020高考数学----立体几何中的建系设点问题

第63炼立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标 ,x y 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：

① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若2 2 2 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下： x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0 （2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了 111,,0,,1,022H I ???? ? ????? 2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()' 11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么 1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的' B 点，其投影为B ，而()1,1,0B 所以()' 1,1,B z ，而其到底面的距离为1，故坐标为()' 1,1,1B 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点 ① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212 ,,222x x y y z z M +++?? ?? ? ，图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算 ② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，

第63炼 立体几何中的建系设点问题