沈阳市2010年中等学校招生统一考试
数 学 试 题
试题满分150分,考试时间120分钟
注意事项:
1. 答题前,考生须用0.5mm 黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号;
2. 考生须在答题卡上作答,不能在本试题卷上做答,答在本试题卷上无效;
3. 考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回;
4. 本试题卷包括八道大题,25道小题,共6页。如缺页、印刷不清,考生须声明,否则后果自 负。
一、选择题 (下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题3分,共24分)
1. 左下图是由六个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的俯视图是
2. 为了响应国家“发展低碳经济、走进低碳生活”的号召,到目前为止沈阳市共有60000户家
庭建立了“低碳节能减排家庭档案”,则60000这个数用科学记数法表示为 (A) 60?104
(B) 6?105 (C) 6?104 (D) 0.6?106 。
3. 下列运算正确的是 (A) x 2+x 3=x 5 (B) x 8÷x 2=x 4 (C) 3x -2x =1 (D) (x 2)3=x 6 。
4. 下列事件为必然事件的是 (A ) 某射击运动员射击一次,命中靶心 (B) 任意买一张电影票,
座位号是偶数 (C) 从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球 (D) 掷一枚质地均匀的
硬币落地后正面朝上 。
5. 如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将Rt △ABC 绕点C 按顺
时针方向旋转90?,得到Rt △FEC ,则点A 的对应点F 的坐标是
(A) (-1,1) (B) (-1,2) (C) (1,2) (D) (2,1)。 6. 反比例函数y = -
x
15
的图像在 (A) 第一、二象限 (B) 第二、三象限 (C) 第一、三象限 (D) 第二、四象限 。
7. 在半径为12的 O 中,60?圆心角所对的弧长是 (A) 6π (B) 4π (C) 2π (D) π. 。
8. 如图,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且 ∠ADE =60?,BD =3,CE =2,则△ABC 的边长为 (A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 。
二、填空题 (每小题4分,共32分)
9. 一组数据3,4,4,6,这组数据的极差为 。
(A) (B) (C) (D)
A
B
C
E
10. 计算:8?2
1-(3)0= 。
11. 分解因式:x 2+2xy +y 2= 。
12. 一次函数y = -3x +6中,y 的值随x 值增大而 。 13. 不等式组?
?
?-≥--≥32)
1(24x x x 的解集是 。
14. 如图,在□ ABCD 中,点E 在边BC 上,BE :EC =1:2, 连接AE 交BD 于点F ,则△BFE 的面积与△DF A 的面积之 比为 。
15. 在平面直角坐标系中,点A 1(1,1),A 2(2,4),A 3(3,9),A 4(4,16),…,用你发现的规律
确定点A 9的坐标为 。
16. 若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为2,并且两条对角线所成的锐角为60?,则等腰梯形
ABCD 的面积为 。
三、 解答题(第17、18小题各8分,第19小题10分,共26分) 17. 先化简,再求值:
32-x x +x
x
-3,其中x = -1。 18. 小吴在放假期间去上海参观世博会,小吴根据游客流量,决定第一天从中国馆 (A)、日本
馆 (B)、西班牙馆 (C)中随机选一个馆参观,第二天从 法国馆 (D)、沙特馆 (E)、芬兰馆
(F) 中随机选一个馆参观。请你用列表法或画树形图 (树形图)法,求小吴恰好第一天参观
中国馆(A)且第二天参观芬兰馆(F)的概率。(各国家馆可用对应的字母表示) 19. 如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,点E 、F 分别为边 AB 、AD 的中点,连接EF 、OE 、OF 。求证:四边形AEOF 是菱形。
四、(每小题10分,共20分)
20. 2010年4月14日,国内成品油价格迎来今年的首次提价,某市93号汽油的价格由6.25
元/升涨到了6.52元/升。某报纸调查员就“关于汽油涨价对用车会造成的影响”这一问题向
B
C
D
E
F A
A B C
D
E F O
B
D E
A
24%
10% 4%
汽油涨价对用车会造成影响的扇形统计图
250汽油涨价对用车会造成影响的条形统计图
人数
(1) 结合上述统计图表可得:p= ,m= ;
(2) 根据以上信息,请直接在答题卡中补全条形统计图;
(3) 2010年4月末,若该市有机动车的私家车车主约200000人,根据上述信息,请你估计
一下持有“影响不大,还可以接受”这种态度的车主约有多少人?
21. 如图,AB是 O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与
O相切于点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD;
(1) 求证:∠CDE=2∠B;
(2) 若BD:AB=3:2,求 O的半径及DF的长。
五、(本题10分)
22. 阅读下列材料,并解决后面的问题:
★阅读材料:
(1) 等高线概念:在地图上,我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线。
例如,如图1,把海拔高度是50米、100米、150米的点分别连接起来,就分别形成50
米、100米、150米三条等高线。
(2) 利用等高线地形图求坡度的步骤如下:(如图2)
步骤一:根据两点A、B所在的等高线地形图,分别读出点A、B的高度;
A、B两点
的铅直距离=点A、B的高度差;
步骤二:量出AB在等高线地形图上的距离为d个单位,若等高线地形图的比例尺为
1:n,则A、B两点的水平距离=dn;
步骤三:AB的坡度
=
水平距離
鉛直距離
=
dn
B
A的高度差
點,
;
图1
B
小明家A
小丁家C
P学校
100米
200米
300米
400米
图2图3
★请按照下列求解过程完成填空,并把所得结果直接写在答题卡上。
某中学学生小明和小丁生活在山城,如图3(示意图),小明每天上学从家A 经过B 沿着
公路AB 、BP 到学校P ,小丁每天上学从家C 沿着公路CP 到学校P 。该山城等高线地形图
的比例尺为1:50000,在等高线地形图上量得AB =1.8厘米,BP =3.6厘米,CP =4.2厘米。
(1) 分别求出AB 、BP 、CP 的坡度(同一段路中间坡度的微小变化忽略不计); (2) 若他们早晨7点同时步行从家出发,中途不停留,谁先到学校?(假设当坡度在
10
1到81之 间时,小明和小丁步行的平均速度均约为1.3米/秒;当坡度在8
1
到6
1之间时,小明和小
丁步行的平均速度均约为1米/秒)
解:(1) AB 的水平距离=1.8?50000=90000(厘米)=900(米),AB 的坡度=
900100200-=91
; BP 的水平距离=3.6?50000=180000(厘米)=1800(米),BP 的坡度=
1800
200400-=91
; CP 的水平距离=4.2?50000=210000(厘米)=2100(米),CP 的坡度=
;
(2) 因为
101<91<8
1
,所以小明在路段AB 、BP 上步行的平均速度均约为1.3米/秒。
因为 ,所以小丁在路段CP 上步行的平均速度约为 ● 米/秒,斜坡
AB 的距离=22100900+≈906(米),斜坡BP 的距离=222001800+≈1811(米),斜
坡CP 的距离=223002100+≈2121(米),所以小明从家到学校的时间=
3
.11811
906+ =2090(秒)。小丁从家到学校的时间约为 ? 秒。因此, ? 先到学校。
六、(本题12分)
23. 某公司有甲、乙两个绿色农产品种植基地,在收获期这两个基地当天收获的某种农产品,
一部份存入仓库,另一部分运往外地销售。根据经验,该农产品在收获过程
中两个种植基地
累积总产量y (吨)与收获天数x (天)满足函数关系y =2x +3 (1≤x ≤10且x 为整数)。该农产品在 收获过程中甲、乙两基地的累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲、乙两基地累积
的量;
(2) 设在收获过程中甲、乙两基地累积存入仓库的该种农产品的总量为p (吨),请求出p (吨)
与收获天数x (天)的函数关系式;
(3) 在(2)的基础上,若仓库内原有该农产品42.6吨,为满足本地市场需求,在此收获期开始 的同时,每天从仓库调出一部分该种农产品投入本地市场,若在本地市场售出的该种农
产品总量m (吨)与收获天数x (天)满足函数关系m = -x 2+13.2x -1.6 (1≤x ≤10且x 为整数)。
问在此收获期内连续销售几天,该农产品库存量达到最低值?最低库存量是多少吨?
七、(本题12分)
24. 如图1,在△ABC 中,点P 为BC 边中点,直线a 绕顶点A 旋转,若B 、P 在直线a 的异侧,
BM ⊥直线a 于点M ,CN ⊥直线a 于点N ,连接PM 、PN ;
(1) 延长MP 交CN 于点E (如图2)。 求证:△BPM ?△CPE ; 求证:PM = PN ;
(2) 若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时,点B 、P 在直线a 的同侧,其它条件不变。此时
PM =PN 还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3) 若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时,其它条件不变。请直接判断四边形MBCN
的形状及此时PM =PN 还成立吗?不必说明理由。
a
A B
C
P
M
N
A B
C
M N a
P
A B
C
P
N
M
a
图1 图2 图3
八、(本题14分)
25. 如图1,在平面直角坐标系中,拋物线y =ax 2 c 与x 轴正半轴交于点F (16,0)、与y 轴正半
轴交于点E (0,16),边长为16的正方形ABCD 的顶点D 与原点O 重合,顶点A 与点E 重
合,顶点C 与点F 重合; (1) 求拋物线的函数表达式;
(2) 如图2,若正方形ABCD 在平面内运动,并且边BC 所在的直线始终与x 轴垂直,抛物
线始终与边AB 交于点P 且同时与边CD 交于点Q (运动时,点P 不与A 、B 两点重合,
点Q 不与C 、D 两点重合)。设点A 的坐标为(m ,n ) (m >0)。 当PO =PF 时,分别求出点P 和点Q 的坐标;
在 的基础上,当正方形ABCD 左右平移时,请直接写出m 的取值范围;
● 当n =7时,是否存在m 的值使点P 为AB 边中点。若存在,请求出m 的值;若不存
在,请说明理由。
图1 图2
备用图
沈阳市2010年中等学校招生统一考试
数 学 试 题 答 案
一、选择题:(每小题3分,共24分)
1. A
2. C
3. D
4. C
5. B
6. D
7. B
8. A
二、填空题 (每小题4分,共32分)
9. 3 10.
2-1 11. (x +y )2 12. 减小 13. -1≤x ≤1 14. 1:9 15. (9,81) 16.
3或
3
3 三、解答题 (第17、18小题各8分,第19小题10分,共26分) 17. [解] 原式=
32-x x -3-x x =3-x x ,当x = -1时,原式=311---=4
1
。 18. [解] 由画树状(形)图得: 或列表得:
A D (A ,D )
E (A ,E )
F (A ,F )
开始 B D (B ,D ) E (B ,E )
F (B ,F )
C D (C ,D ) E (C ,E )
F (C ,F )
可知,共有9种可能出现的结果,并且每种结果出现的可能性相
同,其中小吴恰好第一天参观A 且第二天参观F 这两个场馆的结果有一种(A ,F ),
∴P (小吴恰好第一天参观A 且第二天参观F )=9
1
。
19. [证明] ∵点E 、F 分别为AB 、AD 的中点,∴AE =21AB ,AF =2
1AD , 又∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =AD ,∴AE =AF , 又∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O , ∴O 为BD 中点,∴OE 、OF 是△ABD 的中位线,
∴四边形AEOF 是平行四边形,∵AE =AF ,∴四边形AEOF 是菱形。 四、(每小题10分,共20分) 20.(1) 24%,10%;
(2) B :960人,D :400人;
(3) 200000?24%=48000(人),于是,可以估计持有“影响不大,还可以接受”这种态度的车
主约有48000人。
21.(1) [证明] 连接OD ,∵直线CD 与 O 相切于点D ,∴OD ⊥CD , ∴∠CDO =90?,∴∠CDE +∠ODE =90?,又∵DF ⊥AB , ∴∠DEO =∠DEC =90?,∴∠EOD +∠ODE =90?, ∴∠CDE =∠EOD ,又∵∠EOD =2∠B ,∴∠CDE =2∠B 。 (2) [解] 连接AD ,∵AB 是圆O 的直径,∴∠ADB =90?, ∵BD :AB =3:2,∴在Rt △ADB 中,cos B =
AB
BD
=23, ∴∠B =30?,∴∠AOD =2∠B =60?,又∵在Rt △CDO 中,CD =10, ∴OD =10tan30?=3310,即 O 的半径为33
10
,在Rt △CDE 中,CD =10,∠C =30?,
∴DE =CD sin30?=5,∵弦DF ⊥直径AB 于点E ,∴DE =EF =2
1
DF ,∴DF =2DE =10。 五、(本题10分) 22.
71 81<71<6
1
● 1 ? 2121 ? 小明 (每空2分,共计10分) 六、(本题12分)
23. [解] (1) 甲基地累积存入仓库的量:85%?60%y =0.51y (吨), 乙基地累积存入仓库的量:22.5%?40%y =0.09y (吨),
(2) p =0.51y +0.09y =0.6y , ∵y =2x +3, ∴p =0.6(2x +3)=1.2x +1.8; (3) 设在此收获期内仓库库存该种农产品T 顿,
T =42.6+p -m =42.6+1.2x +1.8-(-x 2+13.2x -1.6)=x 2-12x +46=(x -6)2+10, ∵1>0,∴拋物线的开口向上,又∵1≤x ≤10 且x 为整数, ∴当x =6时,T 的最小值为10, ∴在此收获期内连续销售6天,该农产品库存达到最低值,最低库存
B
是10吨。
七、(本题12分)
24. (1) [证明] 如图2,∵BM ⊥直线a 于点M ,CN ⊥直线a 于点N , ∴∠BMN =∠CNM =90?,∴BM //CN ,∴∠MBP =∠ECP , 又∵P 为BC 边中点,∴BP =CP ,又∵∠BPM =∠CPE ,∴△BPM ?△CPE ,
∵△BPM ?△CPE ,∴PM =PE ,∴PM =2
1ME ,∴在Rt △MNE 中,PN =2
1ME ,
∴PM =PN ; (2) 成立,如图3,
[证明] 延长MP 与NC 的延长线相交于点E ,∵BM ⊥直线a 于点M ,CN ⊥直线a 于点N ,
∴∠BMN =∠CNM =90?,∴∠BMN +∠CNM =180?,∴BM //CN ,∴∠MBP =∠ECP ,
又∵P 为BC 中点,∴BP =CP ,又∵∠BPM =∠CPE ,∴△BPM ?△CPE ,∴PM =PE ,
∴PM =21ME ,则在Rt △MNE 中,PN =2
1ME ,∴PM =PN 。 (3) 四边形MBCN 是矩形,PM =PN 成立。 八、(本题14分)
25. [解] (1) 由拋物线y =ax 2
+c 经过点E (0,16)、F (16,0)得:???=+=c
c
a 161602,解得
a = -16
1
,c =16,
∴y = -16
1
x 2+16;
(2) 过点P 做PG ⊥x 轴于点G ,∵PO =PF ,∴OG =FG ,∵F (16,0),∴OF =16,
∴OG =21OF =21?16=8,即P 点的横坐标为8,∵P 点在拋物线上,
∴y = -16
1
?82+16=12,即P 点的纵坐标为12,∴P (8,12),
∵P 点的纵坐标为12,正方形ABCD 边长是16,∴Q 点的纵坐标为-4,
∵Q 点在拋物线上,∴-4= -
16
1x 2
+16,∴x 1=85,x 2= -85, ∵m >0,∴x 2= -85(舍去),∴x =85,∴Q (85,-4);
85-16 16 1x 2 +16, ∴x 1=12,x 2= -12,∵m >0,∴x 2= -12(舍去),∴x =12,∴P 点坐标为(12,7), ∵P 为AB 中点,∴AP =2 1AB =8,∴点A 的坐标是(4,7),∴m =4, 又∵正方形ABCD 边长是16,∴点B 的坐标是(20,7), 点C 的坐标是(20,-9),∴点Q 的纵坐标为-9,∵Q 点在拋物线上, ∴ -9= - 16 1x 2 +16,∴x 1=20,x 2= -20,∵m >0,∴x 2= -20(舍去),x =20, ∴Q 点坐标(20,-9),∴点Q 与点C 重合,这与已知点Q 不与点C 重合矛盾, ∴当n =7时,不存在这样的m 值使P 为AB 边的中点。