二次函数图像与性质分类练习
一顶点坐标
1、 (四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是( )
A .(2,3)
B .(-2,3)
C .(2,-3)
D .(-2,-3)
2、(桂林市、百色市)二次函数2(1)2y x =++的最小值是( ).
A .2
B .1
C .-3
D .
23
3、(上海市)抛物线22()y x m n =++(m n ,是常数)的顶点坐标是( ) A .()m n , B .()m n -,
C .()m n -,
D .()m n --, 4、(威海)二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是( ) A .(18)-, B .(18), C .(12)-,
D .(14)-, 5、(桂林百色)二次函数2(1)2y x =++的最小值是( ).
A .2
B .1
C .-3
D .
23 6、(泰安)抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为
(A )(-2,7) (B )(-2,-25) (C )(2,7) (D )(2,-9)
7、(遂宁)把二次函数34
12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x y B. ()424
12+-=x y C.()42412++-=x y D. 321212
+??? ??-=x y 8、(南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线( )
A .1x =
B .1x =-
C .3x =-
D .3x = 9、(北京市)若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式,其中,m k 为常数,则m k += . 10、(湖北省荆门市)函数(2)(3)y x x =--取得最大值时,x =______.
二平移问题
11、(泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位,所得图象的解析式为
A .222-=x y
B .222+=x y
C .2)2(2-=x y
D .2)2(2+=x y
12、(甘肃庆阳)将抛物线22y x =向下平移1个单位,得到的抛物线是( )
A .22(1)y x =+
B .22(1)y x =-
C .221y x =+
D .221y x =- 13、(孝感)将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位,得到函数232y x x =-+的图象,则a
的值为
A .1
B .2
C .3
D .4
14、(天津市)在平面直角坐标系中,先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换,再将所得的抛物
线关于y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )
A .22y x x =--+
B .22y x x =-+-
C .22y x x =-++
D .22y x x =++ 15、(兰州)把抛物线2y x =-向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为
A .2(1)3y x =---
B .2
(1)3y x =-+- C .2(1)3y x =--+ D .2(1)3y x =-++
16、(新疆乌鲁木齐市)要得到二次函数222y x x =-+-的图象,需将2y x =-的图象( ).
A .向左平移2个单位,再向下平移2个单位
B .向右平移2个单位,再向上平移2个单位
C .向左平移1个单位,再向上平移1个单位
D .向右平移1个单位,再向下平移1个单位
17、(广西钦州)将抛物线y =2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A .y =2x 2+3
B .y =2x 2-3
C .y =2(x +3)2
D .y =2(x -3)2 18、(上海市)12.将抛物线22y x =-向上平移一个单位后,得以新的抛物线,那么新的抛物线的表达式是 . 三、求函数解析式 19、(安徽)已知二次函数的图象经过原点及点(12-,1
4
-),且图象与x 轴的另一交点到原
点的距离为1,则该二次函数的解析式为 20、已知二次函数的图象经过原点及点(12-,1
4
-),且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,则该
二次函数的解析式为 .
21、(襄樊市)抛物线2y x bx c =-++的图象如图6所示,则此抛物线的解析式为 .
22、(贵州省黔东南州)二次函数322--=x x y 的图象关于原点O (0, 0)对称的图象的解析式是
_________________。
四、简单应用题
23、(长春)如图,动点P 从点A 出发,沿线段AB 运动至点B 后,立即按原路返回,点P 在运动过程中速度大小不变,则以点A 为圆心,线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为( )
24、(甘肃庆阳)图6(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ,水面宽4m .如图6(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) A .22y x =- B .22y x = C .212y x =- D .2
12x = 25、(台湾)向上发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为y 公尺,且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。若此炮弹在
第7秒与第14秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的?
(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。
y
x
O 3 x =1 图6
图6(1) 图6(2) O S t O S t O S t O S t A P B (
第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2,y=a(x-h)2 ,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象,能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质:
2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质:
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左 加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
001(2019?甘肃)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,对于下列说法:①ac>0,②2a+b >0,③4ac<b2,④a+b+c<0,⑤当x>0时,y随x的增大而减小,其中正确的是() A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤ 002(2019?天津)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表: 且当x时,与其对应的函数值y>0.有下列结论: ①abc>0;②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0<m+n. 其中,正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3
003(2019?安顺)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=OC.则由抛物线的特征写出如下结论: ①abc>0;②4ac﹣b2>0;③a﹣b+c>0;④ac+b+1=0. 其中正确的个数是() A.4个B.3个C.2个D.1个 004(2019?赤峰)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b>0;②a ﹣b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④当x<﹣1或x>3时,y>0.上述结论中正确的是.(填上所有正确结论的序号)
005(2019?通辽)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现给以下结论:①abc<0; ②c+2a<0; ③9a﹣3b+c=0; ④a﹣b≥m(am+b)(m为实数); ⑤4ac﹣b2<0. 其中错误结论的个数有() A.1个B.2个C.3个D.4个 006(2019?贵港)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,且b2﹣4a>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:①图象与坐标轴的交点为(﹣1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当﹣1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=﹣1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是.
二次函数考点分类复习 知识点一:二次函数的定义 考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式。 备注:当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数. 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x 2 -4x+1; ②y=2x 2 ; ③y=2x 2 +4x ; ④y=-3x ; ⑤y=-2x -1; ⑥y=mx 2 +nx+p ; ⑦y =; ⑧y=-5x 。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为s=5t 2 +2t ,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2 +2m -7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。 课后练习: (1)下列函数中,二次函数的是( ) A .y=ax 2+bx+c B 。2 )1()2)(2(---+=x x x y C 。x x y 1 2+ = D 。y=x(x —1) (2)如果函数1)3(2 32++-=+-mx x m y m m 是二次函数,那么m 的值为 知识点二:二次函数的对称轴、顶点、最值 1、二次函数 c bx ax y ++=2,当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;当0 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 2008年全国中考数学试题分类精编 二次函数专题一、选择题 1.(2008资阳市) 在平面直角坐标系中,如果抛物线y =2x 2 不动,而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A .y =2(x -2)2 + 2 B .y =2(x + 2)2 -2 C .y =2(x -2)2-2 D .y =2(x + 2)2 + 2 2.(2008四川达州市)已知二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,当0y <时, x 的取值范围是( ) A .13x -<< B .3x > C .1x <- D .3x >或1x <- 3.(2008泰州市)二次函数 342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得 到,下列平移正确的是( ) A .先向左平移2个单位,再向上平移1个单位 B .先向左平移2个单位,再向下平移1个单位 C .先向右平移2个单位,再向上平移1个单位 D .先向右平移2个单位,再向下平移1个单位 4.(2008山西省)抛物线 5422---=x x y 经过平移得到22x y -=,平移方法是( ) A .向左平移1个单位,再向下平移3个单位 B .向左平移1个单位,再向上平移3个单位 C .向右平移1个单位,再向下平移3个单位 D .向右平移1个单位,再向上平移3个单位 5.(2008年陕西省)已知二次函数 2y ax bx c =++(其中000a b c >><,,), 关于这个二次函数的图象有如下说法: ①图象的开口一定向上;②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧. 以上说法正确的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 6、(2008年吉林省长春市)抛物线 ()2 23y x =++的顶点坐标是 【 】 A.(-2,3) B.(2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 7、(2008年吉林省长春市)二次函数 362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是【 】 A .3 【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数选择题(含答案)
中考复习:二次函数题型分类总结
二次函数知识点总结及典型题目